EXAMEN DE MATEMÁTICAS I Licenciatura en Ciencias Económicas 24 de Enero de 2009

Transcripción

1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I Licenciatura en Ciencias Económicas 4 de Enero de 9 NOMBRE: APELLIDOS: D.N.I.: GRUPO: INSTRUCCIONES: Para la realización de este eamen se entregarán dos cuadernillos. Cuadernillo : El que contiene este enunciado. Se utilizará si se quiere, para la realización de operaciones en sucio. Cuadernillo : El que tiene todas las hojas en blanco. Se utilizará para escribir las respuestas de los problemas de este eamen con los razonamientos y operaciones completas. Al finalizar el eamen se entregarán los dos cuadernillos al profesor. No se permite quitar las grapas de los cuadernillos. No se permite el uso de calculadora. La duración del eamen será de dos horas y media.. Indicar de forma razonada si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) La función f(, y) = + y es diferenciable en todo su dominio. (.5 puntos) Dom (f) = (, y) R + y ª La función es continua en su dominio. Calculamos las derivadas parciales f (, y) = f y (, y) = + y + y Podemos observar que las derivadas parciales no están bien definidas en la fontera del dominio de definición por tanto la función en esos punto deja de ser diferenciable. (b) Dadalafunciónf(, y) =( + y)e +y se verifica que f y (, y) =( y + y )e +y. (.5 puntos) Derivando la función respecto de y tenemos: f y (, y) =e +y +( + y)ye +y = e +y +( y + y )

2 (c) Dada la función f(, y) diferenciable en R ycon f(, ) = (, ), entonces eiste un vector v =(v,v ) tal que D v f(, ) = 3. (.5 puntos) El vector gradiente nos indica la dirección de máimo crecimiento y por tanto el módulo del gradiente es igual al máimo valor que puede tomar la derivada direccional en el punto (, ). Tenemos que f(, ) = (, ) de manera que k f(, )k =, por tanto, D v f(, ) para cualquier vector v, de manera que no eiste ningún vector respecto del cual D v f(, ) = 3. (d) Si f(, y) y g(, y) son dos funciones homogéneas de grados y 3 respectivamente se verifica que la función h(, y) =f(, y)g(, y) es homogénea de grado 5. (.5 puntos) VERDADERO Sabemos que f es homogénea de grado y g es homgénea de grado 3 por tanto h(t, ty) =f(t, ty)g(t, ty) =t f(, y)t 3 g(, y) =t 5 f(, y)g(, y) de manera que h es hoegénea de grado 5 µ (e) Si f (, 3) = 5, f (, 3) = (, ) y Hf (, 3) = entonces el polinomio de Taylor de grado de la función f entorno al punto (, 3) tiene como epresión: P,(,3) f (, y) =5+( ) + (y 3) + ( ) +( ) (y 3) + (y 3) (.5 puntos) El polinomio de Taylor de grado de una función f en un punto (a, b) tiene la epresión: P,(a,b) f (, y) = f (a, b)+f (a, b)( a)+f y (a, b)(y b)+ + f (a, b)! ( a) + f y (a, b)( a)(y b)+ f yy (a, b)! Con la información de la función en el punto (, 3) tenemos entonces que: (y b) P,(,3) f (, y) =5+( ) + (y 3) + ( ) +( ) (y 3) + (y 3) (f) La función F () = R f (t) dt donde f (t) = ½ t si t < t + si t es continua y diferenciable para todo. (.5 puntos) Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que toda función integral es siempre continua pero será diferenciable tan solo si la función f es continua, en este caso la función f no es continua en t =, ya que lim t f (t) =3mientras que lim t + f (t) =5, por tanto la función F () es continua para todo, pero no es diferenciable.

3 . Dada la función f(, y) =( + y)ln, calcular: (a) Dominio de definición analítica y gráficamente. (.5 puntos) La función f también puede epresarse como f(, y) = ( + y)ln por las propiedades de la función logarítmica. Dom (f) = (, y) R > ª y X> (b) Analizar si la función es diferenciable en (, ). (.5 puntos) Calculamos las derivadas parciales de la función: f (, y) = ln ( + y) f y (, y) = ln Las derivadas parciales eisten y son continuas en un entorno del punto (, ),por tanto, la función es difernciable en (, ) y el valor de las derivadas parciales en dicho punto son: f (, ) = f y (, ) = (c) Calular el plano tangente a la gráfica de f en el punto (,, ). (.5 puntos) Ecuación del plano tangente en el punto (,, ) : PT (, y) = f (, ) + f (, ) ( ) + f y (, ) (y ) = = ( ) + (y ) = + 3

4 (d) Calcular D v f(, ) cuando v =(, 3). (.5 puntos) Tenemos que v no es un vector de norma unitaria ya que su norma o módulo es igual a k vk = +3 = 3 µ v 3 D v f(, ) = f (, ) =(, ), = k vk (e) Estudiar si la curva de nivel de f de valor define implícitamente a como función de y en un entorno del punto (, ) (.75 puntos) Calculamos la curva de nivel de la función f f (, y) =, = ( + y)ln = ( + y) =, o ln = de manera que o bien y = obien =. dibujamos el gráfico de la curva de nivel cero y podemos ver que en un entorno del punto (, ) la curva de nivel cero de la función define implícitamente a como una función de y. y Aplicando el teorema de la función implicita, en el apartado (b) hemos visto que las parciales eisten y son continuas en un entorno del punto (, ) yademásf (, ) = 6= de maneraqueseverifican todas las hipótesis del teorema de la función implícita y por tanto podemos decir que la curva de nivel cero define implicitamente a como una función de y en un entorno del punto (, ). 3. Dadas las funciones w = f(, y) =y y,= e u v+ e y = u v se pide, calcular las derivadas primeras de w en u =3,v=. ( punto) Si u =3,v= tenemosentoncesque =e y =8. Aplicando la regla de la cadena tenemos que: v f f (3, ) = (, 8) (3, ) + (, 8) (3, ) f f (3, ) = (, 8) (3, ) + (, 8) (3, ) v v 4

5 Calculamos las parciales de f respecto de e y, y las parciales de e y respecto de u y v : De manera que: f (, y) =y = f (, 8) = 8 f (, y) = y = f (, 8) = 5 (u, v) =eu v+ = (3, ) = v (u, v) = e u v+ = v (3, ) = (u, v) =u = (3, ) = 6 f (u, v) = = v v (3, ) = (3, ) = 8 +( 5) 6= 8 (3, ) v = 8 ( ) + ( 5) = Dada la función f(, y) =e y+ +(3 y)ln( ) calcular el valor aproimado de f(, 99) utilizando un polinomio de Taylor de primer grado. ( punto) Calculamos el polinomio de Taylor de primer grado en torno al punto (, ) : PT,(, ) (, y) =f (, ) + f (, ) ( ) + f y (, ) (y +) f (, ) =, f (, y) =ye y+ +3ln + (3 y) = f (, ) = 4+=6 f y (, y) = e y+ ln = f y (, ) = De manera que PT,(, ) (, y) =+6( ) + (y +) Por tanto f(, 99) '.3 5. En una tienda de bebidas se vende vino de mesa de las marcas A y B. El propietario de la tienda puede obtener ambos vinos a un coste de C= por litro. Su hijo, que es estadístico, ha estimado que si el vino A se vende a C= ellitroyelvinobay C= el litro, entonces venderá aproimadamente y litros de la marca A y + 6 7y litros de la marca B. Qué precio deberá poner a cada marca para maimizar su beneficio? (.5 puntos) Calculamos la función de beneficio. El propietario vende el litro de la marca A a C= ellitro pero tiene un coste de C=, por tanto la ganancia por la venta de un litro será de C=, espera vender un total de litros de esta marca de vino, por tanto la ganancia de la venta de litros de la marca A será (4 5 +4y) ( ) 5

6 de manera equivalente la ganancia de la venta de vino de la marca B será Por tanto la función a maimizar será: ( + 6 7y) (y ) B (, y) =(4 5 +4y) ( ) + ( + 6 7y) (y ) Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero: B(,y) = y += B(,y) = 4y +8= resolviendo el sistema obtenmos = 7 =.7 C=,y = 5 =.5 C=. Comprobemos que efectivamente en este nivel de precios se maimiza el beneficio, para ellos calculamos la matriz Hessiana y vemos su signo: µ HB (, y) =, 4 HB (, y) = 4 = 4 > y B (, y) = < por tanto, si pone los precios =.7 C=,y =.5 C= se maimizará el beneficio. 6. Calcular la siguiente integral: Z e d. (.5 puntos) Vemos primero si se verifica la condición necesaria de convergencia: lim e = lim e = l hopital para resolver la indeterminación = lim por tanto se cumple la condición necesaria, veamos si la integral converge realmente Z aplicamos ingegración por partes e d = Z M lim M e d u = = du = d dv = e d = v = e = e Z M lim e d = lim e M + Z M e d = M M 4 = lim e M = lim M 6 M 4 e M {z } + 4 = 4 lim M Me M {z } + Z M e d =

7 Por tanto Z e d = 4 7. Calcular el área de la región sombreada que aparece en la siguiente gráfica: ( punto) Z 3 Z Z Area = d + d + (3 ) d = = 3 +[ln] + 3 =+ln =ln+3 7