Tema 5: Estimación puntual y por intervalos

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1 Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

2 Índice 1 Introducción 2 Estimación de la media 3 Estimación de la varianza 4 Estimación de una proporción 5 Intervalo de confianza para el cociente de varianzas 6 Intervalos de confianza para la diferencia de medias Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

3 1. Introducción Planteamiento del problema de inferencia X variable cuantitativa en una población. La distribución de probabilidad de X es desconocida en todo o en parte. θ parámetro desconocido asociado a la distribución de probabilidad de X (por ejemplo, la media poblacional, µ, la varianza poblacional, σ 2, la proporción asociada a una distribución binomial, p etc.) X 1,..., X n Muestra Aleatoria Simple de la variable X. Nuestra principal herramienta para obtener información sobre la distribución de probabilidad de X ó sobre cualquier parámetro θ. Estimación puntual Un estimador puntual de θ es una función ˆθ de X 1,..., X n que aproxima el valor de θ. Cuando se da el valor del estimador ˆθ, hay que dar también una estimación del error que se comete al aproximar el valor del parámetro θ mediante ˆθ. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

4 1. Introducción Intervalos de confianza Si T 1 y T 2 son dos valores, obtenidos a partir de la muestra y tales que P(T 1 θ T 2 ) = 1 α entonces [T 1, T 2 ] es un intervalo de confianza para θ con un nivel de confianza de 1 α. Intuitivamente, T 1, T 2 son dos valores tales que el 100(1 α)% de las veces que repitamos el experimento en esa población, el valor desconocido de θ estará entre estos dos valores. El nivel de confianza 1 α es un valor entre 0 y 1 que debe estar próximo a 1( 0.90, 0.95, 0.99,... ). De ello resulta que el valor de α es próximo a 0 ( 0.1, 0.05, 0.01,... ). Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

5 2. Estimación de la media Sea X 1,..., X n una Muestra Aleatoria Simple de una variable N(µ, σ). Estimación puntual: ˆµ = X, Error estándar = S n Intervalos de confianza: σ conocida σ desconocida Acotado Límite inferior Límite superior [ X ± σ z ] [ ] [ ] α/2 X σ zα,, X + σ zα n n n [ X ± S t ] [ n 1,α/2 X S t ] [ n 1,α,, X + S t ] n 1,α n n n z α, z α/2 : cuantiles por la derecha de orden α y α/2 de una distribución N(0, 1). t n 1,α, t n 1,α/2 : cuantiles por la derecha de orden α y α/2 de una distribución t(n 1). Si n 60 los intervalos anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

6 3. Estimación de la varianza Sea X 1,..., X n una Muestra Aleatoria Simple de una variable N(µ, σ) Estimación puntual: Intervalos de confianza: ˆσ 2 = S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 µ conocida µ desconocida Acotado Límite inferior Límite superior [ (Xi µ) 2 ] [ (Xi ] [ (Xi µ) 2 µ) 2 ] (Xi µ) 2 χ 2, χ n,α/2 2 χ n,1 α/2 2, 0, n,α χ 2 n,1 α [ ] [ ] [ ] (n 1)S 2 (n 1)S 2 (n 1)S 2 (n 1)S 2 χ 2, χ n 1,α/2 2 χ n 1,1 α/2 2, 0, n 1,α χ 2 n 1,1 α χ 2 k,γ : cuantiles por la derecha de orden γ de una distribución χ2 (k). Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

7 4. Estimación de una proporción En caracteres cualitativos el parámetro de interés es la proporción p de individuos de la población que presentan cada modalidad del carácter. La variable que modeliza estas situaciones será dicotómica o de Bernoulli con probabilidad de éxito p. Para modelizar esta situación consideraremos X 1,..., X n una Muestra Aleatoria Simple de una variable con distribución de Bernoulli de parámetro p. Estimación puntual de p: n X i i=1 ˆp = = no de éxitos en la muestra n n Intervalos de confianza para p:, Error estándar = ˆp (1 ˆp) n Acotado Límite inferior Límite superior [ ] [ ] [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2, ˆp + z n α/2 ˆp z n α, 1 0, ˆp + z n α n Puesto que se utiliza la aproximación de la binomial por la normal, los intervalos anteriores serán válidos si nˆp(1 ˆp) > 5. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

8 5. Intervalo de confianza para el cociente de varianzas Sean X 1,..., X n e Y 1,..., Y m muestras independientes de dos variables X N(µ X, σ X ) e Y N(µ X, σ X ) Intervalo de confianza para σ 2 X/σ 2 Y: [ SX/S 2 Y 2, F n 1,m 1,α/2 S 2 X/S 2 Y F n 1,m 1,1 α/2 F n 1,m 1,α/2, F n 1,m 1,1 α/2 : cuantiles de orden α/2 y 1 α/2 de una distribución F(n 1, m 1). ] Se verifica que 1 F n 1,m 1,1 α/2 = F m 1,n 1,α/2 Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

9 6. Intervalos de confianza para la diferencia de medias Muestras independientes Sean X 1,..., X n e Y 1,..., Y m muestras independientes de dos variables X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ). Intervalos de confianza para µ X µ Y : Si σ 2 X = σ 2 Y: Si σ 2 X σ 2 Y: [ X Ȳ ± t n+m 2,α/2 S 2 p SX X 2 Ȳ ± t f,α/2 n + S2 Y m ( 1 n + 1 ) ], Sp 2 m = (n 1)S2 X + (m 1)S2 Y n + m 2 ( ) 2 SXn 2 + S2 Ym, f S 4 X n 2 (n+1) + 2 S4 Y m 2 (m+1) Si n, m 60, los intervalos anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10

10 6. Intervalos de confianza para la diferencia de medias Muestras relacionadas o apareadas Sean (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) muestras de X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ), tales que las variables X k, Y k están relacionadas para todo k = 1,..., n. Intervalo de confianza para µ X µ Y : [ X Ȳ t n 1,α/2 S d n, X Ȳ + t n 1,α/2 ] S d n siendo S d la desviación típica de la muestra X 1 Y 1,..., X n Y n. Si n 60, los intervalos anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 5: Estimación puntual y por intervalos Curso / 10