MATEMÁTICAS II PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL

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1 MATEMÁTICAS II PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL 1) PROBABILIDAD Experimentos aleatorios. Concepto de espacio muestral y de suceso elemental. Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan. Definición de probabilidad. Probabilidad de la unión, intersección, diferencia de sucesos y suceso contrario o complementario. Regla de Laplace de asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada. Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes. CONCEPTOS - Experimento aleatorio: su resultado depende del azar - Espacio muestral (E): es el conjunto de todos los resultados posibles. - Suceso A: cualquier colección de resultados posibles Suceso elemental: contiene un único resultado posible Suceso compuesto: contiene más de un resultado Suceso imposible (ʘ): aquel que nunca ocurre p( ʘ ) = 0 Suceso seguro (E): ocurre siempre (coincide con E) p(e) = 1 Suceso contrario o complementario de A: A p(a) = 1 p(a) - Sucesos incompatibles: A y B son incompatibles si no pueden ocurrir simultáneamente p(a B)=0 UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS PROBABILIDAD DE UNIÓN DE SUCESOS P(A B)=P(A) + P(B) P(A B) LEY DE LAPLACE Dado un suceso A perteneciente a un espacio muestral E equiprobale: p(a)= DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS n º resultados favorables a A n º casos posibles - A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra uno de ellos no depende de que haya ocurrido el otro: p(a B)=P(A) P(B) - A y B son dependientes si la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende de que haya ocurrido el otro. En este caso se define la probabilidad condicionada: 1 MPU

2 p(a B)=p(A) p(b/a) p(b A)=p(B) p( A/B) p(a) p(b/a)= p(b) p( A/B) p(a/b)= p(a) p(b/a) P(B) p(b) p(a /B) p(b/ A)= P(A) p(a/b): Probabilidad de A condicionada por B p(b/a): Probabilidad de B condicionada por A TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Dados un suceso B y k sucesos A 1, A 2,... A k incompatibles dos a dos: pertenecientes a un espacio muestral E: p(a i ) p(a j )=0 para todo i j P(B)=P(A 1 ) P(B/A 1 )+ P(A 2 ) P(B/A 2 )+... +P(A k ) P(B/A k ) TEOREMA DE BAYES Dados un suceso B y k sucesos A 1, A 2,... A k incompatibles dos a dos (p(a i ) p(a j )=0 para todo i j) pertenecientes a un espacio muestral E: p(a j /B)= p(a j ) p(b/a j ) p(b) p(a = j ) p(b/a j ) P(A 1 ) P(B/A 1 )+ P(A 2 ) P(B/A 2 )+...+P(A k ) P(B/A k ) 2 MPU

3 2) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL B(n, p) - Es una distribución de probabilidad de variable discreta, x. - x solo puede tomar valores {0, 1, 2, 3..., n-1, n} (x N) - Está asociada a una experiencia dicotómica: en cada experimento sólo hay dos posibles resultados: A= éxito y A = fracaso. - Características: Se repite un experimento n veces de forma idéntica. Cada experimento es independiente de los anteriores (el resultado no depende de lo ocurrido anteriormente) Media (valor esperado o esperanza matemática): μ = n p Varianza: σ 2 =n p q Desviación típica: σ= n p q Probabilidad de éxito Probabilidad de fracaso Nº veces que se realiza el exp. Probabilidad de obtener r éxitos Cálculo de ( n r ) p(a) = p p(a) = 1 p = q n P (x =r)= ( n r ) pr q n r ( n r ) = n! r! (n r)! Ejemplo: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que: a) Salga solo una cara b) Salgan más caras que cruces Solución: Se trata de una B(4; 0,5) ; n = 4; p = 0,5; q = 0,5 a) P (x=1) = ( 4 1 ) (0,5)1 (0,5) 3 = 0,5 b) P (x 3)=P(x=3)+ P (x=4)= ( 4 3 ) (0,5)3 0,5 + ( 4 4) (0,5)4 (0,5) 0 = 0,3125 3) DISTRIBUCIÓN NORMAL N(μ, σ) - Es una distribución de probabilidad de variable continua, x. - x puede tomar cualquier valor (x R) - La distribución de probabilidad se define por medio de una función, llamada función de probabilidad o función de densidad. La campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal, es una función de probabilidad continua y simétrica. Su máximo coincide con la media, μ. Existe una curva normal para cada valor de μ y cada valor de σ, denominada N(μ, σ). En la distribución N(μ, σ) a la variable se le denomina x. Para calcular probabilidades en una distribución normal N(μ, σ), se relaciona N(μ, σ) con N(0, 1). Por tanto, la curva normal que vamos a utilizar es N(0, 1), para la cual se dispone de la tabla de distribución normal N(0, 1). Para establecer la relación adecuada entre N(μ, σ) y N(0, 1), hay que tipificar la variable: El cambio k k μ σ se llama tipificación de la variable. 3 MPU

4 La variable tipificada sigue una distribución N(0, 1). En una distribución N(μ, σ) la variable se designa con x En una distribución N(0, 1) la variable se designa con z - En la tabla de distribución normal N(0, 1) se encuentra directamente la probabilidad P (z k) valores de k de 0 a 3. para - Puesto que: P (z = k) = 0 P (z k )=P(z < k ) - El área bajo la curva es igual a 1. - En la distribución N(0, 1) a la variable se le denomina z. - Para una distribución normal estándar N(0, 1) se usa directamente la tabla para hallar P(z k ) P(z k ) P(z 1'45)= 0'9265 Ejemplos P(z k )=1 P(z k ) P(z 1'45)=1 P(z 1'45)=0'0735 P(z k )=1 P(z k) P(z 1)=1 P(z 1)= 0,1586 P(z 1'45)= 1 P(z 1'45)=0'0735 P(a <z b)= P(z b) P(z a) P(1< z 2)=P(z 2) P(z 1)=0,1359 P( k < z k)=2p(z k) 1 P( 1 < z 1)= 2P(z 1) 1=0,6827 P( 1'33 < z 1'33)= 2 P(z 1'33) 1= 0, Para una distribución N (μ, σ), tipificamos la variable: x k z x μ σ Se utiliza la tabla N(0, 1) para hallar P (x k)= P (z x μ ) σ Ejemplo. Los salarios mensuales de los recién graduados que acceden a su primer empleo se distribuyen según una ley normal de media 1300 y desviación típica 600. Calcular el porcentaje de graduados que cobran: a) Menos de 600 al mes b) Entre 1000 y 1500 al mes c) Más de 2200 al mes Solución: - x: variable aleatoria salarios mensuales, en euros, de los recién graduados en su primer empleo. - La distribución de la variable x es N(1300, 600); x = 1300; σ = Hay que tifificar la variable para obtener las probabilidades a partir de la tabla N(0, 1). a) P(x <600) = P(z < )= P(z < 1,17) =1 P(z 1,17) = 1 0,8970 = 0, Por tanto, el 12,1% de los recién graduados cobra menos de 600 al mes en su primer trabajo b) P(1000 < x 1500)= P( < z < ) = P( 0,5 <z 0,33) = = P(z < 0,33) [1 P(z < 0,5)] = 0,6293 (1 0,6915)= 0,3208 Por tanto, el 32,08% de los recién graduados cobra entre 1000 y 1500 al mes en su primer trabajo. 4 MPU

5 c) P(x >2200)= P(z > )= P(z >1,5) =1 P(z 1,5)= 1 0,9332 = 0, Por tanto, el 6,68% de los recién graduados cobra más de 2200 al mes en su primer trabajo. Intervalos característicos a) Para una distribución normal estándar N(0, 1): Buscamos z α/2 para que se cumpla P( z α/2 < z z α/2 )=1 α O lo que es lo mismo: P (z > z α/2 )= α 2 P (z z α/2 )=1 α 2 Para encontrar z α/2 utilizamos la tabla. El intervalo característico para P = 1 α es ( z α/2, z α/2 ) Ejemplo: Calcular el intervalo característico para el 95% (P = 0,95): 1 α = 0,95 α = 0,05 α 2 =0,025 Buscamos z 0,025 para que cumpla P( z 0,025 < z z 0,025 )=0,95 O lo que es lo mismo: P (z > z 0,025 )=0,025 P (z z 0,025 )=0,975 Para encontrar z α/2 utilizamos la tabla: z 0,025 =1,96 Por tanto, el intervalo característico para el 95% es (-1,96; 1,96) b) Para una distribución N (μ, σ) : Buscamos el intervalo correspondiente para N(0, 1): ( z α /2, z α/2 ) Tipificamos y el intervalo resulta ser: (μ z α/2 σ, μ +z α/2 σ) - MUESTREO ESTADÍSTICO. POBLACIÓN Y MUESTRA Conceptos: - Población: Conjunto de todos los elementos objeto del estudio estadístico. - Muestra: Subconjunto de la población que es analizada. - Muestreo: Proceso que consiste en seleccionar una muestra de la población con el fin de obtener parámetros estadísticos sobre la población. Los resultados de un estudio por muestreo siempre tienen un nivel de incertidumbre debido, por un lado, a que solo una parte de la población (la muestra) ha sido analizada y, por otro, a los posibles errores cometidos en la medición de las respuestas. POBLACIÓN Conocemos μ y σ MUESTRA de tamaño n Se deducen datos sobre la distribución de las medias de las muestras Si la población es N (μ, σ) Si la población no es N (μ, σ) La muestra es N ( μ, pero n 30 σ n ) Ejemplo: El cociente intelectual del alumnado de un centro se distribuye según una distribución normal N(110, 15). Extraemos una muestra aleatoria de 36 alumnos/as. Cuál es la probabilidad de que el C.I. medio de la muestra sea superior a 115? Solución: 5 MPU

6 - La población sigue una distribución normal N(110, 15) La muestra es N(110, 15 ) = N(110; 2,5) 36 P( x >115)= P(z > )= P(z > 2)=1 P(z < 2) = 1 0,9772 = 0,0228 2,5 INFERENCIA ESTADÍSTICA MUESTRA de tamaño n Se conoce la media muestral x y a veces la desviación típica de la muestra s (este dato no siempre es necesario) POBLACIÓN Se desconoce la media poblacional μ Se suele conocer la desviación típica de la población σ (Si no se conoce σ, utilizamos s) Se realizan estimaciones de la media poblacional a partir de los datos de la muestra. Dicha estimación tiene un determinado nivel de confianza. La media poblacional no se puede conocer con exactitud. Lo que se puede realizar es una estimación de la media poblacional a partir de los datos de la muestra con un determinado nivel de confianza. Nivel de confianza para la media poblacional (μ): Es el grado de certeza (o probabilidad), con el que queremos realizar la estimación de μ a partir de la muestra. Nivel de confianza: (1 α) 100% Intervalo de confianza para la media: ( x z α/2 σ n, x +z α /2 σ n ) del (1 α) 100% de que este intervalo contiene a μ. significa que tenemos una confianza Conocemos los datos: - De la MUESTRA: Su tamaño (n), la media muestral ( x ), y la desviación típica de la muestra (s). (Este dato no siempre es necesario). - De la POBLACIÓN: La desviación típica de la población (σ ). Si no se conoce σ utilizamos s Podemos hacer una estimación del valor de la media poblacional (μ): Hay una confianza de (1 α ) 100% de que el intervalo ( x z α/2 σ n, x +z α /2 σ n ) contiene a la media poblacional (μ). Error máximo admisible: E =z α /2 σ n Es la longitud del intervalo de confianza Si conocemos E podemos calcular: n, si conocemos 1 α (con 1 α calculamos z α/2 ) 1 α, si conocemos n (despejamos z α/2 utilizando la tabla 1 α) Cálculo de z α/2 buscando en la tabla N(0,1): - Para un nivel de confianza del 95% 1 α = 0,95 α = 0,05 α/2 = 0,025 - Buscamos z 0,025 para que se cumpla P( z 0,025 < z < z 0,025 ) = 0,95 P( z 0,025 < z < z 0,025 ) = 0,95 2P(z < z 0,025 ) 1 = 0,95 P(z < z 0,025 )= 1,95 2 P(z < z 0,025 )= 0,975 Por tanto: z 0,025 = 1,96 6 MPU

7 Ejemplo: Para estimar el peso medio de las chicas de 16 años de una ciudad se toma una muestra aleatoria de 100 de ellas obteniéndose los siguientes parámetros: x = 52, 5 kg y s = 5,3 kg Calcula un intervalo con nivel de confianza del 95% para el peso medio de las chicas de 16 años de la ciudad. Solución: 1 α = 0,95 α = 0,05 α/2 = 0,025 Buscamos z 0,025 utilizando la tabla N(0, 1): z 0,025 = 1,96 Intervalo pedido: (52,5 1,96 5,3 5,3, 52,5 +1,96 )=(51'46, 53'54) Tenemos un nivel de confianza del 95% de que el peso medio de las chicas de 16 años de esa ciudad está entre los 51'46 kg y los 53'54 kg. Ejemplos de cálculo de z α/2 - Cálculo de z α/2 para el nivel confianza del 90% : Nivel de confianza del 90% 1 α= 0,90 α= 0,1 α 2 =0,05 1 α 2 = 0,95 Buscamos en la tabla el valor de z que deja a la izquierda una probabilidad de 0,95 z α/2 =1'645 - Cálculo de z α/2 para el nivel confianza del 99% : Nivel de confianza del 99% 1 α=0,99 α=0,01 α 2 =0,005 1 α 2 =0,995 Buscamos en la tabla el valor de z que deja a la izquierda una probabilidad de 0,95 z α/2 =2'575 - Niveles de confianza más usados: 1 α α z α/2 0'90 0'10 1'645 0'95 0'05 1'96 0'99 0'01 2'575 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SE APROXIMA A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 7 MPU

8 Regla para calcular probabilidades mediante la aproximación de una binomial a una normal Si x es B (n, p) y x' es N(np, npq ), entonces: P (x = r ) = P (r 0,5 < x' < r + 0,5) Ejemplo: El 2% de los tornillos fabricados por una máquina son defectuosos. Calcula la probabilidad de que en un lote de de 2000 tornillos haya menos de 50 defectuosos. Solución: Es una binomial B(2000; 0,02); n = 2000; p = 0,02; q = 0,98 μ = np = 40 ; σ= npq =6,26 No es operativo el cálculo de la probabilidad pedida utilizando la fórmula de la distribución binomial. Puesto que np = 40 > 5 y nq = 1960 > 5 se puede asegurar que se aproxima a la normal N(40, 6,26) x es B(2000; 0,02) x' es N(40, 6,26) z es N(0, 1) P(x <50)= P(x' 49,5) = P(z 49,5 40 ) = P(z 1,52) = 0,9357 6,26 8 MPU