Palabras clave: Ruteo, descomposición cruzada separable, asignación-distribución

Transcripción

1 Memoras de la XVII Semana Regonal de Investgacón y Docenca en Matemátcas, Departamento de Matemátcas, Unversdad de Sonora, Méxco. Mosacos Matemátcos No. 20, agosto 2007, pp Nvel Superor SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN-DISTRIBUCIÓN Mayra Elzondo Cortés y Rcardo Aceves García Facultad de Ingenería, Unversdad Naconal Autónoma de Méxco Tel ext 101 Tel marel@avantel.net aceves@servdor.unam.mx Resumen El problema de Inventaro Ruteo (Inventory Routng Problem) surge en un contexto logístco que se presenta en las empresas y que pretende satsfacer las demandas de un conunto de clentes dstrbudos geográfcamente, utlzando una flotlla de vehículos de capacdad lmtada que se encuentran en un almacén central, al menor costo posble. El IRP es un problema NP-duro que en aplcacones reales suele ser de gran tamaño. Para su resolucón se dseñó una estratega que utlza de forma conunta, la descomposcón cruzada y la relaacón Lagrangeana separable, con lo que se obtenen un esquema tpo png-pong entre los dos subproblemas, que son del tpo transporte, para el cual se tene un algortmo de solucón muy efcente de orden O(n3) y fácl de mplementar para el problema completo. Palabras clave: Ruteo, descomposcón cruzada separable, asgnacón-dstrbucón Introduccón Uno de los obstáculos prncpales para la compettvdad de las pequeñas y medanas empresas en Méxco, es la falta de recursos y cultura para nvertr en proyectos de desarrollo logístco. El desarrollo de estrategas poco costosas y fácles de mplementar que meoren sus ndcadores de desempeño, les proporconarán nstrumentos para sortear el nestable y cambante entorno económco mexcano. La nvestgacón en el área logístca de las últmas dos décadas, se ha avocado a desarrollar varas estrategas, encamnadas a coordnar la toma de decsones en las actvdades dentro de los elementos de las cadenas de sumnstro, para meorar su desempeño y efectvdad en térmnos de costo, tempos de respuesta, sumnstro a tempo y servco al clente. Problemas como el de nventaro maneado por el vendedor o problema de nventaro ruteo (Elzondo, 2005) y el plan de reabastecmento contnuo, han sdo algunas de las estrategas más promsoras para la coordnacón de la cadena de sumnstro (Xu et al., 2001). En partcular el problema de nventaro ruteo (Inventory Routng Problem, IRP), modela una stuacón que se presenta comúnmente en las empresas e nvolucra en un solo modelo a las dos actvdades más costosas de la cadena de sumnstro: el maneo de nventaros y la dstrbucón físca de productos. El IRP típco consdera que una compañía de dstrbucón, opera desde un almacén central y abastece a un gran número de clentes, geográfcamente dstrbudos (Bata et al. 1998). En la aplcacón práctca, el IRP resulta ser de gran tamaño, y adconalmente se consdera como un problema NP-duro para un contexto de NP-completez, debdo a que el componente de ruteo de vehículos del problema, además ncluye restrccones de nventaro (Cousneau-Oumet,2002). De tal forma que, la obtencón óptma de la solucón en tempos 51

2 razonables se torna práctcamente mposble. El IRP tratado en Elzondo (2005) trabaa bao domno de tempo (Bata et al. 1998), en ntervalos dscretos, en los cuales se decden las cantdades a envar y las rutas a segur. En dcho trabao, se analzaron estrategas de solucón para problemas smlares, tales como los de Federgruen y Zpn (1984), Chen, Balarshnan y Wong (1989), Chrstansen (1999), Campbell et al. (2002) y Cousneau-Oumet (2002) en los cuales se observó que s ben la mayoría dan resultados satsfactoros para sus IRP específcos, un grave obstáculo común, fue el tratar con un problema entero mxto grande para el cual no se han presentado alternatvas de solucón adecuadas. El presente artículo expone una estratega de solucón, a partr de un modelo entero mxto denomnado de asgnacón-dstrbucón (AD), para el problema de decdr la asgnacón de clentes a vehículos y la cantdad de producto que le será entregada a cada uno de ellos. Dcha estratega resultó ser muy efcente y meora los resultados obtendos hasta ahora. Para su resolucón se utlza la técnca de descomposcón cruzada separable propuesta por Aceves (1996). El Problema de Asgnacón-Dstrbucón (AD) Sea el problema AD, en el cual un número fnto m de vehículos dsponbles dstrbuyen un solo tpo de producto, para atender la demanda de una certa poblacón de usuaros concentrada en n puntos dscretos, cada uno con demanda d, Cuando un vehículo en partcular es selecconado, se ncurre en un costo fo f por la utlzacón del vehículo y un costo varable c x que está en funcón del costo untaro de vae del vehículo al destno atendendo la fraccón x de la demanda del clente. Asumendo que la capacdad de cada vehículo es lmtada, el problema consste en decdr cuáles de los posbles vehículos serán utlzados, de tal manera que sus capacdades no sean exceddas y las demandas satsfechas; así como qué patrón de dstrbucón deberá utlzar, tal que el costo total de establecer las undades en servco, conformado por costos fos más costos varables, sea mnmzado en un horzonte fnto de planeacón. El problema AD se puede formular como sgue: donde m : número de vehículos dsponbles; n : número de clentes; d : demanda del clente f : costo fo para el vehículo ; a : capacdad del vehículo ; c : costo (en funcón de 52

3 la dstanca recorrda) de dstrbucón al clente utlzando el vehículo ; x : fraccón de la demanda total atendda del clente utlzando el vehículo.; y = 1 s se usa el vehículo, 0 en otro caso. La restrccón (1.1) asegura la atencón total de la demanda, (1.2) establece la dstrbucón sólo con vehículos actvos, (1.3) consdera el uso de sufcentes vehículos para atender la demanda y (1.4) consdera no exceder la capacdad del vehículo. El AD tenen dos decsones nherentes: elegr los vehículos que se utlzarán y la forma de dstrbur meor la demanda para atender a los clentes. Esta compledad lo hace un atractvo campo para el uso de técncas de descomposcón, ya que s la decsón dscreta de elegr el vehículo se ha tomado, el problema contnuo de dstrbucón, generalmente es más fácl de resolver. Además tene una estructura especal que se puede explotar por las técncas de descomposcón. La nvestgacón desarrollada por Aceves (1996), ncorpora en un msmo proceso la descomposcón cruzada (Van Roy, 1983) y la relaacón Lagrangeana separable (Gunard and Km, 1983), logrando la ventaa de que nnguna de las restrccones orgnales desaparece y no es necesaro elegr entre la caldad de la cota que se obtene, y el grado de dfcultad del problema que queda. Además se establece, que no es necesaro utlzar el problema maestro en la solucón,.e., es posble resolver al problema completo terando úncamente entre subproblemas, evtando por completo a los problemas maestros. A este procedmento se le denomnó descomposcón cruzada separable y es el que se emplea para resolver el problema AD. Aplcando descomposcón de Benders al problema prmal (AD), se obtene: que resulta en un problema del tpo transporte; y aplcando el esquema de relaacón Lagrangeana separable propuesto por Aceves (1996), el problema AD se puede establecer a través del sguente proceso. d x =, Copar d, duplcar la restrccón x a y d D = =, dualzar la restrccón de gualdad, y separar al problema de tal forma que se obtengan dos subproblemas con los = (1,1),(1,2),(1,3) B = (1,2),(1,3),(1,4) sguentes conuntos de restrccones: A { } y { } Del conunto de restrccones (A) se obtene un problema en varables que al aplcarle el prncpo de lnearzacón entera, y realzar la separacón para cada vehículo, 53

4 { y 1, = 1,2,..., m} = con valores conocdos de λ, = 1,2,..., m, se obtene la solucón óptma V = { λ a con λ < 0 y 0 en otrocaso }. Al mnmzar la contrbucón total generada por cada V, se obtene un problema del tpo mochla 0-1 de la forma: S se consdera ahora, el subproblema orgnado por el conunto de restrccones (B), y sólo se usa la parte correspondente a la varable y, resulta en un problema con el msmo conunto de restrccones que el mochla anteror, y con valor de μ = ( f v ) / 2 la funcón obetvo es la msma. Por lo cual, al realzar operacones y reagrupar térmnos entre ambos problemas, nos Mn f + v ) y a y D, y 0, 1, que resulta ser tambén, un problema del tpo ( = queda { } mochla. En consecuenca el problema dual Lagrangeano se puede formular como los subproblemas: y Cuya solucón estará dada por v ( PDL) = v( Q) + v( S). Como Q y S son funcón de λ, es posble establecer para = f / a λ = f / x, que el valor de la funcón obetvo de Q es cero, con cualquer valor de y 0, = 1,2,..., m λ, o de forma más general cumple para obtener el mínmo del problema. v = λ. Por lo cual, Ahora, s se consdera una solucón factble que cumpla con la restrccón (1.4), se tene que el producto λ ( a y d x ) 0, para y = 1 y λ < 0 = 1,2,... m y de esta forma aún se, cumple la propedad de dualdad débl de programacón lneal. Por lo cual, es posble reforzar al problema S con la restrccón (1.4), con lo que se obtene un problema del tpo transporte. Suceso muy nteresante ya que exsten algortmos de solucón muy efcentes. Con todos estos resultados, fue posble desarrollar un algortmo de solucón más sencllo y rápdo, que los obtendos hasta el momento (Aceves, 1996). 54

5 Algortmo de Descomposcón Cruzada Separable para el Problema de Asgnacón- Dstrbucón 1.- Incar. 2.- Resolver. Subproblema dual SD λ (problema de transporte), para obtener 2.1.-Calcular. f λ = para = 1,2,..., m x 3.- Probar. S λ = λ para = 1, entonces termnar. De otra forma, dentfcar cuáles y = 1 para =1,2,..., m. 1 1 y 4.- Resolver. Subproblema prmal SP (problema de transporte), para obtener v( SP y ). y 5.- Probar. S SP ) = v( SP ), entonces termnar. De otra forma regresar a la etapa 2 pero λ ahora con. v( y λ En teracones sucesvas de la descomposcón cruzada separable, las rutas más económcas se van hacendo cada vez más baratas y en consecuenca se les asgna cada vez más fluo hasta que se saturan, ya sea agotando la capacdad del vehículo o satsfacendo la demanda, es decr: y con De esta forma, es posble usar los vehículos que satsfacen la demanda, obtendos de la solucón del subproblema dual Lagrangeano SDλ como vehículos actvos; es decr los y = 1, con 1,2,..., m, que se farán en el subproblema prmal SD. Así, el algortmo de descomposcón = λ cruzada separable termna en un número fnto de teracones, y obtene la solucón. Efcenca del algortmo Como se menconó, el algortmo que produce una solucón sucesva de dos subproblemas del tpo de transporte. Es mportante resaltar la enorme ventaa de tener este tpo de problemas, ya que sus algortmos de solucón son de bao orden de compledad, O(n 3 ) (Toth y Vgo, 2002), sendo además éste, el orden que acota superormente a cada una de las fases de la estratega propuesta, stuacón que la hace extremadamente efcente de manera global. Para evaluar la efcenca del algortmo se generaron 6 problemas: 4 problemas pequeños (menos de 10 clentes), 2 medanos (30 y 35 clentes) y uno grande (150 clentes). Las capacdades, 55

6 demandas y costos fos, fueron tomados de las nstancas y eemplos mostrados en Aceves (1996). Los datos generados como varables aleatoras fueron las demandas de los clentes y las matrces de dstanca entre clentes y entre clentes y el almacén central, emulando un área de operacones semeante a la del Dstrto Federal. Cada problema se soluconó para obtener el óptmo utlzando Bfurcacón y Acotacón. Después, cada problema se resolvó con el algortmo propuesto, por medo de un programa de cómputo desarrollado en Pascal. Entre los resultados obtendos se encuentran: ) tempo de solucón extremadamente corto, ya que en la solucón de los problemas se realzaron como máxmo tres teracones y en todos los casos se obtuveron los resultados en menos de 2 segundos; ) la caldad de las solucones resultó excelente, ya que sólo un problema presentó brecha de optmaldad de 0.1%, en todos los demás problema evaluados se obtuvo el óptmo. Los resultados se muestran en la sguente tabla. Conclusones Se obtuvo una estratega O(n 3 ) con excelente caldad de resultados, bao esfuerzo computaconal, fáclmente aplcable e mplementable, que supera las técncas conocdas hasta el momento para soluconar un problema logístco grande que es esencalmente NP-duro. Las técncas de optmzacón deben utlzarse al afrontar los retos económcos, socales, polítcos y tecnológcos a los que se enfrentan los tomadores de decsones logístcos al tratar de hacer más compettvas a sus organzacones, de tal forma, drgr los esfuerzos necesaros al auge de las pequeñas y medanas empresas mexcanas, contrbuye al desarrollo de la economía del país. Referencas Aceves, R; (1996). Un Algortmo para Resolver el Problema de Localzacón de Servcos con Restrccones de Demanda y Adconales, Tess de doctorado en Ingenería. Unversdad Naconal Autónoma de Méxco, Cudad Unverstara, Méxco. Bata, F; Uovch, W; Pesent, R; Favaretto, D; (1998) Dynamc Routng-And-Inventory Problems: A Revew, Transportaton Research 32, No. 8, Campbell, A; Clare L; Savelsbergh M; (2002) Inventory Routng n Practce. The Vehcle Routng Problem. Eds. P. Toth and D. Vgo., Phladelpha: Socety for Industral and Appled Mathematcs. Chen, W; Balarshnan, A; Wong, R; (1989) An ntegrated nventory allocaton and vehcle routng problem. Transportaton Scence 23,67. Chrstansen, M; (1999) Decomposton of a Combned Inventory and Tme Constraned Shp Routng Problem. Transportaton Scence 33,

7 Elzondo M; (2005) Una estratega para resolver el problema de nventaro dstrbucón. Tess de doctorado en Ingenería. Unversdad Naconal Autónoma de Méxco, Cudad Unverstara, Méxco. Federgruen, A; Zpn. P; (1984) A comprsed vehcle routng and nventory allocaton problem. Operatons Research Gugnard, M; Km, S; (1983) A strong Lagrangean relaxaton for capactated plant locaton problem. Techncal report #56. Department of Statstcs. The Wharton School, Unversty of Pennsylvana. Toth, P; Vgo, D; (2002) The Vehcle Routng Problem. SIAM Monographs on Dscrete Mathematcs and Applcatons. Phladelpha: Socety for Industral and Appled Mathematcs. Van Roy, T. J; (1983) Cross decomposton for mxed nteger programmng. Mathematcal Programmng 25, Van Roy, T. J; (1984) A cross decomposton algorthm for capactated faclty locaton. Operaton Research Socety of Amerca 34, Xu, K; Dong Y; Evers, P; (2001) Towards better coordnaton of the supply chan. Transportaton Research Part E 37,