La Matemática y la Arquitectura: Entes Geométricos Figuras Planas. Introducción:

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1 La Matemática y la Arquitectura: Entes Geométricos Figuras Planas Introducción: Dice Miguel de Guzmán 1 :``el quehacer matemático es por naturaleza eminentemente comunicativo. Es arte, productor de belleza de la que hacemos a otros partícipes; es ciencia, que explora la realidad en colaboración con otros; es herramienta, con la que se puede dominar algunos aspectos de este mundo que compartimos; es juego, del que se disfruta en compañía Para introducirnos en este amplio y fascinante CAMPO de la Matemática y sobre todo, para relacionarla con la arquitectura como tema central de nuestro interés, necesitaremos empezar a entender conceptos claves y elementales. En la Arquitectura, ninguna de las fascinantes obras que ya investigaste durante tu curso de ingreso a la carrera, serian posibles de comprender sin la existencia de la Geometría: Pirámides de Egipto / Torre Eiffel Paris / Iglesia gótica Sagrado Corazón de Jesús Edificio Seagram Mies Van der Rohe Torre Espiral Barcelona Zaha Hadid Todas y cada una de ellas fueron ejecutadas en momentos completamente diferentes de la historia de la humanidad, y todas requirieron el estudio apoyo de la Geometría 2 considerada una de las ciencias más antiguas. 1 Nació en el seno de una familia con gran interés en la ciencia. Ya de muy joven demostró una gran curiosidad por las matemáticas, en especial por los temas más abstractos. Finalizó el bachillerato en 1952 y a pesar de ese interés por las matemáticas, inició estudios de ingeniería industrial en Bilbao, decisión probablemente influenciada por la situación laboral de la época y lugar. 2 Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

2 Entre los primeros escritos sobre Geometría encontramos el llamado Los Elementos tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría. Es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000).. El contenido de los libros es el siguiente: Libros 1 al 4 tratan sobre Geometría plana. Libros 5 al 10 tratan sobre Razones y proporciones. Libros 11 al 13 tratan sobre Geometría de los cuerpos sólidos. Dentro de la denominada Geometría plana, es que estudiaremos los Entes geométricos fundamentales. Los entes fundamentales de la geometría son entidades que no poseen definición, aunque el común de las personas generalmente reconoce, de manera casi intuitiva, la naturaleza de las formas que estos conceptos encierran. Son consideradas nociones apriorísticas ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. El punto, la recta y el plano son los tres componentes fundamentales de la geometría clásica. Qué sentido tiene estudiar entonces conceptos que en apariencia son tan obvios y a la vez abstractos, cuando lo que nos interesa es conocer su aplicación concreta en las obras de Arquitectura? Resultan tan importantes porque nos permiten posicionar figuras en el plano y en el espacio, dimensionarlas y cuantificarlas a los fines de tener una visión previa e integral de las obras de arquitectura que luego han de ser construidas y habitadas por el hombre. Así es que reconocemos figuras planas como el triángulo definido por sus lados, vértices, ángulos, etc. y nos encontramos con la posibilidad de calcular superficies y perímetros de los mismos así como también volúmenes de los cuerpos poliedros que pueden definirse al yuxtaponer estas porciones de plano. Es posible abstraerse y comprender la estructura geométrica del objeto para lograr su cuantificación, solamente si se estudiaron previamente los entes fundamentales que la definen. Por ejemplo, la pirámide de base cuadrada posee cuatro caras en forma de triángulo isósceles. Conocer las características de estos polígonos permitirá su cálculo y manejo dentro del campo del diseño.

3 Los volúmenes prismáticos, forma envolvente característica de este rascacielos del Arq. Mies Van Der Rohe, poseen caras definidas por cuadriláteros, figuras planas fundamentales cuyo predominio formal tendrá un capítulo muy importante de estudio como el de las Proporciones. Por su parte, el trabajo con puntos, líneas y porciones de planos, cuadrados, triangulares y rectangulares y sus infinitas combinaciones, facilita la tarea del diseño arquitectónico al permitir el desarrollo de tramas planas y espaciales y el empleo de simetrías y ordenes, elementos claves cuando se proyectan obras de Arquitectura. Existe un universo enorme que se abre a partir de este capítulo de estudio, el resto solo tiene como límite la propia imaginación y creatividad.

4 Aplicación - Ejercitación Ahora que conoces y has estudiado el tema en profundidad, te invitamos a verificar mediante el cálculo y la resolución de problemas, los contenidos desarrollados retomando ejemplos que ya te presentamos. 1) La Gran pirámide de Guiza es la más antigua de las Siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Fue ordenada construir por el faraón de la cuarta dinastía del Antiguo Egipto. Keops. El arquitecto de dicha obra fue Hemiunu. La fecha estimada de terminación de la construcción de la Gran Pirámide es alrededor de 2570 a. C., siendo la primera y mayor de las tres grandes pirámides de la Necrópolis de Guiza, situada en las afueras de El Cairo, en Egipto. Fue el edificio más alto hasta el siglo XIV (siendo superado por el chapitel de la Catedral de Lincoln, en Inglaterra )y el edificio de piedra más alto del mundo hasta bien entrado el siglo XIX, siendo entonces superado por la aguja de la iglesia de San Nikolai, en Hamburgo. Si los datos que disponemos según la bibliografía consultada son los siguientes: Longitud del lado de la base:230,47 m Altura actual de la pirámide = 146,65 m Altura del lado o cara de la pirámide (triángulo isósceles):174,05 m Se desea saber: a) Cuál es la superficie en planta que ocupa la pirámide de Guiza? Rta: ,42 m² b) Cuál es la superficie total de las cuatro caras de esta pirámide? Rta: 80226,66 m² c) Si alguien se le ocurriera pintar sus caras exteriores, cuantos litros de pintura se necesitarían si sabemos que cada litro puede cubrir una superficie de 40 dm²? Rta: L d) Cuál es el volumen de material que insumió la construcción de esta monumental obra? Rta: 2578,80 m³ (Considerarlas macizas.) 2) El Edificio Seagram, ubicado en el centro de Manhattan - Nueva York, es una moderna torre de oficinas proyectada por el arquitecto alemán Ludwig Mies van der Rohe, en colaboración con Philip Johnson. Símbolo del mundo industrial contemporáneo, ilustra el lema del arquitecto: `` Menos es más.

5 En cuanto al sitio, está dividido en retículas de 3 metros de lado, 10 de ellas a lo largo por 7 a lo ancho, determinando en sus esquinas los emplazamientos de todos los pilares. Cada una de estas retículas está subdividida en 6 nuevas y más pequeñas retículas que definen el espacio de las piedras del pavimento y los demás elementos que conforman y adornan el edificio. El edificio cuenta con 39 pisos en 157 metros de altura y fue construido entre los años 1954 y 1958.El rascacielos propiamente dicho es un rectángulo de 5x3 módulos estructurales cuadrados. Se pide: a) Determinar la superficie de la planta de este edificio y del terreno donde se localiza el mismo (Edificio y plaza). Rta: 135 m² - b) Si se supone la realización de una losa de hormigón de 15 cm de espesor en cada uno de los 39 pisos de la torre, Cuál será la cantidad de m³ que se emplearon en esta parte de la estructura? Rta: 789,75 m³ c) En ambos laterales de la plaza se han proyectado dos fuentes rectangulares (superficies A) que ocupan cada una la superficie equivalente a 4 módulos. Calcula el porcentaje de la superficie total de la plaza que ocupan dichos espejos de agua. Rta : 11,428 % 3) Miguel Ángel Roca (Córdoba, Argentina, abril de ) es un arquitecto y urbanista argentino. Realiza desde mediados de la década del 60 una vasta producción, en la cual sus obras se reconocen y destacan por su particular manejo de las formas, los materiales y el color. Una de ellas es la Plaza España :``Se erigen dos cuadrados inscriptos uno en otro y a su vez dentro de un círculo de nudo vehicular, eleva un ámbito irrelevante a la categoría de monumento y, a escala del peatón, un recinto memorable escindido del flujo exterior vehicular. La alusión a las tramas geométricas que aquí convergen, la colonial y las diagonales del siglo XIX a través de pilares esculpidos y frisos que recuerdan a España, otorgan al lugar, su carácter de monumento de nuevo cuño.

6 a) Seguramente reconoces este monumento que celebra a la colectividad española que habita en la ciudad de Córdoba. Trabaja sobre las piezas gráficas que se adjuntan (y agrega las que consideres necesarias) indicando todas aquellas figuras geométricas que reconozcas en la misma, definiendo de manera gráfica y escrita los elementos, ángulos y líneas reguladoras (líneas significativas) existentes en cada figura y los del conjunto en su totalidad. 4)-Recuerda la práctica 4 realizada en el Curso de Nivelación denominada ``Orden y Sentido en donde realizaste una propuestas de pares semánticos a partir de la elección de un polígono regular. Retoma esa pieza gráfica, incorpórala a este trabajo y verifica lo siguiente: a) Que polígono fue el que elegiste para trabajar? Se trata de un polígono regular o irregular? Puedes clasificarlo y definir sus características? Lo estudiado en clase y el apunte de Entes Geométricos te ayudarán a realizar lo que se pide. Representa gráficamente a escala adecuada. b) Utiliza la figura elegida para tratar de compactar el plano como si se tratara de mosaicos (o teselas) que cubren una superficie a la manera de revestimiento. Grafica el resultado de tu propuesta. c) Si la superficie de cada una de esos mosaicos fuera de 2500 cm², Cuántas piezas serian necesarias para cubrir una superficie de piso de 9 m²? d) Si la fabricación de cada pieza insume una cantidad de 25 dm³ de material Qué cantidad de dicho material, expresado en m³, será necesario para la elaboración de las piezas requeridas?