OBJETIVOS: Definir Límites. Realizar demostraciones formales de límites. Describir gráficamente los límites. Calcular límites.

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1 Cap. Límites de Fnciones. LÍMITE EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES. TEOREMAS SOBRE LÍMITES.4 CÁLCULO DE LÍMITES.5 LÍMITES AL INFINITO.6 LÍMITES INFINITOS.7 OTROS LÍMITES OBJETIVOS: Definir Límites. Realizar demostraciones formales de ites. Describir gráficamente los ites. Calclar ites.

2 Cap. Límites de Fnciones. LÍMITE EN UN PUNTO El Cálclo, básicamente está fndamentado en los ites, por tanto este tema es trascendental para nestro estdio. De hecho, la derivada y la integral definida son conceptos basados en ites. Conceptalizar ite determinando el comportamiento de na fnción e interpretarlo en s gráfica, aydará bastante en el inicio del análisis de los ites... DEFINICIÓN INTUITIVA Ciertas fnciones de variable real presentan n comportamiento n tanto singlar en la cercanía de n pnto, precisar ss características es nestra intención y el estdio de los ites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los qe podamos por simple inspección conclir y tener na idea del concepto de ite. Ejemplo Veamos como se comporta la fnción f con regla de correspondencia f ( ) = en la cercanía de =. Evalando la fnción para algnos valores de, próimos (acercándose) a : y = En la tabla de valores se han bicado nas flechas para dar a entender qe tomamos a la aproimándose a en ambas direcciones y se observa qe los valores de y se van acercando a 5. Anqe son sólo seis valores, por ahora sin ponernos eigentes vamos a conclir diciendo qe la fnción se aproima a 5 cada vez qe s variable independiente se aproima a. Este comportamiento lo escribiremos de la sigiente forma: Lo anterior se pede ilstrar desde la gráfica: ( ) = 5

3 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Ahora veamos el comportamiento de esta otra fnción f con regla de correspondencia 5 6 f ( ) =, en la cercanía de =. Evalando la fnción para ciertos valores de, cada vez más próimos a, tenemos: 5 6 y = Parece ser qe esta fnción se aproima a tomar el valor de 7 cada vez qe la variable independiente 5 6 se aproima a tomar el valor de, es decir = 7. Note qe no es necesario qe la fnción esté definida en el pnto de aproimación. Por otro lado, la regla de correspondencia f ( ) = 6 ; ( POR QUÉ?). 5 6 f ( ) = es eqivalente a Este comportamiento se lo pede visalizar desde s gráfica: De lo epesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan rigroso todavía, podemos emitir la sigiente definición:

4 Cap. Límites de Fnciones Una fnción f tiene ite L en n pnto, si f se aproima a tomar el valor L cada vez qe s variable independiente se aproima a tomar el valor. Lo qe se denota como: f ( ) = L Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las fnciones se pede determinar analizando ss gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, sponga qe se necesite bosqejar la gráfica teniendo características de s comportamiento. De ahí la necesidad del estdio de ite de fnciones... DEFINICIÓN FORMAL Sponga qe se plantea el problema de demostrar qe = 5 o qe 5 6 = 7. Para esto, debemos garantizar formalmente el acercamiento qe tiene la fnción a s correspondiente valor cada vez qe s variable independiente se aproime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho qe se cmpla para algnos valores no indica qe se cmpla para todos los valores próimos al pnto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lengaje formal, la metodología del proceso, lo cal nos lleva a la necesidad de tener na definición formal de ite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para calqier fnción. Antes, de llegar a la definición reqerida, precisemos lo sigiente: PRIMERO, para n lengaje formal, decir qe toma valores próimos a n pnto (qe está en torno a ), bastará con considerarla perteneciente a n intervalo o vecindad, centrado en, de semiamplitd my peqeña, la cal denotaremos con la letra griega (delta). Es decir: < < Transformando la epresión anterior tenemos: < < δ < < < < δ < δ Restando " " Empleando la definición de valor absolto 4

5 Cap. Límites de Fnciones < < POR Y, para qe no sea, bastará con proponer qe QUÉ?. SEGUNDO, para decir qe f está próima a L (en torno a L ), podemos epresar qe pertenece a n intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitd my peqeña, la cal denotaremos con la letra griega ε (épsilon). Es decir: ( ) L ε < f < L ε Transformando la epresión anterior tenemos: L ε < f ( ) < L ε ε < f ( ) L < ε f ( ) L < ε Restando " L " Aplicando la definición de valor absolto Con todo lo anterior, definimos formalmente ite de na fnción en n pnto, de la sigiente manera: Sea f na fnción de variable real y sean ε y cantidades positivas my peqeñas. Sponga qe f se aproima a L cando se aproima a, denotado por f ( ) = L, significa qe para toda proimidad ε qe se desee estar con f en torno a L, deberá poderse definir n intervalo en torno a en el cal tomar, sin qe necesariamente =, qe nos garantice el acercamiento. Es decir: ( ) f ( ) = L ε >, δ > tal qe < < δ f ( ) L < ε La definición indica qe para asegrar qe na fnción tiene ite deberíamos establecer na relación entre y ε. Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es: 5

6 Cap. Límites de Fnciones Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales. Ejemplo Demostrar formalmente qe ( ) = 5. Cando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos qe el ite de esta fnción era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar qe cando reemplacemos la por calqier número cercano a el valor de y correspondiente es n números cercano a 5, y mientras la esté más cerca de la y estará más cerca de 5; esto qiere decir qe la diferencia entre los valores qe resltan en con 5 deberán ser cantidades my peqeñas, menores qe calqiera tolerancia ε qe nos fijemos. Es decir, qe debemos poder estar tan cerca de 5 con y =, tanto como nos propsiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (eiste ) en el cal tomar qe garantice aqello, es decir: ( ) ε ε >, δ > tal qe < < δ 5 < En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecente. Observe el consecente, s forma algebraica nos giará en el procedimiento a segir: < < δ < < δ < < δ ( ) < < δ < 4 < δ < < δ ( ) < 5 < δ Mltiplicando por (porqe en el consecente aparece ) Propiedades del valor absolto Smando y restando 5 (debido a qe aparece -5 en el consecente) Agrpando ε Ahora, podemos decidir qe δ = ; es decir, qe si tomamos ε < < ε nos permite asegrar lo propesto. Sponga qe ε =. ; es decir, si qisiéramos qe y = esté a menos de. de 5, será posible. si tomamos a la qe, en torno a a na distancia no mayor de δ = =. 5. Es decir para qe f esté entre 4.9 y 5. bastará con tomar a la n número entre.95 y.5. 6

7 Cap. Límites de Fnciones No olvide qe proponer na relación entre ε y, garantiza qe f estará tan cerca de L, como se. qiera estar. Veamos, más cerca ε =., bastará con tomar a la a no menos de δ = =. 5 de. Es decir qe si tomamos.995 < <. 5 garantiza qe 4.99 < f ( ) < 5.. Ejemplo 5 6 Demostrar formalmente qe = 7. Debemos asegrar qe 5 6 y = se aproima a tomar el valor de 7 cada vez qe la esté 5 6 próima de. Es decir, qe debemos poder estar tan cerca de 7 con y =, tanto como nos propsiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (eiste ) en el cal tomar qe garantice aqello, es decir: 5 6 ε >, δ > tal qe < < δ 7 < ε Vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecente. La forma algebraica del consecente nos giará: < < δ < 7 7 < δ ( ) ( 6)( ) < 6 7 < δ 7 < 56 7 < Se sma y resta 7 (debido a qe aparece -7 en el consecente) Agrpando ( 6) y dividiéndolo y mltiplicándolo por ( ) (debido a qe el primer término del consecente ) aparece dividido por ( ) Con δ = ε, nos permite asegrar lo propesto; es decir, tomando ε < < ε Ejemplo Demostrar formalmente qe SOLUCION: 4 =. Debemos garantizar qe ε >, δ > tal qe < < δ 4 < ε Por lo tanto: < < δ < < δ ( )( ) < < δ < 4 < δ Mltiplicando por (debido a qe el consecente tiene na diferencia de cadrados perfectos) Propiedades del valor absolto 7

8 Cap. Límites de Fnciones ε Tomamos δ =. Pero ahora eiste n inconveniente, la relación es fnción de. Esto lo podemos salvar acotando a. Sponga qe a la se la toma a na distancia no mayor de, en torno a, entonces, qe si tviéramos qe escoger n valor para, el idóneo sería, para qe satisfaga el hecho de qe δ debe ser na cantidad peqeña. ε ε ε ε Por tanto, δ = = ; es decir, tomar < < asegra lo qe se qiere demostrar Ejemplo 4 Demostrar formalmente qe =. SOLUCION: Debemos garantizar qe entonces: 4 ε >, δ > tal qe < 4 < δ < ε < 4 < δ ( )( ) ( ) < < δ < < δ < < δ Factorizando 4 para diferencia de cadrados Propiedades del valor absolto Despejando Tomamos δ = ε. Ahora bien, si tomamos a a na distancia no mayor de, entorno a 4, entonces 5, n valor idóneo sería. Por qé?. Por lo tanto, δ = ε ( ) ; es decir, si tomamos 4 ( ) < < 4 ε ( ) qe se qiere demostrar. ε asegramos lo Ejemplo 5 Demostrar formalmente qe =. 7 SOLUCION: Debemos garantizar qe ε >, δ > tal qe < 7 < δ < ε Entonces: < 7 < δ Factorizando 7 para < ( 7 ) ( ) 7 ( 7 ) < δ diferencia de cbos < ( ) ( ) 9 < δ Despejando δ < ( ) < ( ) 9 Tomamos ( ) ( 9) Propiedades del valor absolto δ = ε. Ahora bien, si tomamos a a na distancia no mayor de, entorno a 7, entonces 6 8, n valor idóneo sería 6. 8

9 Cap. Límites de Fnciones δ = ε Por lo tanto, ( ) o δ 7 ε ; es decir, < < o 7 7ε < < 7 7ε asegramos lo qe se qiere demostrar. si tomamos ε ( ) ε ( ) Ejemplo 5 Demostrar formalmente qe =. SOLUCION: Debemos garantizar qe ε >, δ > tal qe < < δ < ε La epresión algebraica del consecente tiene na apariencia n tanto compleja, por tanto en este caso es mejor empezar analizando el consecente, para tener referencia de los pasos a segir para lego transformar el antecedente. < ε ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) < ε < ε < ε Factorizando el denominador para diferencia de cadrados ( ) Simplificando ( ) Restando < ε ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) < ε < ε Destryendo paréntesis Resolviendo la resta del con el Mltiplicando y dividiendo por ( ) ( ) ( ) < ε < ε ( ) < ε Prodcto notable Aplicando propiedades del valor absolto Despejando Ahora para transformar el antecedente, se sige na secencia como la anterior pero desde el final: 9

10 Cap. Límites de Fnciones < < δ < < δ ( )( ) < < δ δ < < δ < < ( ) ( ) Propiedad del valor absolto Factorizando para diferencia de cadrados Despejando Dividiendo todos los términos entre ( ) δ < < ( ) ( ) δ < < ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) < < < < < < ( ) ( ) ( ) δ ( )( ) ( ) ( ) δ ( ) < < < < δ Transformando el en - Agrpando Separando en dos términos Simplificando Mltiplicando por la conjgada Tomamos δ = ε ( ). Ahora bien, si tomamos a a na distancia no mayor de, entorno a, entonces, n valor idóneo sería. Reemplazando tenemos δ = ε ( ) = ε( ) Por lo tanto, δ = ε ; es decir, si tomamos ε < < ε asegramos lo qe se qiere demostrar. Ejemplo 6 Demostrar formalmente qe SOLUCION: 4 = Debemos garantizar qe ε >, δ > tal qe < 4 < δ 4 < ε Igal qe en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecente:

11 Cap. Límites de Fnciones 4 4 < ε ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 < ε < ε 4 < ε 4 < ε 4 < ε 4 < ε < ε Factorizando el nmerador ( 4) para diferencia de cadrados Simplificando ( ) Restando Mltiplicando y dividiendo por ( ) Realizando el Prodcto Notable Aplicando propiedades del valor absolto Despejando Ahora para transformar el antecedente, se sige na secencia como la anterior pero desde el final: < 4 < δ 4 δ < < ( )( ) ( ) δ < < δ < < δ < 4 4 < δ < ( ) 4 < δ < 4 < ( )( ) ( ) Dividiendo todos los términos entre ( ) Factorizando ( 4) para diferencia de cadrados Simplificando ( ) Smando y restando 4 Agrpando Mltiplicando y dividiendo ( ) 4 < 4 < ( ) δ Realizando el Prodcto Notable Tomamos δ ε( ) =. Ahora bien, si tomamos a a na distancia no mayor de, entorno a 4, entonces 5, n valor idóneo sería. Por lo tanto, δ = ε( ) ; es decir, si tomamos 4 ε( ) < < 4 ε( ) asegramos lo qe se qiere demostrar. Podría no ser tan sencillo encontrar n en fnción de ε, eso no significa qe el ite no eiste, todo depende de la regla de correspondencia de la fnción.

12 Cap. Límites de Fnciones Ejercicios Propestos.. Demostrar formalmente tilizando la definición de ite: a) 9 = 6 5 = b) ( ) c) 5 6 = d) = 5 e) = f) = g) h) = 8 = a a. Determine n número para el valor de ε dado, tal qe se establezca el ite de la fnción: a) b) 9 =, ε =. 4 4 a = a, ε = a a 8 c) =, ε =.8. Sea f : R R tal qe f ( ) = encentre n valor de para qe.99 < f ( ) <. siempre qe < 9 < 4. Sea de f ( ) =. Establezca n intervalo en el cal tomar " " para qe f () esté a menos de... TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE. Sea f na fnción de na variable real. Si f tiene ite en =, entonces este es único. Es decir, si f ( ) = L y f ( ) = M entonces L = M. Demostración: Por CONTRADICCIÓN. Spongamos qe efectivamente f tiene dos ites L y M, entonces tenemos dos hipótesis: H f ( ) = L ε >, δ > tal qe < < δ f ( L < ε : ) H : f ( ) = M ε >, δ > tal qe < < δ f ( ) M < ε Como se dice para todo ε y para todo ε entonces spongamos qe ε = ε = ε. Tomemos = min {, } para estar con, en la vecindad de.

13 Cap. Límites de Fnciones f ( ) L < ε Simltáneamente tenemos: ε >, δ > talqe < < δ f ( ) M < ε lo cal qiere decir también qe: ε >, δ > talqe < < δ f ( ) L f ( ) M < ε M f ( ) Por la desigaldad trianglar a b a b, tenemos: f ( ) L M f ( ) f ( ) L M f ( ) a b a b entonces como M L f ( ) L M f ( ) < ε podemos decir qe M L < ε Ahora bien, sponiendo qe ε = M L se prodce na contradicción porqe tendríamos ( M L ) M L < lo cal no es verdad. Por lo tanto, se conclye qe L = M. L.Q.Q.D Ejemplo (na fnción qe no tiene ite en n pnto) Sea f ( ) = sen(). Analicemos s comportamiento en la vecindad de π π π π π π y = sen Se observa qe la fnción en la vecindad de tiene n comportamiento n tanto singlar, ss valores son alternantes. Por tanto, se conclye qe esta fnción no tiene ite en cero. Veamos s gráfica. ( ) y = sen

14 Cap. Límites de Fnciones. LÍMITES LATERALES Eisten fnciones qe por la derecha de n pnto tienen n comportamiento y por la izqierda del pnto tienen otro comportamiento. Esto ocrre frecentemente en fnciones qe tienen regla de correspondencia definida en intervalos y qe s gráfica presenta n salto en n pnto. Para epresar formalmente este comportamiento se hace necesario definir ites en n pnto por na sola dirección... LÍMITE POR DERECHA Cando se aproima a tomar el valor de, <, f se pero sólo por s derecha ( ) < aproima a tomar el valor de L ; significa qe f pede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda ( ε ), para lo cal deberá eistir el correspondiente, qe indica el intervalo en el cal tomar qe nos garantice aqello. Es decir: f ( ) L = ε >, tal qe < < f ( ) L < ε Ejemplo Una fnción creciente en ( ), 4

15 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Una fnción decreciente en ( ),.. LÍMITE POR IZQUIERDA. Cando se aproima a tomar el valor de, pero sólo por s izqierda ( < < ), f se aproima a tomar el valor de L ; significa qe f pede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda ( ε ), para lo cal deberá eistir el correspondiente, qe indica el intervalo en el cal tomar qe nos garantice aqello. Es decir: Ejemplo f ( ) L = ε >, tal qe < < f ( ) L < ε Una fnción decreciente en (, ) 5

16 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Una fnción creciente en (, ) Note qe lo qe se ha hecho es no otra cosa qe separar la definición de ite en n pnto qe fe dada al comienzo. De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite srge el sigiente teorema... TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE Si f es na fnción con ite en entonces se cmple qe tanto por izqierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir: ( f ( ) = L) f ( ) = L f ( ) = L Si se da qe f ( ) f ( ), se dice qe f ( ) no eiste. Ejemplo Sea f ( ) =. Hallar f ( ) : 6

17 Cap. Límites de Fnciones Epresando la regla de correspondencia sin valor absolto, reslta: f ( ) = = ; > ; > ( ) ; < ; < = Esto qiere decir qe s gráfica es: De la gráfica observamos qe f ( ) = f ( ) no eiste. y f ( ) = ; entonces se conclye qe Ejemplo, > Demostrar formalmente qe f ( ) = 6 si f ( ) = 4, =, < Note qe la fnción tiene regla de correspondencia con na definición a la derecha de y otra diferente a la izqierda de, entonces es necesario demostrar qe f ( ) = 6 y qe f ( ) = 6. PRIMERO, ( ) SEGUNDO, = 6 ε >, > tal qe < < 6 < ε ε Si = ; es decir, tomando < < ( ) < < < 6< ε < < garantizamos la afirmación qe = 6. ( ( ) ) ε tal qe ( ) = 6 >, > < < 6 < ε ε ε Si = ; es decir, tomando < < < < ( ) < < < 9 < < 6 < ( ) ( ) < 6< < 6 < garantizamos qe ( ) = 6. 7

18 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo, Demostrar formalmente qe f ( ) no eiste, si f ( ) =, < La fnción tiene regla de correspondencia con na definición a la derecha de y otra diferente a la izqierda de, entonces es necesario demostrar qe ambas definiciones convergen a distintos valores, es f f. decir: ( ) ( ) Note qe, ( ) = y qe ( ) PRIMERO, = ( ( ) ) ε tal qe ( ) = >, > < < < ε SEGUNDO, Si = ε ; es decir, tomando < < ε < < < < < < ( ) garantizamos qe ( ) =. ( ( ) ) ε tal qe ( ) = >, > < < < ε Si = ε ; es decir, tomando < < < < < < < ( ) < < ( ) < ε garantizamos qe ( ) =. Por lo tanto, al demostrar qe f converge a distintos valores en la vecindad de, estamos demostrando f no eiste qe ( ) Ejemplo 4 Demostrar formalmente qe ( ) = ( ( ) ) ε tal qe ( ) = >, > < < < ε No olvide qe a la derecha de el entero mayor de es igal a, es decir =. Transformando el antecedente: ( ) < < < 4< < 4 < < < < < ε ε Si = ; es decir, tomando ( ) < < garantizamos qe ( ) =. 8

19 Cap. Límites de Fnciones Ejercicios Propestos.. Demostrar formalmente tilizando la definición de ites laterales: a. = b. f ( ) = ; si f ( ) c. f ( ) = ; si f ( ) d. ( ) e. ( ) = = 6 7 = 5 4,, <, =, <. Demostrar formalmente qe f ( ) no eiste, si f ( ) =,, <. Trace la gráfica y determine, por inspección, el ite indicado si eiste, si no eiste jstifiqe., <, > = a. f ( ) =, = ; f ( ) b. f ( ) 7, ; f ( ) ; f ( ) c. f ( ) = ; f ( ) 5 4, < d. f ( ) = ; f ( ), f ( ) e. ( ) ( ) ( ), f = Sgn, < 4 μ, > 4 ; f ( ), f ( ) 5 4. Bosqeje la gráfica de na fnción qe cmpla las condiciones sigientes: Dom f = R f es decreciente en (, ) (,) f es creciente en (,) (, ) ε > δ >, [ < < δ f ( ) < ε ] ε > δ >, [ < < δ f ( ) < ε ] ε > δ >, [ < < δ f ( ) < ε ] ( ) = f ( ) = f y f ( ) = 5 5. Bosqeje el gráfico de na fnción qe cmpla las condiciones sigientes: Dom f = R f es creciente en (,) (,) f decreciente en (, ) ε > δ >, [ < < δ f ( ) < ε ] ε > δ >, [ < < δ f ( ) < ε ] ε > δ >, [ < < δ f ( ) 5 < ε ] ( ) = f ( ) = f (6) = f y f ( ) = 9

20 Cap. Límites de Fnciones. TEOREMAS SOBRE LÍMITES.. TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE Sean f y g fnciones con ite en ; es decir, sponga qe f ( ) = L y g ( ) = M. Entonces:... k = k, k R = kf ( ) = k f ( ) = kl, k R 4. [ ] f ( ) g( ) = f( ) g( ) = L M 5. [ ] f ( ) g( ) = f( ) g( ) = L M 6. [ ] f ( g ) ( ) = f( ) g ( ) = LM f ( ) f( ) L = = g g M 7. ( ) ( ) n f ( ) = f( ) = L 8. [ ] 9. n n f ( ) = n f( ) = L n ;siempre qe n, n N ( ) g siempre qe f( ) cando n es par. Demostraciones. ( ) k = k ε >, > / < < k k < ε El consecente de la implicación es verdadero porqe < ε. Por tanto, la proposición es siempre verdadera.. ( ) Si = ε >, > / < < < ε = ε la proposición es verdadera siempre.

21 Cap. Límites de Fnciones. ( ) kf ( ) = kl ε >, > / < < kf ( ) kl < ε Observe el consecente, la epresión kf ( ) kl < ε es eqivalente a ( f ( L) < ε. k ) Por hipótesis, en la cercanía de, f se aproima a L, por tanto kf se aproimará a kl. 4. Debemos demostrar qe si f ( ) = L g( ) = M f ( ) g( ) = L Asegrar qe Y asegrar qe entonces [ ] M f ( ) = L significa qe: >, > tal qe < < f ( ) g( ) = M significa qe: >, > tal qe < < g( ) ε L < ε ε M < ε ε Lo cal qiere decir si tomamos ε = ε = y = min {, } tenemos: ε f ( ) L < ε >, > / < < ε g( ) M < ε ε Smando término a término la desigaldad reslta: f ( ) L g ( ) M < Y por la desigaldad trianglar ( f ( ) L) ( g( ) M ) f ( ) L g( ) M Por lo tanto ( f ( ) g( ) ) ( L M ) < ε Finalmente, se observar qe: ε >, > / < < ( f ( ) g( ) ) ( L M ) < ε lo qe nos asegra qe [ f ( ) g( ) ] = L M El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe qe el recíproco del teorema anterior es falso. Ejemplo Sponga qe se tiene ; > f ( ) = y ; g ( ) = ; ; < entonces ( f g) ( ) = ; ; = Observe qe: f ( ) no eiste y qe g( ) (eiste). Es decir, Si ( g) f g ( ) = tampoco eiste, sin embargo ( ) f es na fnción con ite en n pnto, entonces no podemos asegrar qe f y g también tienen ite en ese pnto

22 Cap. Límites de Fnciones El teorema principal de ite permite establecer ites de ciertas fnciones. Ejemplo Calclar lim( ) Aplicando el teorema principal de ites, tenemos: lim ( ) = lim = lim = = 8 lim lim () lim ( inciso 4 y 5) ( inciso 8, y ) Lo último del ejemplo anterior permite conclir qe con na sstitción basta... TEOREMA DE SUSTITUCIÓN Sea f na fnción polinomial o na fnción racional, entonces f ( ) = f( ) siempre qe f ( ) esté definida y qe el denominador no sea cero para el caso de na fnción racional. De principio o de final, en el cálclo de ite, se empleará el teorema de sstitción. Ejemplo Calclar lim( ) Aplicando el teorema de sstitción, tenemos: lim ( ) = () = 8 Veamos el sigiente otro teorema, my poco tilizado pero necesario en ciertas sitaciones.

23 Cap. Límites de Fnciones.. TEOREMA DEL EMPAREDADO Sean f, g y h fnciones tales qe g( ) f ( ) h( ) para toda próima a " " con la posible ecepción de " ". Si g ( ) = L y h ( ) = L entonces f ( ) = L. DEMOSTRACIÓN. Tenemos tres hipótesis: g ( ) = L ε >, > / < < g ( ) L< ε H : ( ) H : ( ) h ( ) = L ε >, > / < < h ( ) L< ε H : > / < < g( ) f ( ) h( ) Ahora, sponiendo qe ε ε = ε = y tomando = {,, } min, tenemos: g( ) L < ε ε >, > / < < h( ) L < ε g( ) f ( ) h( ) L ε < g( ) < L ε qe qiere decir qe: ε >, > / < < L ε < h( ) < L ε g( ) f ( ) h( ) lo cal significa qe: L ε < g( ) f ( ) h( ) < L ε, y de manera simplificada se podría decir qe: L ε < f ( ) < L ε Por lo tanto ε >, > / < < f ( ) L < ε, qe no es otra cosa qe f ( ) = L L.Q.Q.D. Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado Ejemplo Sea para toda próima a, ecepto en. Hallar f ( ) f( ) Llamemos g( ) = y h ( ) =. Calclando ites tenemos: = ( ) = y h ( ) g ( ) ( ) = =..

24 Cap. Límites de Fnciones Y como g( ) f ( ) h( ) en la vecindad de =, por el teorema del emparedado se conclye qe: f ( ) = O más simplemente: ( ) f( ) ( ) por lo tanto f ( ) = f ( ) Ejemplo Use el teorema del emparedado para demostrar qe: sen = No se pede aplicar la propiedad del prodcto de los ites debido a qe sen no eiste. También hacerlo en término de ε, sería dificilísimo, Por qé?. Por tanto hay qe recrrir a otro mecanismo. La fnción f ( ) = sen es acotada, es decir qe sen. Al mltiplicar por tenemos: sen ; lego tomando ite reslta sen, qe eqivale a sen y llegamos a lo qe qeríamos, es decir: sen =. Ejemplo Sen Hallar Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la fnción f ( ) = Sen sen R R R tg cos 4

25 Cap. Límites de Fnciones Del gráfico tenemos qe: Observe qe A R R R ( tg ) () Area R =, ( ) () A R =, A R = ( cos ) ( tg ) () ( ) ( ) cos sen A A, entonces PRIMERO: Si. Mltiplicando por y dividiendo para sen reslta: ( tg ) () ( ) cos sen sen sen sen cos cos sen sen qe es lo mismo qe cos cos sen tomando ite cos cos sen sen entonces = (sen ) SEGUNDO: En cambio, si. Mltiplicando por y dividiendo para sen reslta: cos (Se invierte el sentido de la desigaldad porqe sen < cos sen sen qe es lo mismo qe: cos cos sen tomando ite: cos cos sen sen entonces = sen Finalmente = Observe la gráfica sen y = Note qe en s gráfica se observa la conclsión anterior. 5

26 Cap. Límites de Fnciones Ejercicios Propestos.. Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de ite.. Use el teorema del emparedado para demostrar qe: 4 a. Sen = = b. ( ) sen. Califiqe cada na de las sigientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser verdadera deméstrela y en caso de ser falsa dé n contraejemplo. a. ( f ( ) ) = L ( f ( ) L) = b. Si ( f ( ) g( ) ) c. Si g( ) 5 ( 4 ), entonces g( ) = 5 d. Si f ( ) no está definida, entonces el e. Si f ( ) eiste, entonces eiste, entonces también eisten f ( ) y g( ) 4 f ( ) eiste f ( ) no eiste f. Sponga qe g es na fnción tal qe g( ) =. Si f es na fnción calqiera, entonces ( fg) ( ) = g. Si f ( ) g( ) para toda, entonces el f ( ) g( ).4 CALCULO DE LÍMITES En el cálclo de ites, la aplicación del teorema de sstitción pede bastar. Ejemplo ( ) Calclar Aplicando el teorema de sstitción: ( ) = = = (El entero mayor de números ligeramente mayores qe es igal a ) Ejemplo Calclar ( ) Aplicando el teorema de sstitción ( ) = = = (El entero mayor de números ligeramente menores qe es igal a ) 6

27 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Calclar ( Sgn( ) ) Aplicando el teorema principal de ites y el teorema de sstitción: Sng = Sng ( ( )) ( ) ( ( )) = ( ) sng ( ) = sng ( ) = = Ejercicios Propestos.4 Calclar: ( Sgn) tan Sgn( ) μ ( ) 8. sen π 9. π cos( ) π. μ( 5) μ( ) μ( ) 5 En otros casos, al calclar ites, na vez aplicado el teorema de sstitción, se reqerirá n trabajo adicional si se presentan resltados de la forma: 7

28 Cap. Límites de Fnciones Los resltados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a qe corresponden a calqier valor. Por ejemplo, tomemos, sponga qe sea igal a na constante c, es decir sería verdadera para todo c. Analice el resto de indeterminaciones. = c entonces = c Ejemplo Calclar 56 () Empleando el teorema de sstitción tenemos = = indeterminación, para destrirla vamos a simplificar la epresión, es decir factorizando: 5 6 ( 6)( ) = = ( 6) 6 = 6 = 7 Y finalmente aplicando el teorema de sstitción: ( ) na Ejemplo 7 Calclar 7( ) Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le epresión: 7 ( )( 5) = = ( 5) Aplicando el Teorema de Sstitción, reslta: ( 5) = 5 = ( ) Ejemplo 5 4 Calclar Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) 4 Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le epresión: 8

29 Cap. Límites de Fnciones ( 7)( ) ( ) 5 4 = = Aplicando el Teorema de Sstitción, reslta: ( ) 7 = 4 7 = 9 4 SEGUNDO METODO: Podemos hacer n Cambio de Variable: =. Este caso =, y cando 4, Por tanto el ite en la neva variable sería: 54 Simplificando la epresión y aplicando en teorema de sstitción: 54 ( 7)( ) = = ( 7) = 9 Ejemplo 4 Calclar Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) Racionalizando el nmerador y simplificando: = = = ( )( ) ( ) Ejemplo 5 Calclar Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar no de los sigientes métodos: PRIMER METODO: Racionalizando el nmerador para diferencia de cadrados y el denominador para diferencias de cbos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (( ) ) ( ) = = 9

30 Cap. Límites de Fnciones SEGUNDO METODO: Cambio de Variable: 6 =. Entonces Si 6 Reemplazando tenemos: = 6 ( )( ) ( ) ( ) Y factorizando: = = = ( )( ) ( ) ( ) Ejemplo 6 Calclar 4 ( ) ( ) = Por qé? Aplicando el teorema principal de ite consideramos Entonces, para el primer ite tenemos: ( ) 4 Y para el segndo ite, reslta: = = 4 4 = Por lo tanto ( )( ) = () = = ( ) ( )( ) = Ejercicios Propestos.5 Calclar: lim 4 4 lim 54 lim lim lim ( a) a lim ( )

31 Cap. Límites de Fnciones sen Otros ites se calclan empleando la epresión = qe en forma sen generalizada sería: = ; donde = ( ) Ejemplo Se podría decir qe ( ) sen k Calclar sen ( k ( ) ) Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) Para encontrar el valor de esta indeterminación, mltiplicamos y dividimos por k, y lego aplicamos el teorema principal de ites: sen k sen ( k) k = k = k() = k k k sen ( k) = ; k Ejemplo sen Calclar sen 5 sen ( ( ) ) Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) sen 5 k ( ( )) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el nmerador y el denominador entre, y lego aplicamos el teorema principal de ites y la formla anterior: sen sen sen = = = sen 5 sen 5 sen Ejemplo cos Calclar cos Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo sigiente:

32 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo 4 cos Calclar sen cos cos cos cos = cos ( k) Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: sen = = ( ) sen sen = = ( cos ) cos ( k ) ( ) cos cos = = = (Indeterminación) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo sigiente: sen ( k) cos( k) cos( k) cos k = cos( k) cos k ( ) ( ( )) ( k) ( ) ( ) sen k = = k ( ) sen k sen k = = ( cos ) k cos ( k) Se pede decir qe cos ( k) k = Ejemplo 5 cos Calclar cos Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) Mltiplicando por el conjgado y aplicando propiedades: cos cos cos cos = cos ( ) sen sen = sen ( cos ) cos sen sen = cos = =

33 Cap. Límites de Fnciones Se pede decir qe ( k) cos = Ejemplo 6 sen sen a Calclar a a Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: PRIMER MÉTODO: Cambiando variable sen a sen a = a a (Indeterminación) = a. Entonces si a, y además = a Reemplazando y simplificando tenemos: sen( a) sen( a) sen a ( sen cos a cossen a) sen a = sen cos a cossen asen a = sencosa ( cos) sen a = sencosa ( cos) sen a = sen ( cos ) = cosa sen a lí m = cos a() sena() = cosa SEGUNDO MÉTODO: a a Empleando la identidad: sen sen a = cos sen a a cos sen sen sen a = a a a a Al denominador lo dividimos y mltiplicamos por, y lego separamos los ites aplicando el teorema principal de ites (el ite del prodcto es el prodcto de los ites) a a a a cos sen cos sen = a a a a a = cos a Ejemplo 7 π ( ) sen Calclar ( ) π sen( ) Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = = (Indeterminación) ( )

34 Cap. Límites de Fnciones Haciendo cambio de variable: = entonces = y si entonces Reemplazando y simplificando: π ( ) ( ) sen = π ( ( )) sen π π ( ) sen = sen cos cos sen = π π sen( )( ) cos( )( ) = π cos( ) = π π π π ( ) ( ) ( ) ( ) cos k El último ite se lo pede calclar directamente con la formla k π cos π 9π ( ) 4 9π = = = 8 El resltado se lo pede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico. Mltiplicando por el conjgado y simplificando: ( ) ( ) π ( ) ( ) k ( ) π ( ) π ( ) π ( ) cos cos cos sen = cos π π π = cos cos Mltiplicando y dividiendo por π y obteniendo ite: π ( ) π sen π cos π ( ) π = ( ) π π sen ( ) cos = π ( ) π ( ) sen π cos( ) π = = 9π 8 = 4

35 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo 8 Calclar cos Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = (Indeterminación) cos Mltiplicando por el conjgado del radical, simplificando y lego calclando: cos cos = cos cos cos = cos sen = = = = cos sen = cos sen cos sen cos sen Ejercicios propestos.6 Calclar:. sen tan. sen cos. sen π π ( ) tan 4. ( ) tan( π ) π cos π π sen cos π π cot tan ( ) arcsen arctan sen 5

36 Cap. Límites de Fnciones Otro tipo de ite interesante, cyo resltado nos va ha resltar útil en el cálclo de otros ites, es el de ( ) Hagamos na tabla de valores: y f ( ) = cando tiende a. ( ) = Se observa qe: ( ) = e HAY QUE DEMOSTRARLO! e y = ( ) Más generalmente tenemos qe ( ) Ejemplo Calclar ( ) sen = e donde () Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos ( ) =. sen = (Indeterminación) = e. Para calclar el valor de esta indeterminación tilizamos ( ) Si consideramos = sen, notamos qe necesitamos en el eponente el recíproco de esta epresión, por tanto al eponente lo mltiplicamos y dividimos por sen : sen sen sen sen ( sen ) = ( sen ) = e = e e 6

37 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Calclar ( cos ) Note qe la epresión dada es na indeterminación de la forma Para tilizar ( ). = e primero smemos y restemos a la base, es decir vamos a tener: ( ( cos ) ) lego consideramos = cos y mltiplicamos y dividimos al eponente por esta epresión: Por tanto: cos cos cos ( ( cos ) ) = e e ( ) cos e = =. Ejemplo Calclar Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: = = () (Indeterminación) Smamos y restamos a la base: = ( ) = = Mltiplicamos y dividimos el eponente por : = = = = e e ( ) ( ) e e = e 7

38 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo 4 Calclar 4 k k π tan k Aplicando el Teorema de Sstitción, tenemos: π πk tan tan k k k π tan 4 = 4 = ( 4 ) = (Indeterminación) k k k Cambiemos el 4 por y mltipliqemos y dividimos el eponente por el término qe necesitamos: π π tan tan k k 4 = k k k k = k k k e = e tan π k k k π tan k k Dediqémonos al eponente. Hagamos el cambio de variable = k de donde = k y si k entonces. Finalmente: ( k) π ( k) π tan = tan k k k k k k π πk = tan k k k k π π = tan k k π π sen k = k π π cos k π π π π sen cos cos sen = ( k k ) k π π π π cos cos sen sen k k π 6 tan = k k k π π tan 6 k π 4 = e k k π cos k = ( ) k π sen k π cos k ( = ) = k π k π sen π k k k π k 8

39 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo 5 k a Calclar Sstityendo tenemos k a () Considerando = a k =, entonces = ln( ). k ln a y si también Haciendo cambio de variable, tenemos: = kln a = kln a ( ) ( ) ln ln ln k a ln ( ) Mltiplicando, nmerador y denominador por, reslta: ( ) kln a = kln a = kln a = kln a = kln a ln ( ) ln ( ) ln e e El resltado a k = kln a pede ser tilizado para calclar otros ites. Ejemplo 4 Calclar Empleando el resltado anterior: = ln Ejemplo Calclar Primero restamos y smamos al nmerador y lego separamos para calclar los ites: = 4 ( 5 ) = 4 5 = 4 5 = ln 4ln 5 9

40 Cap. Límites de Fnciones Ejercicios Propestos.7 Calclar: tan. ( ) csc cos. ( ) csc π cos. ( ) sen 4. ( ) tan π ( ) tan π 8. e 9. a b e e sen e e... tan a b h h a a a ; a > h h. ( ) 4. e ln cos ( ( a) ) ( ( b) ) ln cos Para otros tipos de ites habrá qe etremarse con el so de los recrsos algebraicos. Ejemplo Demestre qe n k k = n Por prodcto notable se pede decir qe: n n n n n n n n n n n n ( k) ( k ) ( k ) ( k ) ( ) ( k ) ( ) ( = ) n n n n n = ( k ) ( k ) ( k ) n términos Entonces, mltiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calclando el ite: n n n ( k ) ( k ) n ( k ) n n ( k ) n ( k ) n k n = n n k k = n ( k) = n n n n ( k) ( k) k = n n n n ( k) ( k) k = n n n n ( k ) ( k ) k = n n n ( k ( ) ) n ( k ( ) ) k = n veces 4

41 Cap. Límites de Fnciones El resltado anterior pesto de forma general n k = ser tilizado para calclar rápidamente otros ites. k n pede Ejemplo 7 Calclar Anqe este ite se lo pede calclar empleando el factor racionalizante para diferencia de cbos (no deje de hacerlo), vamos a emplear el resltado qe obtvimos en el ejercicio anterior. 7( 7 ) 7 = 7 7 = 7 7 = n 7 k = 7 7 = = 7 Ejemplo Calclar 5 Primero es necesario n cambio de variable, de modo qe la neva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder tilizar la formla. Hagamos = de donde = y. Reemplazando, simplificando y calclando el ite: 4

42 Cap. Límites de Fnciones 5 5 = = = = = = ( ) = 5 = = 5 8 Ejemplo 4 Calclar lim 4 Restamos y smamos al nmerador, dividimos para y lego separaramos los ites: lim = lim 4 4 = lim = lim 4 4 ( ) 4 lim lim = lim 4 4 lim 6 = = 4

43 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo 5 Calclar lim Aqí = de donde = y. Reemplazando, simplificando y calclar el ite: 4 4 lim = lim ( ) ( ) ( ) = lim 4 6 = lim 6( 6 ) 4 = lim 6 4 = lim = lim 4 = lim 8 4 = lim = lim 4 8 lim lim = lim lim 47 = = =6 = 6 Ejercicios Propestos.8 Calclar:

44 Cap. Límites de Fnciones.5 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones pede ser necesario estdiar el comportamiento de na fnción cando la toma valores my grandes, diremos cando tiende al infinito. Sponga qe f se aproima a tomar n valor L cando la variable toma valores my grandes, este comportamiento lo escribiremos de la sigiente manera f ( ) = L Ejemplo Formalmente sería: Decir qe f ( ) = L significa qe f pede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo ( ε > ), para lo cal deberá poderse determinar el intervalo en el cal tomar a, N (na cantidad my grande), qe lo garantice. Es decir: ( ) f( ) = L ε >, N > tal qe > N f( ) L < ε 44

45 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Sponga ahora qe f se aproima a tomar n valor L cando la toma valores my grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la sigiente manera f ( ) = L. Ejemplo Formalmente sería: Decir qe f ( ) = L significa qe f pede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo, ε >, para lo cal deberá poderse determinar el intervalo en el cal tomar a, N (na cantidad my grande), qe lo garantice. Es decir: ( ) f( ) = L ε >, N > tal qe <N f( ) L < ε 45

46 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Observe qe para los casos anteriores significa qe la gráfica de f tiene na asíntota horizontal y= L. Aqí también podemos hacer demostraciones formales Ejemplo Demostrar formalmente qe = Empleando la definición tenemos: = >, Transformando el antecedente: ε N > tal qe > N < ε > N < N Se observa qe tomando N = asegraríamos el acercamiento. ε Por ejemplo si se qisiera qe y = esté a menos de ε =. de, bastaría con tomar a es decir >. >. Para calclar ites al infinito, salmente n recrso útil es dividir para de mayor eponente si se trata de fnciones racionales. 46

47 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Calclar 5 Aqí se presenta la indeterminación: Dividiendo nmerador y denominador para, tenemos: k = = (No olvide qe ; k ) Este resltado indica qe la gráfica de f ( ) = tiene na asíntota horizontal 5 y = 5 Ejemplo Calclar Aqí se presenta la indeterminación: Dividiendo nmerador y denominador para : Al introdcir la dentro del radical qedará como : = = Este resltado indica qe la gráfica de f ( ) = tiene na asíntota horizontal y = en el infinito positivo. Ejemplo Calclar Ahora se presenta la indeterminación: Aqí hay qe dividir nmerador y denominador para : 47

48 Cap. Límites de Fnciones Al introdcir la dentro del radical qedará como : = = Este resltado indica qe la gráfica de f ( ) = infinito negativo. tiene na asíntota horizontal y = en el Ejemplo 4 Calclar lim ( ) Ahora se presenta la indeterminación:. Vamos primero a racionalizarla y lego dividimos para el con mayor eponente: ( ) lim ( ) ( ) ( ) = lim = lim lim = = = En otros ejercicios de cálclo de ite al infinito se pede reqerir emplear la = e DEMUÉSTRELA! identidad: ( ) Ejemplo Calclar ( ). Solción: Para tilizar la forma anterior, transformamos el ite: ( ) e = k Se pede conclir qe: ( ) = e k 48

49 Cap. Límites de Fnciones Ejercicios propestos.9. Demostrar formalmente qe =. Calclar: ( ) ( ) ( ) 5 5 ( )( 5)( 46) sen(! ) ( ) 6 9. ( ). ( ) 4. ( ).. 4. ln 5 49

50 Cap. Límites de Fnciones.6 LÍMITES INFINITOS Sponga qe cando toma valores próimos a n pnto, tanto por izqierda como por derecha, f toma valores my grandes positivo; es decir f ( ) =. Diremos, en este caso, qe f crece sin ite o qe f no tiene ite en. Sea M na cantidad my grande positiva. Entonces f( ) = significa qe cando a está próima a ", a na distancia no mayor de ( < < ), f será mayor qe M. Es decir: f ( ) = M >, > tal qe < < f ( ) > M Ejemplo Pede ocrrir también qe cando la toma valores próimos a n pnto, tanto por izqierda como por derecha, f toma valores my grandes negativos; es decir f ( ) =. Diremos, en este caso, qe f decrece sin ite o qe f no tiene ite en. Es decir: 5

51 Cap. Límites de Fnciones Sea M na cantidad my grande positiva. Entonces: f ( ) = M >, > tal qe < < f ( ) < M Ejemplo Para otro caso, pede ocrrir qe cando la toma valores próimos a n pnto, sólo por s derecha, f toma valores my grandes; es decir f ( ) =. Lo cal significa: Sea M na cantidad my grande positiva. Entonces: f( ) = M >, > tal qe < < f ( ) > M 5

52 Cap. Límites de Fnciones Ejemplo Observe qe este comportamiento significa qe la gráfica tiene na asíntota vertical =. Ejemplo Calclar lim ( ) Empleando el teorema de sstitción: lim = = = (No eiste) ( ) ( ) La gráfica de f ( ) crece sin ite. = ( ) tiene na asíntota vertical = y tanto por izqierda como por derecha la grafica Ejemplo Calclar lim Empleando el teorema de sstitción: 5 lim = = = (No eiste) La gráfica de f ( ) = tiene na asíntota vertical = y por s derecha la grafica crece sin ite. PREGUNTA: Qé ocrre a la izqierda?. Se peden describir otros comportamientos. 5

53 Cap. Límites de Fnciones.7 OTROS LÍMITES. Para decir f ( ) =, f toma valores my grandes positivos cada vez qe la toma valores también grandes positivos; debemos asegrar qe: M >, N > tal qe > N f ( ) > M Ejemplo Ejercicios Propestos.. Defina formalmente y describa gráficamente: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = f) f ( ) =. Demestre formalmente qe: a) = b) =. Calclar:. lim. lim. lim lim lim lim 5

54 Cap. Límites de Fnciones lim 7 lim lim. lim 5 4. Bosqeje la gráfica de na fnción qe cmpla con lo sigiente: Dom f =,,, ( ) [ ] ( ) f ( ) = = = N >, > [ < < f ( ) > N] N >, > [ < < f ( ) > N] ε >, M > [ > M f ( ) < ε ] ε >, M > [ < M f ( ) < ε ] f ( ) = 5. Bosqeje el gráfico de na fnción qe satisfaga las condiciones sigientes: ε > >, < < f ( ) < ε [ ] ε > >, [ < < f ( ) < ε ] ε > N >, [ > N f ( ) < ε ] M > >, [ < < f ( ) > M ] f ( ) = Misceláneos. Califiqe cada na de las proposiciones sigientes como verdadera o falsa. Jstifiqe formalmente.. f ( ) 5 Si =, entonces f ( ) =. Si f y g son fnciones tales qe f ( ) = y g( ) =, entonces g( ) f ( ) =. Sea a f na fnción de variable real tal qe f ( ) eiste y =. Entonces a a f ( ) f ( ) =. a 4. Sean f y g fnciones tales qe f ( ) = y g( ) =. Entonces el a a f ( ) no eiste. a g ( ) 5. Sean f y g fnciones tales qe g( ) = e y f ( ) = ln( g( ) ). Entonces ( f g) ( ) = a a 6. f ( ) Si = entonces f ( ) = f ( ) g( ) eiste, entonces eisten f ( ) g 7. Si [ ] y ( ) a a a 8. Si f ( ) g( ) para toda, entonces f ( ) g( ) a a f ( ) 9. Si eiste y f ( ) = entonces g( ) = a a a g( ). Si f y g son fnciones definidas en IR entonces: a IR ( f ( g( )) = f ( g( ) ) a a 54

55 Cap. Límites de Fnciones a a. Si eiste entonces a =. a a eiste y f ( ) eiste entonces g( ) eiste. a a a. Si f ( ) = entonces f ( ) =. Si [ f ( ) g( ) ] a 4. ( ) a ( ) ε ( ) = >, >, < < < ε 5. Si f ( ) = y g( ) = entonces f ( ) g( ) =. 6. Eisten dos fnciones de variable real f y g tales qe f ( ) = g( ) = f ( ) = e g( ) ( ) f 7. Si f( ) = y = entonces g ( ) = g ( ) f( ) 8. No eisten dos fnciones f y g tales qe f( ) =, g ( ) = y = 5 g ( ) f ( ) g( ) 9. Si f ( ) =, g( ) =, entonces = a a a f ( ) g( ) y. Empleando la definición de ite, demestre qe:. =. = 5. = 4. 4 = = 4. Determine e cos sen 4 cos cos 5 e e cos π π 4 π tan 4 π arctan 8. e 9. ( sen ) π 4 tan. sen sen arctan ( ) arctan.. arcsen arcsen. sen Sgn( ) ( μ( ) ) sen( sen ) ( ) 8. ( ) tan ( ) π π

56 Cap. Límites de Fnciones e cos. sen 5. ln ( ) ln ( ). arctan ln( e ) ( cot ) sec π 6. f ( ) donde cos ; < f( ) = 5 ; = sen tan ; > sen 7 e e 7. sen tan9 8. sen 9. cos. ( ) π sen( 6 ). π 6 cos cos. sen ln. ( ) cos cot 6. ( ) 5 e cos 7. e cos 8. sen ( ) a 4. a 4. Calclar f ( ) f ( ) si < para 5. Bosqeje la gráfica de na fnción qe cmpla con lo sigiente: ε >, > : < < f ( ) < ε N >, > : < < f ( ) > N N >, > : < < f( ) < N ε >, M > : > M f ( ) < ε ε >, M > : <M f( ) < ε 6. Bosqeje la gráfica de na fnción qe cmpla con lo sigiente: Dom f =,,, ( ) ( ) ( ) ε >, > [ < < f ( ) < ε ] M >, > [ < < f ( ) < M ] M >, > [ < < f ( ) > M ] M >, > [ < < f ( ) > M ] ε >, N > [ > N f ( ) < ε ] ε >, N > [ < N f ( ) < ε ] 56