Ayudantía 4 Probabilidades ILI-280 Estadística Computacional. Profesor: Rodrigo Salas Ayudantes: Juan Pablo Cares Pino Fernando Herrera Barría

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1 Ayudantía 4 Probabilidades ILI-280 Estadística Computacional Profesor: Rodrigo Salas Ayudantes: Juan Pablo Cares Pino Fernando Herrera Barría Valparaíso, 25 de septiembre de 2009

2 1. Se compran 3 billetes de colección y se sabe que la probabilidad de que 1 billete sea falso es de 0,05, la probabilidad de que salga 2 y 3 billetes falsos son de 0,07 y 0,10 respectivamente. Debido al alto costo que cuesta identicar billetes falsos se decide seleccionar un billete al azar y éste enviarlo a identicación. Si el billete enviado a revisión resultó ser falso, calcule la probabilidad de que los 3 billetes sean falsos. 2. En una cadena de tiendas de video se venden 3 marcas diferentes de cámaras de video. De sus ventas, el 50 % son de la marca 1 (la menos costosa), 30 % de la marca 2. Cada fabricante tiene la misma política de postventa y ofrece un año de garantía en partes y mano de obra. Basado en la historia que las 3 marcas se sabe que un 25 % de la Marca 1 requiere un trabajo de reparaciones por garantía, mientras que las demás tienen un 20 % y 10 % respectivamente para la marca 2 y 3. a) ¾Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado una cámara de la marca 1 y que necesita reparación mientras tiene garantía? b) ¾Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado una cámara que necesita reparación mientras tiene garantía? c) Si un cliente regresa a una de las tiendas con una cámara que necesita reparación dentro de la garantía, ¾Cuál es la probabilidad de que sea una de la Marca 1?, ¾Una cámara de la Marca 2?, ¾Una cámara de la marca 3? 3. Una máquina de azar genera dos números reales entre 0 y 10 ([0; 10]) en forma independiente y equiprobable, el primero de estos números se le pasa al jugador, mientras que el otro se lo queda la máquina. El jugador ganará si su número es mayor que 7 o si la diferencia entre su número y el de la máquina es menor que 1, en caso contrario ganara la máquina. Determine: a) ¾Qué probabilidad tiene el jugador de ganar? b) Si el jugador recibió un número mayor que 5, ¾Qué probabilidades tiene de ganar la máquina? 4. En un país X solamente existen 3 empresas (E 1, E 2, E 3 ) que fabrican y venden televisores. En ese país el 96 % de las personas tienen algún televisor en su casa. En base a una encuesta se sabe que el 40 % de los televisores han sido fabricados por la empresa 1, el 35 % por la empresa 2 y el resto por la empresa 3 la cual no tiene buena fama debido a que el 56 % de sus televisores no duran más de 5 años. Si se sabe que los televisores de la empresa 1 y 2 duran al menos 5 años el 74 % y 62 % de las veces respectivamente. Determine: a) La probabilida de que si una persona del 4 % que no tiene televisor compre uno, este le dure más de 5 años si se selecciona en forma aleatoria la empresa donde compra el televisor b) Dado que un televisor ha durado más de 5 años este NO haya sido fabricado en la empresa 2 1

3 Desarrollo 1. Se compran 3 billetes de colección y se sabe que la probabilidad de que 1 billete sea falso es de 0,05, la probabilidad de que salga 2 y 3 billetes falsos son de 0,07 y 0,10 respectivamente. Debido al alto costo que cuesta identicar billetes falsos se decide seleccionar un billete al azar y éste enviarlo a identicación. Si el billete enviado a revisión resultó ser falso, calcule la probabilidad de que los 3 billetes sean falsos. Para calcular la probabilidad de que los 3 billetes sean falsos se debe utilizar el teorema de Bayes, que consiste en: P (3F A) = P (A 3F ) P (3F ) P (A) Donde P(A) es la probabilidad de que el billete seleccionado para evaluar es Falso y P (nf ) es la probabilidad de que salgan n billetes falsicados. Inicialmente calculando P (A) que sería la probabilidad total de que el billete seleccionado sea falso, va a estar dado por: P (A) = P (A 1F ) P (1F ) + P (A 2F ) P (2F ) + P (A 3F ) P (3F ) = 0, , , 10 = 0, Como el billete es seleccionado al azar dentro de los 3 billetes que son en total es que la probabilidad de escoger un billete falso esta dada por P (A nf ) = n 3. Entonces calculando nuevamente, P (3F A) = P (A 3F ) P (3F ) P (A) = 1 0, 1 0, 163 = 0, En una cadena de tiendas de video se venden 3 marcas diferentes de cámaras de video. De sus ventas, el 50 % son de la marca 1 (la menos costosa), 30 % de la marca 2. Cada fabricante tiene la misma política de postventa y ofrece un año de garantía en partes y mano de obra. Basado en la historia que las 3 marcas se sabe que un 25 % de la Marca 1 requiere un trabajo de reparaciones por garantía, mientras que las demás tienen un 20 % y 10 % respectivamente para la marca 2 y 3. a) ¾Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado una cámara de la marca 1 y que necesita reparación mientras tiene garantía? P (R A 1 ) = P (R A 1 ) P (A 1 ) = 0, 25 0, 5 = 0, 125 Donde las probabilidades venta de las diferentes marcas de las cámaras de video vienen dadas en el enunciado y son: P (A 1 ) = 0, 5 P (A 2 ) = 0, 3 P (A 3 ) = 0, 2 Al igual que las probabilidades de P (R A n ) P (R A 1 ) = 0, 25 P (R A 2 ) = 0, 20 P (R A 3 ) = 0, 125 b) ¾Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado una cámara que necesita reparación mientras tiene garantía? = P (B A 1 ) P (A 1 )+P (B A 2 ) P (A 2 )+P (B A 3 ) P (A 3 ) = 0, 25 0, 5+0, 3 0, 20+0, 2 0, 125 = 0, 205 c) Si un cliente regresa a una de las tiendas con una cámara que necesita reparación dentro de la garantía, ¾Cuál es la probabilidad de que sea una de la Marca 1?, ¾Una cámara de la Marca 2?, ¾Una cámara de la marca 3? Utilizando el teorema de Bayes al igual que el ejercicio anterior, se tiene: 2

4 P (R A1) P (A1) P (A 1 R) = = 0, 61 P (R A2) P (A2) P (A 2 R) = = 0, 29 P (R A3) P (A3) 1 (P (A 1 R) + P (A 2 R)) = P (A 3 R) = = 0, 10 por la propiedad n P (A i B) = 1 i=1 3. Una máquina de azar genera dos números reales entre 0 y 10 ([0; 10]) en forma independiente y equiprobable, el primero de estos números se le pasa al jugador, mientras que el otro se lo queda la máquina. El jugador ganará si su número es mayor que 7 o si la diferencia entre su número y el de la máquina es menor que 1, en caso contrario ganara la máquina. Determine: a) ¾Qué probabilidad tiene el jugador de ganar? Utilizando la regla de Laplace y la representación gráca que se encuentra en la gura 1 Resultados favorables del evento A P (A) = Resultados P osibles = 43, = 43,5 100 b) Si el jugador recibió un número mayor que 5, ¾Qué probabilidades tiene de ganar la máquina? P (G maquina N jugador > 5) = P (Gmaquina N jugador>5) P (N jugador>5 ) = 16/100 1/2 = Grácamente se tiene: Figura 1: Representación gráca, donde el área roja es la cantidad de posibilidades de Ganar el jugador y el área blanca, la cantidad de posibilidades de ganar la máquina. 4. En un país X solamente existen 3 empresas (E 1, E 2, E 3 ) que fabrican y venden televisores. En ese país el 96 % de las personas tienen algún televisor en su casa. En base a una encuesta se sabe que el 40 % de los televisores han sido fabricados por la empresa 1, el 35 % por la empresa 2 y el resto por la empresa 3 la cual no tiene buena fama debido a que el 56 % de sus televisores no duran más de 5 años. Si se sabe que los televisores de la empresa 1 y 2 duran al menos 5 años el 74 % y 62 % de las veces respectivamente. Determine: a) La probabilida de que si una persona del 4 % que no tiene televisor compre uno, este le dure más de 5 años si se selecciona en forma aleatoria la empresa donde compra el televisor Como se selecciona el televisor en forma aleatoria, cada selección tendrá una probabilidad de 1 3. Por lo tanto, utilizando la regla de la probabilidad total se tiene: ( ) = P (D) = P (D E 1 ) P (E 1 ) + P (D E 2 ) P (E 2 ) + P (D E 3 ) P (E 3 ) = = 6 10 b) Dado que un televisor ha durado más de 5 años este NO haya sido fabricado en la empresa 2 Debido a que las empresas son una partición del espacio muestral, se tiene Ē2 = E 1 E 3 por lo que P (E 2 D) = P (E 1 E 3 D) = P (E 1 D) + P (E 3 D). Ahora al utilizar el teorema de Bayes: P (D E P (E 1 D) = 1) P (E 1) P (E 1) P (D E 1)+P (E 2) P (D E 2)+P (E 3) P (D E = 0,74 0,4 3) 0,74 0,4+0,62 0,35+0,44 0,25 = 296 0, 475 3

5 P (D E P (E 3 D) = 3) P (E 3) P (E 1) P (D E 1)+P (E 2) P (D E 2)+P (E 3) P (D E = 0,25 0,44 3) 0,74 0,4+0,62 0,35+0,44 0,25 = 11 0, 177 Por ende P ( B 2 D) 0, , 177 = 0, 652 Otra forma de hacer el ejercicio es: P ( B P (D B2) P (B2) 0,62 0,35 2 D) = 1 P (B 2 D) = 1 P (D) = 1 0,74 0,4+0,62 0,35+0,44 0,25 = = 0, 652 LATEX 2ε/JPCaresP 4