Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1

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1 MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de los espcios funcionles es que uno tiene problems con l integrl de Riemnn, problems que no permiten llegr ciertos teorems indispensbles. Queremos clrr que no hy nd equivocdo con l integrl de Riemnn, de hecho en físic siempre nos mnejmos con funciones que son integrbles según Riemnn y usmos el método de Riemnn pr clculr integrles concrets. Los problems surgen cundo uno trt de hcer interctur l integrl de Riemnn con otrs operciones, especilmente con operciones de límite (por ejemplo, el límite de un sucesión de funciones integrbles puede no ser integrble). Necesitmos entonces renovr l mner en que pensmos cerc de l integrl. De ests nots ndie emergerá con l hbilidd de poder clculr más integrles, sino, espermos, con un myor entendimiento del significdo del signo integrl. Los problems de l integrl de Riemnn pueden solucionrse medinte l generlizción conocid como integrl de Lebesgue 2. ste nuevo concepto de integrl permite integrr clses generles de funciones, permite integrr en espcios más bstrctos que R (o R n ), y más importnte ún, se comport mucho más civilizdmente en combinción con otrs operciones. Hy un ejemplo muy simple de un función que es integrble según Lebesgue pero no lo es según Riemnn, ést es l función de Dirichlet: { 0 si x es rcionl f(x) = 1 si x es irrcionl Un form simple de ilustrr l diferenci entre l integrl de Lebesgue y l de Riemnn es l siguiente nlogí. Supongmos que tenemos un bols llen de moneds y que queremos sber cuánt plt tenemos en l bols. Podemos contr ls moneds de dos forms distints: () Scmos ls moneds un un y vmos sumndo sus vlores; (b) Agrupmos ls moneds de l bols de cuerdo sus vlores, formndo un grupo de moneds de 5 centvos, otro de 10 centvos, etc. Contmos cuánts moneds tenemos en cd grupo, multiplicmos por sus vlores y summos. L segund form de contr (que corresponde l integrl de Lebesgue) es mucho más eficiente que l primer (correspondiente l integrl de Riemnn), pero, por supuesto, mbs forms de contr nos drán el mismo vlor totl. Nótese que pr describir (b) tuvimos que usr un lenguje un poco más elbordo que el usdo pr describir (). Como veremos más delnte, l definición de l integrl de Lebesgue tmbién implic de hecho un poco más de conceptulizción que l definición de l integrl de Riemnn. l método utilizr pr introducir l integrl de Lebesgue se sient en el concepto de medid. Un medid no es más que un función que ciertos subconjuntos A les soci un número no negtivo µ(a), llmdo su medid o volumen, que d un ide de su tmño. Si considermos 1 Nots preprds por Luis O. Mnuel 2 L integrl de Lebesgue fue cred por el mtemático frncés Henri Leon Lebesgue( ). Hst fines del siglo diecinueve, el nálisis mtemático estb limitdo ls funciones continus, en grn prte debido l método de integrción de Riemnn. A prtir de trbjos de mile Borel y Cmille Jordn, Lebesgue desrrolló en 1901 su 1 teorí de l medid. Un ño después extendió el concepto de integrl.

2 un función f : [, b] R que tom un número finito de vlores, l definición de l integrl de Riemnn corresponde esencilmente dividir el intervlo [, b] en subintervlos, multiplicr el vlor que l función tom en cd subintervlo por su longitud y sumr: b f(x)dx = f(x k )(x k x k 1 ). k=1 Por otro ldo, pr l integrl de Lebesgue, determinmos primero cuál es l preimgen k [, b] de cd vlor y k que l función sume, multiplicmos l medid de l preimgen por el vlor de l función y summos. b fdµ = m y k µ( k ). k=1 stá clro que estos dos métodos deben drnos el mismo vlor de l integrl. n pocs plbrs, podemos decir que l diferenci entre mbs integrles es que pr l integrl de Riemnn conciernen los vlores que tom l función que está siendo integrd, mientrs que en l integrl de Lebesgue import más el tmño de subconjuntos en el dominio del integrndo. st noción de medid o tmño es l que vmos trtr hor. Pr poder doptr el cmino de Lebesgue, necesitmos definir un función que cd subconjunto de R le socie un tmño o medid µ(a). st función debe stisfcer cierts propieddes que prece nturl imponer. Por ejemplo, nos gustrí que Pr un segmento A = [, b] l medid esté dd por su longitud, µ(a) = b ; Si A es l unión de conjuntos A 1, A 2,... disjuntos dos dos, entonces µ(a) = k=1 µ(a k); Si A es un conjunto con medid µ(a) entonces su trslción x + A = {x + y : y A} deberá tener l mism medid µ(x + A) = µ(a). Desfortundmente no existe tl función! n 1905 Vitli demostró que existen conjuntos muy extrños pr los cules no son válids ests propieddes que precen obvis 3. Pr solucionr este problem debemos modificr nuestr noción de tmño o bien restringirnos poder medir únicmente un colección más pequeñ de subconjuntos de R. L últim opción es l más decud y que veremos que los subconjuntos de R medibles incluyen culquier subconjunto norml, que pued ser proximdo por intervlos. Tles colecciones de subconjuntos se llmn sigm-álgebrs y los presentremos en l próxim sección. 2. Colecciones de subconjuntos Definición 4 : Un colección no vcí Σ de subconjuntos de es un álgebr si stisfce i) Σ, ii) Si A Σ entonces Ā Σ, iii) Si A, B Σ entonces A B Σ. 3 L prdoj de Bnch-Trski es un resultdo ún más sombroso: es posible cortr un rvej en un cntidd finit de piezs y recomodr ls piezs pr que formen un pelot del tmño del sol. 4 Notción: Ddos los conjuntos A y B, denotremos A B l conjunto {x A : x / B}, diferenci simétric A B (A B) (B A) y Ā l complemento de A (Ā = A donde es el conjunto universo considerdo). Dd un fmili de conjuntos {A i } decimos que i A i es un unión disjunt si A i A j = pr i j. 2 simboliz el conjunto de todos los subconjuntos de. 2

3 Definición: Σ es un σ-álgebr si es un álgebr cerrdo respecto ls uniones numerbles, es decir, si {A i } entonces A i. Teorem 1.1: L intersección de culquier colección no vcí de álgebrs o σ-álgebrs es, respectivmente, un álgebr o un σ-álgebr. Corolrio 1.2: Dd un colección D de subconjuntos de existe un σ-álgebr miniml que contiene D, Σ(D). s miniml en el sentido que si Σ es un σ-álgebr que contiene D, entonces Σ(D) Σ. Demostrción: Simplemente proponemos Σ(D) como l intersección de todos los σ-álgebrs que contienen D. st es un intersección no vcí, y que pr todo no vcío siempre existe el σ-álgebr 2 que contiene D. Decimos que Σ(D) es el σ-álgebr generdo por D. Ahor vmos introducir el σ-álgebr en R que utilizremos pr definir l medid de Lebesgue, cd uno de sus elementos podremos signrle un tmño prtir de l definición nturl de longitud de un intervlo. Se O 2 R l colección de los conjuntos biertos de R, queremos construir el σ-álgebr más pequeño que conteng O. De cuerdo l último corolrio, pr ello debemos relizr l intersección de todos los σ-álgebrs que contienen todos los subconjuntos biertos. Definición: Llmremos álgebr de Borel, B, l σ-álgebr generdo por todos los subconjuntos biertos de l rect rel. Los elementos de B serán llmdos conjuntos de Borel de R. Generlmente, no es trivil dr l form de un conjunto de Borel culquier. Sin embrgo, lgunos ejemplos simples de conjuntos de Borel son los siguientes: los intervlos biertos cotdos (, b), los semibiertos (, b], los cerrdos [, b], los puntos x R, los intervlos no cotdos cerrdos [, ) o biertos (, ), los rcionles Q, y otros más exóticos como los conjuntos de Cntor. 3. Medid Cómo podemos medir el tmño de un conjunto? L longitud es un buen cmino pr medir intervlos en el eje rel. Pero qué ps si queremos mnejrnos con conjuntos de números reles que no son intervlos, o conjuntos de números nturles o conjuntos más bstrctos ún? A continución vmos desrrollr l teorí de l medid, válid pr un universo rbitrrio. Se un conjunto y Σ un σ-álgebr en. Definición: Un función µ : Σ [0, + ] se llmrá medid si i) (Positividd) µ(a) 0 pr todo A Σ y µ( ) = 0, ii) (σ-ditividd) Si { i } i N es un fmili disjunt de conjuntos de Σ, entonces µ( i ) = µ( i ). jemplo: L medid de Lebesgue será l que nos permit generlizr l integrl de Riemnn. st medid se define en primer lugr pr los conjuntos de Borel, usndo l definición nturl de longitud de un intervlo. Más delnte veremos cómo extender l medid pr que pued plicrse otros conjuntos no borelinos. Teorem 2.1:Un medid µ stisfce ls siguientes propieddes: 3

4 i) (Monotonicidd) Si A, B Σ y B A entonces µ(b) µ(a), ii) (Substrctividd) Si A, B Σ, B A y µ(b) < + entonces µ(a B) = µ(a) µ(b), iii) (Subditividd) Si { i } i N Σ entonces µ( i ) µ( i ). Demostrción: i) A = (A B) B, siendo A B y B disjuntos, lo que permite escribir µ(a) = µ(a B) + µ(b) por l propiedd de ditividd de µ. Como µ(a B) 0, result µ(a) µ(b). ii) Si µ(b) < + obtenemos de i) µ(a) µ(b) = µ(a B). iii) Probemos en primer lugr que n µ( i ) µ( i ). Notemos que los conjuntos B 1 = 1, B k = k k 1 l=1 l, k 2, son disjuntos y n B i = n i. Además como B i i se cumple µ(b i ) µ( i ). ntonces n n µ( i ) = µ( B i ) = µ(b i ) µ( i ). Podemos repetir el mismo rgumento pr un fmili infinit de conjuntos usndo l propiedd de σ-ditividd de l medid. Teorem 2.2: (Continuidd de l medid) Se Σ un σ-álgebr y { n } n N Σ un sucesión monótonmente creciente, n n+1. ntonces µ( i ) = lím µ( n). Demostrción: Si pr lgún n 0, µ( n0 ) = + entonces µ( n ) = + pr todo n n 0 y µ( i) = +. Consideremos que µ( i ) < + pr todo i. ntonces µ( i ) = µ( 1 ( 2 1 ) ( n n 1 ) ) = µ( 1 ) + lím 3.1. Medid exterior i=2 (µ( i ) µ( i 1 )) = lím µ( n). Se Σ un σ-álgebr de subconjuntos de y µ un medid definid en Σ. Nuestro propósito es logrr usr l medid µ pr l myor cntidd de elementos de 2 como se posible. Un conjunto rbitrrio A puede siempre cubrirse por conjuntos pertenecientes Σ, es decir, podremos siempre encontrr 1, 2, Σ tl que A i. L fmili { i } es llmd Σ-cubrimiento de A. 4

5 Definición: Pr A su medid exterior está definid por µ (A) = ínf µ( i ) donde el ínfimo está tomdo sobre todos los posibles Σ-cubrimientos del conjunto A, es decir, tods ls colecciones { i } Σ con A i. Not: l medid exterior siempre existe puesto que µ() 0 pr cd Σ. Teorem 3.3: Pr A Σ vle µ (A) = µ(a), es decir, µ es un extensión de µ. Demostrción: A es su propio cubrimiento, lo que implic µ (A) µ(a). Por definición de ínfimo, pr culquier ɛ > 0 existe un Σ-cubrimiento { i } de A tl que i µ( i) < µ (A) + ɛ. Notemos que ( ) A = A i = (A i ). i i Usndo consecuentemente l σ-ditividd y monotonicidd de µ obtenemos µ(a) i µ(a i ) i µ( i ) < µ (A) + ɛ. Como ɛ es rbitrrio, concluimos que µ (A) = µ(a). Teorem 3.4:(Monotonicidd de l medid exterior) Si A B entonces µ (A) µ (B). Demostrción: Culquier cubrimiento de B es un cubrimiento de A. Teorem 3.5:(σ-subditividd de l medid exterior) Pr un fmili {A i } 2, vle ( ) µ A i µ (A i ). Demostrción: Si l serie en el miembro derecho diverge no hy nd pr probr. Asumimos entonces que es convergente. Por definición de medid exterior pr culquier ɛ > 0 y pr culquier i existe un Σ-cubrimiento A i k ki tl que µ ( ki ) < µ (A i ) + ɛ 2 i. Como k=1 l definición de medid exterior implic y por lo tnto A i ( ) µ A i k, ki, µ( ki ) k, ( ) µ A i < µ (A i ) + ɛ. Como est últim relción es válid pr todo ɛ > 0, obtenemos l propiedd de subditivdd de l medid exterior. 5

6 3.2. Conjuntos medibles Se Σ un σ-álgebr de subconjunto de, µ un medid definid en Σ y µ l medid exterior definid en l sección nterior. Definición: Se dice que A es un conjunto medible si pr culquier vle l siguiente relción: µ () = µ ( A) + µ ( Ā). Nots: i) Puesto que = ( A) ( Ā), l propiedd de subditividd de l medid exterior nos dice que l desiguldd µ () µ ( A) + µ ( Ā) es válid siempre. Bst entonces demostrr l desiguldd contrri, pr todo, pr probr si A es o no un conjunto medible. ii) Un form equivlente de introducir el concepto de conjuntos medibles consiste en definir l medid interior de A medinte µ (A) = µ(i) µ (I A) donde I Σ stisfce I A. ntonces se dice que A es medible si sus medids exterior e interior son igules, µ (A) = µ (A). Compruebe que mbs definiciones de conjuntos medibles son equivlentes. Definición: Llmemos Σ l colección de todos los conjuntos que son medibles según l definición nterior, y µ l restricción de l medid exterior µ l conjunto Σ, es decir, µ : Σ [0, + ]. Teorem 3.6: Σ es un σ-álgebr que contiene Σ y µ es un medid en Σ. Demostrción: Vmos dividir l demostrción en vrios psos. 1- Si A, B Σ entonces A B Σ. Por definición de conjunto medible tenemos µ () = µ ( B) + µ ( B). Si usmos A en lugr de obtenemos y usndo Ā en lugr de, Sumndo ls dos últims expresiones: µ ( A) = µ ( A B) + µ ( A B) µ ( Ā) = µ ( Ā B) + µ ( Ā B). µ () = µ ( A B) + µ ( A B) + µ ( Ā B) + µ ( Ā B). Sustituyendo (A B) por en l últim ecución, tenemos µ ( (A B)) = µ ( A B) + µ ( Ā B) + µ ( A B). De ls últims dos ecuciones rribmos l resultdo buscdo: µ () = µ ( (A B)) + µ ( (A B)). 2- Si A Σ entonces Ā Σ. L definición de conjunto medible es simétric respecto A y Ā. Hst hor demostrmos que Σ es un álgebr de conjuntos. 3- Σ es un σ-álgebr. 6

7 Notemos que si A, B Σ son disjuntos, entonces de l penúltim ecución del prtdo 1- se deduce µ ( (A B)) = µ ( Ā B) + µ ( A B) = µ ( B) + µ ( A). Por inducción se puede extender el resultdo nterior pr un colección finit de conjuntos B j disjuntos de Σ: n µ = µ ( B j ). B j Se A = A j, A j Σ. Luego A = B j, B j = A j j 1 k=1 A k y B i B j = (i j). Pr demostrr que l unión numerble infinit A pertenece Σ, es decir que Σ es un σ-álgebr, tenemos que probr que A es medible, y pr ello bst probr que µ () µ + µ B j y que en el teorem 2.5 hbímos visto que l medid exterior µ es σ-subditiv y ello implic siempre l desiguldd opuest l de rrib. Σ es un álgebr, entonces n B j Σ y vle entonces n n µ () µ + µ pr todo n 1. ( ) Como B j últim desiguldd B j ( n ) B j y debido l monotonicidd de l medid exterior y l µ () µ ( B j ) + µ ( Ā). Psndo l límite obtenemos µ () µ ( B j ) + µ ( Ā). Debido l σ-subditividd de µ µ ( A) = µ ( B j ) = µ ( B j ) µ ( B j ). Comprndo con l penúltim ecución: Por lo tnto A Σ, es decir, Σ es un σ-álgebr. µ () µ ( A) + µ ( Ā). 4- µ = µ restringid Σ es un medid. Tenemos que probr únicmente l σ-ditividd. Se = A j. De l ecución µ () µ ( B j ) + µ ( Ā) obtenid en el item 3- obtenemos µ A j µ (A j ). B j B j 7

8 L desiguldd contrri result del crácter σ-subditivo de l medid exterior µ. 5- Σ Σ. Se A Σ,. Necesitmos probr: µ () µ ( A) + µ ( Ā), es decir, que A es medible y pertenece por lo tnto Σ. Si Σ l desiguldd nterior es clr y que A y Ā son disjuntos y mbos pertenecen Σ, donde µ = µ y por lo tnto es ditiv. Pr y pr culquier ɛ > 0 existe un Σ-cubrimiento { i } de tl que µ () + ɛ > Ahor, como j = ( j A) ( j Ā) tenemos y demás Por monotonicidd y σ-subditividd µ( i ). µ( j ) = µ( j A) + µ( j Ā) A ( j A), Ā ( j Ā). µ ( A) µ( j A), µ ( Ā) µ( j Ā). Sumndo ls dos últims desigulddes obtenemos µ ( A) + µ ( Ā) µ ( j ) < µ () + ɛ. Como ɛ > 0 es rbitrrio probmos que µ () µ ( A) + µ ( Ā). Teorem 3.7: Se µ un medid en un σ-álgebr Σ de subconjuntos de, µ l correspondiente medid exterior. Si µ (A) = 0 pr un conjunto A entonces A Σ y µ(a) = 0. Demostrción: Clrmente, bst probr que A Σ. Vimos tmbién que sólo es necesrio demostrr que µ () µ ( A) + µ ( Ā). sto último se deduce de l monotonicidd de µ : µ ( A) µ (A) = 0 y µ ( Ā) µ (). Definición: Un medid µ en un σ-álgebr Σ es complet si B A, A Σ, µ(a) = 0 implic que B Σ y µ(b) = 0. Not: µ es un medid complet. Definición: Un medid µ en un σ-álgebr Σ se llm finit si µ() < +. Se llm σ-finit si existe un sucesión creciente {F i } Σ tl que = F j y µ(f j ) < +, j. 8

9 3.3. Medid de Lebesgue en R Medid de Lebesgue de conjuntos cotdos de R Se U el álgebr de tods ls uniones finits de intervlos semibiertos de R, es decir, todos los conjuntos de l form k A = [ j, b j ). Definimos un función µ : U R medinte µ(a) = k (b j j ). Teorem 3.8: µ es un medid. Demostrción: Tods ls propieddes incluid l ditividd (finit) son obvis. Lo único que hy que probr es l σ-ditividd. Se {A j } U un unión disjunt infinit tl que A = A j U L condición A U signific que A j es un unión finit de intervlos semibiertos. Pr culquier entero n positivo n A i A, por lo tnto n µ(a i) µ(a) y µ(a i) = n lím µ(a i) µ(a). Se A ɛ un conjunto obtenido prtir de A medinte l siguiente construcción. Tome un componente conectd de A, est será un segmento de l form [s, t). Muev levemente hci l izquierd su extremo derecho pr obtener un segmento cerrdo. Hg lo mismo con tods ls componentes conectds de A, de form tl que µ(a) < µ(a ɛ ) + ɛ. Aplique un procedimiento similr cd uno de los semi-intervlos moviendo su extremo izquierdo hci l izquierd y obteng intervlos biertos, A ɛ j tl que µ(aɛ j ) < µ(a j) + ɛ 2. j Por construcción, A ɛ es un conjunto compcto y {A ɛ j } su cubrimiento bierto. Por lo tnto, existe un número entero positivo n tl que Por lo tnto, A µ(a ɛ ) Utilizndo ls ecuciones nteriores encontrmos µ(a) sí µ(a) < µ(a j) + 2ɛ. µ(a ɛ j) + ɛ n A ɛ j. µ(a ɛ j). µ(a j ) + ɛ 2 j + ɛ, Definición: Ahor podemos definir l medid exterior µ y obtener el espcio medible (Ū, µ). l resultdo de est extensión se llm l medid de Lebesgue. Denotremos l medid de Lebesgue como m y l σ-álgebr Ū como M. Not: Se F : R R un función no decreciente y continu l izquierd. Si definimos l medid de un intervlo semi-bierto de l form µ([, b)) = F (b) F () obtendremos l denomind medid de Lebesgue-Stieljes, m F. 9

10 Defininición: Ddo un conjunto A R y x R, definimos el conjunto trslddo A(x) = A + x = {y + x : y A}. Lem: Invrinci bjo trslción. Se L y x R, entonces (x) L y µ() = µ((x)). Teorem 3.9:xiste un subconjunto V R pr el cul no está definid µ(v ), es decir, existen conjuntos no medibles según Lebesgue. Demostrción: Definmos Q 1 = Q [ 1, 1]. Ddos x, y [0, 1] definmos l relción de equivlenci x y sí y sólo si x y Q 1. st relción de equivlenci divide [0, 1] en un unión disjunt [0, 1] = α α de clses de equivlenci. Si x α entonces cd y α stisfce y x Q. Luego, como Q 1 es numerble, tmbién lo es α. [0, 1] es no numerble por lo cul l colección de subconjuntos α es no numerble. Tomemos un elemento de cd uno de los α y formemos con todos ellos el conjunto V. Supongmos que V es medible según Lebesgue. numeremos los elementos de Q 1 = {r 1, r 2,...} y trsldemos V por r n, llmndo cd conjunto resultnte V n = V (r n ) = {y : y = x + r n, x V }. Todos estos conjuntos son disjuntos. Si no fuese sí, V n V m, podemos tomr un y V n V m. ntonces y r n, y r m V pero (y r n ) (y r m ) = r n r m Q 1 y por lo tnto y r n e y r m pertenecen l mism clse de equivlenci en [0, 1]. Pero V contiene un solo punto de cd cls, por lo tnto y r n = y r m y de quí result que V n = V m. Ddo culquier x [0, 1], x α pr lgún α, entonces x = e α + r n pr lgún r n Q 1, esto es x = α + r n V + r n = V (r n ) = V n. Así [0, 1] V i. Además V i [ 1, 2]. ntonces 3 = µ([ 1, 2]) µ ( V i ) µ(v i ) = µ(v ) y que µ es invrinte frente trslciones. Debemos tener entonces µ(v ) = 0. Pero 1 = µ([0, 1]) µ ( V i ) µ(v i ) = µ(v ). Contrdicción, result fls nuestr suposición. Luego, V no es medible según Lebesgue. st demostrción tmbién nos dice que el conjunto V no será medible en ningun medid µ en l cul 0 < µ([, b]) <.. Medid de Lebesgue en R Definición: Un conjunto A R es medible según Lebesgue si pr cd entero positivo n el conjunto cotdo A [ n, n) es un conjunto medible según Lebesgue. L medid de Lebesgue en R es m(a) = lím m (A [ n, n)). 4. Funciones medibles Definición: Un función f : R R {, + } es Σ-medible sí y sólo si f 1 (B) Σ pr todo conjunto borelino B (f 1 (B) = {x : f(x) B). Teorem 4.1:L función f : R es Σ-medible sí y sólo si {x : f(x) > c} Σ 10

11 pr todo c R. Demostrción: Se A l colección de los intervlos semi-infinitos (c, + ] pr todo c R. n un ejercicio nterior demostrmos que Σ(A) = B. Usndo l definición de Σ-medible encontrmos f 1 (B) Σ f 1 (Σ(A)) Σ Σ(f 1 (A)) Σ (pruébelo!) f 1 (A) Σ (porque Σ es un σ lgebr) f 1 ((c, + ]) Σ c R, (por definicion de A) {x : f(x) > c} Σ c R. Not: l teorem nterior es usulmente considerdo l definición de Σ-medible. Teorem 4.2: Sen f, g : R Σ-medibles y, b R. ntonces: i) f es Σ-medible, ii) {x : f(x) > g(x)} Σ, iii) {x : f(x) = g(x)} Σ, iv) en el conjunto de x donde está definid, f + bg es Σ-medible, v) f g es Σ-medible, vi) en el conjunto de x donde está definid, f/g es Σ-medible, vii) máx(f, g) y mín(f, g) son Σ-medibles, viii) f es Σ-medible. Demostrción: Qued como ejercicio. Teorem 4.3:Se f n un sucesión de funciones Σ-medibles. i) Ls funciones sup f n e ínf f n son Σ-medibles. ii) Ls funciones lím inf f n y lím sup f n 5 son Σ-medibles. iii) l conjunto de x pr los cuáles lím f n (x) existe es un conjunto medible. iv) n el conjunto de x pr los cuáles lím f n (x) existe l función límite es Σ-medible. Demostrción: i) Se c R. Pr culquier sucesión de números reles {x n } se cumple que sup(x n ) = ínf( x n ) y sup(x n ) > c sí y sólo si existe i tl que x i > c. Por lo tnto, {x : sup f n (x) > c} = {x : existe i pr el cul f i (x) > c} = {x : f i (x) > c} Σ i 1 y que cd f i es Σ-medible y Σ es cerrdo respecto uniones numerbles. Por lo tnto sup f n es Σ-medible. Pr el ínfimo sbemos que ínf f n = sup( f n ) es Σ-medible. 5 Si {x n } es un sucesión de números reles, se define lím sup x n = lím [sup{x k /k n}] y lím inf x n = lím [ínf{x k /k n}]. 11

12 ii) Sbemos que lím inf f n = sup( ínf Por el item i) obtenemos el resultdo. iii) Sbemos que r n f r) y lím sup f n = ínf(sup f r ). r n {x : lím f n(x) existe} = {x : lím inf f n(x) = lím sup f n (x)}. Por lo tnto nuestro conjunto es el de puntos en el cul dos funciones Σ-medibles son igules. Por teorem 3.3 tl conjunto pertenece Σ. iv) Se A = {x : lím f n (x) existe}, entonces usndo los items ii) y iii). {x A : lím f n(x) > c} = {x A : lím inf f n(x) > c} (y que lím inf f n = lím en A) = A {x A : lím inf f n(x) > c} (y que lím inf f nestá definido en todo ) Σ, 5. Funciones simples Definición: Un función f : R es simple si sólo tom un número finito de vlores diferentes. Not: stos vlores deben ser finitos. scribiéndolos como i, 1 i N, y siendo A i = {x : f(x) = i }, podemos expresr N f = i χ Ai, donde χ A es l función crcterístic de A, es decir, χ A (x) = 1 si x A y 0 si x / A. Lem 4.1: Ls funciones simples son cerrds respecto l sum y multiplicción. Demostrción: Se s = N iχ Ai y t = M b jχ Bj donde N A i = M B j =. Definimos C ij = A i B j. Luego, A i = ( M B M ) j y por lo tnto A i = A i B j = M C ij. Similrmente, B j = N C ij. Como los C ij son disjuntos, podemos escribir χ Ai = M χ C ij y χ Bj = M χ C ij. n consecuenci, son funciones simples. N M N M s + t = ( i + b j )χ Cij y st = i b j χ Cij Se Σ un σ-álgebr en. Supongmos que pr un función simple f tenemos A i Σ pr todo i. ntonces {x : f(x) > c} = A i Σ i>c 12

13 pr todo c R. Por lo tnto, f es Σ-medible. Por otro ldo, summos que f es Σ-medible. Ordenemos los vlores que tom f como 1 < 2 < 3 < N. Ddo 1 j N tommos j 1 < c 1 < j < c 2 < j+1. ntonces ( ) ( ) A j = = {x : f(x) > c 1 } {x : f(x) > c 2 } Σ. i >c 1 A i i >c 2 A i Por lo tnto demostrmos el siguiente lem Lem 4.2: Si f : R es un función simple entonces f es Σ-medible sí y sólo si A i Σ pr todo 1 i N. Corolrio 4.3: Ls funciones simples Σ-medibles son cerrds respecto l sum y l multiplicción. Demostrción: Simplemente notemos, en l demostrción del lem 4.1, que A i, B j Σ implic C ij Σ. Teorem 4.4:Se f un función no negtiv Σ-medible. xiste entonces un sucesión de funciones simples Σ-medibles s n tl que s 1 s 2 y lím s n = f. Demostrción: Hgmos un prtición del rngo de f usndo los puntos en D n = { m 2 : 0 n m n2 n }. Tenemos D n D n+1. Definimos s n (x) = máx{p D n : p f(x)}. D n D n+1 signific que pr un ddo x {p D n : p f(x)} {p D n+1 : p f(x)} y en consecuenci s n (x) s n+1 (x). sto es válido pr todo x, se cumple entonces s n s n+1. sto signific tmbién que existe lím s n (x) (usndo l definición extendid de límite si es necesrio). Consideremos primermente quellos x pr los cules f(x) es finito. Pr todo n pr los cules n f(x) tenemos s n (x) = m 2 pr el entero m, 0 m n2 n, que stisfce n m 2 n f(x) < m n, es decir s n(x) f(x) < s n (x) n. De rrib concluimos que lím s n (x) = f(x). Vemos hor quellos x pr los cules f(x) = +. s n (x) = n pr todo n. Por lo tnto, lím s n (x) = f(x) = +. Concluimos que pr todo x se cumple lím s n = f. Finlmente s n (x) = m 2 n χ A m,n (x) donde A m,n = 0 m n2 n { x : m 2 n f(x) < m + 1 } { 2 n = x : f(x) < m + 1 } 2 n {x : f(x) < m } 2 n pr m n2 n 1 mientrs A n2n,n = {x : f(x) n}. n todos los csos, los conjuntos A m,n Σ. Por lo tnto, s n son funciones simples Σ-medibles. Combinndo los teorem 3.3 y 4.4 vemos que un función f : R + es Σ-medible sí y sólo si existe un sucesión creciente de funciones simples Σ-medibles que convergen f. Corolrio 4-5: Si f : R es Σ-medible entonces f es el límite de un sucesión de funciones simples Σ-medibles. Demostrción: Podemos escribir f = f + f donde f + = máx(f, 0) y f = máx( f, 0) son funciones no negtivs Σ-medibles. Por el teorem 4.4 encontrmos sucesiones de funciones simples no negtivs Σ-medibles tles que s n f + y t n f. n tl cso {s n t n } es l sucesión de funciones simples requerid que converge f. 13

14 Corolrio 4.6:Si f : R es un función Σ-medible y g : R R es un función continu cuyo dominio contiene los vlores de f entonces l función compuest g f es Σ-medible. Demostrción: Por el Corolrio 4.5 podemos encontrr un sucesión de funciones simples Σ- medibles s n f. De un ejercicio nterior sbímos que ls funciones g s n son simples y medibles pr todo n. Luego lím g(s n(x)) = g( lím s n(x)) (porque g es continu) = g(f(x)) = (g f)(x) pr todo x, es decir g f = lím g s n. Por el teorem 3.3 g f result ser un función Σ-medible. 6. Integrción 6.1. Integrción de funciones simples no negtivs Se (, Σ, µ) un espcio de medid. De hor en más ls funciones Σ-medibles ls llmremos simplemente funciones medibles. Definición: Se s un función simple medible no negtiv, es decir s = N i χ Ai, donde A i son conjuntos medibles disjuntos tles que N A i = y i 0. Pr culquier Σ definimos l integrl de f sobre como I (s) = N i µ(a i ), con l convención que si i = 0 y µ(a i ) =, entonces i µ(a i ) = 0. Teorem 5.1: Sen s y t dos funciones simples medibles no negtivs, y, F Σ. ntonces i) I (cs) = ci (s) pr todo c R, ii) I (s + t) = I (s) + I (t), iii) Si s t en entonces I (s) I (t), iv) Si F entonces I F (s) I (s), v) Si 1 2, y = k=1 k entonces lím k I k (s) = I (s). jercicio: Demuestre el teorem nterior Integrción de funciones medibles no negtivs Definición: Si f : R es un función medible no negtiv, Σ, l integrl de f sobre se define como fdµ = sup{i (s) : s es un función simple medible, 0 s f}. 14

15 Se I(f, ) el conjunto {I (s) : s es un función simple medible, 0 s f}, entonces l integrl de f en es igul sup I(f, ). Not: l integrl existe pr tods ls funciones medibles no negtivs unque su vlor podrí ser infinito. Si fdµ = diremos que l integrl está definid, si fdµ < diremos que f es integrble (con respecto l medid µ) o sumble en. Proposición 5.2: Pr un función simple medible no negtiv t, tenemos que tdµ = I (t). Demostrción: Dd culquier función medible simple s tl que 0 s t tenemos I (s) I (t) por teorem 5.1(iii). Por lo tnto I (t) es un cot superior de I(t, ) siendo tdµ es l menor de tods ls cots superiores. Por lo tnto, tdµ I (t). Además, tdµ I (s) pr tods ls funciones simples medibles que stisfcen l condición 0 s t, y entonces es myor que I (s) pr el cso prticulr s = t, tdµ I (t). De mbs desigulddes se deduce que tdµ = I (t). Teorem 5.3: Not: Tods ls funciones considerds son medibles no negtivs y todos los conjuntos son medibles i) Pr todo c 0, cfdµ = c fdµ, ii) Si 0 g h en entonces gdµ hdµ, iii) Si 1 2, entonces 1 fdµ 2 fdµ. Demostrción: i) Si c = 0 el miembro derecho es 0 l igul que el izquierdo. Supongmos que c > 0. Si 0 s cf es un función simple medible entonces tmbién lo será 0 1 c s f. De llí ( ) 1 fdµ I c s = 1 c I (s) por el teorem 5.1(i). ntonces c fdµ es un cot superior pr I(cf, ), conjunto pr el cul cfdµ es l menor de ls cots superiores. Por lo tnto c fdµ cfdµ. Si 0 s f es un función simple medible, tmbién lo será 0 cs cf y obtenemos cfdµ I (cs) por definición de l integrl y su vez I (cs) = ci (s) por el teorem 5.1(i). Por lo tnto 1 c cfdµ es un cot superior pr I(f, ) pr el cul fdµ es l menor de tods ls cots superiores. Se deduce 1 c cfdµ fdµ, es decir cfdµ c fdµ. Combinndo ls dos desigulddes llegmos l resultdo buscdo. ii) Se 0 s g un función simple medible. ntonces, y que g h se cumple trivilmente que 0 s h y de quí I (s) hdµ por definición de l integrl. hdµ es un cot superior pr I(g, ). Como en el item i) tenemos hdµ gdµ. iii) Se 0 s f un función simple medible. ntonces I 1 (s) I 2 (s) por teorem 5.1(iii) y su vez, I 2 (s) 2 fdµ por definición de l integrl. 2 fdµ es entonces un cot superior pr I(f, 1 ) y result myor o igul l menor de tods ls cots superiores, es decir 2 fdµ 1 fdµ. Lem 5.4: Asummos que Σ, f 0 es medible y fdµ <. Se A = {x : f(x) = + }. ntonces A Σ y µ(a) = 0. Demostrción: Como f es medible vle f 1 ({ }) Σ y por lo tnto f 1 ({ }) Σ. Definmos { n si x A s n (x) = 0 si x / A. 15

16 Como A es medible deducimos que s n es un función simple medible. Además s n f y por lo tnto µ(a) = I (s n ) fdµ < +. Lo nterior es válido pr todo n lo que signific que µ(a) = 0. Lem 5.5:Si f es medible y no negtiv en Σ y µ() = 0 entonces fdµ = 0. Demostrción: Se 0 s f un función simple medible. s decir, s = N nχ An pr lgunos n 0, A n Σ. Luego, I (s) = N n µ(a n ). Pero µ es monóton, lo que signific que µ(a n ) µ() = 0 pr todo n y por lo tnto I (s) = 0 pr tods ls funciones simples s. ntonces I(f, ) = {0} y fdµ = sup I(f, ) = 0. Lem 5.6: Si g 0 y gdµ = 0 entonces µ{x : g(x) > 0} = 0. Demostrción: Se A = {x : g(x) > 0} y A n = {x : g(x) > 1 n }. ntonces los conjuntos A n = {x : g(x) > 1 n } Σ stisfce A 1 A 2 con A = A n. Por l propiedd de continuidd de l medid tenemos µ(a) = lím µ(a n ). Usndo { 1 s n (x) = n x A n 0 pr otros vlores de x, por lo tnto s n g en A n y tenemos 1 n µ(a n) = I An (s n ) ntonces µ(a n ) = 0 pr todo n y µ(a) = 0. gdµ A n gdµ = 0. Definición: Si un propiedd P vle pr todos los puntos de A donde µ(a) = 0 diremos que P vle pr csi todo punto, según l medid µ, en y lo escribiremos P vle en c.t.p. en. Suelen simbolizrse tmbién como p.p. (del frncés presque prtout) ó.e. (del inglés lmost everywhere). n prticulr, se dice que dos funciones son equivlente cundo son igules en c.t.p. Lem 5.7: el lem nterior puede ser reescrito si g 0 y gdµ = 0 entonces g = 0 en c.t.p. en. Teorem 5.8: Si g, h : R + son medibles y g h en c.t.p. entonces gdµ hdµ. Demostrción: Por hipótesis existe D, de medid cero, tl que pr todo x D tenemos g(x) h(x). Se 0 s g un función simple medible, que puede escribirse como s = N i χ Ai, N A i =. l problem quí es que puede no ser cierto que s h. Definmos { s s(x) si x / D N (x) = 0 si x D = i χ Ai D. 16

17 s es un función simple medible. Pr x D tenemos s (x) = s(x) g(x) h(x), mientrs pr x D tenemos s (x) = 0 h(x). O se, s (x) h(x) pr todo x. Notemos que A i = (A i D) (A i D) es un unión disjunt y en ese cso µ(a i ) = µ(a i D) + µ(a i D). Pero A i D D y entonces µ(a i D) µ(d) = 0. n consecuenci µ(a i ) = µ(a i D). Luego N I (s ) = i µ(a i D) N = i µ(a i ) = I (s). Por lo tnto I (s) = I (s ) hdµ por definición de integrl. hdµ result ser un cot superior pr I(g, ) mientrs gdµ es l menor de ess cots superiores. Llegmos sí l resultdo buscdo, hdµ gdµ. Corolrio 5.9: Si g, h : R + son medibles y g = h en c.t.p. en entonces gdµ = hdµ. Demostrción: Por hipótesis existe un conjunto D de medid cero tl que pr todo x D tenemos g(x) = h(x). n prticulr, pr esos vlores tenemos g(x) h(x) y h(x) g(x). n consecuenci, g h en c.t.p. en y h g en c.t.p. en. l resultdo entonces se deriv de l plicción del teorem 5.8. Not: Un función puede tener sus vlores lterdos en un conjunto de medid nul sin cmbir el vlor de su integrl. n prticulr, por el lem 5.4 podemos sumir que un función integrble no negtiv tom siempre vlores finitos. jemplo: n el espcio de medid de Lebesgue ([0, 1], M, m) l función de Dirichlet f(x) = χ Q es 0 en m-c.t.p. y result fdm = 0. [0,1] Teorem 5.10: Desiguldd de Chebychev Se f un función medible no negtiv. ntonces, pr c > 0 tenemos µ{x : f(x) > c} 1 fdµ. c Demostrción: Se C = {x : f(x) > c} Σ. Luego fdµ fdµ > cdµ = cµ(c). C C 6.3. Intercmbindo integrles con otrs operciones Teorem 5.11: Convergenci monóton de Lebesgue Se A Σ y se 0 f 1 f 2 un sucesión creciente de funciones no negtivs medibles definids en A. ntonces lím f n (x)dµ = lím f n(x)dµ. A A Demostrción: Puesto que pr x A, {f n (x)} es un sucesión creciente, el límite siempre existe (posiblemente ). Pr cd x A definimos f(x) = lím f n (x). 17

18 Del teorem 3.3(iv) se deduce que f es medible en A y existe entonces A fdµ. Además f f n pr todo n y por lo tnto fdµ f n dµ A por el teorem 5.3(ii). Pero {f n } es un sucesión creciente, lo que implic que el límite existe y stisfce fdµ lím f n dµ. A Ahor necesitmos encontrr l desiguldd en el otro sentido. Tomemos un función medible s, que stisfce 0 s f, y un número fijo c tl que 0 c < 1. Se A n = {x A : f n (x) > cs(x)} Σ, se cumple A 1 A 2 A 3. Si x A entonces f(x) s(x) > cs(x) y podemos encontrr un m pr el cul f m (x) > cs(x), lo que signific que x A m. ntonces A n A n. Pero A n A, por lo tnto A = n A n. Luego, f n dµ f n dµ > cs(x)dµ = ci An (s) A A n A n y entonces lím A f ndµ ci (s) por Teorem 5.1 (iv). Lo nterior es válido pr culquier c < 1 lo que signific que lím A f ndµ I (s). Por lo tnto lím f n dµ es un cot superior pr I(f, ) conjunto pr el cul fdµ es l menor de tods ls cots superiores. n consecuenci A vle l desiguldd lím f n dµ fdµ. A A Combinndo ls desigulddes llegmos l resultdo que querímos probr. Not: l teorem de Beppo Levi es un versión modificd del teorem nterior (se pide que ls integrles de f n estén cotds por un constnte K). jemplo: numeremos los rcionles en [0, 1] como r 1, r 2,. Se { 1 si x = ri pr 1 i n g n (x) = 0 pr otros vlores de x. Ls funciones g n stisfcen ls condiciones del teorem de l convergenci monóton, demás son integrbles según Riemnn con (R) 1 0 g ndx = 0 pr todo n. Sin embrgo lím g n(x) = A A { 1 si x Q [0, 1] 0 pr otros vlores de x no es integrble según Riemnn. L integrción de Riemnn requiere entonces condiciones extrs pr que lím g n se integrble según Riemnn (exige convergenci uniforme). Teorem 5.12: Sen f, g : R + funciones medibles y Σ. ntonces (f + g)dµ = fdµ + gdµ. jercicio: Demuestre el teorem nterior. Corolrio 5.13: Se {f n } un sucesión de funciones medibles no negtivs definids en Σ. ntonces f n dµ = f n dµ. 18

19 Demostrción: Se H k = k f n. Por inducción bsd en el teorem 5.12, k H k dµ = f n dµ pr todo k 1. Como f n 0 pr todo n vemos que H k es un sucesión creciente que converge f n. Por lo tnto f n dµ = lím H kdµ = (teorem 5.11) lím H k dµ = k k lím k k f n dµ = f n dµ. Podemos extender el teorem de convergenci monónoton sucesiones que no sen crecientes: Lem 5.14: Ftou: Si {g n } es un sucesión de funciones medibles no negtivs y Σ, entonces lím inf g ndµ lím inf g n dµ. Demostrción: L función lím inf g n es medible por el teorem 3.3(ii). Recordemos que lím inf g n = lím (ínf r n g r ). Se h n = ínf r n. {h n } es un sucesión creciente de funciones. Por lo tnto podemos plicr el teorem de l convergenci monóton y se deduce lím h n dµ = lím h ndµ = lím inf g ndµ. Tmbién h n = ínf r n g r g n y entonces h ndµ g ndµ. Por lo tnto lím h n dµ = lím inf h n dµ < lím inf g n dµ. Combinndo ls desiguldd obtenemos el lem de Ftou Integrción de funciones medibles Se (, Σ, µ) un espcio de medid. Si f es medible podemos escribir f = f + f donde f + = máx(f, 0) y f = mín(f, 0) son funciones medibles no negtivs. Por definición f + dµ y f dµ existen pr todo conjunto Σ. Definición: Si l menos un de ls integrles f + dµ o f dµ es finit, definimos l integrl de f sobre reltiv µ como fdµ = f + dµ f dµ. Si fdµ es finit diremos que f es integrble (según µ) sobre. l conjunto de tods ls funciones integrbles sobre se simbolizrá L (µ). De l definición f es integrble sí y sólo si f + dµ y f dµ son finits, es decir, si f = f + + f es integrble. n consecuenci, si f L (µ) entonces f L (µ). st condición es más restrictiv que pr el cso de l integrción según Riemnn. Funciones cuys integrles son condicionlmente convergentes según Riemnn no serán integrbles según Lebesgue. Teorem 5.15: Sen f, g L(µ) L (µ) y A Σ. ntonces 19

20 i) f L A (µ), ii) f L(µ) y fdµ = fdµ pr todo R, iii) f + g L(µ) y (f + g)dµ = fdµ + gdµ, iv) Si f = 0 en c.t.p. entonces fdµ = 0, v) Si f g en c.t.p. entonces fdµ gdµ, vi) Si f = g en c.t.p. entonces fdµ = gdµ. Demostrción: i) f L(µ) implic que f ± dµ son finits. Pero f ± son no negtivs y podemos plicr entonces el teorem 5.3(ii) y concluir que A f ± dµ f ± dµ <. Por lo tnto, f L A (µ). ii) Supongmos que 0. ntonces (f) ± = f ± y (f) ± dµ = f ± dµ = (teorem 5.3(i)) f ± dµ <. Puesto que f L(µ) mbs integrles f ± dµ son finits, de llí se deduce que mbs (f)± dµ son finits y por lo tnto f L(µ). Además ( ) fdµ = (f) + dµ (f) dµ = f + dµ f dµ = fdµ. Supongmos que = 1, entonces ( f) ± = f, esto signific que f es integrble y ( f)dµ = ( f) + dµ ( f) dµ = f dµ f + dµ = fdµ. Supongmos hor que < 0, f = f y por lo tnto fdµ = fdµ = fdµ = fdµ = fdµ. iii) s fácil mostrr que máx( + b, 0) máx(, 0) + máx(b, 0) pr culquier pr de reles, b. De ellos se deduce que (f + g) ± f ± + g ± y (f + g) ± dµ (f ± + g ± )dµ = f ± dµ + g ± dµ <, y que f y g son integrbles. ntonces f + g es integrble. scribmos (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. Ambos miembros son sums de funciones medibles y por el teorem 5.12, ls integrles de ls sums es igul ls sums de ls integrles. De ello deriv el resultdo buscdo. iv) L hipótesis de f = 0 en c.t.p. signific que existe D de medid cero tl que pr todo x D tenemos f(x) = 0. n prticulr f ± (x) = 0 pr tles x, y entonces f ± = 0 en c.t.p. Luego por el corolrio 5.9 vemos que sus integrles son nuls y de llí fdµ = 0. v) f g en c.t.p. implic que g f 0 en c.t.p. y en tl cso (g f) = 0 en c.t.p. scribmos g = f + (g f) gdµ = fdµ + (g f) + dµ (g f) dµ = 20

21 y que (g f) + 0. fdµ + (g f) + dµ fdµ vi) f = g en c.t.p. implic que g f = 0 en c.t.p. y (g f)dµ = 0 de cuerdo l item (iv). Inmeditmente result gdµ = fdµ. Teorem 5.16:Si g L(µ) entonces gdµ g dµ siendo válid l iguldd sí y sólo si g 0 en c.t.p. o g 0 en c.t.p. Demostrción: Y hemos visto que g L(µ). Tmbién gdµ = g + dµ g dµ g + dµ + = (g + + g )dµ = g dµ. g dµ Sbemos que l iguldd b + b,, b 0 es válid si y sólo si = 0 o b = 0. n el presente cso esto signific que g+ dµ = 0 o g dµ = 0. Del lem 5.6 se deduce que µ{x : g + (x) > 0} = 0 o µ{x : g (x) > 0} = 0, es decir, o g 0 en c.t.p. o g 0 en c.t.p. Corolrio 5.17: Si g es medible y existe h L(µ) con g h en c.t.p. entonces g L(µ). De quí se deduce que tod función cotd es integrble en un intervlo de medid finit Demostrción: Puesto que g ± g tenemos g ± dµ g dµ hdµ <. Luego, g L(µ). Teorem 5.18: Convergenci domind de Lebesgue Si {g n } es un sucesión de funciones medibles tl que lím g n = g en c.t.p. y si g n h pr todo n 1, donde h es un función integrble, entonces lím g n dµ = Demostrción: Por el corolrio nterior g n L(µ) pr todo n. Además g n h implic que g h en c.t.p. y por lo tnto g L(µ). Consideremos l sucesión {h + g n } de funciones integrbles no negtivs. l lem de Ftou implic (h + g)dµ lím inf (h + g n )dµ y en consecuenci gdµ. gdµ lím inf g n dµ. Consideremos hor l sucesión {h g n } de funciones integrbles no negtivs. l lem de Ftou implic que (h g)dµ lím inf (h g n )dµ 21

22 y entonces o Luego, gdµ lím inf ( g n )dµ gdµ lím sup g n dµ. gdµ lím inf g m dµ lím sup g n dµ gdµ y s desigulddes se convierten en igulddes. n prticulr, lím g ndµ existe y es igul gdµ. Teorem 5.19: Se {f n } un sucesión de funciones integrbles que stisfcen f n dµ <. ntonces f n converge en c.t.p., su sum es integrble y f n dµ = f n dµ. Demostrción: Podemos plicr el corolrio 5.13 l sucesión de funciones f n, y obtener f n dµ = f n dµ <. Por el lem 5.4 encontrmos que f n < en c.t.p. n prticulr f n converge en c.t.p. Pr quellos x en los cules converge tenemos f n (x) f n (x) mientrs f n L(µ). Luego por el corolrio 5.17 deducimos que f n L(µ), es decir, es integrble. Finlmente, usndo l notción del teorem 5.18, tenemos g k = k f n y h = f n, y el teorem de convergenci domind implic lím k f n dµ = lím k k k f n dµ = (teorem 4.19) f n dµ = lím (por teorem 5.15(iii)) k k f n dµ = f n dµ. 22

23 6.5. Comprción de ls integrles de Riemnn y de Lebesgue Sen De Análisis Mtemático: Se f : [, b] R cotd. Se D un prtición de [, b] tl que D = { = x 0 < x 1 < < x n = b}. m i = ínf{f(x) : x i 1 x x i } M i = sup{f(x) : x i 1 x x i }. Definimos ls funciones esclón (por lo tnto, funciones simples y que sumimos que f está cotd y por lo tnto M i < pr todo i). α D (x) = m i en [x i 1, x i ) pr todo 1 i n, β D (x) = M i en [x i 1, x i ) pr todo 1 i n. Se cumple α D (x) f(x) β D (x) pr todo x [, b]. Usndo l notción de ls integrles de funciones simples tenemos I(α D ) = m i (x i x i 1 ) y I(β D ) = M i (x i x i 1 ), que son normlmente conocids como ls sums inferior y superior de Drboux-Riemnn en l teorí de integrción de Riemnn. Obvimente tenemos I(α D ) I(β D ) pr culquier prtición D, y si D D entonces I(α D ) I(α D ) y I(β D ) I(β D ). Sen b f(x)dx = sup D I(α D ) y b f(x)dx = ínf D I(β D). ntonces f es integrble según Riemnn si y sólo si b f(x)dx = Al vlor comun lo simbolizmos (R) b f(x)dx. b f(x)dx. Teorem 5.20: Si f es integrble según Riemnn en un intervlo finito [, b] entonces f es integrble según Lebesgue y los vlores de ls integrles coinciden. Demostrción: Pr cd n 1 podemos encontrr, por definición de supremo, un prtición Dn α tl que y 0 I(α D α n ) b b f(x)dx I(α D α n ) < 1 n, f(x)dx l tender n. Similrmente seleccionmos un sucesión de prticiones D β n tl que I(β D β n ) b f(x)dx cundo n. 23

24 Hgmos D n = D α n D β n resultndo y Por lo tnto I(α D α n ) I(α Dn ) I(β D β n ) I(β Dn ) b b f(x)dx f(x)dx. I(α Dn ) b f(x)dx y I(β Dn ) b f(x)dx cundo n. Reemplzndo l sucesión D 1, D 2, por D 1, D 1 D 2, D 1 D 2 D 3, y renombrándo podemos sumir que D n D n+1 pr todo n 1 mientrs l últim ecución sigue siendo válid. D n D n+1 signific que α Dn (x) α Dn+1 (x) y β Dn (x) β Dn+1 (x) n, x, n prticulr {α Dn } es un sucesión creciente cotd superiormente por f. Por lo tnto lím α Dn = g existe, y stisfce g f. Similrmente {β Dn } es un sucesión decreciente cotd inferiormente por f. Por lo tnto lím β Dn = h existe, y stisfce h f. Ahor {α Dn α D1 } es un sucesión creciente de funciones simples no negtivs medibles que tiende g α D1. Por lo tnto por el teorem de convergenci monóton de Lebesgue tenemos (L) b (g α D1 )dm = lím I(α D n α Dn+1 ) = b f(x)dx I(α D1 ). Como α D1 es un función simple tenemos (L) b α D 1 dm = I(α D1 ) y entonces (L) b gdm = b Similrmente, exminndo β D1 β Dn encontrmos que (L) b hdm = b f(x)dx. f(x)dx. Por lo tnto, si f es integrble según Riemnn, (L) b (g h)dm = 0. h g 0, esto implic que h = g c.t.p. en [, b]. Pero g f h resultndo f = g c.t.p. en [, b]. n consecuenci sus integrles según Lebesgue son igules y coinciden su vez con l integrl según Riemnn (R) b f(x)dx. Not sobre integrles impropis: Ls funciones no cotds no son integrbles según Riemnn, pero muchs de ells son integrbles según Lebesgue. n prticulr culquier función f(x) 0 pr l cul l integrl de Riemnn (R) b +ɛ f(x)dx existe pr cd ɛ > 0 y tiene un límite finito I pr ɛ 0, es integrble en [, b] según Lebesgue y b (L) f(x)dm = lím(r) f(x)dx. [,b] ɛ 0 +ɛ 24

25 Si un función se consider en tod l rect su integrl de Riemnn sólo puede existir en el sentido impropio. Si est integrl converge bsolutmente, tmbién existirá en este cso l correspondiente integrl de Lebesgue teniendo el mismo vlor. Si un integrl de Riemnn converge condicionlmente, por ejemplo (R) sen x x dx = π (pero (R) sen x x dx = ) l función no será integrble según Lebesgue. sto se debe que en l teorí de Lebesgue f es integrble sí y sólo si f tmbién lo es Reducción de integrl múltiple integrles simples Teorem 5.21: Fubini Se f(x, y) sumble en R 2, si fijmos el vlor de un vrible, l función considerd como función de l otr es, slvo posiblemente pr un conjunto de vlores de medid nul de l vrible fij, sumble en R y se tiene [ ] [ ] R 2 f(x, y)dxdy = R f(x, y)dx R Demostrción: págin 359 del Kolmogorov. dy = R f(x, y)dy R Not: Si l función f(x, y) es no negtiv, l existenci de un culquier de ls tres integrles de l fórmul nterior implic l existenci de ls otrs dos (teorem de Tonelli). dx. 25