12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1"

Transcripción

1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A P L I C A L A T E O R Í A Representa las siguientes funciones: Representa las siguientes funciones: a) Ent() signo( ) a) a) a) Ent () signo ( ) 366 SOLUCIONARIO

2 3 Representa las siguientes funciones: a) log sen a) log 0 sen π/ π 3π/ π Representa la siguiente función: / si < 0 { 3 si Ó 0 4 Representa la siguiente función: + 4 si Ì { si >. Límites Completa la tabla y estima el valor al que tiende la función cuando tiende al infinito: P I E N S A C A L C U L A / y / 0 0, 00 0, , , , ,00000 y 0 6 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) +@ ( a) ( ) = +@ ( A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. LÍMITES DERIVADAS 367

3 7 Calcula los siguientes ites y representa la función correspondiente: a) ( + )( ) a) = [ ] = = 0 = ( + ) = 4 Gráfica: = [ ] = = ( + 4) = = 4 4 Gráfica: Calcula mentalmente los siguientes ites: 5 a) @ n c) 3 + d) n +@ n 3 3 n e) + 5 f) n +@ 4n a) = +@ n 3 + c) = n +@ n d) +@ n + 5 e) = 0 n +@ 4n f) La derivada Un coche va de Asturias a Andalucía; recorre 00 km en horas. Cuál es su velocidad media? Velocidad media = 00 = 00 km/h P I E N S A C A L C U L A 36 SOLUCIONARIO

4 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 9 f() = 3 + en [, 4] f(4) f() 3 7 TVM[, 4] = = = f() = en [, 3] f(3) f() 3 TVM[, 3] = = = 5 3 f() = en [, 3] f(3) f() /3 TVM[, 3] = = = 3 3 f() = en [0, 4] f(4) f(0) 0 TVM[0, 4] = = = Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 7 3 y = 0 y = 9 y = 0 5 y = y = A P L I C A L A T E O R Í A Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 3 f() = + 3 en = f () = 4 f() = 3 + en = f () = y = y = (3 + 5) 4 5 f() = en = 3 f (3) = 6 6 f() = + 3 en = f () = 4 y = (3 + 5) 3 5 e y = e 6 e 3 5 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 369

5 y = 3e L y = L (3 ) 3 y = 3 9 L ( + 5 6) + 5 y = y = 7 3 e y = ( + )e L y = + L e L e y = e L + ( ) e y = 3 y = e y = (3 + ) 4. Aplicaciones de la derivada Si la pendiente de una recta es m =, calcula la pendiente m de cualquier recta perpendicular. Las pendientes son inversas y opuestas, m = P I E N S A C A L C U L A 370 SOLUCIONARIO

6 37 Halla la recta tangente a la curva + para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: 4 f() = + P(, 3) A P L I C A L A T E O R Í A y = 6 6 = 0, = 3, 4,A(3, 4) y = f () = > 0 ò A(3, 4) mínimo relativo. f() = A(3, 4) 3 Calcula la recta normal a la curva 5 para =. Dibuja la función y la recta normal. Recta normal: 4 f() = 5 4 P(, ) 4 Halla los máimos y mínimos relativos de la función + 4. Dibuja la función. y = = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = < 0 ò A(, 4) Máimo relativo. A(, 4) Halla las rectas tangente y normal a la curva para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: Recta normal: + 4 f() = P(, 4) 4 4 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función Dibuja la función. 4 f() = + 4 Calcula el crecimiento de la función 3. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = > 0 ò A(, 4) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () 0 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 37

7 y = f (0) = f () + 0 ( ) = (, ( ) = 44 Calcula el crecimiento de la función 3. Dibuja la función. y = 3 > 0, es siempre creciente. f() = 3 f() = 3 A(, 4) 43 Halla el crecimiento de la función Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = = 0, = 3, 5,A(3, 5) y = f (3) = < 0 ò A(3, 5) Máimo relativo. 45 Halla el crecimiento de la función. Dibuja la función. y = < 0, es siempre decreciente. f() = Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () 0 3 y = + 6 f (0) = + f () ( ) = ( ) = (3, f() = P(3, 5) 46 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función 3 3 y = = 0, = 0, =, =, = =,,A(, ) =,, B(, ) y = 6 f () = 6 > 0 ò A(, ) Mínimo relativo. f ( ) = 6 < 0 ò B(, ) Máimo relativo. 37 SOLUCIONARIO

8 Ejercicios y problemas. Funciones especiales 47 Representa la siguiente función: Ent(/) 5 Representa la siguiente función: si Ì 0 { si > 0 4 Representa la siguiente función: Signo( ) 5 Representa la siguiente función: si < { log/ si Ó 49 Representa la siguiente función: 3 3. Límites 53 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) +@ ( a) ( ) +@ 50 Representa la siguiente función en el intervalo [0, π]: cos 0 cos π/ 3π/ π π ( ) 54 Calcula el siguiente ite: Representa la función correspondiente ( + ) = [ ] = = = TEMA. LÍMITES DERIVADAS 373

9 Ejercicios y problemas Gráfica: = a) +@ 5 4 = Calcula el siguiente ite: Representa la función correspondiente = 3 [ ] = = ( + )( 3) = = Gráfica: Calcula mentalmente los siguientes ites: a) + 7 a) = 0 +@ = + Calcula mentalmente los siguientes ites: a) Calcula mentalmente los siguientes ites: a) 3n 5 a) = 0 n +@ n 4 + n n 3 + n = n n 3 n Calcula mentalmente los siguientes ites: a) 5 + a) +@ La derivada Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 60 f() = 4 en [, 3] f(3) f() + TVM[, 3] = = = 3 6 n +@ n +@ 3n 5 n 4 + n n 3 + n n 3 n f() = + 4 en [0, ] f() f(0) 0 TVM[0, ] = = = SOLUCIONARIO

10 6 6 f() = en [, 3] f(3) f() 3 TVM[, 3] = = = 3 63 f() = + 5 en [, 4] f(4) f( ) 3 TVM[, 4] = = = Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 64 f() = 3 + en = f () = 3 65 f() = + 3 en = f () = 66 f() = en = 3 f ( 3) = 6 67 f() = + 5 en = f () = Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 6 9 y = 0 y = y = y = y = ( 3) 5 y = 0 ( 3) 4 e + 3 y = e + 3 L (5 + ) 5 y = 5 + L ( 3 + ) 3 y = y = y = 9 79 ( + ) e TEMA. LÍMITES DERIVADAS 375

11 Ejercicios y problemas y = ( + ) e 0 L ( 5) y = L ( 5) + 5 e 3 L e y = 3e 3 L f() = Calcula la recta normal a la curva + 5 para =. Dibuja la función y la recta normal. Recta normal: + 4 P(3, 3) 4 9 e + 4 P(, ) ( ) e y = 3 4 y = ( ) y = ( ) 7 f() = + 5 Halla las rectas tangente y normal a la curva para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: 3 Recta normal: + f() = P(, ) Aplicaciones de la derivada 5 Halla la recta tangente a la curva para = 3. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: 4 9 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función 4. Dibuja la función. y = 4 4 = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = > 0 ò A(, 4) mínimo relativo. 376 SOLUCIONARIO

12 f() = 4 f() = A(, 4) A(3, 5) 9 90 Halla los máimos y mínimos relativos de la función Dibuja la función. y = = 0, = 3, 4,A(3, 4) y = f (3) = < 0 ò P(3, 4) Máimo relativo. Calcula el crecimiento de la función siguiente: Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = 6 6 = 0, = 3, 5,A(3, 5) y = f (3) = > 0 ò A(3, 5) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 6 f (0) = ( ) = (3, ( ) = f() = f () A(3, 4) 9 9 Halla el crecimiento de la función siguiente: Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = + + = 0, =, 4,A(, 4) y = f () = < 0 ò A(, 4) Máimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = + f (0) = + f () + 0 ( ) = ( ) = (, f() = Calcula el crecimiento de la función. Dibuja la función. y = > 0, es siempre creciente. 0 A(, 4) TEMA. LÍMITES DERIVADAS 377

13 Ejercicios y problemas 93 f() = Halla el crecimiento de la función 3. Dibuja la función. y = 3 < 0, es siempre decreciente. 94 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y = = 0, = 0, =, =, = =,,A(, ) =,, B(, ) y = 6 f () = 6 < 0 ò A(, ) Máimo relativo. f ( ) = 6 > 0 ò B(, ) mínimo relativo. f() = 3 Para ampliar 95 Representa la siguiente función: { si Ì si > Puede haber más de una ecuación? 3 o bien Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: 96 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: 9 Puede haber más de una ecuación? 3 o bien Halla la ecuación de una función definida a trozos cuya representación sea la siguiente gráfica: 37 SOLUCIONARIO

14 + 3 si Ì { si > 0 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) n +@ n +@ n 3 + 5n 7n n + 5n n 3n n 3 + a) = n +@ 5n 7n n + 5n = n n 3n 99 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) a) ( ) = = Calcula mentalmente los siguientes ites: a) a) = 3 +@ = Calcula mentalmente los siguientes ites: a) ( ) ( 4 + 5) a) ( ) +@ ( Calcula mentalmente los siguientes ites: a) a) = +@ Calcula mentalmente los siguientes ites: a) 3 a) = 0 +@ = Calcula el siguiente ite: ( + )( ) = [ ] = = ( + )( + ) = = = + TEMA. LÍMITES DERIVADAS 379

15 Ejercicios y problemas 06 Calcula el siguiente ite: 07 Calcula el siguiente ite: 0 Calcula el siguiente ite: ( ) = [ ] = = 0 ( ) = ( ) = [ ] = = ( )( + 3) = = ( + ) = [ ] = = ( + )( + ) + = = 0 + f() = en [, ] f() f( ) TVM[, ] = = = 0 + Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: f() = 4 en = f () = 4 3 f() = + 5 en = 3 f (3) = 6 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: y = (5 + ) 4 y = 0 (5 + ) 3 09 Calcula el siguiente ite: 7 ( 7) 35 ( 7) 0 ( 7) = 7 [ ] = = ( + 5)( 7) = = = Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 0 f() = en [, ] f() f( ) + 5 TVM[, ] = = = e 5 y = 5e 5 7 L ( + 5) + 5 y = + 5 y = 9 ( ) e 30 SOLUCIONARIO

16 y = e 0 ( + ) L + y = L + 5 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función. Dibuja la función. y = = 0, = 0, 0,A(0, 0) y = f (0) = > 0 ò A(0, 0) mínimo relativo y = (4 5) f() = A(0, 0) y = (3 + 4) Halla la recta tangente a la curva para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: Halla los máimos y mínimos relativos de la función. Dibuja la función. y = = 0, = 0, 0,A(0, 0) y = f (0) = < 0 ò A(0, 0) Máimo relativo. f() = P(, 3) f() = A(0, 0) Halla la recta normal a la curva + para =. Dibuja la función y la recta normal. 7 Recta normal: 4 f() = + P(, 3) 7 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función e Máimos y mínimos relativos: y = e e? 0 siempre, no tiene ni máimos ni mínimos relativos. Crecimiento: y = e > 0 siempre, es creciente siempre. ( ) = ( ) = Ö TEMA. LÍMITES DERIVADAS 3

17 Ejercicios y problemas Problemas Representa la siguiente función: { ( ) si Ì 0 log / si > 0 9 Calcula el valor de k para que se verifique: +@ = 5 k 3 + k = 5 ò = 5 ò k = 0 +@ 3 4 k = [ ] = ( )( + ) 0 = = ( )( [ ] ) 0 = ( )( + ) + = = = ( )( + + 3) = = 6 3 Dibuja la siguiente función afín: 3 a) Halla mentalmente la pendiente. Halla la pendiente derivando. c) La función es creciente o decreciente? f() = 3 30 Observando la siguiente gráfica: a) m = y = c) Como m = y = > 0 siempre, la función siempre es creciente. calcula: ( ) ( ) ( ) +@ ( ) 3 Calcula el siguiente ite: Dibuja la siguiente función afín: + a) Halla mentalmente la pendiente. Halla la pendiente derivando. c) La función es creciente o decreciente? f() = 3 SOLUCIONARIO

18 a) m = y = c) Como m = y = < 0 siempre, la función siempre es decreciente. 34 Dibuja la siguiente parábola: 4 + a) Viendo la gráfica, halla el máimo o mínimo relativo. Viendo la gráfica, halla el crecimiento. c) Halla el máimo relativo o mínimo relativo derivando. d) Halla el crecimiento derivando. f() = 4 + Recta tangente: 0 5 Recta normal: 36 Halla el crecimiento de la función: Dibuja la función. f() = P(3, 4) A(, 3) a) A(, 3) es un mínimo relativo. ( ) = (, ( ) = c) y = 4 4, =, 3,A(, 3) y = f () = > 0 ò A(, 3) mínimo relativo. d) Discontinuidades: no hay. f () ( ) = (, ( ) = 0 y = 4 f (0) = f () Halla las rectas tangente y normal a la curva: 4 para = 3 Dibuja la función, así como las rectas tangente y normal. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = = 0, = 3, 4,A( 3, 4) y = f ( 3) = > 0 ò A( 3, 4) mínimo relativo. Discontinuidades: no hay. f () 3 y = + 6 f (0) = + ( ) = ( 3, ( ) = 3) 0 f () f() = Halla el crecimiento de la función: 6 Dibuja la función. TEMA. LÍMITES DERIVADAS 33

19 Ejercicios y problemas 6 y = < 0, es siempre negativa, decreciente. Discontinuidades: = 0 ( ) = Ö ( ) = 3 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: y = 6 6 = 0, = 3, 5,A(3, 5) y = f (3) = > 0 ò A(3, 5) mínimo relativo. Discontinuidades: no hay. f () y = 6 f (0) = ( ) = (3, ( ) = 39 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: f () f() = 6/ f() = A(3, 5) 40 Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. Máimos y mínimos relativos: y = 4 4 = 0, =, =, = =, 6/3,A(, 6/3) =, 6/3, B(, 6/3) y = f () = 4 > 0 ò A(, 6/3) mínimo relativo. f ( ) = 4 < 0 ò B(, 6/3) Máimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 4 f () = +@ ( ) = ) á (, ( ) = (, ) Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: f () B(, 6/3) f() = / Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. Máimos y mínimos relativos: y = = 0, 4= 0, =, =, = =, 6/3,A(, 6/3) A(, 6/3) 34 SOLUCIONARIO

20 =, 6/3, B(, 6/3) y = f () = < 0 ò A(, 6/3) Máimo relativo. f ( ) = > 0 ò B(, 6/3) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 4 f () = ( ) = (, ) ( ) = ) á (, f () y = + + = 0, = 0, = 9, 6 y = f (9) = < 0 ò A(9, 6) Máimo relativo. Los máimos beneficios los alcanza en el 9º año y son 6 millones de euros. Para profundizar 43 Representa la siguiente función: { si < si Ó 0 + f() = /3 4 A(, 6/3) B(, 6/3) 4 Halla la recta tangente a la curva: para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: 3 f() = Los beneficios de una empresa en millones de euros vienen dados por la fórmula: + 0 donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza los máimos beneficios? A(, 3) 44 Halla el crecimiento de la función 3 3. Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. Primero hay que hallar los máimos y mínimos relativos. y = = 0, = 0, =, =, = =,,A(, ) =,, B(, ) y = 6 f () = 6 > 0 ò A(, ) Máimo relativo. f ( ) = 6 < 0 ò B(, ) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 3 3 f (0) = 0 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 35

21 Ejercicios y problemas f () ( ) = ) á (, ( ) = (, ) Límites: 3 3 = +@ 3 B(, ) f() = / 46 Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: + donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza las máimas pérdidas? 45 Halla el crecimiento de la función y =. Calcula f(), f(), esboza la gráfica de la función. 4 y = 3 Discontinuidades de la derivada: = 0 de orden 3, que es impar, luego cambia de crecimiento. f () f () = 4 ( ) = ( ) = (0, Límites: = +@ f() = 3 f () A(, ) y = + + = 0, 4 = 0, = 4, 6 y = f (4) = < 0 ò A(4, 6) Máimo relativo. Las máimas pérdidas las alcanza en el 4º año y son 6 millones de euros. 47 Una determinada especie evoluciona según la función: f() = +, > 0 donde es el número de años y f() son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? = 0 +@ La población tiende a cero, por tanto está en vías de etinción. 36 SOLUCIONARIO

22 Aplica tus competencias 4 El espacio que recorre un móvil es e(t) = 3t + t + 5, donde t se epresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la velocidad que lleva en el instante t = 4 s v(t) = e (t) = 6t + v(4) = = 4 + = 6 m/s 49 El espacio que recorre un móvil es e(t) = 5t 3t +, donde t se epresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la aceleración que lleva en el instante t = s v(t) = e (t) = 0t 3 a(t) = v (t) = 0 a() = 0 m/s TEMA. LÍMITES DERIVADAS 37

23 Comprueba lo que sabes Define función parte entera y represéntala. La función parte entera de asigna a cada su parte entera. Se representa por Ent() Ent() + 4 = [ ] = = ( + 4) = = 4 4 Gráfica: Representa la gráfica de la siguiente función: si Ì f() = { si > Resuelto en el libro del alumnado. 3 Calcula los siguientes ites y representa la función correspondiente: a) 4 a) 4 = 0 ( + )( ) [ ] = = 0 = ( + ) = Calcula mentalmente los siguientes ites: a) c) d) e) f) n a) c) 0 d) 0 f) +@ n + 3n n Gráfica: 4 5 Calcula las derivadas siguientes: a) (3 5) 4 e 5+ c) L (7 ) d) e e) + 3 SOLUCIONARIO

24 a) y = (3 5) 3 y = 5e 5 + c) y = 7 7 d) y = e + e = e ( + ) e) y = + = ( + ) ( + ) 6 7 Estudia el crecimiento de la función 3 Primero hay que hallar lo máimos y mínimos relativos: 3 y = y = 0 ò = 0 ò = Si = ò 4 A(, 4) y = y () = > 0 (+) ò A(, 4) es un mínimo relativo Crecimiento: f () + 0 Creciente: ( ) = (, Decreciente: ( ) = ) El número de enfermos de gripe que se contabilizan en una localidad durante una epidemia sigue la función: f() = 4 donde se epresa en semanas, y f(), en miles de personas. Calcula el número medio de enfermos de gripe durante la ª y la 4ª semanas; y entre la 4ª y la 6ª semanas. Interpreta los resultados. TVM[, 4] = f(4) f() = 6 = = 4 Como TVM[, 4] = > 0, es creciente; es decir, el número medio de enfermos está subiendo. f(6) f(4) 6 TVM[4, 6] = = = = 6 4 Como TVM[4, 6] = < 0, es decreciente; es decir, el número medio de enfermos está bajando. Halla las rectas tangente y normal a la curva: 4 para = 3 Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: 0 Recta normal: 5 f() = P(3, 4) TEMA. LÍMITES DERIVADAS 39

25 Linu/Windows Paso a paso 50 Representa la función parte decimal de, indica si es periódica y halla el período. Resuelto en el libro del alumnado. 5 Representa la siguiente función: si Ì f() = { + si > Resuelto en el libro del alumnado. 5 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. 53 +@ ( 3 + 3) Resuelto en el libro del alumnado. Halla las rectas tangente y normal a la curva f() = + para =. Dibuja la curva y las rectas. Resuelto en el libro del alumnado. 54 Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. 390 SOLUCIONARIO

26 Windows Derive Practica 55 Representa la función signo de. Halla cuándo no es continua. 56 Representa la función 5 5 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. ( + ) 57 Representa la siguiente función y estudia su continuidad: + 4 si Ì f() = { si > 59 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. ( 5) 3 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 39

27 Linu/Windows 6 e L ( + 5 6) 60 Halla el siguiente ite y dibuja la función para comprobarlo. ( e 65 L 66 e L Calcula las siguientes derivadas e 39 SOLUCIONARIO

28 Windows Derive Halla las rectas tangente y normal a la curva para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. 7 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función Halla los máimos y mínimos relativos de la función Dibuja la función. Halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: TEMA. LÍMITES DERIVADAS 393

29 Linu/Windows Windows Derive 7 74 Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: +, donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza las máimas pérdidas? SOLUCIONARIO

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial. Parcial 2

Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial. Parcial 2 Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial Parcial Estudiante: Fecha: Sea g() = ( + 3). Entonces f (7) = 00. Verificarlo a partir de la derivada como limite. (La derivada obviamente es pero

Más detalles

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta 5 Operaciones con polinomios 1. Polinomios. Suma y resta Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = 6 2 b) V() = 3 P I E N S A Y C A L C U L A 1 Dado el prisma

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Dada una función f : D R R y un intervalo I D

Más detalles

BLOQUE III Funciones y gráficas

BLOQUE III Funciones y gráficas BLOQUE III Funciones y gráficas. Características globales de las funciones 9. Rectas e hipérbolas 0. Función cuadrática Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

Halla dominio e imagen de las funciones

Halla dominio e imagen de las funciones Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

Continuidad, límites y asíntotas

Continuidad, límites y asíntotas 9 Continuidad, ites y asíntotas. Funciones especiales Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: Parte entera de Parte decimal de Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 Ent () Dec () 3,9 0,3 0,3,8,8

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números

Más detalles

Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones

Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones Dadas las siguientes funciones gráficas, asocia cada función con su gráfica: a) f() = b) g() = - c) h() = 3 a) La 3; b) La ; c) La De las siguientes

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un Selectividad Andalucía Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Bloque Funciones EJERCICIOS DE EXÁMENES DE SELECTIVIDAD ANDALUCÍABLOQUE FUNCIONES 1 JUNIO 014 OPCIÓN A La función de beneficios f en

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.

a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen. Puntos de corte - Monotonía y Curvatura funciones simples Septiembre 2015 - Opción B Sea la función f() = 3 9 2 + 8 a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus etremos relativos y de su punto de infleión,

Más detalles

ANÁLISIS. Página a) Escribe la expresión analítica de esta función. b) Observa la gráfica y di el valor de los siguientes límites:

ANÁLISIS. Página a) Escribe la expresión analítica de esta función. b) Observa la gráfica y di el valor de los siguientes límites: II ANÁLISIS Página 00 a) Escribe la epresión analítica de esta función. b) Observa la gráfica y di el valor de los siguientes ites: f (); f (); f () 8 @ 8 4 ( + ), Ì a) f () = 3 4, > 8 +@ 4 5 b) f () =

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría

13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría Integral indefinida. Reglas de integración Piensa y calcula Calcula: a y =, y' = b y' =, y = c y = cos, y' = d y' = cos, y = a y' = b y = c y' = sen d y = sen Aplica la teoría. 7 Se aplica la integral

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

9 Ecuaciones. de primer grado. 1. El lenguaje algebraico

9 Ecuaciones. de primer grado. 1. El lenguaje algebraico 9 Ecuaciones de primer grado 1. El lenguaje algebraico Calcula el resultado de las siguientes epresiones: a) Tenía 5 y me han dado 7. Cuántos euros tengo? b) En un rectángulo, un lado mide metros y el

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS OPCIÓN A

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS OPCIÓN A Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso 009-010 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 009-010 1-XI-009 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. (x + 3) x = 1 x = 3

Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. (x + 3) x = 1 x = 3 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. de 6 a) Escribe la epresión analítica de esta función. b) Observa la gráfica y di el valor de los siguientes ites: f (); f (); f () 8 @ 8 4 ( +

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

3ª Parte: Funciones y sus gráficas

3ª Parte: Funciones y sus gráficas 3ª Parte: Funciones y sus gráficas Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 0 PRPIEDADES DE LAS FUNCINES PARA EMPEZAR Copia y completa la tabla, y representa la gráfica de la función. Se trata de una función continua? Figura 3 4 5 N.º de puntos f() hace corresponder a cada natural

Más detalles

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1 Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x

Más detalles

Formas de expresar la relación entre dos variables.

Formas de expresar la relación entre dos variables. 866 _ 00-06.qxd 7/6/08 : Página Funciones INTRDUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD La representación gráfica de las funciones es la forma más adecuada de entender la relación entre las variables. Estas gráficas

Más detalles

EJERCICIO DE FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS O POR PARTES. Es discontinua en x = 1. Valor absoluto de una función

EJERCICIO DE FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS O POR PARTES. Es discontinua en x = 1. Valor absoluto de una función 1 Límites y derivadas 1.1 Funciones definidas a trozos o por partes Una función está definida a trozos o por partes en distintos intervalos del dominio la función está definida por una fórmula diferente.

Más detalles

Polinomios y fracciones

Polinomios y fracciones BLOQUE II Álgebra 3. Polinomios y fracciones algebraicas 4. Resolución de ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 3 Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles

Ecuaciones de 1er y 2º grado

Ecuaciones de 1er y 2º grado Ecuaciones de er y º grado. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente: a) + = b) = c) = d) = P I E N S A Y C A L C U L A a) = b) = c) = d) = Carné calculista, : C =,; R = 0, Resuelve las siguientes ecuaciones:

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) En efecto, ya que a cada medida en centímetros le corresponde otra en pulgadas.

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) En efecto, ya que a cada medida en centímetros le corresponde otra en pulgadas. 0 FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS 0. Para pasar de centímetros a pulgadas se multiplica por y se divide por 5. a) Es una función? Escribe su epresión algebraica. c) Confecciona una tabla y representa la gráfica

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27.

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27. . Determina el dominio de la función:. f() = -. f() =. f() = 4. f() = -6. f() = 6. f() = + 7. f() = - 8. f() = e 9. f() = + 0. f() = -. f() = -. f() = -. f() = + 4. f() = +. f() = + 6. f() = - + 7. f()

Más detalles

4Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 96

4Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 96 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 96 Pág. P RACTICA Interpretación de gráficas Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo, David, cada mes desde que nació hasta los meses. Estas son las gráficas

Más detalles

x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8

x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8 Función lineal La función lineal es del tipo: y = mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2x x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8 1 Pendiente La pendiente es la inclinación

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Funciones. Rectas y parábolas

Funciones. Rectas y parábolas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Selectividad Septiembre 2008 SEPTIEMBRE 2008

Selectividad Septiembre 2008 SEPTIEMBRE 2008 Bloque A SEPTIEMBRE 008.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máimo de 7 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable

Más detalles

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

Potencias, radicales y logaritmos

Potencias, radicales y logaritmos Potencias, radicales y logaritmos 1. Potencias de exponente natural y entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) b) ( ) c) d) ( ) P I E N S A Y C A L C U L A a) 8 b) 8 c) 8 d) 8 1 Calcula

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas

CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas Introducción En la economía, la variación de alguna cantidad con respecto a otra puede ser descrita por un concepto promedio o por un concepto

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

2 3º) Representar gráficamente la función: y (Junio 1996)

2 3º) Representar gráficamente la función: y (Junio 1996) 4 1º) Dada la función y. Calcula a) Dominio y punto de corte. b) Regiones y simetría. c) Monotonía y etremos. d) Asíntotas y gráfica. e) Recorrido y continuidad. http://www.youtube.com/watch?v=iazce_pvedq

Más detalles

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICA APLICADA A LA CIENCIA OCIALE EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ECOGER UNA DE LA DO OPCIONE Y DEARROLLAR LA

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

8Soluciones a las actividades de cada epígrafe

8Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 128 Pág. 1 En una comarca hay una cierta especie de vegetal que se encuentra con frecuencia. Se ha estudiado la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay a distintas alturas. El resultado

Más detalles

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2 Descripción: En éste tema se utiliza la primera derivada para encontrar los valores máximo y mínimo de una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es creciente o decreciente,

Más detalles

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica: TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. 10.1. DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS B, 4º ESO. (Septiembre 2011)

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS B, 4º ESO. (Septiembre 2011) EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS B, º ESO. (Septiembre ) ARITMÉTICA. Realiza las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible 9 e). Realiza los siguientes ejercicios con potencias 9 e) 9 8.- Realiza

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);

Más detalles

Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 1ºBHCS

Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 1ºBHCS Pág. de 5 Cálculo de derivadas. Aplicaciones. ºBHCS Ejercicio nº.- Consideramos la unción: Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, ] e indica si () crece o decrece en ese intervalo. TVM Ejercicio

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

10Soluciones a los ejercicios y problemas

10Soluciones a los ejercicios y problemas 0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3 0 FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS 0. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f () b) g() c) h() a) D(f) R; Recorrido (f) R b) D(g) R; Recorrido (g) [0, ) c) D(h) R; Recorrido (h) R 0. 0. Calcula

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles