Junio 2009 BLOQUE A. 5 x + 3 y con las restricciones siguientes: x y

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1 Junio 9 BLOQUE A Problema A Sea x el número de bolsas del tipo A e y el número de bolsas del tipo B. Teniendo en cuenta los datos del problema podemos construir la siguiente tabla: Bolsa del tipo A Bolsa del tipo B Total Cantidad x y Naranjas Manzanas Peras La función objetivo a maximizar es: F ( x, y ) = x y con las restricciones siguientes: x y x y y x y Representamos gráficamente las rectas x y = x y = y = Calculamos los puntos de corte de las rectas correspondientes a los vértices de la región factible. y = x y = A (, ) B(, ) C(, ) D (,) x y = x y = I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

2 Sustituyendo A, B, C y D en la función objetivo obtenemos: F (, ) = = 69 F (, ) = = 79 F (, ) = = 8 F (,) = = El máximo se alcanza en el punto C, por lo que hay que preparar bolsas del tipo A y bolsas del tipo B para obtener una ganancia máxima de 8. Problema A Aplicando el método de Gauss al sistema de ecuaciones lineales tenemos: x y z = x z = x y 7z = 7 F F F F 6 F F La tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras, por lo que podemos eliminarla. El sistema es Compatible e Indeterminado. Las soluciones se obtienen resolviendo el sistema formado por las dos primeras ecuaciones. x y z = x z = z= t x y = t x = t x = t y = t z = t La solución general es t, t, t Si ( x, y,) es una solución, quiere decir que t =, por lo que BLOQUE B x = e y =. Problema B a) En cada uno de los tres tramos la función es continua ya son funciones polinómicas. Estudiaremos lo que sucede en los puntos x = y x =. Continuidad en x = f ( ) = = lim x lim x ( x) = (x ) = Como lim f (x) lim f (x) x x / lim f (x) x La función presenta en x = una discontinuidad de salto finito. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

3 Continuidad en x = f () = 6 = lim (x ) = x lim (x x 6) = x Como lim f (x) x lim f (x) x / lim f (x) x La función presenta en x = una discontinuidad de salto finito. Conclusión: La función es continua x ], [ ], [ ],6 [ b) El área que nos piden es la representada a continuación. ( x ) dx (x x 6) dx = x x x x 6x = 9 ) 6 6 = 6 = 9 8u Problema B [ ] R a) D f (x) = x, por ser una función polinómica. x = Cortes con OX y = x 6x = x(x 6) = x = x = Corta al eje de abscisas en los puntos (,),( 6,) y ( 6,) 6 6 Corte con OY x = y =. Corta al eje de ordenadas en el punto (,). I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

4 b) No tiene asíntotas horizontales ya que lim (x 6x) = y lim (x 6x) = No tiene asíntotas verticales ya que x Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. x / a R tal que lim(x 6x) = ± x a c) f (x) = x 6 = x = x = f ( ) > f () < f () > La función es creciente x ], [ ], [ La función es decreciente x ], [ d) Como se observa en el diagrama anterior en x = hay un máximo relativo y en x = hay un mínimo relativo. Hay un máximo relativo en el punto (,f ( )) (, 6) Hay un mínimo relativo en el punto (,f ( )) (, 6) e) La representación gráfica de la función es: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

5 BLOQUE C Problema C Sea A el suceso correspondiente al grupo de alumnos de bachillerato que les gusta el grupo musical A y sea B el suceso correspondiente al grupo de alumnos de bachillerato que les gusta el grupo musical B. Según los datos del problema tenemos: p(a) = p(a) = 8 p(b) = p(b) = p(a B) = a) Tenemos que calcular p(a B p ( A B) = p (A) p(b) p (A B) Sabemos por las Leyes de Morgan que p( A B) = p( A B) p p( A B) = p(a) p (B) p (A B) ( A B) = p( A B) = p(a B) = p(a B) = = 7 p ( A B) = 7 = b) Tenemos que calcular p ( A B) y sabemos que p ( A B) = 7, como hemos visto en el apartado anterior. c) Nos piden p( A B) p ( B A) = p(b A) = p(b) p(a B) = = Problema C Sean los sucesos: H ser hombre, M ser mujer, A gana el candidato A y B gana el candidato B. Representando los datos mediante un diagrama en árbol tenemos: Del enunciado del problema conocemos los siguientes datos: p ( H) = p ( M) = 8 p (A M) p ( A / M ) = = 7 p (M) p (B H) p ( B / H ) = = p (H) a) Nos piden calcular p ( M / B). Utilizando la fórmula de Bayes tenemos: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

6 p ( M / B) b) Nos piden calcular p( M A ) p(a) p ( M p (M) p(b / M) 8 = = = 7 p (H) p(b / H) p (M) p(b / M) 8 p ( M A ) = p (M) p (A) p (M A) = p(h) p( A / H ) p(m) p( A / M ) p (M A) = p(m) p ( A / M ) A ) = p (M) p(h) p ( A / H ) p(m) p ( A / M ) p(m) p ( A / M ) p ( M A ) = p(m) p(h) p( A / H ) = 8 6 = 88 BLOQUE D Problema D x f (x) = 8 x x ( x ) x x ( x ) a) f (x) = = ( x ) ( x ) x = x = por ser x f ( ) > f () < El rendimiento crece x ],[ y decrece x ], [ año y decrece a continuación, es decir, crece durante el primer b) El rendimiento máximo se alcanza al cabo de un año y es de f () =, es decir, el punto de rendimiento máximo es: P (,) x c) Veamos la asíntota horizontal: lim 8 = 8 x x el rendimiento nunca puede ser menor que el que tenía el producto ini- Como f () = 8 cialmente. I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez

7 Problema D f (x) = x a) f (x) = x x 7 x = x = x = f (x) = 6x f ( ) = < f () = > f (x) tiene un Mínimo relativo en el punto (,f ()) es decir (, 9). f (x) tiene un Máximo relativo en el punto (,f ( ) ) es decir (,). b) En el intervalo ],[ f ( ) = 6 y f () =, por tanto el Mínimo absoluto es (, 9) y el Máximo (,). c) En el intervalo ], [ f ( ) = 9 y f () =, por tanto en (, 9) y (, 9) hay Mínimos absolutos y en (,) y (,) hay dos Máximos absolutos. d) En el intervalo ],[ f ( ) = 8 y f () = 7, por tanto en (, 8) hay un Mínimo absoluto y en (,7) hay un Máximo absoluto. I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

8 I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez