12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x)
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- Jaime Torres Miranda
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1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A P L I C A L A T E O R Í A Representa las siguientes funciones: Representa las siguientes funciones: a) Ent() signo( ) a) a) a) Ent () signo ( ) 366 SOLUCIONARIO
2 3 Representa las siguientes funciones: a) log sen a) log 0 sen π/ π 3π/ π Representa la siguiente función: / si < 0 { 3 si Ó 0 4 Representa la siguiente función: + 4 si Ì { si >. Límites Completa la tabla y estima el valor al que tiende la función cuando tiende al infinito: P I E N S A C A L C U L A / y / 0 0, 00 0, , , , ,00000 y 0 6 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) +@ ( a) ( ) = +@ ( A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. LÍMITES DERIVADAS 367
3 7 Calcula los siguientes ites y representa la función correspondiente: a) ( + )( ) a) = [ ] = = 0 = ( + ) = 4 Gráfica: = [ ] = = ( + 4) = = 4 4 Gráfica: Calcula mentalmente los siguientes ites: 5 a) @ n c) 3 + d) n +@ n 3 3 n e) + 5 f) n +@ 4n a) = +@ n 3 + c) = n +@ n d) +@ n + 5 e) = 0 n +@ 4n f) La derivada Un coche va de Asturias a Andalucía; recorre 00 km en horas. Cuál es su velocidad media? Velocidad media = 00 = 00 km/h P I E N S A C A L C U L A 36 SOLUCIONARIO
4 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 9 f() = 3 + en [, 4] f(4) f() 3 7 TVM[, 4] = = = f() = en [, 3] f(3) f() 3 TVM[, 3] = = = 5 3 f() = en [, 3] f(3) f() /3 TVM[, 3] = = = 3 3 f() = en [0, 4] f(4) f(0) 0 TVM[0, 4] = = = Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 7 3 y = 0 y = 9 y = 0 5 y = y = A P L I C A L A T E O R Í A Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 3 f() = + 3 en = f () = 4 f() = 3 + en = f () = y = y = (3 + 5) 4 5 f() = en = 3 f (3) = 6 6 f() = + 3 en = f () = 4 y = (3 + 5) 3 5 e y = e 6 e 3 5 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 369
5 y = 3e L y = L (3 ) 3 y = 3 9 L ( + 5 6) + 5 y = y = 7 3 e y = ( + )e L y = + L e L e y = e L + ( ) e y = 3 y = e y = (3 + ) 4. Aplicaciones de la derivada Si la pendiente de una recta es m =, calcula la pendiente m de cualquier recta perpendicular. Las pendientes son inversas y opuestas, m = P I E N S A C A L C U L A 370 SOLUCIONARIO
6 37 Halla la recta tangente a la curva + para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: 4 f() = + P(, 3) A P L I C A L A T E O R Í A y = 6 6 = 0, = 3, 4,A(3, 4) y = f () = > 0 ò A(3, 4) mínimo relativo. f() = A(3, 4) 3 Calcula la recta normal a la curva 5 para =. Dibuja la función y la recta normal. Recta normal: 4 f() = 5 4 P(, ) 4 Halla los máimos y mínimos relativos de la función + 4. Dibuja la función. y = = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = < 0 ò A(, 4) Máimo relativo. A(, 4) Halla las rectas tangente y normal a la curva para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: Recta normal: + 4 f() = P(, 4) 4 4 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función Dibuja la función. 4 f() = + 4 Calcula el crecimiento de la función 3. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = > 0 ò A(, 4) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () 0 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 37
7 y = f (0) = f () + 0 ( ) = (, ( ) = 44 Calcula el crecimiento de la función 3. Dibuja la función. y = 3 > 0, es siempre creciente. f() = 3 f() = 3 A(, 4) 43 Halla el crecimiento de la función Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = = 0, = 3, 5,A(3, 5) y = f (3) = < 0 ò A(3, 5) Máimo relativo. 45 Halla el crecimiento de la función. Dibuja la función. y = < 0, es siempre decreciente. f() = Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () 0 3 y = + 6 f (0) = + f () ( ) = ( ) = (3, f() = P(3, 5) 46 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función 3 3 y = = 0, = 0, =, =, = =,,A(, ) =,, B(, ) y = 6 f () = 6 > 0 ò A(, ) Mínimo relativo. f ( ) = 6 < 0 ò B(, ) Máimo relativo. 37 SOLUCIONARIO
8 Ejercicios y problemas. Funciones especiales 47 Representa la siguiente función: Ent(/) 5 Representa la siguiente función: si Ì 0 { si > 0 4 Representa la siguiente función: Signo( ) 5 Representa la siguiente función: si < { log/ si Ó 49 Representa la siguiente función: 3 3. Límites 53 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) +@ ( a) ( ) +@ 50 Representa la siguiente función en el intervalo [0, π]: cos 0 cos π/ 3π/ π π ( ) 54 Calcula el siguiente ite: Representa la función correspondiente ( + ) = [ ] = = = TEMA. LÍMITES DERIVADAS 373
9 Ejercicios y problemas Gráfica: = a) +@ 5 4 = Calcula el siguiente ite: Representa la función correspondiente = 3 [ ] = = ( + )( 3) = = Gráfica: Calcula mentalmente los siguientes ites: a) + 7 a) = 0 +@ = + Calcula mentalmente los siguientes ites: a) Calcula mentalmente los siguientes ites: a) 3n 5 a) = 0 n +@ n 4 + n n 3 + n = n n 3 n Calcula mentalmente los siguientes ites: a) 5 + a) +@ La derivada Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 60 f() = 4 en [, 3] f(3) f() + TVM[, 3] = = = 3 6 n +@ n +@ 3n 5 n 4 + n n 3 + n n 3 n f() = + 4 en [0, ] f() f(0) 0 TVM[0, ] = = = SOLUCIONARIO
10 6 6 f() = en [, 3] f(3) f() 3 TVM[, 3] = = = 3 63 f() = + 5 en [, 4] f(4) f( ) 3 TVM[, 4] = = = Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 64 f() = 3 + en = f () = 3 65 f() = + 3 en = f () = 66 f() = en = 3 f ( 3) = 6 67 f() = + 5 en = f () = Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 6 9 y = 0 y = y = y = y = ( 3) 5 y = 0 ( 3) 4 e + 3 y = e + 3 L (5 + ) 5 y = 5 + L ( 3 + ) 3 y = y = y = 9 79 ( + ) e TEMA. LÍMITES DERIVADAS 375
11 Ejercicios y problemas y = ( + ) e 0 L ( 5) y = L ( 5) + 5 e 3 L e y = 3e 3 L f() = Calcula la recta normal a la curva + 5 para =. Dibuja la función y la recta normal. Recta normal: + 4 P(3, 3) 4 9 e + 4 P(, ) ( ) e y = 3 4 y = ( ) y = ( ) 7 f() = + 5 Halla las rectas tangente y normal a la curva para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: 3 Recta normal: + f() = P(, ) Aplicaciones de la derivada 5 Halla la recta tangente a la curva para = 3. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: 4 9 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función 4. Dibuja la función. y = 4 4 = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = > 0 ò A(, 4) mínimo relativo. 376 SOLUCIONARIO
12 f() = 4 f() = A(, 4) A(3, 5) 9 90 Halla los máimos y mínimos relativos de la función Dibuja la función. y = = 0, = 3, 4,A(3, 4) y = f (3) = < 0 ò P(3, 4) Máimo relativo. Calcula el crecimiento de la función siguiente: Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = 6 6 = 0, = 3, 5,A(3, 5) y = f (3) = > 0 ò A(3, 5) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 6 f (0) = ( ) = (3, ( ) = f() = f () A(3, 4) 9 9 Halla el crecimiento de la función siguiente: Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = + + = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = < 0 ò A(, 4) Máimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = + f (0) = + f () + 0 ( ) = ( ) = (, f() = Calcula el crecimiento de la función. Dibuja la función. y = > 0, es siempre creciente. 0 A(, 4) TEMA. LÍMITES DERIVADAS 377
13 Ejercicios y problemas 93 f() = Halla el crecimiento de la función 3. Dibuja la función. y = 3 < 0, es siempre decreciente. 94 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y = = 0, = 0, =, =, = =,,A(, ) =,, B(, ) y = 6 f () = 6 < 0 ò A(, ) Máimo relativo. f ( ) = 6 > 0 ò B(, ) mínimo relativo. f() = 3 Para ampliar 95 Representa la siguiente función: { si Ì si > Puede haber más de una ecuación? 3 o bien Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: 96 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: 9 Puede haber más de una ecuación? 3 o bien Halla la ecuación de una función definida a trozos cuya representación sea la siguiente gráfica: 37 SOLUCIONARIO
14 + 3 si Ì { si > 0 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) n +@ n +@ n 3 + 5n 7n n + 5n n 3n n 3 + a) = n +@ 5n 7n n + 5n = n n 3n 99 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) a) ( ) = = Calcula mentalmente los siguientes ites: a) a) = 3 +@ = Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) ( 4 + 5) a) ( ) +@ ( Calcula mentalmente los siguientes ites: a) a) = +@ Calcula mentalmente los siguientes ites: a) 3 a) = 0 +@ = Calcula el siguiente ite: ( + )( ) = [ ] = = ( + )( + ) = = = + TEMA. LÍMITES DERIVADAS 379
15 Ejercicios y problemas 06 Calcula el siguiente ite: 07 Calcula el siguiente ite: 0 Calcula el siguiente ite: ( ) = [ ] = = 0 ( ) = ( ) = [ ] = = ( )( + 3) = = ( + ) = [ ] = = ( + )( + ) + = = 0 + f() = en [, ] f() f( ) TVM[, ] = = = 0 + Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: f() = 4 en = f () = 4 3 f() = + 5 en = 3 f (3) = 6 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: y = (5 + ) 4 y = 0 (5 + ) 3 09 Calcula el siguiente ite: 7 ( 7) 35 ( 7) 0 ( 7) = 7 [ ] = = ( + 5)( 7) = = = Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 0 f() = en [, ] f() f( ) + 5 TVM[, ] = = = e 5 y = 5e 5 7 L ( + 5) + 5 y = + 5 y = 9 ( ) e 30 SOLUCIONARIO
16 y = e 0 ( + ) L + y = L + 5 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función. Dibuja la función. y = = 0, = 0, 0,A(0, 0) y = f (0) = > 0 ò A(0, 0) mínimo relativo y = (4 5) f() = A(0, 0) y = (3 + 4) Halla la recta tangente a la curva para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: Halla los máimos y mínimos relativos de la función. Dibuja la función. y = = 0, = 0, 0,A(0, 0) y = f (0) = < 0 ò A(0, 0) Máimo relativo. f() = P(, 3) f() = A(0, 0) Halla la recta normal a la curva + para =. Dibuja la función y la recta normal. 7 Recta normal: 4 f() = + P(, 3) 7 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función e Máimos y mínimos relativos: y = e e? 0 siempre, no tiene ni máimos ni mínimos relativos. Crecimiento: y = e > 0 siempre, es creciente siempre. ( ) = ( ) = Ö TEMA. LÍMITES DERIVADAS 3
17 Ejercicios y problemas Problemas Representa la siguiente función: { ( ) si Ì 0 log / si > 0 9 Calcula el valor de k para que se verifique: +@ = 5 k 3 + k = 5 ò = 5 ò k = 0 +@ 3 4 k = [ ] = ( )( + ) 0 = = ( )( [ ] ) 0 = ( )( + ) + = = = ( )( + + 3) = = 6 3 Dibuja la siguiente función afín: 3 a) Halla mentalmente la pendiente. Halla la pendiente derivando. c) La función es creciente o decreciente? f() = 3 30 Observando la siguiente gráfica: a) m = y = c) Como m = y = > 0 siempre, la función siempre es creciente. calcula: ( ) ( ) ( ) +@ ( ) 3 Calcula el siguiente ite: Dibuja la siguiente función afín: + a) Halla mentalmente la pendiente. Halla la pendiente derivando. c) La función es creciente o decreciente? f() = 3 SOLUCIONARIO
18 a) m = y = c) Como m = y = < 0 siempre, la función siempre es decreciente. 34 Dibuja la siguiente parábola: 4 + a) Viendo la gráfica, halla el máimo o mínimo relativo. Viendo la gráfica, halla el crecimiento. c) Halla el máimo relativo o mínimo relativo derivando. d) Halla el crecimiento derivando. f() = 4 + Recta tangente: 0 5 Recta normal: 36 Halla el crecimiento de la función: Dibuja la función. f() = P(3, 4) A(, 3) a) A(, 3) es un mínimo relativo. ( ) = (, ( ) = c) y = 4 4, =, 3,A(, 3) y = f () = > 0 ò A(, 3) mínimo relativo. d) Discontinuidades: no hay. f () ( ) = (, ( ) = 0 y = 4 f (0) = f () Halla las rectas tangente y normal a la curva: 4 para = 3 Dibuja la función, así como las rectas tangente y normal. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = = 0, = 3, 4,A( 3, 4) y = f ( 3) = > 0 ò A( 3, 4) mínimo relativo. Discontinuidades: no hay. f () 3 y = + 6 f (0) = + ( ) = ( 3, ( ) = 3) 0 f () f() = Halla el crecimiento de la función: 6 Dibuja la función. TEMA. LÍMITES DERIVADAS 33
19 Ejercicios y problemas 6 y = < 0, es siempre negativa, decreciente. Discontinuidades: = 0 ( ) = Ö ( ) = 3 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: y = 6 6 = 0, = 3, 5,A(3, 5) y = f (3) = > 0 ò A(3, 5) mínimo relativo. Discontinuidades: no hay. f () y = 6 f (0) = ( ) = (3, ( ) = 39 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: f () f() = 6/ f() = A(3, 5) 40 Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. Máimos y mínimos relativos: y = 4 4 = 0, =, =, = =, 6/3,A(, 6/3) =, 6/3, B(, 6/3) y = f () = 4 > 0 ò A(, 6/3) mínimo relativo. f ( ) = 4 < 0 ò B(, 6/3) Máimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 4 f () = +@ ( ) = ) á (, ( ) = (, ) Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: f () B(, 6/3) f() = / Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. Máimos y mínimos relativos: y = = 0, 4= 0, =, =, = =, 6/3,A(, 6/3) A(, 6/3) 34 SOLUCIONARIO
20 =, 6/3, B(, 6/3) y = f () = < 0 ò A(, 6/3) Máimo relativo. f ( ) = > 0 ò B(, 6/3) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 4 f () = ( ) = (, ) ( ) = ) á (, f () y = + + = 0, = 0, = 9, 6 y = f (9) = < 0 ò A(9, 6) Máimo relativo. Los máimos beneficios los alcanza en el 9º año y son 6 millones de euros. Para profundizar 43 Representa la siguiente función: { si < si Ó 0 + f() = /3 4 A(, 6/3) B(, 6/3) 4 Halla la recta tangente a la curva: para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: 3 f() = Los beneficios de una empresa en millones de euros vienen dados por la fórmula: + 0 donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza los máimos beneficios? A(, 3) 44 Halla el crecimiento de la función 3 3. Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. Primero hay que hallar los máimos y mínimos relativos. y = = 0, = 0, =, =, = =,,A(, ) =,, B(, ) y = 6 f () = 6 > 0 ò A(, ) Máimo relativo. f ( ) = 6 < 0 ò B(, ) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 3 3 f (0) = 0 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 35
21 Ejercicios y problemas f () ( ) = ) á (, ( ) = (, ) Límites: 3 3 = +@ 3 B(, ) f() = / 46 Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: + donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza las máimas pérdidas? 45 Halla el crecimiento de la función y =. Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. 4 y = 3 Discontinuidades de la derivada: = 0 de orden 3, que es impar, luego cambia de crecimiento. f () f () = 4 ( ) = ( ) = (0, Límites: = +@ f() = 3 f () A(, ) y = + + = 0, 4 = 0, = 4, 6 y = f (4) = < 0 ò A(4, 6) Máimo relativo. Las máimas pérdidas las alcanza en el 4º año y son 6 millones de euros. 47 Una determinada especie evoluciona según la función: f() = +, > 0 donde es el número de años y f() son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? = 0 +@ La población tiende a cero, por tanto está en vías de etinción. 36 SOLUCIONARIO
22 Aplica tus competencias 4 El espacio que recorre un móvil es e(t) = 3t + t + 5, donde t se epresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la velocidad que lleva en el instante t = 4 s v(t) = e (t) = 6t + v(4) = = 4 + = 6 m/s 49 El espacio que recorre un móvil es e(t) = 5t 3t +, donde t se epresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la aceleración que lleva en el instante t = s v(t) = e (t) = 0t 3 a(t) = v (t) = 0 a() = 0 m/s TEMA. LÍMITES DERIVADAS 37
23 Comprueba lo que sabes Define función parte entera y represéntala. La función parte entera de asigna a cada su parte entera. Se representa por Ent() Ent() + 4 = [ ] = = ( + 4) = = 4 4 Gráfica: Representa la gráfica de la siguiente función: si Ì f() = { si > Resuelto en el libro del alumnado. 3 Calcula los siguientes ites y representa la función correspondiente: a) 4 a) 4 = 0 ( + )( ) [ ] = = 0 = ( + ) = Calcula mentalmente los siguientes ites: a) c) d) e) f) n a) c) 0 d) 0 f) +@ n + 3n n Gráfica: 4 5 Calcula las derivadas siguientes: a) (3 5) 4 e 5+ c) L (7 ) d) e e) + 3 SOLUCIONARIO
24 a) y = (3 5) 3 y = 5e 5 + c) y = 7 7 d) y = e + e = e ( + ) e) y = + = ( + ) ( + ) 6 7 Estudia el crecimiento de la función 3 Primero hay que hallar lo máimos y mínimos relativos: 3 y = y = 0 ò = 0 ò = Si = ò 4 A(, 4) y = y () = > 0 (+) ò A(, 4) es un mínimo relativo Crecimiento: f () + 0 Creciente: ( ) = (, Decreciente: ( ) = ) El número de enfermos de gripe que se contabilizan en una localidad durante una epidemia sigue la función: f() = 4 donde se epresa en semanas, y f(), en miles de personas. Calcula el número medio de enfermos de gripe durante la ª y la 4ª semanas; y entre la 4ª y la 6ª semanas. Interpreta los resultados. TVM[, 4] = f(4) f() = 6 = = 4 Como TVM[, 4] = > 0, es creciente; es decir, el número medio de enfermos está subiendo. f(6) f(4) 6 TVM[4, 6] = = = = 6 4 Como TVM[4, 6] = < 0, es decreciente; es decir, el número medio de enfermos está bajando. Halla las rectas tangente y normal a la curva: 4 para = 3 Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: 0 Recta normal: 5 f() = P(3, 4) TEMA. LÍMITES DERIVADAS 39
25 Linu/Windows Paso a paso 50 Representa la función parte decimal de, indica si es periódica y halla el período. Resuelto en el libro del alumnado. 5 Representa la siguiente función: si Ì f() = { + si > Resuelto en el libro del alumnado. 5 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. 53 +@ ( 3 + 3) Resuelto en el libro del alumnado. Halla las rectas tangente y normal a la curva f() = + para =. Dibuja la curva y las rectas. Resuelto en el libro del alumnado. 54 Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. 390 SOLUCIONARIO
26 Windows Derive Practica 55 Representa la función signo de. Halla cuándo no es continua. 56 Representa la función 5 5 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. ( + ) 57 Representa la siguiente función y estudia su continuidad: + 4 si Ì f() = { si > 59 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. ( 5) 3 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 39
27 Linu/Windows 6 e L ( + 5 6) 60 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. ( e 65 L 66 e L Calcula las siguientes derivadas e 39 SOLUCIONARIO
28 Windows Derive Halla las rectas tangente y normal a la curva para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. 7 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función Halla los máimos y mínimos relativos de la función Dibuja la función. Halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: TEMA. LÍMITES DERIVADAS 393
29 Linu/Windows Windows Derive 7 74 Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: +, donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza las máimas pérdidas? SOLUCIONARIO
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