MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I. 1. Comparación de capitales
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- María Rosario Bustamante
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1 Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Febrero Primera Semana Material Auxiliar: Calculadora financiera 1. Comparación de capitales MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I 30 de Enero de ,00 horas Duración: 2 horas a) Cuando se utilizan leyes financieras de capitalización hay dos magnitudes derivadas que tienen cierta similitud conceptual pero que son diferentes: el tanto y el tanto instantáneo. Explicar razonadamente la diferencia entre ellas. (1,5 puntos). Un capital de cuantía C se coloca hoy en capitalización compuesta a un tanto i = 5% anual. Obtener razonadamente cuánto tiempo ha de transcurrir (en años, meses y días) para que el citado capital se duplique. (1,5 puntos). 2. Rentas a) Concepto de renta financiera. Representarla gráficamente detallando como se denominan los momentos más destacados. Poner 3 ejemplos de rentas. (1,5 puntos). Al analizar la secuencia de pagos y cobros de un proyecto de inversión se realizan las siguientes estimaciones: Los cobros se producirán a partir del tercer año desde el origen o inicio de la inversión (los dos primeros años no hay cobros) con carácter pospagable y periodicidad mensual, creciendo anualmente de forma acumulativa (en progresión geométrica) al 3%. Los ingresos estimados para el primer año (tercero desde el momento inicial) son de cuantía euros mensuales. Los pagos son de cuantía constante y pospagable: 1) euros trimestrales durante los 4 primeros años y 2) euros, también trimestrales, durante los 6 últimos. El desembolso inicial que requiere esta inversión es de un millón de euros. El horizonte económico del estudio es de 10 años. El proyecto se valora a un tanto efectivo anual del 8%. Obtener razonadamente: Valor actual de los cobros. (1 punto). b2) Valor actual de los pagos. (1 punto). b3) VAN (valor actual neto) de este proyecto de inversión. (0,5 puntos). 3. Operaciones a corto plazo a) Valores mobiliarios. Rentabilidad por dividendos o intereses: Explicar cómo se obtienen las rentabilidades bruta y neta, así como la nominal y la efectiva. (1 punto). Descuento de papel comercial. La empresa Z ha girado el 10 de octubre una letra de nominal euros con vencimiento el 29 de diciembre y hoy, 15 de octubre, la negocia en su banco obteniendo una cuantía efectiva de ,50 euros. La comisión de cobranza que aplica el banco es el 6 con un mínimo de 6 euros y el timbre de la letra importa 33,66 euros. Obtener razonadamente: Tanto de descuento comercial que ha aplicado el banco. (1 punto). b2) TAE que resulta para esta letra y TAEC para el cliente. (1 punto).
2 Solución Febrero 09 - Primera Semana 1. a) Teoría z z Ln 2 M = C L(1+i) 2C = C (1+0,05) z = =14,2 años Ln 1,05 2. a) Teoría V 1,03 1-0,08 1,08 = (1+0,08) A( ;1,03) =1, == ,8 12 (1,08-1) 1,08-1,03 Cobros ,08 1/12 8 a a Pagos b2) /4 i4 = (1+ 0,08) = 1 0, , V = (1+0,019426) = ,83 euros Cobros Pagos b3) VAN = V0 - V0 -Desembolso inicial = ,97 euros 3. a) Teoría b2) n 75 E = N 1- d - g - G ,5 = d - 0,006 d = 0, E = E + g =11.665,5 + 6 =11.671,5 min 360/n 360/75 * 90/360 * N E ( 1+i ) = N i = -1= -1= 0,14 E ,5 ( ) ( ) n/365 75/365 L 1+ TAEC = N (11.665,5-33,66) 1+ TAEC = TAEC = 0,16
3 Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Febrero Segunda Semana Material Auxiliar: Calculadora financiera MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I 13 de Febrero de ,00 horas Duración: 2 horas 1. a) Cuando se utilizan leyes financieras de capitalización hay tres magnitudes derivadas que tienen cierta similitud conceptual pero que son diferentes: el rédito, el tanto y el interés. Explicar razonadamente la diferencia entre ellas. (1,5 puntos). Vencimiento medio: Se ha de pagar una letra de euros con vencimiento dentro de 120 días. Previendo que no se disponga de la cuantía suficiente en esa fecha, se acuerda, hoy (13/02/09), con el acreedor, desdoblarlo en tres pagos: el primero de euros con vencimiento a los 80 días, el segundo de otros euros con vencimiento dentro de 120 días y el tercero por la cuantía y vencimiento que corresponda de acuerdo con la regla del vencimiento medio. Obtener razonadamente la cuantía y el vencimiento del tercer capital (número de días y fecha de pago). (1,5 puntos). 2. Rentas a) Teoría: Explicar detalladamente cómo se obtiene el valor actual de una renta constante, perpetua y prepagable. (1,5 puntos). Práctica: Una persona está efectuando aportaciones mensuales constantes y prepagables durante 8 años en una entidad financiera que le abona intereses a un tanto nominal J 12 = 4,5% con objeto de formar un capital de euros. Cuando han transcurrido los 3 primeros años la entidad financiera reduce el tipo de interés al 3,75% nominal. Determinar razonadamente: Cuantía mensual que aportará de acuerdo con las condiciones iniciales. (1 punto). b2) Montante que ha formado después de transcurridos los 3 primeros años. (0,5 puntos). b3) Cuantía mensual que ha de aportar a partir del 4º año (momento en el que se produce el cambio de tipo) para alcanzar el mismo objetivo de formar los euros. (1 punto). 3. a) Operaciones con pacto de recompra. Características, modalidades y ecuaciones para su valoración. (1 punto). Valores mobiliarios: Un inversor ha comprado hace 4 meses acciones del Banco de Santander, de nominal 0,5 euros, a un precio de 16,78 euros cada una efectuando un desembolso total de ,13 euros y ahora las vende. Sabiendo que en este intervalo ha percibido 0,5 euros por acción en concepto de dividendo y que ha de pagar una comisión de custodia del 2 del nominal de cada acción por cada semestre o fracción, así como una comisión del 3,5 a su Agencia de Valores y un canon de 20 euros tanto a la compra como a la venta, determinar razonadamente: Número de acciones que ha comprado y precio bursátil al que las ha vendido sabiendo que recibe una cuantía neta a la venta de ,53 euros. (1 punto). b2) Rentabilidad nominal bruta por dividendo y rentabilidad efectiva neta total que ha obtenido en esta inversión sabiendo que el tipo impositivo en el IRPF es del 42%. Obtener también la rentabilidad anualizada en este último caso. (1 punto).
4 Solución Febrero 09 Segunda Semana 1. a) Teoría S = C + C + C = C C = C1 t1+ C2 t2 + C3 t t3 τ = 120 = t 3 =150 días 13 de julio C + C a) Teoría S S i ,045 i12 = = 0, V = C = C C = 864,1euros 36 (1+0,00375) -1 b2) V 36 = 864,1 S 36 0,00375 = 864,1 (1+0,00375) = ,19 euros 0,00375 b3) 60 0, = , C S C = 904,39 euros ,0375 =0, a) Teoría E = N P (1+c ) + c ,13 = N 16,78 (1+0,0035) + 20 N = acciones c 0 a E = N P (1- c ) c ,53 = P (1-0,0035) 20 P =17,036 v 0 a b2) Dividendos D 0,5 r nb = = =1 100% C 0, , ,13 v c (0,5-0,002 0,5)+ - (1-0,42) (D - c Total m C)+(Pe -P e ) (1- t) r ne = = = 0,0218 c P ,13 e rentabilidad anualizada = 0,0218 = 0,0653 4
5 Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Septiembre Principal Material Auxiliar: Calculadora financiera MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I 2 de Septiembre de ,00 horas Duración: 2 horas 1. a) Leyes financieras estacionarias: (1,5 puntos). Definición Expresión matemática. Condición necesaria y suficiente de estacionariedad. Un ahorrador dispone de cien mil euros y los deposita en una entidad financiera el 2 de junio, de manera que retirará el montante al finalizar el año (el 31 de diciembre). Se acuerda que una parte se coloque al 4% anual y el resto al 5% anual. Sabiendo que el montante que retirará importa ,889 euros y que se aplica el formato n (exacto)/360 (días reales en el numerador y año comercial en el denominador), obtener razonadamente la cuantía que se ha colocado a cada tanto si se utiliza como ley financiera de valoración la capitalización simple. (1,5 puntos). 2. Como consecuencia del acuerdo alcanzado entre el comprador y el vendedor de un activo, aquel (el comprador) se compromete a pagar a partir de este momento y durante los próximos 10 años una renta variable en progresión geométrica mensual y prepagable que crecerá anualmente al 3% siendo los pagos mensuales durante el primer año de cuantía euros. A continuación y durante los 6 años siguientes se compromete a pagar una renta euros trimestrales constantes y prepagables. Sabiendo que se ha aplicado el descuento compuesto a un tanto efectivo del 6% anual, obtener razonadamente el precio al que se ha vendido el citado activo (detallar los resultados de los cálculos parciales que vaya realizando). (3,5 puntos). 3. a) Saldo financiero de una operación: Concepto. Describir los métodos que pueden aplicarse para su obtención. (1,5 puntos). Una cuenta corriente bancaria ha tenido los siguientes movimientos durante el 2º semestre Fecha Concepto Cuantías Valor Debe Haber 01/09 Ingreso de apertura /09 04/10 Transferencia a s/favor /10 25/10 Compra de valores /10 30/10 Ingreso nómina /10 16/11 Cheque nº /11 09/12 Recibo domiciliado /12 La cuenta se liquida semestralmente y el tipo de interés para los saldos acreedores es el 1% anual. Para los saldos deudores (descubiertos en la cuenta) se carga un tipo de interés del 10% y una comisión del 1% sobre el mayor descubierto que se haya producido en el semestre. La retención impositiva es el 15% del importe de los intereses acreedores. Obtener razonadamente el saldo de la cuenta corriente al 31/12 por el método hamburgués. (2 puntos).
6 Solución Septiembre a) Teoría ,889 = X 1+0,04 +( X) 1+0, X = euros se han invertido al 4% Es decir : se han invertido al 5% 2. Primer tramo : 10 1, (12) 0,06 1/12 1,06 V 0 = A( ;1,03) 10 0,06 = (1+0,06) = ,22 1/ ,06-1 1,06-1,03 Segundo tramo : a 24 1/4 i4 = 1,06-1= 0, V = (1+0,06) = ,1 El precio del activo será : V + V = , ,1= ,32 3. a) Teoría Concepto Sumas Com. Descubto 1 Ints. deudores 2 Ints. acreedores 3 Retención IRPF 4 Saldo final Cuantías Saldos Números Valor Días Debe Haber Debe Haber Debe Haber ,66 1,33 595, , /09 05/10 25/10 31/10 16/11 09/ : Comisión Descubierto: ,01 = : Intereses deudores: I d = =1, : Intereses acreedores: I a = = 8, : Retención IRPF: 8,89 0,15 = 1,33
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I. 1. a) Capital financiero. Concepto. Componentes. Representación gráfica. (1 punto).
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