REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

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1 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrile rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució ivers. Líite de u fució. Fucioes covergetes.. Líites lterles... Propieddes de los líites. Distitos tipos de líites.. Líites ifiitos cudo tiede u úero rel sítot verticl.. Líites fiitos cudo tiede ifiito sítot horizotl.. Líites ifiitos cudo tiede ifiito 6. Cálculo de líites 6.. Opercioes co líites de fucioes. Idetericioes 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.6. Resolució de idetericioes del tipo 6.7. Resolució de idetericioes del tipo Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

2 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Coteto co l P.A.U. E los eáees de l PAU por lo geerl hy u prole putos e cd u de ls dos opcioes del loque de álisis y u o dos cuestioes puto cd u e cd opció. De est for el loque de álisis es de los tres el ás iportte. Este te es ásico pr el coociieto y doiio de ls fucioes que e los tes siguietes ordreos co deteiieto. Por lo geerl e el ee de l PAU o hy proles i cuestioes reltivs específicete relciods co este te, si ie el o doir los coceptos que se plte e l uidd hrá dificultoso, por o decir iposile, relizr los ejercicios del ee relciodos co este Bloque I. Nótese que co stte siduidd e el ee de l PAU hy u o dos cuestioes relciods co el cálculo de líites de fucioes, si ie por lo geerl se resuelve prtir del teore de L Hopitl que vereos e el te. Si ie e lgu ocsió estos líites se resuelve edite los étodos de resolució que vereos e este te, e especil los líites relciodos co el úero e, y los líites de fucioes rcioles. José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

3 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Fucioes reles de vrile rel. Doiio de u fució Ls fucioes se utiliz e uerosos de cpos, tto de ls ciecis físic, iologí, quíic coo e otros cpos coo l ecooí etre otros. Defios fucioes reles de vrile rel: Defiició: U fució rel de vrile rel es u plicció o correspodeci etre u sucojuto de R, lldo doiio de l fució Dof,y otro sucojuto de R lldo cojuto ige o recorrido de l fució If, tl que cd eleeto de Dof le correspod u úico eleeto de If. U for hitul de epresr ls fucioes es: f : R R y f Ejeplos de fucioes: yf - Gráfic f : R R y f Coo puedes ver e l gráfic de l fució cd vlor del cojuto doiio eje OX le correspode u úico vlor del cojuto ige eje OY Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

4 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Veos l siguiete gráfic que represet ls solucioes de l epresió y : E este cso l gráfic o represet u fució, pues pr cd eleeto del doiio eje le correspode dos vlores. Por ejeplo, l solució es y e y-, que o es u vlor úico coo deerí de ser ls fucioes. E este cso tedreos que ls solució de l ecució de segudo grdo viee dds por dos fucioes: y r eci del eje OX, y- r por dejo del eje OX.. Doiio de ls fucioes ás usules E este prtdo vos ver el estudio del doiio de ls fucioes reles de vrile rel ás usules e utilizds: Fucioes polióics: so fucioes del tipo yf, es decir f es u polioio. El doiio de ests fucioes es todo úero rel, y que pr culquier vlor de, por ejeplo, l fució tiee setido siedo su ige y. Luego e ests fucioes DofR P Fucioes rcioles frccioris: so del tipo yf co P y Q Q polioios. El doiio de l fució será todos los úero reles ecepto quellos e que ul el deoidor solucioes de Q y que o se puede dividir etre cero. Así e ests fucioes DofR-{:Q} Ejeplo: f DofR-{,,-} Fucioes irrcioles: so del tipo f José L. Lorete Argó loretejl@gil.co g, dos csos: o si es ipr el doiio de f es el iso que el de g, pues ls ríces ipres de úeros egtivos so vlores reles. Así teeos que DofDog o si es pr etoces el doiio de f es el cojuto de úeros del doio de g tles que g, y que ls ríces de úeros egtivos o so úeros reles. Así Dof{ Dog: g }

5 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Ejeplo: y f Dof{: } Dof-,-] [-, Fucioes epoeciles: y g su doiio es el iso que el doiio del epoete g. Así e ests fucioes DogDof Fucioes logrítics: flog g el doiio es el cojuto de putos del doiio de g e los que se cuple g>, pues o eiste solució e los reles el logrito co rgueto egtivo i cero. Así e ests fucioes Dog{ Dof:f>} Ejeplo: yf log el doiio de g es R-{}, veos el doiio de f >: Dof, -, Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

6 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Coposició de fucioes. Propieddes Defiició: dds dos fucioes f y g tles que If Dog se ll fució copuest de f co g y se deot g º f l fució defiid de l siguiete for: g º fg[f], es decir l ige e g º f de es l ige del puto f e g: g º f R R R f gf Ejeplos: f gse g º fse ; f º gse Propieddes:. Asocitiv: h º g º fh º g º f. No couttiv: e geerl l coposició de fucioes o es couttiv g º f f º g, ver ejeplo terior se se. Fució Ivers Defiició: l fució ivers de u fució f iyectiv o eiste dos vlores y Dof tl que f f es otr fució, que se deot por f -, tl que se cuple: f º f - f - ºfid Dof Do f f If f - Ejeplos: yf- -y/ f -. fº f - - yl ye Represetció gráfic de ls fució ivers: l propiedd ás iportte de ls fucioes iverss es que l gráfic de f es siétric f - respecto l isectriz del prier cudrte, y. 6 José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

7 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Ejeplos: Ejercicio. Se ls siguietes fucioes f, g, h siguietes coposicioes: g f h, f g h, c h g f g o f o h go f o h go f g f - - o go h f o go h f o g f c ho go f ho go f ho g h h / relizr ls Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE 7

8 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Líites de u fució. Fucioes covergetes L ide ituitiv de líite de u fució e u puto es el uero hci el que tiede o se proi los vlores que to l fució cudo l vrile idepediete,, tiede o se proi dicho puto. Ejeplo: se f el líite de l fució cudo tiede es ifiito, y que cuto se proie ás etoces - ás próio cero positivo, y por tto l fució se hce ás grde /.. Defiició: teáticete u fució f tiee líite L cudo tiede u vlor, y se deot f L si se cuple: f L ε > ; δ > : < δ f L < ε El sigificdo de l defiició es que se cul se el etoro de L eiste u etoro de tl que e este etoro l fució detro del etoro de L.Veáoslo gráficete: Lε L L-ε ε ε δ δ Vos cosiderr dos csos diferetes: f L y f L f L pero f L -δ δ Ejeplo: f f f Veos l gráfic de l fució: 8 José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

9 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites g si si g g Defiició: u fució f se dice que es covergete e si eiste el líite f L. Pr que f se covergete e o es ecesrio que perteezc l doiio, por ejeplo g si g, Do g. Líites lterles Eiste fucioes defiids trozos, que está defiids de diferete er l izquierd y derech de u puto. E ests fucioes cudo quereos estudir el líite e los putos dode ci l epresió lític es ecesrio clculr los líites lterles, que estudi l tedeci de l fució os ldos del puto. Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE 9

10 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Defiició: u fució f tiee líite L cudo tiede u vlor por l izquierd, y se deot f L si se cuple: f L ε > ; δ > : δ < < f L < ε Cosiste e estudir el coportieto de l fució e el etoro l izquierd de. Defiició: u fució f tiee líite L cudo tiede u vlor por l derech, y se deot f L si se cuple: f L ε > ; δ > : δ > > f L < ε Cosiste e estudir el coportieto de l fució e todo etoro l derech de. Teore: El líite de u fució f e eiste si y sólo si eiste los líites lterles y estos coicide: f f L f f L f L f L Este teore será uy iportte e los ejercicios de l PAU dode se os pide estudir l cotiuidd de fucioes defiids trozs.. Propieddes de los líites:. Si u fució es covergete e u puto est fució cotd e u etoro del puto.. Se f y g dos fucioes covergetes e tl que f L g L' se cuple: fg es covergete e tl que f g L L' f-g es covergete e tl que f g L L' c f g es covergete e tl que f g L L' d f/g es covergete e si L tl que f / g L / L' y José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

11 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Ejercicio: Dd l fució f co l siguiete gráfic, clculr los líites: f co Z f f co Z f c f co Z f o eiste pues f f Hllr el ite, si eiste de f - cudo tiede cero Siepre que tegos u fució co vlor soluto, l redefiireos coo u fució defiid trozos, de tl for que si lo que está detro del vlor soluto es egtivo ci de sigo, y si es positivo o ci de sigo. si f si > Not: el igul se puede poer e culquier de los dos trozos de l fució pero sólo e uo f, f f Veos l gráfic de l fució: Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

12 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Hllr el ite, si eiste de f - cudo tiede y - Defios l fució coo u fució trozos. E este cso - es egtivo e el itervlo -,. f f si si si < <, f f f, f f. Distitos tipos de líites. Líites ifiitos cudo tiede u úero rel sítot verticl E este prtdo vos estudir el cso de fucioes que cuto ás se proi u vlor ie por l izquierd, por l derech o por los dos, l fució se hce ifiitete grde tiede o pequeñ tiede -. Cudo esto ocurre se dice que l fució f tiee sutot verticl e Veos los siguietes csos: Defiició: U fució f tiee ite cudo tiede por l izquierd si cudo pr todo vlor K eiste u etoro l izquierd de tl que l fució e este etoro yor que K. Mteáticete f K > δ > : δ, f > K Ejeplo: f si si < f y que cuto ás se proie por l izquierd etoces - ás pequeño y positivo y por tto f ás grde. Es decir, cudo - etoces l fució f- Veos l gráfic: José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

13 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE Defiició: U fució f tiee ite cudo tiede por l derech si cudo pr todo vlor K eiste u etoro l derech de tl que l fució e este etoro yor que K. Mteáticete K f K f > > >, : δ δ Defiició: U fució f tiee ite cudo tiede cudo pr todo vlor K eiste u etoro de tl que l fució e este etoro yor que K. Es decir tiede por l izquierd y l derech. Mteáticete K f K f > > >, : δ δ δ Ejeplo: f f f f Veos l gráfic de l fució y sí podreos iterpretr el sigificdo del líite:

14 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites De igul for que heos estudido el líite, el líite - es equivlete, sólo hy que cir K por K f K < δ > :, δ f K < δ > : δ, f K < δ > : δ, δ f < K f < K f < K Muchs veces ls fucioes f tiede por u ldo de y - por el otro ldo de, cudo esto ocurre el f o eiste, y que pr eistir dee coicidir los líites lterles. Ejeplo: f, Veos l gráfic: o eiste José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

15 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Defiició: L fució f tiee sítot verticl e cudo eiste lguo de estos 6 líites: f, f, f f, f, f. Líites fiitos cudo tiede ifiito sítot horizotl E este prtdo el coportieto de lgus fucioes que cudo l to vlores uy grdes o uy pequeños l fució se proi cd vez ás u vlor L. Cudo esto ocurre se dice que f tiede L cudo tiede o -. Veos l defiició: Defiició: u fució f tiee por líite u úero rel L cudo tiede, si se cuple: f L ε >, K > : > K f L < ε Iterpretció gráfic defiició: Cogeos u etoro e y próio l líite L, etoces ecotros u vlor de K tl que pr vlores de yores que K l fució y detro del etoro de L, por tto tiee u sítot horizotl yl Ejeplo: y/ ε L K Defiició: u fució f tiee u sítot horizotl e yy si se cuple u de ls siguietes codicioes o ls : f y f y Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

16 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Líites ifiitos cudo tiede ifiito E este últio prtdo estudireos csos: f f c f d f f K >, M R : > M f > K Ejeplo: K M f K <, M R : > M f < K Ejeplo: y- M K 6 José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

17 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites c f K >, M R : < M f > K Ejeplo: yf, K M d f K <, M R : < M f < K Ejeplo: yf- M K Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE 7

18 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites 6. Cálculo de líites 6. Opercioes co líites. Idetericioes E el prtdo. vios ls propieddes de los líites, y coo se relcio los líites de dos fucioes cudo ests fucioes está sudo, ultiplicdo y dividiedo. Al her líites cuyo vlor es y -, tedreos que ver coo se su, y ultiplic los úeros co ±. Veáoslo: Su y difereci: R ±± --- Producto: R > ejeplo - R - -< - ejeplo R > -- ejeplo - R - -< - - ejeplo Cociete: R ejeplo ± R ± ± ejeplo - R - ± ejeplo Epoete: R > ejeplo R << ejeplo R > ejeplo R << ejeplo 8 José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

19 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE 9 Idetericioes: -, - ejeplo ± ejeplo ejeplo ± ejeplo ± ± ejeplo 6 ejeplo 7 ejeplo: 6. Resolució de idetericioes del tipo Ls situcioes ás siples e ls que prece es l clculr los líites ifiitos de frccioes polióics. Ests idetericioes se resuelve dividiedo el uerdor y el deoidor por l ái poteci de del deoidor Ejeplos: c

20 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites José L. Lorete Argó loretejl@gil.co Coclusió: > > > < si si c Estos o so los úicos tipos de líites e dode prece l ideterició, veos otros csos diferetes... >... > log... >... log > 6.. Resolució de idetericioes del tipo Aprece este tipo de líites priciplete e csos diferetes: Cociete de fucioes polióics: se resuelve descopoiedo fctorilete uerdor y deoidor Ejeplos: 8 7 6

21 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Cociete co fucioes rcioles: se resuelve ultiplicdo uerdor y deoido por l epresió cojugd de l que llev ríz: Ejeplos: 6.. Resolució de idetericioes del tipo Este líite puede ser, - o o eistir por ser los líites lterles diferetes. Se clcul prtir de los líites lterles: Ejeplo: o eiste el líite 6.. Resolució de idetericioes del tipo Se resuelve trsforádols e idetericioes del tipo o. Ejeplo: Resolució de idetericioes del tipo - Ls idetericioes de este tipo co fucioes irrcioles se resuelve ultiplicdo y dividiedo l fució por el cojugdo: Ejeplo: Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

22 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites 6.7. Resolució de idetericioes del tipo Ests idetericioes está relciods co el úero e. Se clcul de l siguiete for: f f e g g f g g f e Ejeplo: e e e e Ejercicios Clcul e ls siguietes fucioes represetds los siguietes dtos: f-, f-, f, f Dof f, f, f, f oeiste, f o eiste f, f, f o eiste, f c g, g, g, g, g, g, g o eiste, g o eiste Clculr el líite: e e e e e o eiste e e José L. Lorete Argó loretejl@gil.co

23 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites 6 Clcul cuáto dee vler pr qye ls siguiete fució teg líite cudo si tiede : f si > f, f, el líite f eiste siepre que. 7 Siedo f clculr el siguiete líite: f f 8 Clculr los siguietes líites,, c id o eiste d id e, f g, h i j 6 l o 6 p q 6 o eiste r s Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

24 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites José L. Lorete Argó loretejl@gil.co t u o eiste v o eiste w 6 6 e e e y e e e e z e e 9 c

25 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Ejercicios PAU Septiere. Prue B. C-. Deteríese el vlor del práetro pr que se verifique. puto Aputes de Mteátics II ºBchillerto pr preprr el ee de l PAU LOE

26 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites 6 José L. Lorete Argó loretejl@gil.co