La relación entre la altura de caída y el tiempo que tarda en rebotar 6 veces una pelota

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1 La relación entre la altura de caída y el tiempo que tarda en rebotar 6 veces una pelota INTRODUCCIÓN En este experimento voy a relacionar el tiempo que tarda una pelota en rebotar 6 veces desde distintas alturas de caída. Altura de caída Pelota Puesta en marcha del cronómetro Parada del cronómetro Tiempo Mis variables son la altura, el tiempo de los rebotes, la masa de la pelota, la superficie en que rebota y el número de rebotes. La variable independiente es la altura de caída A porque yo la elijo. La variable dependiente es el tiempo de los rebotes T porque depende de la altura de caída. Las constantes deben ser la masa de la pelota, la superficie en la que rebota, y el número de rebotes porque van a ser los mismos durante todo el experimento. La pregunta es cómo se relaciona el tiempo de seis rebotes con la altura de caída. Buscaré una relación lineal de proporcionalidad entre las variables independiente y dependiente. Mi idea es que si la altura aumenta, el tiempo aumentará. Si no se cumple este resultado trazaré las gráficas de lo que sea necesario para hallar la relación. 1

2 Tiempo de seis rebotes en función de la altura de caída Por tanto, la función de esta gráfica debería ser T = ma donde T es el tiempo, m el gradiente y A la altura. DISEÑO El método para realizar este experimento es fácil y simple. El equipo y los materiales que emplearé son: una pelota, un cronómetro, una regla de metro, la superficie del suelo, una mesa y materiales para escribir. Cuando tenga todo esto, comenzaré midiendo la variable independiente. Utilizaré la pata de una mesa y marcaré ligeramente sobre ella diferentes alturas con la regla. Comenzaré con 20, después 30, 40, 50, 60 y utilizaré la altura de la mesa y también la regla. Para realizar el experimento colocaré la regla horizontalmente a la marca de la mesa y en el extremo de la regla pondré la pelota. Entonces dejaré que la pelota caiga, por lo que ahora voy a explicar cómo mediré el tiempo (variable dependiente). Cuando la pelota esté en la regla estaré listo con el cronómetro en la mano. Dejaré caer la pelota desde la regla y presionaré el botón del cronómetro en ese mismo momento para comenzar a cronometrar. Observaré y escucharé que la pelota rebote 6 veces. En el momento del 6º rebote pararé el cronómetro. Además explicaré cómo voy a mantener controlada la variable. La superficie que elegiré será el suelo del aula y la pelota será una pelota llamativa y por tanto no la perderé de vista. A Mesa de laboratorio Pelota Regla de metro Suelo 2

3 Otra cuestión es cuántas veces mediré las variables. Mediré el tiempo de los seis rebotes cuatro veces para cada altura diferente y entonces tomaré el promedio. Para medir la altura lo repetiré 3 veces y tomaré el promedio. Voy a tomar 7 valores diferentes desde los 20 cm de la altura menor hasta los 100 cm de la mayor. DATOS Y ANÁLISIS Realizados todos los procesos debo medir y escribir los valores, por tanto preparo esta tabla de datos brutos. Datos brutos # Altura de caída A (cm) Incertidumbre ± 0,2 cm Tiempo de 6 rebotes T (s) Incertidumbre ± 0,2 s 1 20,0 19,0 20,0 1,68 1,78 1,79 1, ,0 30,0 29,5 1,97 2,10 2,34 2, ,0 40,0 39,0 2,35 2,46 2,75 2, ,0 50,5 50,5 2,72 2,73 2,72 2, ,0 60,1 60,6 3,19 3,01 3,09 3, ,5 77,9 77,2 3,32 3,28 3,59 3, ,3 100,9 4,03 4,00 3,97 4,03 Estimo que la incertidumbre en la altura es aproximadamente 0,2 cm. La incertidumbre en el tiempo de rebote es más difícil de calcular. Tomando la diferencia entre el mayor y el menor tiempo para cada altura encuentro el intervalo de incertidumbre. Esto es 0,22 s, 0,37 s, 0,42 s, 0,01 s, 0,18 s, 0,31 s y 0,06 s. El promedio de estos valores es 0,22 s, así que la mitad del rango es 0,11 s o ±0,1 s. Pero esto es demasiado preciso si tenemos en cuenta que cinco de los intervalos son mucho mayores, así que es mejor afirmar que la incertidumbre en tiempo es de ±0,2 s. Esto parece razonable. Por cierto, primero dibujé un gráfico con barras de incertidumbre de ±0,1 s y la recta de mejor ajuste no cortaba muchos de los rangos de incertidumbre, por lo que 0,2 segundos resulta mejor. Ahora necesito procesar los datos para calcular promedios. A1 + A2 + A3 Para la altura, Am =. Esto se hizo con una calculadora. Decidí mantener aquí la 3 incertidumbre en ±0,2 cm o ±0,002 m. También transformé la altura de cm a m. T1 + T2 + T3 + T4 Para los tiempos, Tm = y se hizo con calculadora. El promedio debería reducir la 4 incertidumbre pero debido a la variación en el rango de incertidumbre de las diferentes alturas, decidí mantener la incertidumbre en el tiempo como ±0,2 s.

4 Mantendré los números con tres cifras decimales aunque la incertidumbre sea únicamente de un decimal porque redondearé los números sólo al final. Datos procesados / Promedios # Altura promedio A (m) A = ± 0,002 m Tiempo promedio de 6 rebotes, T (s) T = ± 0,2 s 1 0,196 1,705 1,7 2 0,298 2,170 2,2 3 0,400 2,580 2,6 4 0,503 2,722 2,7 5 0,605 3,110 3,1 6 0,772 3,380 3,2 7 1,004 4,007 4,0 Ahora construyo una gráfica del tiempo en función de la altura. La incertidumbre en la altura es relativamente pequeña, así que la ignoraré, mientras que la incertidumbre en el tiempo es más significativa así que mostraré las barras de error para el tiempo.

5 Tiempo de seis rebotes en función de la altura de caída Tiempo (s) Ajuste lineal para: Conjunto de datos Tiempo t = ma+b m (Pendiente): 2,71 s/m b (Intersección Y): 1,35 s Correlación: 0,989 Error cuadrático medio: 0,122 0,0 0,5 1,0 Altura (m) Tiempo de seis rebotes en función de la altura de caída / Pendientes mín. y máx. Máx. pendiente (s) Mín. pendiente (s) Tiempo (s) Ajuste lineal para: Conjunto de datos Pendiente máx y = ma+b m (Pendiente): 3,34 s/m b (Intersección Y): 0,850 s Correlación: 1,00 Error cuadrático medio: 0 Ajuste lineal para: Conjunto de datos Pendiente mín y = ma+b m (Pendiente): 2,35 s/m b (Intersección Y): 1,44 s Correlación: 1,00 Error cuadrático medio: 0 0,0 0,5 1,0 Altura (m)

6 El gradiente de la recta de mejor ajuste m Mejor = 2,71, el gradiente máximo m Máx = 3,43 y el gradiente mínimo m Mín = 2,35. El rango es: m Máx m Mín = 3,43 2,35 = 1,08 La mitad de este rango es la incertidumbre de la recta de mejor ajuste. 1,08 mmejor = ± = ± 0,54 ± 0,5 2 Así, el gradiente y su incertidumbre son m Mejor = 2,71 ± 0,495 2,7 ± 0,5 La incertidumbre dividida entre el gradiente y multiplicada por 100 nos da un error de aproximadamente 19%, y eso no es bueno. La correlación entre T y A resulta dudosa. La ecuación general y = mx + c particularizada para mis datos es T = m A + c donde la constante de proporcionalidad es m Mejor 2,7 ± 0,5 y el desplazamiento sistemático en la línea es c, donde c = 1,19 s. Mi pregunta de investigación indicaba que c = 0, pero esto no es cierto. Examinemos los datos con más detalle. ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS Veo que la intersección con el eje y, para altura cero, es en el instante 1,35 s. Esto es imposible, por lo que el desplazamiento sistemático debe tener algún significado. Quizás el tiempo desde que se deja caer hasta el primer rebote afecta a todos los puntos. 1 2 Así, utilizando el tiempo teórico de A = caída 2 gt para 2A tcaída =, calculé con el programa g gráfico los tiempos de rebote revisados como t revisado = T 9,81 m s 2. Esta es la gráfica. 2A g donde g es la gravedad

7 Tiempo ajustado de rebotes en función de la altura Tiempo de rebote (s) Ajuste lineal para: Conjunto de datos Tiempo de rebote y = ma+b m (Pendiente): 2,40 s/m b (Intersección Y): 1,19 s Correlación: 0,988 Error cuadrático medio: 0,114 0,0 0,5 1,0 Altura (m) La desviación en el eje y es aún significativa, alrededor de 1,19 s, comparada con la de la gráfica previa de 1,35 s. Debe haber algún otro problema teórico. Observando de cerca los puntos y sabiendo que el tiempo debe ser cero para altura cero, podría sugerir una tendencia curva en los datos. Tal vez la verdadera forma de la gráfica no sea una línea recta. A continuación, pruebo logaritmos para hallar la relación entre el tiempo y la altura. El software gráfico lo hace una vez que defino los términos. 7

8 Log Tiempo 0,6 0,5 0,4 Log Tiempo en función de Log Altura Ajuste lineal para: Conjunto de datos Log Tiempo y = mx+b m (Pendiente): 0,506 b (Intersección Y): 0,597 Correlación: 0,996 Error cuadrático medio: 0,0114 0,3-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 Log Altura Este es un muy buen resultado. Hay una alta correlación de 0,996 y el gradiente es 0,506 o aproximadamente 0,5. El gradiente es el exponente n y la constante de proporcionalidad es ahora k. n T = ka logt = log k + n log A Con los logaritmos, podemos decir que n = 0,5 o T A 0,5 es decir T A o T 2 A. La siguiente es una gráfica del cuadrado del tiempo en función de la altura.

9 Tiempo al cuadrado en función de la altura Tiempo al cuadrado (s 2 ) Ajuste lineal para: Conjunto de datos Tiempo al cuadrado y = ma+b m (Pendiente): 15,7 s 2 /m b (Intersección Y): -0,0713 s 2 Correlación: 0,996 Error cuadrático medio: 0,442 0,0 0,5 1,0 Altura (m) Esto es genial. La recta de mejor ajuste pasa cercana al origen con una desviación de sólo 0,07 s 2. Podemos pasar por alto este error experimental. Además, la correlación es 0,996, ligeramente mejor que en los otros gráficos. Creo que es posible afirmar con seguridad que mis datos demuestran que T 2 = ma y no T = ma.

10 CONCLUSIÓN En mi conclusión voy a relacionar lo que hallé con lo que esperaba hallar. Mi experimento investigaba la relación entre el tiempo que tarda una pelota en dar 6 rebotes como función de la altura de caída. Cuando la altura aumenta esperaba que el tiempo aumentase. Mi gráfica mostraba esto. La gráfica era lineal pero no pasaba por el origen. Sospeché que había algún error sistemático en la teoría. Aunque era más o menos correcto, advertí una tendencia en la gráfica como si los datos formaran alguna especie de curva. Tracé el gráfico del log del tiempo frente al log de la altura y vi que la gráfica del cuadrado del tiempo frente a la altura era una línea recta mucho mejor y que pasaba por el origen. Por lo tanto, mi idea original era incorrecta e hice un nuevo descubrimiento, a saber que el cuadrado del tiempo es proporcional a la altura de caída. El problema más importante está en la tendencia de los datos tal como se ven distribuidos sobre la gráfica. Para mejorar la calidad de los datos y por tanto hallar mejor la tendencia correcta, consideraría los siguientes puntos. Construiría un mecanismo mejor para soltar la pelota, y no lo haría a mano. Quizás una abrazadera y un soporte, de modo que cuando se abriera la abrazadera dejase la pelota sin ningún giro o rotación y el soporte permitiría repetir las caídas desde exactamente la misma altura. Existe una dificultad al medir el tiempo de 6 rebotes. Podría usar un ordenador y un equipo de registro de datos para grabar el sonido al mismo tiempo. Los rebotes se reflejarían como picos en el nivel de sonido, y los tiempos serían más exactos. Esto supondría una gran mejora. Me gustaría disponer de un rango más amplio de datos, quizás hasta 1,60 metros. También querría graficar más puntos dentro de ese rango, digamos cada 10 cm. Quizás la pelota que rebota pudiera meterse en una caja cerrada para evitar que se mueva hacia un lado. Sin embargo, ésta podría tomar también energía de la pelota e invalidar mis datos. No hay respuesta conocida en los libros sobre la relación entre el tiempo del tiempo de un cierto número de rebotes y la altura de caída, pero mi descubrimiento de T 2 a debe estar oculto en la teoría del movimiento de caída libre y en las ecuaciones que aprendemos en clase. Sabemos (para aceleración uniforme) que la velocidad de impacto es proporcional a la raíz cuadrada de la altura de caída, y que el tiempo de rebote debería ser proporcional a la velocidad de impacto. 10

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