Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres.

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1 Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán Depto. de Física * Recibido: 03 de noviembre de 2009 Aceptado: 23 de marzo de Abstract Recently, in this Journal the great convenience of the graphical analysis was emphasized when applied to experimental data which visually are along a straight line using linear or logarithmic scales [1]. Now the objective is to present a way to calculate the uncertainties associated to the parameters characterizing the straight line. Resumen Recientemente, en este espacio, se hizo ver la gran utilidad del análisis gráfico cuando se aplica a datos experimentales que se ajustan visualmente a una línea recta usando escalas lineales o escalas logarítmicas [1]. Ahora el propósito es presentar una manera de calcular la incertidumbre asociada a los parámetros de la recta. Introducción Debido a que los datos provenientes de un experimento tienen incertidumbres asociadas, cualquier cantidad que se obtenga a partir de ellos también debe tener asociada una incertidumbre. Esto sucede con los parámetros que caracterizan a la curva trazada a través de los datos experimentales. El caso más sencillo es cuando los puntos experimentales se ajustan a una recta, cuyos parámetros son la pendiente y la ordenada al origen. El propósito aquí es determinar la incertidumbre en los parámetros de la recta, habiendo fijado un criterio. Primero se presentará el caso cuando la recta trazada visualmente ha sido obtenida usando escalas lineales, después los casos en que la recta se obtiene usando gráficas semilogarítmicas y logarítmicas. * CBI, UAM I. Apartado Postal , México, D. F e mail: amg@xanum.uam.mx Escalas lineales Recuérdese que la ecuación de la recta es y = mx + b (1) donde x y y representan las cantidades graficadas, pueden ser las cantidades medidas en el experimento o calculadas a partir de ellas. El parámetro m es la pendiente de la recta y b su ordenada al origen. Por simplicidad en la determinación de la incertidumbre en la pendiente y en la ordenada al origen, se supondrá que la incertidumbre y es mayor que la incertidumbre x con lo cual se puede ignorar esta última. Se adoptará el procedimiento siguiente. Habiendo trazado las incertidumbres de los puntos experimentales, representadas por las barras de error, se traza un paralelogramo con sus lados largos paralelos a la línea recta ajustada visualmente y con un ancho tal que los extremos de los intervalos de las incertidumbres queden dentro del paralelogramo. A veces sucede que la incertidumbre tiene un valor constante para todos los puntos experimentales y, además, los puntos están aproximadamente sobre la recta; en este caso, en la cercanía de cada extremo del intervalo experimental se escoge un punto sobre la recta, se dibuja la incertidumbre y se traza el paralelogramo. Las diagonales de este paralelogramo proporcionan dos aproximaciones por arriba y por debajo de lo que se considera la mejor recta. La dispersión en los valores de sus pendientes da una estimación del error que se puede tener en la pendiente de la mejor recta; análogamente, la dispersión de las ordenadas al origen de las diagonales proporciona una estimación del error en la ordenada al origen de la recta. De entre todas las posibles rectas que pueden trazarse dentro del paralelogramo, las diagonales aportan los valores máximo y mínimo en la pendiente y en la ordenada al origen. La figura 1 muestra este procedimiento. Llámense a estos 49

2 50 ContactoS 76, (2010) valores como: m max,m min,b max,b min Estos valores y los de la mejor recta ajustada visualmente son tales que m min < m < m max y b min < b < b max Un criterio plausible para asignar las incertidumbres a la pendiente y a la ordenada al origen, respectivamente, es m = m max m min 2 b = b max b min 2 (2) (3) Estas incertidumbres pueden incorporarse en la fórmula de la recta como y = (m ± m)x + (b ± b) o simplemente escribir la fórmula como y = mx + b y por separado dar los valores de m y b. Figura 1. La pendiente y ordenada al origen de las diagonales del paralelogramo se usan para determinar las incertidumbres m y b. Otro criterio para asignar las incertidumbres a la pendiente y a la ordenada al origen, como se sugiere en las referencias [2] y [3], es tomar el valor mayor de las diferencias entre la pendiente de la recta y la pendiente de cada diagonal; en forma análoga, para asignar la incertidumbre en la ordenada al origen se toma el valor mayor de las diferencias entre la ordenada de la recta y la ordenada de cada diagonal. De esta manera las incertidumbres serían: para la pendiente } m = m max m ó (4) m = m m min y para la ordenada b = b max b b = b b min ó } (5) Para decidir sobre cuál de los dos criterios usar, deben ser observados los valores numéricos de la pendiente y de la ordenada de la recta y los valores correspondientes a las diagonales. El criterio representado por las fórmulas (2) y (3) se usa cuando el valor de la pendiente (ordenada) equidista, aproximadamente, de los valores extremos; en cambio, las fórmulas (4) y (5) se usan cuando el valor está lejos del centro del intervalo. En algunas ocasiones no es claro que se pueda trazar el paralelogramo porque los valores de las incertidumbres aumentan o disminuyen con los valores de la abscisa. En este caso en vez de un paralelogramo se traza un trapecio, porque lo importante es que los puntos con sus incertidumbres estén contenidos en una región bien definida; se trazan las diagonales del trapecio y se procede de la manera antes descrita. Aun en el caso particular en que las incertidumbres y tengan el mismo valor numérico para todos los valores experimentales, cuando se grafican en escalas lineales (papel milimétrico, por ejemplo) se ven del mismo tamaño, pero cuando se grafican en escalas semilogarítmicas o logarítmicas, las barras de error por arriba y por abajo del valor central no se ven del mismo tamaño. En este caso de las escalas logarítmicas en vez del paralelogramo se obtiene un trapecio, el cual algunas veces tiene un lado muy pequeño y más bien parece un triángulo. Es decir, en escalas logarítmicas deben graficarse los tres puntos correspondientes a los valores de y y, y y + y para cada valor de x. Es importante aclarar que el método del paralelogramo, descrito aquí y también en la referencia [2], para calcular las incertidumbres asociadas a los parámetros de la recta, no es único. En la referencia [3] se describe un método equivalente. Otra forma de obtener los parámetros de la recta y sus incertidumbres, basada en criterios estadísticos, es utilizando el método de los mínimos cuadrados (el cual proporciona un criterio único). En todo caso, el método aquí expuesto permite una verificación independiente y rápida de los resultados obtenidos al ajustar una recta visualmente. El uso del método del paralelogramo se ilustra a continuación. A un resorte en posición vertical se le agre-

3 Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán 51 gan pesas del mismo tamaño en su extremo inferior; representemos por L la longitud que adquiere el resorte al aplicarle la fuerza F. Se desea encontrar la relación entre L y F, cuyos valores se muestran en la tabla 1. En este ejemplo no se toma en cuenta la incertidumbre en la cantidad F porque se supone muy pequeña; además, se omiten las unidades de F y L. F L ± Tabla 1. Datos de fuerza y longitud. En este caso la variable controlada (variable independiente) es la fuerza aplicada y la variable dependiente es la longitud. El comportamiento de estas cantidades se muestra en la figura 2 donde también se ha trazado la incertidumbre constante en cada valor de L. Figura 3. Se trazan rectas paralelas para formar el paralelogramo. Ahora se trazan las diagonales del paralelogramo, como ilustra la figura 4. Las tres rectas se han extrapolado para identificar gráficamente la ordenada al origen; en la figura también aparecen las ecuaciones; con los subíndices ds y di quedan identificadas la diagonal superior y la diagonal inferior, respectivamente. Nótese que la diagonal superior proporciona el valor de la pendiente máxima (m max ) y, consecuentemente, el valor de la ordenada al origen mínima (b min ); por su parte la diagonal inferior tiene la pendiente mínima (m min ) y la ordenada al origen máxima (b max ). Figura 2. Gráfica de los datos de la tabla 1. A continuación se trazan dos rectas paralelas a la recta de la figura 2 de manera tal que todos los puntos con sus incertidumbres queden en la región limitada por ellas, como ilustra la figura 3; estas rectas y las rectas a través de las abscisas extremas del intervalo experimental (F = 1 y F = 8) definen el paralelogramo. Figura 4. Se muestran las fórmulas de la recta y de las diagonales (las paralelas fueron omitidas). Con la información contenida en las fórmulas de la figura 4 se ve que los valores de las pendientes son

4 52 ContactoS 76, (2010) m = m max = m min = Por el momento, estas cantidades se escriben con el número de cifras con que aparecen en las fórmulas, pero más adelante serán escritas en la forma correcta. Al aplicar la fórmula (2) se obtiene que la incertidumbre en la pendiente es m = Los valores de las ordenadas al origen son b = b max = b min = Al aplicar la fórmula (3) se llega a que la incertidumbre en la ordenada al origen es b = Es costumbre escribir las incertidumbres a lo más con dos cifras significativas, de manera que m = 0.36 y b = 1.7; al redondear m y b hasta estos decimales, sugeridos por sus incertidumbres, la ecuación que satisfacen los datos de la tabla 1 se escribe como L = (2.18 ± 0.36)F + (4.5 ± 1.7) Para asegurar que los valores calculados de L empleando esta fórmula están dentro del paralelogramo, para un mismo valor de F, debe elegirse simultáneamente el signo + en uno de los símbolos ± y el signo en el otro símbolo ±; es decir, elegir signos opuestos en los símbolos ±. Esta elección se debe a que a la recta de pendiente máxima le corresponde la ordenada al origen mínima, y viceversa. La pendiente en esta fórmula (m± m) está comprendida entre los valores 1.82 y 2.54 y la ordenada al origen (b ± b) entre 2.80 y 6.20, estos números son muy parecidos a los valores de los parámetros de las rectas diagonales en la figura 4. Escalas logarítmicas En los párrafos anteriores se expuso la forma de calcular las incertidumbres en la pendiente y en la ordenada al origen para el caso en que las escalas son lineales en ambos ejes coordenados; es decir, cuando la recta se obtiene al graficar los datos directamente en papel milimétrico. En este caso es útil el uso del paralelogramo. La situación se torna complicada cuando la recta que se obtiene se ha trazado usando un eje con escala lineal y el otro eje con escala logarítmica (papel semilog) o cuando ambos ejes tienen escalas logarítmicas (papel log-log); las barras de error en estos casos ya no definen un paralelogramo. Relación exponencial. Ahora considérese la relación del tipo y = ab cx donde a, b y c son constantes; es usual que la constante b esté representada por el número 10 o por el número e. Si se toma como base el número e, la expresión es y = ae cx (6) Al calcular el logaritmo natural en ambos miembros de esta fórmula, se obtiene lny = lna + cx (7) Al identificar X = x y Y = lny, esta expresión (7) queda como Y = cx + lna la cual corresponde a una línea recta en las variables (X,Y ). La ordenada al origen está representada por lna y la pendiente por la constante c. En otras palabras, si los valores (x, y) satisfacen una relación del tipo expresado por la fórmula (6), para hacer que los puntos queden a lo largo de una línea recta, se debe graficar lny vs. x. El procedimiento para esta nueva situación se ilustrará con datos experimentales (x,y) que satisfacen una relación exponencial. Con el propósito de solamente ilustrar el procedimiento, en la tabla 2 no se menciona de qué experimento se trata, únicamente se presentan los valores de la variable controlada (X) y los valores medidos de la variable dependiente (Y ), la incertidumbre y es constante y es muy grande comparada con la incertidumbre en x. X Y ± Tabla 2. Datos que satisfacen una relación exponencial. La gráfica de los datos de la tabla 2 se presenta en la figura 5. Es notorio que los puntos experimentales no satisfacen una relación lineal. Debido a que la incertidumbre y es constante, se puede trazar una curva que pase por todos los puntos y + y para los correspondientes valores de x; se obtendría una curva idéntica a la que pasa por los valores de y, pero desplazada hacia arriba por un valor constante igual a y = Se obtendría una curva idéntica desplazada hacia abajo una cantidad constante de

5 Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán si se grafican los puntos con los valores de y y. Estas dos curvas serían curvas equidistantes de la curva representativa de los puntos (x, y); es decir, jugarían el papel que el paralelogramo hace en el caso de escalas lineales, pues todos los puntos con sus incertidumbres caerían en la región delimitada por las dos curvas. Figura 6. Datos de la tabla 2 graficados con escala lineal en el eje de abscisas y escala logarítmica en el eje de ordenadas. Figura 5. Datos de la tabla 2 graficados con escalas lineales en ambos ejes. Por otra parte, al graficar manualmente en papel semilog, o equivalentemente usando un programa de cómputo que maneje hoja de cálculo (Excel por ejemplo), al escoger el eje Y con escala logarítmica se obtiene que los puntos están sobre una recta, como ilustra la figura 6. En contraste con la figura 5 donde las barras de error se ven del mismo tamaño, pues la incertidumbre y es constante, en la figura 6 aparecen de tamaños diferentes en cada punto y, además, los valores de y y se ven más separados del valor experimental y mientras que los valores de y+ y están más cercanos, lo cual se debe a que la escala de las ordenadas es no lineal. En otras palabras, si la gráfica se hace manualmente usando papel semilogarítmico, se deben calcular los valores de y+ y y de y y para poder graficar las barras de error. Para resaltar este efecto, en ambas figuras 5 y 6 se trazaron las líneas de división en la escala de las ordenadas. Para calcular las incertidumbres en la pendiente y en la ordenada al origen de la recta que se obtiene usando papel semilog, se trazan las tres rectas que pasan por las ordenadas y, y + y y por y y, con los mismos valores de x. De esta manera se obtienen las rectas representadas en la figura 7, las cua- les definen una región en forma de trapecio donde se encuentran todos los puntos con sus incertidumbres. Se trazan las líneas diagonales del trapecio y se aplica el procedimiento usado con el método del paralelogramo. Aunque estrictamente la región es un trapecio, en ocasiones sucede que debido a la escala más bien parece un triángulo (como en este ejemplo particular); en estos casos el cálculo de las incertidumbres se simplifica al considerar a la región como un triángulo. Figura 7. Datos de la tabla 2. Los valores de y se representan con círculo negro, los de y + y con signo + y los de y y con signo. En esta región triangular se pueden trazar muchas rectas que formarán un abanico; de entre todas ellas,

6 54 ContactoS 76, (2010) las que tienen la pendiente máxima y la pendiente mínima son las que definen el triángulo, también ellas son las que poseen la máxima ordenada al origen y la mínima ordenada al origen. Con la información contenida en la figura 7 se ve que los valores algebraicos de las pendientes son: m = m max = m min = Usando el criterio representado por la fórmula (2) se llega a que la incertidumbre en la pendiente es m = Por otra parte, para las ordenadas al origen se obtiene: b = ln = b max = ln = b min = ln = Usando el criterio representado por la fórmula (3) se llega a que la incertidumbre en la ordenada al origen es b = Usando los valores para la pendiente, ordenada al origen, sus incertidumbres, y al redondear los valores hasta centésimos, la relación exponencial que satisfacen los valores experimentales de X y de Y es Y = (1.02 ± 0.12)e (1.22±0.35X) Ahora se calcularán nuevamente las incertidumbres en los factores constantes que aparecen en la relación exponencial, pero en vez de usar escalas semilogarítmicas para obtener las rectas se usarán escalas lineales en ambos ejes. Para ello se calculan los logaritmos naturales de y, y+ y y de y y; al graficar los puntos se obtienen las tres rectas representadas en la figura 8, donde también están escritas sus ecuaciones. Nótese que los valores de las pendientes de las rectas de la figura 8 son iguales a los valores de los exponentes en las fórmulas de la figura 7. En cambio, las ordenadas al origen de las rectas de la figura 8 son iguales a los logaritmos naturales de los coeficientes dados en las fórmulas de la figura 7. Son iguales porque ambos tipos de fórmulas representan el comportamiento de los mismos puntos. Las fórmulas en esta última figura tienen la forma de una línea recta y = mx + b porque los puntos (x,y) satisfacen una relación exponencial de la forma y = ae mx, la cual al calcularle el logaritmo natural se convierte en ln y = mx + lna. Figura 8. Las rectas representan los logaritmos naturales de los valores de Y dados en la tabla 2 y graficados en escalas lineales. Con la información proporcionada por la figura 8 se pueden calcular las incertidumbres; directamente de la figura se observa que los valores algebraicos de las pendientes son: m = m max = m min = Aplicando la fórmula (2) se obtiene que m = Para las ordenadas al origen se ve que: b = b max = b min = Aplicando el criterio representado por la fórmula (3) se llega a que b = Debido a que la ecuación de estas rectas es ln Y = mx + lna, estos valores de las ordenadas al origen (b,b max,b min ) representan el logaritmo natural de a (ln a,ln a y lna +, los exponentes y + se refieren a la recta de los puntos con estos símbolos); para obtener el valor de a, a y a + es necesario calcular el antilogaritmo de b, b max y b min. Entonces, los valores de las ordenadas al origen se escriben como b = = lna = ln b max = = lna = ln b min = = lna + = ln Con estos valores para la pendiente, ordenada al origen y sus incertidumbres, la ecuación de la recta es: lny = ( ± )X + ln( ± )

7 Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán 55 Finalmente, aplicando la operación de exponenciación se obtiene la relación exponencial que satisfacen los valores experimentales de X y de Y : e ln Y = e (1.2167±0.3469)X+ln(1.0211±0.1204) Y = e (1.2167±0.3469)X+ln(1.0211±0.1204) Y = ( ± )e (1.2167±0.3469)X Para escribir esta expresión se usó la propiedad de los logaritmos que establece que si c = e z, entonces lnc = z lne = z y, por tanto, c = e ln c. Al redondear los valores hasta centésimos, el resultado final de Y como una función de X es Y = (1.02 ± 0.12)e (1.22±0.35)X Nótese que esta expresión es idéntica a la obtenida a partir de las rectas trazadas en la figura 7 usando escala semilogarítmica. Relación de potencia. Ahora el objetivo es analizar datos que siguen una ley de potencia. Supóngase que la relación entre las cantidades medidas (x,y) es del tipo y = ax n (8) donde a y n son constantes. Al calcular el logaritmo de ambos miembros de la fórmula (8), se obtiene log y = log a + nlog x. Llamando X = log x y Y = log y, esta ecuación se transforma en Y = log a + nx (9) Comparando con la fórmula (1) se observa que esta última es la ecuación de una recta en las nuevas variables X y Y, con ordenada al origen igual a log a y con pendiente igual a n; estos parámetros se obtienen directamente de la recta graficada. En el ejemplo que sigue se hará la gráfica usando escalas lineales, luego se hará usando escalas logarítmicas en ambos ejes (donde se obtiene una recta), se calcularán las incertidumbres de los parámetros de la recta y se escribirá la fórmula que los puntos satisfacen; después se calcularán los logaritmos de los datos, se graficarán usando escalas lineales y también se determinará la fórmula. Para ello se usarán datos obtenidos de un experimento de transferencia de calor de un cuerpo sólido hacia su entorno; las variables son la temperatura T medida en kelvin y la rapidez con que la energía E cambia, expresada en J/s, cuyos valores se muestran en la tabla 3. T(K) E ± 0.5 (J/s) Valores de temperatura y rapidez de energía. Estos valores y las incertidumbres E aparecen graficados en la figura 9 donde se observa que los puntos no satisfacen una relación lineal; además, los puntos con valores más pequeños aparecen encimados, difícilmente pueden distinguirse unos de otros. En cambio, al ser graficados usando escalas logarítmicas en ambos ejes, los puntos están sobre una recta y todos pueden distinguirse entre sí (ver figura 10). Nótese que todas las barras de error en la figura 9 tienen el mismo tamaño, lo cual no sucede en la figura 10. En otras palabras, al igual que como ocurrió en el caso de escalas semilogarítmicas, en este caso de escalas logarítmicas los puntos y sus incertidumbres no están dentro de un paralelogramo, más bien dentro de un triángulo. Figura 9. Datos de la tabla 3 graficados en escalas lineales. Las rectas que definen la región triangular son las que, en escalas logarítmicas, pasan por los puntos con ordenadas E + E y E E para las corres-

8 56 ContactoS 76, (2010) b = log = b max = log = b min = log = Usando el criterio representado por las fórmulas (2) y (3) se llega a que m = y b = , respectivamente. Usando los valores para la pendiente, ordenada al origen, sus incertidumbres y al redondear los valores hasta centésimos, la relación de potencia que satisfacen los valores experimentales de T y de E es E = (0.56 ± 0.14)T (0.50±0.04) Figura 10. Los mismos datos de la figura 9 pero graficados en escalas logarítmicas. pondientes abscisas T, identificadas con los símbolos + y, como lo ilustra la figura 11. En esta figura se muestran las fórmulas que estas dos rectas y la recta central satisfacen. Figura 11. Datos de la tabla 3. Los valores de E se representan con círculo blanco, los de E + E con signo + y los de E E con signo. Con la información mostrada en la figura 11 se ve que los valores de las pendientes son: m = m max = m min = Los valores de las ordenadas al origen son: Ahora se hará el cálculo de las incertidumbres en los parámetros constantes que aparecen en la relación de potencia, pero en vez de usar escalas logarítmicas para obtener las rectas se usarán escalas lineales en ambos ejes. Para ello se calculan los logaritmos decimales de E, E + E y de E E; al graficar los puntos se obtienen las tres rectas representadas en la figura 12, donde también están escritas sus ecuaciones. Compárense los valores de las pendientes y ordenadas al origen de las rectas de la figura 12 con los valores de los exponentes y los coeficientes de las potencias dadas en las fórmulas de la figura 11, respectivamente. Los valores de las pendientes son iguales a los de los exponentes; en cambio, los valores de las ordenadas al origen corresponden al logaritmo de los coeficientes. Ambos tipos de fórmulas representan el comportamiento de los mismos puntos. Las fórmulas en esta última figura tienen la forma de una línea recta y=mx +b porque los puntos (T,E) satisfacen una ley de potencia de la forma E = at m, la cual al calcularle el logaritmo decimal se convierte en log E = mlog T + log a. Con la información proporcionada por la figura 12 se pueden calcular las incertidumbres; directamente de la figura se observa que las pendientes son: m = m max = m min = Para las ordenadas al origen, a partir de las ecuaciones, se ve que: b = = log a = log b max = = log a = log b min = = log a + = log Aplicando las fórmulas (2) y (3) se llega a que m = y b = , respectivamente. Con estos

9 Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán 57 Nota final Para analizar los datos obtenidos en un experimento, siempre conviene graficarlos. Cuando se ha logrado que estén sobre una recta, ya sea usando papel con escalas lineales, log-log, o semilog, el paso siguiente es calcular las incertidumbres asociadas a la pendiente y a la ordenada al origen. Esto último se logra usando el método del paralelogramo. Figura 12. Las rectas representan los logaritmos decimales de los valores dados en la tabla 3 y graficados en escalas lineales. valores para la pendiente, ordenada al origen y sus incertidumbres, la ecuación de la recta es: log E = (0.497 ±0.0428)log T +log( ±0.1395) Finalmente, aplicando la operación de potenciación, es decir usando toda esta expresión como exponente de 10, se obtiene la relación de potencia que satisfacen los valores experimentales de T y de E; al redondear los valores hasta centésimos, el resultado es E = (0.56 ± 0.14)T (0.50±0.04) Para escribir esta expresión se usó la propiedad de los logaritmos que establece que si c = 10 z entonces log c = z y, por tanto, c = 10 log c. Nótese que esta expresión es idéntica a la obtenida a partir de las rectas trazadas en escalas logarítmicas. La ecuación final de las tres relaciones (lineales, y = mx + b; exponenciales, y = ab cx ; de potencia, y = ax n ) que pueden ser analizadas a través de las rectas que se obtienen usando gráficas con escalas lineales, semilog y log-log, respectivamente, se debe reportar en términos de las variables originales. Es decir, deben escribirse como: Bibliografía y = (m ± m)x + (b ± b), y = (a ± a)b (c± c)x, y = (a ± a)x (n± n). 1. A. Manzur. Análisis gráfico. Parte 1. Contactos, No. 75, B. Oda Noda. Introducción al análisis gráfico de datos experimentales, 3a. edición. Facultad de Ciencias, UNAM, México, C. Gutiérrez Aranzeta. Introducción a la metodología experimental, segunda edición. Limusa, México, cs