ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
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- Inmaculada Juana Torres Rey
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1 ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Autores: Ágel A. Jua (ajuap@uoc.edu), Máimo Sedao (msedaoh@uoc.edu), Alicia Vila (avilag@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Defiició Propiedades Estimació Putual Defiició Estimació por Itervalo Tipos de estimacioes por itervalo Casos prácticos Por la defiició Co Miitab INTRODUCCIÓN E este math-block, se pretede coocer y saber calcular las estimacioes putuales y por itervalo para la media ya sea coocida o o la desviació estádar poblacioal-, así como las estimacioes para la probabilidad de éito e ua biomial. E el caso e que coozcamos todos los elemetos de ua població, es secillo calcular todos los parámetros asociados; si embargo, e la mayoría de casos o será así, y ecesitaremos estimar alguos de ellos a partir de los parámetros de la muestra. Proyecto e-math 1
2 OBJETIVOS Eteder los coceptos de estimació putual y estimació por itervalos. Calcular las estimacioes para la media poblacioal, tato e el caso e que la desviació estádar poblacioal sea coocida como e el caso de que sea descoocida. Calcular las estimacioes (putuales y por itervalos) para la probabilidad de éito de ua biomial. Saber iterpretar correctamete los resultados de las estimacioes por itervalos. CONOCIMIENTOS PREVIOS Es recomedable haber leído, previamete los math-blocks: Estadística Descriptiva co Miitab, La distribució biomial y La distribució ormal. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Qué es ua estimació? Cuado queremos realizar u estudio de ua població cualquiera de la que descoocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacioal o la probabilidad de éito si la població sigue ua distribució biomial, debemos tomar ua muestra aleatoria de dicha població a través de la cual calcular ua aproimació a dichos parámetros que descoocemos y queremos estimar. Bie, pues esa aproimació se llama estimació. Además, juto a esa estimació, y dado que muy probablemete o coicida co el valor real del parámetro, acompañaremos el error aproimado que se comete al realizarla. Estimació putual Ua estimació putual del valor de u parámetro poblacioal descoocido (como puede ser la media µ, o la desviació estádar σ ), es u úmero que se utiliza para aproimar el verdadero valor de dicho parámetro poblacioal. A fi de realizar tal estimació, tomaremos ua muestra de la població y calcularemos el parámetro muestral asociado ( para la media, s para la desviació estádar, etc.). El valor de este parámetro muestral será la estimació putual del parámetro poblacioal. Por ejemplo, supogamos que la compañía Soytro desea estimar la edad media de los compradores de equipos de alta fidelidad. Seleccioa ua muestra de 100 compradores y calcula la media de esta muestra, este valor será u estimador putual de la media de la població. Qué propiedades debe cumplir todo bue estimador? Proyecto e-math
3 Isesgado: U estimador es isesgado cuado la media de su distribució muestral asociada coicide co la media de la població. Esto ocurre, por ejemplo, co el estimador, ya que µ = µ y co estimador p ya que µ p = p De variaza míima: La variabilidad de u estimador viee determiada por el cuadrado de su desviació estádar. E el caso del estimador, su desviació estádar es σ σ =, tambié llamada error estádar de µ. E el caso del error estádar de p, σ = p *( 1 p ) Observar que cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor será la variabilidad del estimador y de p, por tato, mejor será uestras estimacioes. Estimació por itervalo Dada ua població X, que sigue ua distribució cualquiera co media µ y desviació estádar σ. 1. Sabemos (por el TCL) que, para valores grades de, la media muestral sigue ua distribució aproimadamete ormal co media µ = µ y desviació estádar σ σ =.. Por otra parte, el Teorema de Chebyshev os dice que, e ua distribució ormal, aproimadamete u 95% de los datos estaba situados a ua distacia iferior a dos desviacioes estádar de la media. De lo aterior se deduce que: P µ σ µ σ ) 0, 95, ( < < + =,95 = P( < µ + σ ) P( < µ σ ) = P( µ > σ ) P( µ > + σ ) 0 P( σ < µ < + σ ) = 0,95 Por tato, ésta última fórmula os da u itervalo de valores tal que la probabilidad de que la media de la població µ esté coteida e él es de 0,95. Este tipo de itervalos se llama itervalos de cofiaza de u parámetro poblacioal. El ivel de cofiaza (1 - α) del itervalo es la probabilidad de que éste cotega al parámetro poblacioal. E el ejemplo aterior, el ivel de cofiaza era del 95% (α = 0,05). Proyecto e-math 3
4 Itervalos de cofiaza. 1. Itervalo de cofiaza para µ co σ coocida. U vededor mayorista de partes automotrices ecesita ua estimació de la vida media que puede esperar de los limpiaparabrisas e codicioes ormales de maejo. La admiistració de la empresa ya ha determiado que la desviació estádar de la vida útil de la població es de seis meses. Supogamos que se seleccioa ua sola muestra aleatoria de 100 limpiaparabrisas, y obteemos que la vida media de estos 100 limpiaparabrisas es de 1 meses. Se pide calcular u itervalo de cofiaza del 95% para la vida media de la població de los limpiaparabrisas. Teemos X como la distribució de la vida útil e meses de la població de limpiaparabrisas, o sabemos qué distribució tiee, al igual que descoocemos su media. E este caso sí coocemos la desviació estádar poblacioal. X ( µ, σ = 6) La media muestral X por el teorema cetral del límite se va a aproimar la distribució ormal: X N( µ = µ, σ = σ / ) Por lo tato, el itervalo de cofiaza del 95% para la vida media e meses de toda la població de limpiaparabrisas, es decir para µ X σ 6 ± Z 0,05 = 1 ± 1,96 = 1 ± 1, 176 = 100 [19,84 ;,176] Z α = Z = Z 0,05 0,05 = 1,96, es decir que el valor Z de la tabla de la ormal estádar que deja u área de 0,9 etre Z Y +Z es Z=1,96. O de otro modo, como el ivel de cofiaza es 0,9, α = 0, 05, etoces el valor Z que deja su derecha u área de α = 0,05 = 0,05 y a la izquierda de Z u área de = 0,05 = 0, 05 α es Z=1,96 El error máimo de estimació es la mitad de la logitud del itervalo, E = z(α/) * Co ua cofiaza del 95%, la vida media de la població de limpiaparabrisas que vede este mayorista está etre 19,84 meses y,176 meses. σ Si etraemos varias muestras del mismo tamaño y calculamos u itervalo de cofiaza para cada muestra, el 95% de todos los itervalos va a icluir a la vida media poblacioal e meses de todos los parabrisas que vede este mayorista. Proyecto e-math 4
5 . Itervalo de cofiaza para µ co σ descoocida. El admiistrador de ua plata idustrial geeradora de eergía desea estimar, por itervalo, la catidad de carbó que se cosumió por termio medio semaalmete durate año pasado. Para ello toma ua muestra de 10 semaas. El cosumo medio fue de toeladas, la desviació estádar muestral 700 toeladas. Cuál será el itervalo de cofiaza del 95% para el cosumo medio semaal durate el año pasado?. (supogamos ormalidad). Teemos X como la distribució de toeladas de carbó cosumidas cada semaa del año pasado por la plata de eergía y su media y su desviació estádar descoocidas X ( µ, σ) Auque < 30, supoemos que la media muestral, X, sigue ua distribució ormal X N( µ = µ,s = S / ) Para estimar la desviació estádar poblacioal σ vamos a utilizar la desviació estádar muestral S que es 700 toeladas. Por lo tato, el itervalo de cofiaza del 95% para el cosumo promedio de toeladas de carbó e cada semaa del año pasado, es decir para µ, será: α S 700 X ± t( 1, ) = ±, 6 = ± 500, 76 = ( ; ) 10 Utilizamos la t-studet porque la desviació estádar poblacioal σ es descoocida. E las tablas, t ( 10 1, 0, 05 ) =, 6, ua t-studet co 10 1 = 9 grados de libertad que deja su derecha u área de 0,05. α = 0, 05 porque el ivel de cofiaza es de 1 α = 0, 95 Co ua cofiaza del 95%, el cosumo promedio semaal de carbó durate el año pasado por esta plata de eergía estará etre toeladas y toeladas. Si etraemos varias muestras del mismo tamaño y calculamos u itervalo de cofiaza para cada muestra, el 95% de todos los itervalos va a icluir al cosumo promedio poblacioal de toeladas de carbó por semaa durate el año pasado por la plata de eergía. Proyecto e-math 5
6 3. Itervalo de cofiaza para la probabilidad de éito p e ua biomial. Durate u año y medio las vetas ha estado dismiuyedo de maera coherete e los establecimietos de ua cadea de comida rápida. U empresa de cosultoría ha determiado que el 30% de ua muestra de 95 sucursales tiee claros sigos de ua mala admiistració. Costruir u itervalo de cofiaza del 95% para esta porció. A la població de todos los establecimietos de ésta cadea de comida rápida le vamos a llamar X que seguirá ua biomial co probabilidad de éito, probabilidad de teer sigo de mala admiistració, p descoocida. A fi de estimar dicho parámetro, se toma ua muestra de tamaño = 95 y defiimos como la proporció de éitos e la muestra. E este caso es 0,3 y 1- = 0,7. Como > 0, 5 y ( 1 ) 5, etoces la distribució X es aproimadamete ormal, i.e.: X N(p, p( 1 p)) Como p es descoocida, la aproimaremos por que es la estimació putual de p. Etoces, la proporció muestral de éitos, que la hemos utilizado para estimar la proporció de la població tedrá la siguiete distribució: N(p, p ( 1 p ) ) co: σ P = (1 ) = 0,3 0,7 95 = 0,047 Por lo tato la estimació del error estádar de la proporció de establecimietos que tiee claros sigos de mala será 0,057. El itervalo de cofiaza del 95% para la probabilidad de éito poblacioal p viee dado por: ± Z σ = 0,3 ± 1,96 0,047 = 0,3 ± 0, 091 = α P [0,0788; 0,391] dode Z α 1, 96 es el valor z*, de maera que el 95% del área bajo la curva = Z 0,05 ormal se icluye etre 1,96 y 1,96. = Por lo tato, co u ivel de cofiaza del 95%, la proporció de establecimietos de esta cadea de comida rápida que tiee mala admiistració estará etre 0,0788 y 0,391. Si etraemos varias muestras del mismo tamaño y calculamos u itervalo de cofiaza para cada muestra, el 95% de esos itervalos va a icluir a la verdadera proporció de establecimietos co mala admiistració Proyecto e-math 6
7 CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE 1. Imagiemos que trabajamos para ua multiacioal que se dedica a la veta de patallas LCD. El departameto de igeiería ha realizado pruebas de duració sobre ua muestra aleatoria de 15 patallas LCD, obteiedo los siguietes resultados (e horas de duració): 10014,8 8056, 9166,1 8363, 8869,7 8680,0 8930,4 846,8 9488,3 846,3 894,6 7911,9 9667, 8914, 90, Supodremos que la duració (e horas de fucioamieto) de estas patallas es ua variable aleatoria que se distribuye de forma ormal co desviació típica σ = 500 horas. a) Hallar u itervalo de cofiaza, a ivel del 95% para la media poblacioal µ (duració media de ua patalla LCD). Seleccioamos Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z Z Cofidece Itervals The assumed sigma = 500 Variable N Mea StDev SE Mea 95,0 % CI C ( 8618; 914) Proyecto e-math 7
8 b) Supoiedo ahora que o cooces la desviació típica, halla u itervalo de cofiaza, a ivel del 95%, para µ. Compara este uevo itervalo co el aterior. Seleccioamos Stat > Basic Statistics > 1-Sample t: T Cofidece Itervals Variable N Mea StDev SE Mea 95,0 % CI C ( 8546; 9195) Observar que el primer itervalo está coteido e el segudo, i.e.: el segudo itervalo es meos preciso que el primero. Ello es lógico si teemos e cueta que para hallar el primer itervalo dispoíamos de mayor iformació (coocíamos el valor de la desviació típica), por lo que el resultado es más preciso. c) Supoiedo que o cooces la desviació típica, halla u itervalo de cofiaza, a ivel del 90%, para µ. Compara este itervalo co el obteido e b). T Cofidece Itervals Variable N Mea StDev SE Mea 90,0 % CI C ( 8604; 9137) Ahora, como somos meos eigetes por lo que al ivel de cofiaza se refiere (hemos pasado del 95 al 90%), lo que cabría esperar es que el itervalo obteido esté coteido detro del hallado e b). Observar que, e efecto, se cumple esta previsió. Proyecto e-math 8
9 . Se quiere aalizar el ídice de productividad de los trabajadores de ua empresa idustrial, y se ha tomado ua muestra aleatoria de 00 empleados y se ha observado que el 5% de ellos o alcaza el ivel míimo productivo que se quiere coseguir de cada uo de ellos. Calcular u itervalo de cofiaza del 95% para la proporció de empleados que o llega al ivel de productividad fijado. Nos iteresa calcular u itervalo de cofiaza del 95% para la probabilidad p, de o alcazar el ivel míimo requerido. Además, comprobamos que efectivamete se cumple las hipótesis de ormalidad: =00 >>30, *p= 00*0.09 > 5 y *p*(1-p) > 5 X N(p, p( 1 p)) Como p es descoocida, la aproimaremos por que es la estimació putual de p. Etoces, la proporció muestral de éitos, que la hemos utilizado para estimar la proporció de la població tedrá la siguiete distribució: N(p, p ( 1 p ) ) Para calcular el itervalo de cofiaza, seleccioamos: Stat > Basic Statistics > 1 Proportio: Seleccioamos Optios, co las siguietes codicioes: Poemos el ivel de cofiaza del itervalo, la proporció del cotraste que e este caso o os iteresa porque sólo queremos calcular el itervalo de cofiaza, por lo que e esta opció podremos, o por omisió os podrá, 0,5. Proyecto e-math 9
10 E la alterativa poemos lo que aparece como estádar, o igual y activamos la casilla de utilizar la ormal para calcular el itervalo de cofiaza. Cofidece Iterval for Oe Proportio Test of p = 0,5 vs p ot = 0,5 Sample X N Sample p 95,0 % CI Z-Value P-Value , (0,019795; 0,08005) -1,73 0,000 Observamos que el itervalo de cofiaza está etre 0,0198 y 0,080. Por tato, podemos cocluir que co ua cofiaza del 95%, la proporció de trabajadores de esta empresa que o alcaza el ivel míimo de productividad requerido estará etre el % y el 8%. Si etraemos varias muestras del mismo tamaño y calculamos u itervalo de cofiaza para cada muestra, el 95% de esos itervalos va a icluir a la verdadera proporció de trabajadores que o alcaza el ivel míimo de productividad requerido. Proyecto e-math 10
11 BIBLIOGRAFÍA [1] Lid, D.; Maso, R.; Marchal, W. (001): Estadística para Admiistració y Ecoomía. Ed. Irwi McGraw-Hill.F. [] Kvali, A. (000) Itroductio to Busiess Statistics South-Wester. [3] Johso, R. (1996): Elemetary Statistics. Ed. Dubury. [4] Levi, R.; Rubi, D. (1996): Estadística para Admiistradores. Ed. Pretice Hall. [5] Farber, E. (1995): A Guide to Miitab. Ed. McGraw-Hill ENLACES Defiició y ejemplos de cotraste de hipótesis de ua població coocida la media y la desviació estádar de la població. Características y applet del Teorema Cetral del límite. Características y applet del cocepto de Itervalo de cofiaza. Características y applet del cocepto de Itervalo de cofiaza. Applet sobre cotraste de hipótesis para muestras idepedietes. Teoria y ejemplos sobre distribucioes muestrales Aplicacioes estadísticas co JAVA Applets sobre estimació por itervalos Proyecto e-math 11
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