GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones)

Transcripción

1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NUCLEO- GUANARE GUIA I (ites Por Definición E Indeterminaciones) UN POCO DE HISTORIA Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 87, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy epuso límites en su Cours d'analyse (8) y parece haber epresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 85 y 864 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 98. I. Límite: de un enfoque informal. Las dos grandes áreas de cálculo se dividen en calculo diferencial y calculo integral que son los que se basan en un concepto fundamental del límite en esta sección el enfoque que haremos a este concepto será intuitivo centrado en la comprensión de que es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y ejemplos. II. Definición Informal De ites Una función f tiene límite un número real L en C si f() se acerca cada vez más al número L cuando se aproima más y más al número C, sin llegar a veler C, en cualquier sentido. EJERCICIOS

2 III. Eistencia O No De Un Límite: si tanto el ite por la izquierda a- f() como el ite por la derecha f() a+ eisten y tiene un valor común L,. IV. Teoremas sobre continuidad. Teorema de los valores intermedios: Sea f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], tal que f(a) f(b). Entonces f() toma todos los valorescomprendidos entre f(a) y f(b) cuando varía entre a y b.. Teorema de Bolzano: Sea f una función continua en [a,b] tal que f(a) y f(b) tienensignos distintos. Entonces eiste al menos un c (a,b) tal quef(c) =. Teorema de los valores óptimos (Weierstrass): Si una función f es contínua en un intervalo [a,b] cerrado y acotado, entonces f alcanza un máimo y un mínimo dentro del intervalo. IV. Definición formal De ites El límite de una función f(), cuando tiende a c es L si y sólo si para todo eiste un tal que para todo número real en el dominio de la función. EJERCICIOS Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε =, Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε =, Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε =, Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε =,

3 V. Propiedades de los Límites. Ejercicios Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso: (LIMITES INDETERMINADOS) Operaciones con Sumas con Infinito más un número Infinito más Infinito menos Productos con Infinito por un número Infinito por Infinito por cero Cocientes con y cero Cero partido por un número Un número partido por cero Un número partido por Infinito partido por un número Cero partido por Infinito partido por cero Cero partido por cero Infinito partido por

4 VI. ites Indeterminados Una indeterminación no significa que el límite no eista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones (Factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, Ruffini, conjugada entre otras). VII. Tipos de indeterminación Estudiaremos los casos /, /, -,. Cero sobre cero EJERCICIOS RESUELTOS

5 Calcula los siguientes límites, einando las indeterminaciones que se presenten r 4 8 r v r v v. 5. m m m t t 9 5 t t n n n ( 64 ) Infinito partido por Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la elevada al mayor eponente. EJERCICIOS RESUELTOS

6 Infinito menos Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado. Calcula los siguientes límites, einando las indeterminaciones que se presenten Uno al Se resuelve transformando la epresión en una potencia del número e.

7 VIII. Límites Trigonométricos En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. cos cos cos cos cos cos cos cos tan sen sen sen sen cos sen( cos) sen sen sen cos tan cos tan cos ( ) sen tan cos sen cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos Ejercicios Propuestos: No es grande aquel que nunca falla si no el que nunca se da por vencido