x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x x x 2 + 4x + 4 = x 2 + 6x 360 = 0
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- Rafael Sevilla Vázquez
- hace 8 años
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2 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos. Pero eso no es todo!! L sum de los cudrdos de los dos números nturles que siguen los nteriores tmién es 365. Puedes verigur tles números? hemos llegdo un ecución lgeric de segundo orden ó ecución cudrátic. DEFINICIÓN Ls ecuciones cudrátics con un incógnit son ecuciones de l form : c 0 con 0 ó culquier otr equivlente ell. EJEMPLOS :
3 Cómo podemos resolver este tipo de ecuciones? Pensemos en lgún otro ejemplo. Queremos confeccionr un cj sin tp con un hoj de crtón cudrd. L cj dee tener 3cm de ltur y su volumen igul 48 cm 3. Qué medids dee tener, como mínimo, l hoj de crtón? 3 L superficie de l se de l cj es ( 6 ). L ltur de l cj es 3 cm. El volumen es 48 cm 3. 3 ( 6 ) 48 ( * ) operndo ( 6 ) 16 Recuerd que el volumen de un cj se clcul multiplicndo l superficie de l se por l ltur de l cj. 6 4 despejmos 4 6 otenemos dos vlores pr y 10 ( soluciones de ( * ) ) El vlor deemos descrtrlo pues l cj dee tener ltur igul 3. Solución del prolem: se requiere un hoj de crtón de 10 cm. de ldo como mínimo. Puedes resolver de est mner el prolem del misterioso número 365? Segurmente que no!!! 10
4 Alguns ecuciones de segundo grdo de fácil resolución 1- Flt el término en L ecución es de l form: c 0 con.c > 0. c Soluciónes: ± EJEMPLO: soluciones: - Flt el término independiente L ecución es de l form: 0 Un ecución equivlente es: ( ) 0 Soluciones: 0 y EJEMPLO: 3 0 ( 3 ) 0 soluciones: 0 y 3 3- Trinomio cudrdo perfecto L ecución es de l form: ( ) c; c > 0 Soluciones: - ± c EJEMPLO: L cj Trtremos de resolver el prolem del número misterioso. Lo recuerds? L dificultd pr resolver l ecución otenid: rdic en no poder despejr en form inmedit. Pr slvr est dificultd deemos completr cudrdos. Tengmos en cuent l ecución equivlente: 10 0 Completmos cudrdos ( 1 ) 11 0 Opermos ( 1 ) 11 Ls soluciones son: 10 y El vlor - 1 dee descrtrse pues se uscn números nturles consecutivos. Solución pr el prolem: Los números uscdos son 10, 11 y tmién será igul 365?
5 El método que hemos usdo pr resolver est ecución puede generlizrse pr resolver culquier ecución cudrátic. Resolución de l ecución cudrátic Se l ecución cudrátic : c 0 c 0 Scmos como fctor común de los dos primeros términos ( ) c 0 Summos y restmos 4 ( - ) c Agrupmos en form conveniente ( 4 ) - 4 c 0 Opermos ( ) 4 - c ( ) - 4c 4 Como 0 dividimos por ( ) - 4c 4 Aplicmos ríz cudrd mos miemros ± - 4c 4 Hcemos un psje de términos ± - 4c
6 Ls soluciones de l ecución cudrátic son 1, - ± - 4c Qué crcterístic tienen ls soluciones de l ecución cudrátic? - 4c > c - -4c Dos soluciones reles y distints. - 4c 0 - Soluciones reles coincidentes - 4c < 0 No tiene solución rel Al número 4c se lo llm discriminnte justmente por el rol que jueg. 105
7 Interpretción geométric de ls soluciones de un ecución cudrátic Ls soluciones de l ecución cudrátic c 0 son ls ríces del polinomio P() c. Cómo podrímos interpretr geométricmente est situción? Consideremos los polinomios P() 4 Q() ( - ) T() ( 1 ) 1 Oserv que puedes hllr fácilmente ls ríces de los polinomios P() y Q(), como sí tmién notr que todos los vlores numéricos del polinomio T() son estrictmente positivos. Indic cuáles son ls ríces de P() y Q(). Ls gráfics de estos polinomios son ls siguientes práols Q() ( ) P() - 4 EJERCICIOS T() ( 1) 1 Resuelve completndo cudrdos y grfic ) ) c) d) ( 1 ) ( 3 ) 1 106
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