APLICACIONES DE LA MATEMATICA INTRODUCCION AL CALCULO AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES

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1 APLICACIONES DE LA MATEMATICA INTRODUCCION AL CALCULO AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES PROFESOR: CHRISTIAN CORTES D. I) LOS NUMEROS REALES. Designaremos por R, al conjunto de los números reales. En R existen dos operaciones bináreas internas llamadas suma (o adición) y multiplicación ( o producto). La suma de los reales x e y se denota por x+y El producto de los reales x e y se denota por xy R, satisface los siguientes axiomas: A1) Asociatividad de la suma. Para todo x, y, z R, x+(y+z)=(x+y)+z A2) Conmutatividad de la suma. Para todo x,y R, x+y = y+x A3) Elemento neutro aditivo. Existe en R un elemento llamado cero y denotado por 0, tal que para todo x R, x+0=x A4) Elemento inverso aditivo. Para todo número real x, existe otro número real llamado el inverso aditivo de x y denotado por -x, tal que x+(-x)=0 A5) Asociatividad del producto. Para todo x,y,z R, x(yz)=(xy)z A6) Conmutatividad del producto. Para todo x,y R, xy=yx A7) Neutro multiplicativo. Existe en R un elemento llamado "uno", y denotado por 1, tal que para todo x R, x1=x A8) Inverso multiplicativo. Para todo número real x distinto de 0, existe otro real llamado inverso multiplcativo de x y denotado por x -1, tal que xx -1 =1. A9) Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. Para todo número real x, y, z R, x(y+z)=xy+xz. Obs.: Por el hecho de satisfacer R, los axiomas A1 a A9, diremos que R, es un cuerpo. Obs.: Por ser la suma y la multiplicación operaciones bináreas en R, se tiene que: (i) S x,y R, entonces x+y R. (ii) S x, y R, entonces xy R. Algunas reglas algebraicas deducidas de los axiomas. 1) Ley de cancelación de la suma. Sí a+x=a+y, entonces x=y Observacion: Este teorema claramente presenta la forma habitual: hipótesis implica tesis. Hipótesis (lo que se sabe) : a+x=a+y Tesis ( lo que hay que demostrar): x=y

2 Es decir debemos demostrar que x=y, si ocurre que a+x=a+y, solamente usando los axiomas. Fundamento x = x + 0 A3) x + 0 = x + (a + (-a)) A4) x + (a + (-a)) = (x + a) + (-a) A1) (x + a) + (-a) = (a + x) + (-a) A2) (a + x) + (-a) = (a + y) + (-a) hipótesis (a + y) + (-a) = (y + a) + (-a) A2) (y + a) + (-a) = y + (a + (-a)) A1) y + (a + (-a)) = y + 0 A3) y + 0 = y A4) 2) a 0 = 0 Demostración. a 0 = a (0 + 0) A3) = a 0 + a 0 A9) Luego a 0 = a 0 + a 0 0 = a 0 Cancelación 3) La ecuación a+x = b, tiene solución única. Demostración: Acá debemos demostrar dos cosas: a) La ecuación a+x=b tiene solución. Sea x= a+(-b), entonces, x es solución de la ecuación. b) Unicidad. Supongamos que x1 y x2 son soluciones de la ecuación. Sí es así a+x 1 =b, y a+x 2 =b, Por lo tanto, a+x 1 =a+x 2 usando la ley de cancelación de la suma, se tiene que x 1 =x 2. Luego podemos concluir que no hay dos valores para x, sino sólo 1. 4) Ley de cancelación del producto. Sí ax=ay, entonces x=y siempre que "a" sea distinto de cero Demostración: tarea Definición 1 : 1) La solución de a+x = b se llama diferencia entre a y b y se denota por b-a, es decir a+(-b) = a-b. 2) la solución de ax=b, se llama cuociente entre b y a y se denota por b/a ó b:a, es decir ba -1 = b/a. 5) La ecuación ax=b con "a" distinto de 0, tiene solución única. 2

3 Demostración: tarea 6) Cero es único. Demostración : tarea 7) -a es único. demostración: tarea 8) 1 es único. demostración: tarea 9) a -1 es único. demostración: tarea 10) -(-a) = a 11) (a -1 ) -1 = a 12) a(-b) = -ab 13) (-a)(-b) = ab 14) Sí ab= 0 entonces a=0 o b=0 15) -(a+b) = (-a) + (-b) 16) (ab) -1 = a -1 b -1 17) a - (b + c) = a - b - c 18) a - (b - c) = a - b + c 19) ac = a bc b 20) a + c = ad + bc b d bd 21) a _ c = ad -bc b d bd 22) a. c = ac b d bd 23) a : c = ad b d bc 24) a. c = ac b b 25) a : c = a 3

4 b bc ORDEN EN R En R, existen algunos elementos llamados reales positivos, que forman un subconjunto de R, denotado por R+. El conjunto de los reales positivos satisface los dos siguientes axiomas: O1) Sí x,y R +, entonces x+y R +, y xy R +. O2) Dado cualquier real x, una y solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera: (i) x R + (ii) x = 0 (iii) -x R + Obs.: Un cuerpo en el cual se cumplen los dos axiomas anteriores, se llama un cuerpo ordenado. Def. 2: x R, se llama negativo, si -x R + Def. 3: x < y es equivalente con (y-x) R + Sí x < y, podemos escribir y > x, es decir x < y es equivalente con y > x. Def. 4: x y es equivalente con (x < y o x = y) x y es equivalente con (x > y o x = y). PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. 1) x R + es equivalente con x > 0. Dem.: Sea x R +, entonces x = x-0 R + (0 es neutro) 0 < x ( def.) x > 0 (def.). 2) x R - es equivalente con x < 0. Dem.: Sí x < 0, entonces -x > 0 (def.) 0 < -x (def.) -x+0 R + (def.) -x R + (def.) x R - 3) Tricotomía. Para todo par de reales x,y una y solo una de las tres siguientes proposiciones es verdadera: (i) x < y (ii) x = y (iii) x > y Dem.: Consideremos el real y-x, al cual le aplicaremos el axioma O2), luego: y-x R +, implica que y > x ó y-x=0, implica que y=x ó -(y-x) î R+, implica que -y+x R+, lo cual implica que x > y. 4) La relación " " en R, es una relación de orden total, es decir: i) x x, para todo x R (reflexividad) Dem. evidente por la definición de ii) Sí x y y y x implica que x = y 4

5 Dem. evidente por definición de iii) Sí x y y y z implica que x z Dem. Sí x y, implica que y-x 0, Sí y z, implica que z-y 0, sumando ambas desigualdades se tiene que z-x 0, lo que implica que x z. iv) Para todo x,y R, x y ó x y. Dem. evidente por la propiedad de tricotomía. EJERCICIOS DE DEMOSTRACION. Demostrar las siguientes propiedades: 5) x < y sí y solo sí x+z < y+z 6) x > y sí y solo sí x+z > y+z 7) x y sí y solo sí x+z y+z 8) x y sí y solo sí x+z y+z 9) x < y, y z > 0, implica que xz > yz 10) x < y, y z < 0 implica que xz > yz 11) S x > 0, x² > 0 12) Sí x < y, y u < v, implica que x+u < y+v 13) Sí x > y, y u > v, implica que x+u > y+v 14) Sí x < y, y u > v, implica que x+v < y+u 15) Sí x > y, y u < v, implica que x+v > y+u 16) Sí 0 < x < y, y 0 < u < v, implica que xu < yv (lo mismo con,, >) 17) Sí x > 0, y y < 0, implica que xy < 0. 18) Sí x < 0, y y < 0, implica que xy > 0. 19) Sí x,y R +, implica que: xy x+y 2 (El medio geométrico, es menor o igual que el medio aritmético.) 20) Sí a 1 < b 1, a 2 < b 2, a 3 < b 3,...a n < b n, entonces, n ai < n b i. 22) Sí a,b,c R, a²+b²+c² > bc+ca+ab Dem: Este tipo de ejercicios, se demuestra partiendo de la tesis y trabajando algebraicamente hasta llegar a una relación conocida y verdadera. 5

6 a²+b²+c² > bc+ca+ab /2 2(a²+b²+c²) > 2(bc+ca+ab) a²+b²+c²+a²+b²+c² > 2bc+2ca+2ab de acá tenemos que: a²+b² > 2ab c²+a² > 2ac b²+c² > 2bc, las cuales son conocidas y ciertas, ya que por ejemplo, tomando la primera de ellas, se tiene: a²+b² >2ab a²+b²-2ab > 0 (a-b)² > 0, lo cu l es conocido y cierto. 23) Sí a,b,c R +, entonces: 2(a 3 +b 3 +c 3 ) > bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b) 24) (ab+xy)(ax+by) > 4abxy, a,b,c R + 25) (b+c)(c+a)(a+b) > 8abc, a,b,c R + 26) Demostrar que la suma de todo número real positivo con su inverso multiplicativo, es mayor o igual que 2. 27) 2 > 1 28) 2 > 0 29) 0 < 1/2 < 1 30) 1/2 < 3/4 < 1 31) a²+3b² > 2b(a+b) 32) (a²+b²)(a 4 +b 4 ) > (a 3 +b 3 )² 33) a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc² > 6abc 34) ab+ac+bc < (a+b-c)²+(a+c-b)²+(b+c-a)² 35) (a²+b²)(c²+d²) > (ac+bd)² INTERVALOS DE NUMEROS REALES. Son ciertos conjuntos de números reales con caracteristicas definidas. Sean a,b números reales, tales que a < b. 1) El conjunto {x R / a < x < b}, se llama intervalo abierto y se denota por ]a,b[. 2) El conjunto {x R / a ó x ó b}, se llama intervalo cerrado y se denota por [a,b]. 3) El conjunto {x R / a x < b}, se llama intervalo semiabierto ( o semicerrado), y se denota por [a,b[ 6

7 4) El conjunto { x R / a < x b}, se llama intervalo semiabierto (o semicerrado), y se denota por ]a,b]. Describir y graficar los siguientes conjuntos de n meros reales: 1) ]a, [ 2) [a, [ 3) ]-,a] 4) ]-,a[ 5) ]-, [. Obs.: Los intervalos siempre van abiertos por el lado de + ó de -. INECUACIONES. Def. 5: Es una desigualdad, donde existe una o más variables que se desconocen. Cabe señalar que la solución de una inecuación, está constituída por un conjunto de números reales. Ejemplos: a) Inecuación de Primer grado y una incógnita. 5x - 8 > 12 b) Inecuación de Primer grado y dos incógnitas. 7x + 5y < 15 c) Sistema de inecuaciones de Primer grado con una incógnita. 5x + 6 < 18 3x + 1 > 12 d) Sistema de inecuaciones de Primer grado con dos incógnitas. 3x - 5y < 10 2x + y > 5 e) Inecuación de Segundo grado. 5x² - 8x + 5 > 0 f) Inecuación fraccionaria. (2x-1)(3x+2) > 0 (x+5)(x-1) Para resolver inecuaciones se procede de la siguiente manera: i) Sí es de Primer grado, se despeja x ii) De Segundo grado, son las del tipo ax²+bx+c < 0, o que se reducen a ella. Caso particular: El trinomio ax²+bx+c, se puede factorizar en R. Ejemplo: x²-5x+6 < 0 (x-2)(x-3) < 0 Método 1. Para que exista solución, se debe tener que: 7

8 a) x-2>0 y x-3<0 ó b) x-2<0 y x-3>0 x>2 y x<3 ó x<2 y x>3 S 1 = ]2,3[ S 2 = Luego, la solución es S 1 U S 2 = ]2,3[ U = ]2,3[ Método 2.(de los puntos críticos) Este método consiste fundamentalmente en el desarrollo de los siguientes pasos: i) Buscar los puntos críticos de los polinomios.( Los puntos críticos, son aquellos valores para los cuales el polinomio se hace cero). ii) Ordenar de menor a mayor los puntos críticos. iii) Construir una tabla de doble entrada: en la parte horizontal, se ubican los puntos críticos, partiendo de - y terminando en + ; en la parte vertical, se ubican los polinomios mónicos (de primer grado). iv) Se analizan, los signos que cada polinomio produce en los respectivos intervalos en forma horizontal. v) Se aplica la regla de los signos en forma vertical, para determinar el signo del resultado. vi) Sí la inecuación, es > 0 se consideran los signos más (+); y si dice< 0, se consideran los signos menos (-). Ejemplo: x²-5x+6 < 0. (x-2)(x-3) < 0 i) Puntos críticos: {2,3} (x-2) (x-3) (x-2)(x-3) Solución= ]2,3[ 8

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