GRAFOS. LICESIO J. RODRíGUEZ-ARAGÓN

Transcripción

1 GRAFOS LICESIO J. RODRíGUEZ-ARAGÓN 1 LEONARD EULER Matemático y físico nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. A él le debemos la mayor parte de la notación matemática que utilizamos en la actualidad como por ejemplo el concepto de función matemática. La familia de Euler era muy amiga de la familia Bernoulli lo que causó un gran impacto en el joven Leonard durante sus años en Basilea (Suiza). Con 13 años estudia en la Universidad de Basilea. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde. En 1726 marcha hacia Rusia para trabajar en la Academia de las Ciencias de Rusia en San Petersburgo bajo el patrocinio de la emperatriz Catalina I. Vivió en Rusia hasta 1741 momento en el que marcha a Berlín donde trabaja en la Academia de Berlín. Durante su estancia en Alemania fue profesor de la princesa de Anhalt-Dessau, a la que escribió más de 200 cartas que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana. A partir de 1735 va perdiendo visión y queda casi ciego, a pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su trabajo, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. En 1766 vuelve a San Petersburgo y continúa trabajando allí hasta 1783 en que fallece. 1

2 Grafos 2 2 GRAFOS Actividad 1 Dibuja dos círculos unidos mediante una línea. Compara los dibujos que hace cada uno de vosotros. Hay algún dibujo que no siga la instrucción dada? Son todos los dibujos iguales? Actividad 2 Dibujar un círculo rojo unido con un círculo azul y un círculo verde unido con un círculo rojo. Importa que las líneas que unen esos círculos sean rectas o no? Pueden tocarse los círculos? Puede estar un círculo dentro de otro? Dónde deben empezar o terminar las líneas? Importa que los círculos tengan tamaños diferentes? Pueden cruzarse las líneas que unen los círculos? Tienen que estar alineados, horizontal o verticalmente los círculos? Importa la distancia entre los círculos?

3 Grafos 3 Un grafo es un conjunto de puntos y segmentos (o arcos) que unen dichos puntos unos con otros. Hay muchas situaciones en las que nos encontramos con grafos en la vida cotidiana. Puedes poner algún ejemplo? 3 CAMINOS DE EULER Actividad 3 Se pueden dibujar las siguientes figuras sin levantar el bolígrafo del papel y sin trazar dos veces un mismo segmento? Desde qué punto habría que empezar? En qué vértice se termina? Imaginas otras variaciones de estos dibujos? Qué ocurre con ellos? El número de segmentos o arcos que nacen o mueren en un vértice es conocido como orden de dicho vértice

4 Grafos 4 Los puentes de Königsberg En la ciudad de Königsberg, hoy en día conocida como Kaliningrado, existían 7 puentes que cruzaban el río Pregel. Los habitantes de Königsberg se preguntaban si había alguna manera de realizar un circuito pasando por todos los puentes y sólo una vez por cada uno de ellos? Actividad 4 Se obtiene un tablero de ajedrez en forma de cruz como el que se ve en el dibujo. Puede un caballo de ajedrez moverse sobre este tablero de tal manera que pase exactamente una vez por cada casilla y termine en la misma casilla en donde empezó?

5 Grafos 5 Apretones de manos Si en una fiesta se pregunta a la salida a cada persona cuantos apretones de manos ha dado. La suma del total de dichos números sera... Si un grafo tiene A segmentos o aristas, entonces la suma de los órdenes de todos los vértices será 2A. Por cuestión de paridad: Un grafo tiene siempre un número par de vértices impares. Intenta dibujar un grafo con un único vértice impar! Teorema de Euler Podemos decir que un grafo se puede trazar sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma arista únicamente cuando haya 0 ó 2 vértices impares y no se podrá trazar cuando haya 4, 6, 8, 10,... vértices impares. Los casos 1, 3, 5,... son imposibles! Actividad 5 A Lewis Carroll, el autor de Alicia en el País de las Maravillas, le gustaba preguntar si se podía dibujar la figura de un solo trazo. Actividad 6 Un alambre tiene una longitud de 120 cm Se puede utilizar dicho alambre (sin cortarlo) para formar las aristas de un cubo de 10 cm o habría que construirlo mediante varios trozos?

6 Grafos 6 4 GRAFOS ISOMORFOS Cuando pintamos un grafo, cada uno de nosotros lo hacemos de una manera diferente. Ahora bien! Si es el mismo grafo, aunque tengan aspectos diferentes, siempre podremos hacer que sean iguales mediante deformaciones pero sin romper ni crear nuevos puntos o vértices. Determinar si hay grafos isomorfos: Actividad 7 Ver si los dos grafos tienen el mismo número de vértices. Ver si los vértices tienen los mismos órdenes. Ver si los dos grafos son de una sola pieza. Si uno es de una sola pieza y el otro no entonces no pueden ser isomorfos (conexos). En caso de sospechar que son isomorfos, hay que dar una equivalencia, vértice a vértice. Es deseable poder decir cómo se puede pasar de un grafo al otro deformándolo. Alrededor del Mundo En 1857 el matemático irlandés William Hamilton inventó un juego usando un dodecaedro regular, 20 chinchetas, una por cada vértice, y una cuerda. El objeto del juego consistía en encontrar una ruta a lo largo de las aristas que visite cada uno de los vértices una sola vez. Atención este no es el mismo problema que el propuesto por Euler. En qué se diferencian?

7 Grafos 7 Actividad 8 Cualquier poliedro se puede deformar hasta obtener un grafo en un plano. Encontrar los grafos en los que se convierte un cubo, un tetraedro, un octaedro, un icosaedro. 5 DENTRO FUERA Teorema de la Curva de Jordan Dada una curva cerrada en el plano, cómo podemos determinar si dos puntos están en la misma región o en regiones distintas. Sabemos que una curva cerrada y sin autocortes define dos regiones: dentro y fuera. Dos puntos A y B en el plano están en la misma región, si al trazar el segmento que los une, dicho segmento corta a la curva un número par de veces. Si el número de cortes es impar, los puntos están en regiones distintas. Cuidado con que el segmento sea tangente!

8 Grafos 8 Actividad 9 Tres vecinos, Antonio, Bernardo y Carla se llevan muy mal entre ellos. Desgraciadamente conviven en una parcela con 3 pozos. Puede construir cada uno de ellos 3 caminos uniendo su casa con cada uno de los pozos de tal manera que no se crucen? Este problema si que tiene solución sobre una cinta de moebius, esta cinta tiene una única cara, no hay ni interior ni exterior, es una figura sin fin. Actividad 10 A mi hermana le digo que desde que me he despertando, he pasado por la puerta de mi cuarto (entrando y saliendo) 9 veces a lo largo de la mañana. Al final de la mañana Dónde me podrá encontrar? Actividad 11 La noche que fué asesinado el marqués de Bradomín, había quedado con un amigo, una noche de nieve y espesa niebla. El marqués fue de la entrada 1 al punto X dónde apareció su cadaver. El guardián de la casa, va de la entrada 7 a su casa y se comprueba que sus huellas son anteriores al asesinato. Hay testigos que afirman haber visto a la marquesa entrar por la puerta 2 y salir por la 5, ella declaró que estaba dando un paseo y que no entró en la casa. Los testigos afirman haber visto llegar en coche al amigo entrando por la puerta 4, él asegura que fue directo a la casa y que allí espero hablando con el mayordomo. Por último el capataz fue visto entrar por la puerta 6 y afirma que estuvo buscando a su señor hasta que salió por la puerta 3. El cabo de la guardia civil no pudo comprobar los recorridos, ya que era de noche, pero si comprobó que aunque algunos caminos eran sinuosos, nunca se cruzaban. Quién es el principal sospechoso?