La derivada. 5.2 La derivada de una función

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1 Capítulo 5 La derivada 5. La derivada de una función A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, que es el de la derivada. Este concepto es un ite que está estrecamente ligado a la recta tangente, a la velocidad instantánea y en general a la razón de cambio de una variable con respecto a otra. Recordemos que la recta tangente a una curva y f(x) en el punto [x 0,f(x 0 )] a sido definida como la recta que tiene por pendiente el número f(x) f(x 0 ) m t x x0 x x 0 en el supuesto caso de que este ite exista. Cuando este ite existe lo llamamos la derivada de la función f en x 0 y lo denotamos por f (x 0 ). Es decir: f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) x x0 x x 0 Si acemos x x 0 (o sea x x 0 + ), podemos escribir: f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) 0 A veces se usa x (incremento de x) en lugar de y en lugar de f(x 0 + x) f(x 0 ), en cuyo caso: f (x 0 ) x 0 x. Aora sí podemos definir: Si existe el número: f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) x x0 x x 0 0 Se dice que: La función f es derivable en x 0 y que f (x 0 ) es la derivada de f en x 0. canek.azc.uam.mx: 4/ 0/ 006 x 0 x

2 5.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CAPÍTULO 5. Si no existe f (x 0 ), podemos afirmar que la función f no es derivable en x 0 o bien que la función f no tiene derivada en x 0 Otras notaciones para f (x 0 ) son: df (x) dx, df xx0 dx, dy xx0 dx, y (x 0 ) xx0 Ejemplo 5. Demostrar que la función f(x) 3x 4x 5 es derivable en x 0 Demostraremos la existencia de f (x 0 )f () f (x 0 ) 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) f () 0 f( + ) f() f () 8 0 [3( + ) 4( + ) 5] [3() 4() 5] 0 3( ) (8 + 3) (8 + 3) 8 + 3(0) 8 Luego f () existe, por lo cual f es una función derivable en x 0. Además la derivada de f en x 0 es f () 8 Ejemplo 5. Si f(x) 4 x, usando la definición de la derivada, calcular f (a) usando la definición de la derivada. Calcular también, usando lo anterior, f ( ) y f (). Así: Calculamos el cociente diferencial f(x) f(a) (4 x ) (4 a ) 4 x 4+a (x a ) ()(x + a) f (a) x a f(x) f(a) x + a (x + a) si 0., esto es si x a x a [ (x + a)] a. Hemos demostrado por lo tanto que, en todo punto [a, f(a)] (a, 4 a ) la función es derivable y su derivada es f (a) a. Concluimos con esto que f (x) x para x R.

3 CAPÍTULO LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Usando este resultado, tenemos que f ( ) 4; f (). Ejemplo 5.3 Sea f(x) x +. Aplique la definición de la derivada para encontrar f (a), cona D f [, + ). Calculamos el cociente diferencial del cual obtendremos el ite: f(x) f(a) x + a + x + a + x ++ a + x ++ a + (x +) (a +) ()( x ++ a +) () ()( x ++ a +) si 0, esto es, si x a. x ++ a + Así: f f(x) f(a) (a) x a a ++ a + x a x ++ a + a +. a + Esta última expresión sólo tiene sentido si a +> 0, es decir, si a>. Vemos que D f pero aí la función f no es derivable, de eco ni siquiera está definida a la izquierda de. Ejemplo 5.4 Demostrar que la función g(x) no es derivable en el origen. Demostraremos la no existencia de g (x 0 )enx 0 0. g (x 0 ) x x0 g(x) g(x 0 ) x x 0 g (0) x 0 g(x) g(0) x 0 x 0 0 x x 0 x? Calculamos los ites laterales x 0 x &. Recuerda que ya lo icimos en la Introducción a x 0 + x la unidad sobre Límites.. x 0 x<0 x x x 0 x x x 0 x ( ) x 0 3

4 5.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CAPÍTULO 5.. x 0 + x>0 x x Entonces x 0 + x x x 0 x x 0 x 0 x x 0 + x no existe x 0 x g (0) no existe la derivada de g en x 0 0 no existe. Por lo tanto, la función g no es derivable en x 0 0. En cualquier otro punto sí es derivable y se tiene:. g (a) sia>0 Pues. g (a) sia<0 Pues g(x) g(a) g(x) g(a) a a x ( a), si x está cerca de a x + a (), si x está cerca de a Ejemplo 5.5 Si g(x) +x Usando la definición de la derivada calcular g (a) para a R. Calcular también, usando lo anterior, g ( 3) y g () Calculamos el cociente diferencial: g(a + ) g(a) +(a + ) +a ( + a ) [ + (a + ) ] [ + (a + ) ]( + a ) ( + a ) ( + a +a + ) [ + (a + ) ]( + a ) +a a a [ + (a + ) ]( + a ) ( a ) [ + (a + ) ]( + a ) a si 0 [ + (a + ) ]( + a ) 4

5 CAPÍTULO LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Así: g g() g(a) (a) 0 0 Hemos demostrado, por lo tanto, que en todo punto [a, g(a)] la pendiente de la recta tangente vale g (a) a [ + (a + ) ]( + a ) a ( + a ) ) a ( + a ). Concluimos con esto que g (x) x ( + x ) para x R. Usando este resultado tenemos que: g ( 3) ( a, ( 3) [ + ( 3) ] 6 g () a de la gráfica de la función g, f(x) Esta tangente tiene pendiente g ( 3) 6 Esta tangente tiene pendiente g () 9 3 x 5.. La regla de los cuatro pasos Considerando la definición de la derivada de y f(x) enx 0 : f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) x x0 x x 0 0 se puede decir que para obtener la derivada de f en x 0 tenemos que calcular x 0 x. f(x 0 ) o bien f(x 0 + ) & f(x 0 ).. El incremento de la función: f(x) f(x 0 )f(x 0 + ) f(x 0 ) 3. El cociente de incrementos o cociente diferencial: el cociente x f(x) f(x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) x x 0 5

6 5.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CAPÍTULO El ite del cociente diferencial: x 0 x f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) Algunos autores a este proceso para calcular la derivada de una función le llaman la regla de los cuatro pasos. Ejemplo 5.6 Utilizando la regla de los cuatro pasos, calcular la derivada de la función f(x) 4x 3 5x 6x +7 en x a. Utilizamos la igualdad f (a) x 0 x f(x) f(a) x a. f(a) 4a 3 5a 6a +7. f(x) f(a) (4x 3 5x 6x +7) (4a 3 5a 6a +7) 4(x 3 a 3 ) 5(x a ) 6() 3. f(x) f(a) x 4(x3 a 3 ) 5(x a ) 6() 4()(x + xa + a ) 5()(x + a) 6() () 4(x + ax + a ) 5(x + a) 6, para x a 4. x 0 x x a f(x) f(a) x a [4(x + ax + a ) 5(x + a) 6] 4(a + a + a ) 5(a + a) 6 4(3a ) 5(a) 6a 0a 6 Entonces f (a) x 0 x a 0a 6 para cualquier a R Ejemplo 5.7 Mediante la regla de los cuatro pasos, calcular f (x) para f(x) x 6

7 CAPÍTULO LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Para calcular f (x) en un x D f arbitrario, utilizamos la igualdad f (x) x 0 x f(x + ) f(x) 0. f(x + ) x +. f(x + ) f(x) x + x 3. f(x + ) f(x) x x + x 4. x 0 x f(x + ) f(x) 0 x + x 0 [ ] x + x x + + x 0 x + + x ( x + ) ( x ) 0 ( x + + x ) (x + ) (x ) 0 ( x + + x ) x + x + 0 ( x + + x ) 0 ( x + + x ) 0 x + + x x + x x Luego x 0 x f(x + ) f(x) 0 x Por lo tanto, f (x) x o bien d x dx x 7

8 5.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CAPÍTULO 5. f(x) f (x) x x Esta derivada existe para cada x>. Aunque D f izquierda de y por lo tanto no tiene sentido calcular [, + ), observa que f no está definida a la x 0 x f( + ) f() 0 ni 0 f( + ) f() 8