Inversión. Dibujo I, Geometría Tema 6 ETSIN. Copyright All rights reserved.

Transcripción

1 Inversión Dibujo I, Geometría Tema 6 ETSIN Copyright All rights reserved.

2 Objetivos Con este objeto de aprendizaje conseguirás: Aprender esta nueva transformación Aplicar sus propiedades para resolver problemas de tangencias entre circunferencias, rectas y puntos

3 Contenidos 1 Definición Figuras dobles de la inversión Rectas antiparalelas Obtención de puntos inversos Inversa de una recta Inversa de una circunferencia Resumen de la inversión Problemas de tangencias CPR, CCP, CCR y CCC C: Circunferencia, P: Punto, R: Recta

4 Contenidos 2 Ampliación Inversión y potencia Cadenas de Steiner El Arbelos

5 Definición de inversión Con ayuda de la web, aprende Concepto de inversión Su ecuación, definición de centro y razón de inversión La La inversión fue inventada por Jacob Steiner en en Sorprendió a muchos matemáticos utilizando sus propiedades en en la la resolución de de problemas difíciles de de resolver sin esta transformación

6 Figuras dobles en la inversión Con ayuda de la web, aprende Tres tipos de figuras dobles Circunferencia de puntos dobles (c.p.d.) No existen muchas transformaciones que tengan figuras que se se transformen en en sí símismas

7 Rectas antiparalelas Con ayuda de la web, repasa Las rectas antiparalelas del Tema 1 Propiedades de los ángulos cruzados Las rectas antiparalelas pueden utilizarse para calcular puntos inversos

8 Obtención de puntos inversos Con ayuda de la web, aprende Distintas maneras de obtener el inverso de un punto a partir de una primera pareja de puntos inversos Calcular inversos con la c.p.d. Calcular inversos para distintas posiciones del punto La La construcción para obtener el el inverso es es la la misma que se se usa para obtener la la polar de de un un punto

9 Inversa de una recta Con ayuda de la web, aprende Dibujar la inversa de una recta para distintas posiciones de la misma Si Si la la recta corta a la la c.p.d., su su inversa es es inmediata

10 Inversa de una circunferencia Con ayuda de la web, aprende Dibujar la inversa de una circunferencia para distintas posiciones de la misma Si Si la la circunferencia corta a la la c.p.d., su su inversa es es más rápida de de calcular

11 Resumen de la inversión Con ayuda de la web, recuerda Inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión Inverso de una recta que sí pasa por el centro de inversión Inverso de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión Inverso de una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión Estos cuatro conceptos permiten resolver problemas de de tangencias complejos

12 Problemas de tangencias: CPR Con ayuda de la web, aprende Utilizar la inversión para resolver este problema Recuerda la mecánica de resolver los problemas de tangencias La La inversión mantiene los ángulos entre las figuras originales y sus inversas Cuando no no sea posible dibujar alguna de de las rectas tangentes, existirán menos soluciones

13 Problemas de tangencias: CCP Con ayuda de la web, aprende Utilizar la inversión para resolver este problema Observa que los pasos son iguales que en el caso anterior CPR Observa cuantas soluciones hay en en función de de la la posición de de los elementos

14 Problemas de tangencias: CCR Con ayuda de la web, aprende Utilizar la inversión para resolver este problema, que se ha transformado previamente Observa como se deshacen las transformaciones ordenadamente Si Si no no hay un un punto que tomar como centro de de inversión, se se tiene que transformar el el problema antes Observa la la posición de de las soluciones para cada una de de las cuatro transformaciones

15 Problemas de tangencias: CCC Con ayuda de la web, aprende Utilizar la inversión para resolver este problema, que se ha transformado previamente Observa como se deshacen las transformaciones ordenadamente Con dos circunferencias pequeñas iguales, en en vez de de inversión se se utilizaría las propiedades del eje radical Observa la la posición de de las soluciones para cada una de de las cuatro transformaciones

16 Resumen Definición, figuras dobles, c.p.d. Problemas de tangencias: CPR, CCP, La inversión CCR y CCC mantiene los ángulos Rectas antiparalelas Obtención de puntos inversos con la c.p.d. Inversos de recta y circunferencia

17 Inversión y potencia Con ayuda de la web, aprende: Invertir dos circunferencias en sí mismas Invertir tres circunferencias en sí mismas Invertir dos circunferencias en otras dos concéntricas De esta forma es es posible resolver algunos problemas de de forma más sencilla

18 Cadenas de Steiner Con ayuda de la web, aprende Como se dibuja una cadena de Steiner Relación entre los radios de las circunferencias concéntricas Las cadenas de de Steiner pueden utilizarse para alojar cables o tuberías en en conductor cilíndricos

19 El Arbelos Con ayuda de la web, aprende Propiedades de esta figura Cadena de Papus Estas propiedades fueron descubiertas por los matemáticos griegos sin ayuda de de la la inversión Observa lo lo fácil que es es resolver una cadena de de Papus mediante inversión

20 Resumen ampliación Inversión y potencia El arbelos Cadenas de Steiner

21 Auto evaluación y problemas Puedes realizar en la web unas preguntas de auto evaluación sobre este tema y unos problemas a dibujar en tu papel. Las preguntas puedes revisarlas después para ver tus fallos. Obligatorio? Nota? Preguntas No No 5 Problemas 2 Aprobado 50%

22 Siguiente tema El siguiente tema retoma la geometría Euclidea estudiando las cónicas Aplicaremos todo lo visto hasta ahora en ese último tema