Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : , y los vectores

Transcripción

1 FASÍCULO: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Teorema. Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : i) ii) iii) iv) Ejemplo: Sean el espacio vectorial con el producto interno definido por, y los vectores Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente. Obtener. *Solución.

2 - Condición de Ortogonalidad. Con un producto interno complejo: *No es ortogonal a pesar de que el producto interno dio 0. Esto sucedió debido a que sólo fue tomada la parte real. Para que sea ortogonal debe dar 0 en la parte real e imaginaria. Ejemplo:

3 Sea un espacio con producto interno complejo y tales que y. Determinar Elevando al cuadrado: Norma de un vector. Definición. Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en. Se llama norma de, y se representa con, al número real no negativo definido por - Propiedades (Teorema) Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces y : i) ii) iii) iv) Distancia entre dos vectores. Definición. Sea un espacio vectorial con producto interno, y sean. Se llama distancia de a, y se representa con al número real definido por

4 - Propiedades (Teorema). Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces : i) ii) iii) iv) Ángulo entre vectores. Definición. Sea un espacio vectorial con producto interno real, y sean dos vectores no nulos de. Se llama ángulo entre y al número real, en el intervalo, tal que Ortogonalidad. Definición. Sea un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores son ortogonales si. Teorema de Pitágoras (Teorema). Sea un espacio vectorial con producto interno y sean. Si son ortogonales entonces: Definición. Sea un espacio con producto interno y sea un conjunto de vectores de. Se dice que es un conjunto ortogonal cuando Si además, el conjunto es ortonormal.

5 Definición. Sea un espacio con producto interno y sea una base ortogonal. Entonces, donde En particular, si B es una base ortonormal Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Proyección vectorial Proyección vectorial Proyección vectorial Proyección vectorial

6 Base ortogonal Proyección vectorial - Ejemplo. Sea el conjunto de vectores un generador de. Determinar a partir de G: a) Una base ortogonal b) Una base ortonormal Solución. a) Base ortogonal

7 b) Base ortonormal. - Proceso de ortogonalización de Gram (Teorema). Sea un espacio con producto interno y sea un generador de. El conjunto donde Es un generador ortogonal de - Ejemplo. Sea el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes reales. una base de y el producto interno en definido por a) A partir de B, determinar una base ortogonal de. Solución.

8 Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes reales con producto interno definido por

9 Y sea un subespacio de que tiene como una de sus bases al conjunto a) Determinar la proyección del vector sobre b) Expresar al vector como una suma, donde y pertenece al complemento ortogonal del espacio. Teorema de Proyección. Sea un espacio con producto interno y sea un subespacio de. Para cada vector existe uno y sólo un vector tal que Dicho vector es la proyección de sobre. a) Base ortogonal.

10 La base ya era ortogonal

11 Sea el producto interno en definido por Y sea. Determinar el vector cuya distancia al vector sea mínima.

12 Complemento ortogonal. Para el producto interno usual en, obtenga el complemento ortogonal de cada uno de los subespacios siguientes de y dar una interpretación geométrica de dichos complementos. a) Solución. b) Solución.

13 Sea el espacio vectorial de las matrices de con elementos reales por: un subespacio de y el producto interno en definido a) Determinar el complemento ortogonal de W b) Expresar al vector como, donde y PRODUCTO INTERNO USUAL Espacios Espacios

14 Espacios Matrices M x n t Ejemplo.- Verificar si el siguiente es un producto interno de : 1.- Solución: Se cumple 2.- Factorizando II: Comparando I y II: Se cumple Se cumple Ejemplo.- Sea el espacio vectorial con el producto interno definido por: Y los vectores Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente. Obtener :

15 Ejemplo.- Sea V un espacio con producto interno complejo y y, determinar: Solución: tal que: Entonces: Ejemplo.- Sea el conjunto partir de G: a) Una base ortogonal un generador de E 2. Determinar a b) Una base ortonormal

16 Ejemplo.- Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor ó igual a 2 con caracteres reales, una base de y el producto interno en definido por: Ejemplo.- Para el producto interno usual en, determinar el complemento ortogonal de cada uno de los subespacios siguientes de : a) b)