Parcial I Cálculo Vectorial

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María Cristina Navarrete Ortega
hace 8 años
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1 Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es un cono. (ii) Si r(t) =, cos t, sen t es una función vectorial que describe la posición de un cuerpo en cada instante de tiempo, entonces tal cuerpo se mueve con aceleración normal constante. (iii) La longitud de la hélice r(t) = cos t, sen t, t entre t = y t = π es π. ( Puntos) II. Sea Π 1 el plano x y+z = en R 3 y considere el punto P 1 = (, 1, ) Π 1. (i) Encuentre la ecuación del plano Π que es paralelo al plano Π 1 y pasa por el origen. Haga una gráfica. (ii) Encuentre la ecuación de la recta L que contiene los puntos P 1 y P = (, 1, ) Π. Haga una gráfica. (iii) Encuentre la distancia entre los planos Π 1 y Π. ( Puntos) III. El cilindro parabólico y = x intersecta el elipsoide x + y + z = en una curva. (i) Escriba una función vectorial que parametrice la curva de intersección. gráfica. Haga una (ii) Encuentre los vectores tangente unitario, normal y binormal a tal curva en el punto (,, ). (iii) Encuentre la curvatura de la curva en el mismo punto. I. Solución (i) Verdadero. En R 3 la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas, representa todos los puntos del espacio para los cuales tanto el radio (la distancia al origen) como la ccordenada θ (el ángulo de la proyección del punto con el eje x) son arbitrarios, y el ángulo ϕ = π 3, i.e. todos los puntos sobre un cono (ver figura).

(ii) Si r(t) =, cos t, sen t es una función vectorial que describe la posición de un cuerpo en cada instante de tiempo, entonces tal cuerpo se mueve con aceleración normal constante.

2 Analiticamente, podemos encontrar la ecuación cartesiana de tal cono multiplicando a ambos lados por ρ en la ecuación dada y elevando al cuadrado: ρ cos φ = ρ ρ cos φ = ρ z = x + y + z, así que x + y = 3z, que es la ecuación de un cono en coordenadas cartesianas. (ii) Verdadero. La aceleración normal está completamente determinada por la rapidez (la norma del vector velocidad) y la curvatura de la trayectoria. En este caso la trayectoria es un círculo, luego tiene curvatura constante, y la rapidez también es constante: Si r(t) =, cos t, sen t, entonces la velocidad está dada por r (t) =, sen t, cos t, la rapidez es v(t) = r (t) = y la aceleración por r (t) =, cos t, sen t, así que r (t) r (t) =,, y la aceleración normal es a N = v(t) κ(t) = r (t) r (t) v(t) (iii) Falso. La longitud de la curva está dada por l = π r (t) dt = π sen t, cos t, 1 dt = = =. π 5 dt = 5π. II. (i) Para encontrar la ecuación del plano Π, que es paralelo al plano Π 1 y pasa por el origen, hace falta conocer la normal a tal plano y un punto en él. Como los planos son paralelos, la normal es la misma del plano Π 1, es decir n = 1,, 1, y podemos tomar como punto el origen (,, ), luego la ecuación del plano es 1(x ) (y ) + 1(z ) = x y + z =. Los planos son entonces como ilustra la siguiente gráfica:

La aceleración normal está completamente determinada por la rapidez (la norma del vector velocidad) y la curvatura de la trayectoria.

3 (ii) El punto P 1 = (, 1, ) R 3 hace parte del plano Π 1 ya que satisface la ecuación del plano: x y + z =. Para encontrar la ecuación x = a + t b de la recta L que contiene los puntos P 1 y P = (, 1, ) Π, debemos conocer dos puntos en la recta para construir un vector a del origen a la recta y un vector b paralelo a esta. Podemos tomar, por ejemplo, los vectores y obteniendo la ecuación vectorial a = OP 1 =, 1, = a =, 1,, b = P 1 P =, 1 1, = a =,,, x, y, z =, 1, + t,, o, despejando el parámetro t, las ecuaciones simétricas x = z, y = 1. (iii) La distancia entre los planos Π 1 y Π puede encontrarse tomando la norma de la proyección ortogonal del vector b = P 1 P =,, sobre el vector normal n = 1,, 1 (o, equivalentemente, usar la ecuación de distancia vista en clase). En este caso D = b n n = 1,, 1 = n n 3. III. (i) Para parametrizar la curva de intersección entre el cilindro parabólico y = x y el elipsoide x + y + z = podemos parametrizar primero el cilindro parabólico: x = t, y = t y, luego, apartir de la ecuación del elipsoide, obtener la coordenada faltante: x y z = es decir que la función vectorial t t =, r(t) = t, t t t,, 3

4 para t (, ), es una parametrización de la curva dada, ilustrada por la siguiente figura: (ii) El punto (,, ) en la curva se encuentra para el valor t = en nuestra parametrización, así que los vectores tangente unitario, normal y binormal en el punto r() son: T () = r () r (), N() = T () T () y B() = T () N(). Calculando la primera derivada de r(t) tenemos que r (t) = 1, t, t t 3 1 1t t y, en t = obtenemos un vector unitario T () = r () = 1,,, luego en un primer paso no hay que dividir por la norma del vector. Sin embargo, para calcular el vetor normal necesitamos calcular la norma de r (t) para cualquier t: 1 + r 58t t (t) = 8t 1 1t t, así que T (t) = 1 1t t t t 8t 1, t, t t 3 1 1t t. Haciendo una derivada mas, y eveluando en t =, obtenemos T () =,, 1 3, cuya norma es T () = 3, luego el vector normal que buscamos es N() = T () T () =,, 1 y el binormal B() = T () N() =, 1,.

Calculando la primera derivada de r(t) tenemos que r (t) = 1, t, t t 3 1 1t t y, en t = obtenemos un vector unitario T () = r () = 1,,, luego en un primer paso no hay que dividir por la norma del

5 (iii) La curvatura de la curva en cualquier punto está dada por: Derivando r (t) tenemos que κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3. r (t) =,, ( 1t )(1 1t t ) + (t + t 3 )( t t 3 ) (1 1t t ) 3 y, en t =, luego r () =,, 1 3, κ() = r () r () r () 3 =, 1 3, 1 3 = 3. 5

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