Variables aleatorias continuas y Características numéricas

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1 Variables aleatorias continuas y Características numéricas 2ºC 2018 Clase Nº 7 Mg. Stella Figueroa

2 Variable aleatoria continua X es una VAC si existe una función f(x), llamada función de densidad de probabilidad de X, (fdp) que satisface las siguientes condiciones: Si X toma sólo valores en el intervalo [a,b] y f(x) = 0 para todo x que no pertenece al intervalo [a,b]. La integral entre a y b de f(x) es 1. a) f(x) 0 x b) f(x)dx 1 c) Para cualquier intervalo (a,b)/ - a b P( a x b) f(x)dx b a f(x) no representa ninguna probabilidad..

3 Consideraciones 1. P(X=Xo)= x x 0 0 f(x)dx 0 No significa que el suceso sea imposible P(a<x<b)= P(a x<b)= P(a x b)= P(a<x b) 2, Si f*(x) es mayor o igual que cero para todo x de su dominio, y f*(x) emtonces f(x)= x k es una legitima función de densidad de probabilidad f*(x) dx = k R

4 Ejercicio: Hallar el valor de k de modo que f(x) sea una fdp legítima, y graficar, si: f( x) kx(1-x) si x 0,1 0 si x (0,1) Hallar : a) P(1/4 <x<1/2) = b) P(x >1/3 / 1/4< x <1/2)=

5 Función de Distribución Acumulativa (FDA) Si X es una variable Si X es una variable aleatoria discreta, se F : [0,1] aleatoria continua, se llama función de llama función de distribución, a la función distribución, a la función F F tal que F(a) P x a p( x j ) x j a tal que a F a =P(x<a)= f x dx

6 Propiedades de la función de distribución acumulada FDA si x x F(x ) F(x ) lim F( x) lim P( X x) P( S) 1 x x lim F( x) lim P( X x) P( ) 0 x x P( x X x ) F( x ) F( x ) Si F(x) es la FDA de X, entonces f(x) = F (x) para todo x donde F es diferenciable.

7 Ejercicio: Hallar y graficar la FDA de la variable aleatoria continua cuya fdp está dada por: 6x(1-x) si 0 x 1 f(x)= 0 si x (0,1)

8 Momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen k E(x ) n i 1 k x i.p x i El primer momento centrado en el origen (k=1) es la esperanza matemática de X E(x ) x i.p xi El momento de 2do orden centrado en la esperanza, es la V( x) E x E( x) 2 varianza de X. Moda: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su valor máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo). n i 1

9 Valor esperado o Esperanza Matemática para variable continua Sea X una variable aleatoria continua con fdp f(x) para todo x real, se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X, a: E(X) x.f(x) dx E(X) existe si x.f(x) dx < Hallar la E(X) para 6x(1-x) si 0 x 1 f(x) 0 enotro caso

10 Propiedades de la E(x) 1) Si X = C entonces E(X) = C 2) E(C.X)= C.E(X) 3) E (X+Y) = E (X) + E(Y) 4) E (X-Y) = E (X) - E(Y) 5) E (X.Y) = E (X). E(Y) si X ey son Variables aleatorias independientes )

11 Propiedades de la varianza 1) Si x = C entonces V(x) = 0 2) V (x+c) = V (x) 2 3) V(cx)=c V(x) 4) V (x+y) =V(x) + V(y) si x e y son variables independientes 5) V (x-y) = V (x) + V (y) si x e y son variables independientes.

12 Otra forma de expresar la varianza Demostrar 2 V( x) E( x ) E x 2 VAD n 2 ( ) ( i ( )). ( i) i 1 V x x E x p x VAC 2 2 V( x) x E( x). f ( x) dx x. f ( x) dx x. f ( x) dx 2

13 Un instrumento electrónico tiene una duración X, (en unidades de 100 hs) que es una VAC con la fdp: f(x) 0 si x 0 -x e si x >0 Suponiendo que el costo de fabricación de tal artículo es $ 20 y que el fabricante vende el artículo por $50, pero garantiza un reembolso total si x < 0,2 y devuelve la mitad si 0,2 < x < 0,4 Cuál es la utilidad neta esperada por artículo?

14 Interpretación Si se produce un gran número de instrumentos electrónicos, perderá $20 alrededor del 18% de las veces, ganará 5 $ alrededor del 15 % de las veces y ganará $30 alrededor del 67% de las veces. El fabricante espera ganar, a la larga, $17,25 por artículo. Ui P(Ui) -20 0,18 5 0, ,67

15 Mediana (me) 1 1 P( X me) P( X me) f(x)dx 2 2 m e Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que x 2 si o < x 1 2 f( x) si 1 < x si x > 2

16 Ejercicio 1. Dada la siguiente función 1 x si 0 x 2 8 f(x)= k si 2< x 5 0 para todo otro valor 2. Hallar el valor de k para que f(x) sea una fdp. 3. Calcular el valor de a tal que P ( x a) 0, Qué medida de posición representa a? Justificar la respuesta.

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