ACTIVIDADES UNIDAD 7: Funciones elementales

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1 ACTIVIDADES UNIDAD 7: Funciones elemenales 1. La facura del gas de una familia, en sepiembre, fue de 4,8 euros por 1 m 3, y en ocubre, de 43,81 por 4 m 3. a) Escribe la función que da el impore de la facura según los m 3 consumidos y represénala. b) Cuáno pagarán si consumen 8 m 3? a) La función es la reca que pasa por los punos 1, 4,8 y 4, 43,81 omamos A y como vecor direcor AB 30, 18,99: x1 y4,81 y 0,63x 17, 30 18,99 b) y 80,638 17, 34,86 endrá que pagar por 8 m 3. A B. Como puno. La dosis de un medicameno es 0,5 g por cada kilo de peso del paciene, hasa un máximo de 15 g. Represena la función peso del paciene-canidad de medicameno y halla su expresión analíica. a) Lo primero que vamos a hacer es ver a parir de qué peso se oma siempre 15 g. Para ello, resolvemos la siguiene ecuación: 15 0,5 x donde x peso en kg 15 x 60 kg 0, 5 eso es, las personas que pesan más de 60 kg oman 15 g. Así, la función es: 0,5x si x 60 f x 15 si x 60 b) Represenación gráfica: 3. Una peloa es lanzada vericalmene hacia arriba desde lo alo de un edificio. La alura que alcanza viene dada por la fórmula h ( en segundos y h en meros). a) Dibuja la gráfica en el inervalo [0, 5]. b) Halla la alura máxima que alcanza la peloa. c) En qué insane alcanza su máxima alura? a) Represenación gráfica: Cipri Maemáicas I 1

2 Para represenar la parábola anerior, calculamos el vérice y los punos de core con los ejes: Vérice: b 64 v a 16 h h v Punos de core con el eje OX: Puno de core con el eje OY: 0h 80 b) La alura máxima que alcanza la peloa es de 144 m. c) Dicha alura la alcanza a los segundos de haberla lanzado. 4. Un fabricane vende mensualmene 100 elecrodomésicos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá elecrodomésicos menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos? a) A 450 vende 90 elecrodomésicos, luego sus ingresos en ese caso serán de: Ix ingresos en función del número de decenas de subidos = b) = precio nº de elecrodomésicos x 100 x 0x 00x c) El máximo se obiene en el vérice de la parábola Ix : b 00 xv 5 a 0 La subida debe ser de 5 decenas de euros, es decir, 50 para que los ingresos sean máximos. 5. Un vendimiador ha de recoger kg de uva que hoy vendería a 50 cénimos el kilo. Cada día que pasa se esropean 500 kg y el precio aumena en 5 cénimos el kg. Cuáno ha de vendimiar para obener el máximo beneficio y cuál será ése? a) La función beneficio es: B Deparameno de Maemáicas

3 b) El beneficio máximo lo obiene en el vérice de la parábola: v 5 días 500 y dicho beneficio máximo es de B cen = Los conroles de calidad de una cadena de monaje de ordenadores han obenido que el porcenaje de ordenadores que siguen funcionando al cabo de años viene dado por: 4 p a) Represena gráficamene esa función. b) Tiene senido real oda la gráfica obenida? c) Qué porcenaje de ordenadores siguen funcionando al cabo de dos años? Y al cabo de cinco años? d) Qué significado iene el puno de core con el eje de ordenadas? e) Cuáno iempo ha de pasar para que el porcenaje de ordenadores que sigan funcionando sea del 80 %? Y para que funcionen la miad? a) Represenación gráfica (se hace consruyendo una abla de valores posiivos) b) No, solo para los valores posiivos de la variable independiene, que en ese caso es el iempo. c) p Es decir, el 64 % de los ordenadores siguen funcionando al cabo de años. 5 4 p5100 3,77 % 5 Es decir, el 64 % de los ordenadores siguen funcionando al cabo de años. d) El número de ordenadores que se han analizado para llevar a cabo dicho conrol de calidad, que en ese caso es el 100 %. e) Para que sigan funcionando el 80 %: p Al cabo de 1 año siguen funcionando el 80 % de los ordenadores. Cipri Maemáicas I 3

4 Para que sigan funcionando la miad: 50 % p log log log 1 4 log log 3,1 5 4 log 5 Al cabo de 3,1 años (que son 3 años, 1 mes y 6 días 1 ) siguen funcionando el 50 % de los ordenadores. 7. Algunas flores como los ulipanes se reproducen por medio de bulbos. Supongamos que un bulbo de ulipán origina oros 5 nuevos que se planan al año siguiene. Calcula el número de ulipanes que habrá al cabo de 5 años. Cuános años han de pasar para que haya ulipanes? Encuenra la fórmula que describe la muliplicación de los ulipanes. a) La función que da el número de gladiolos al cabo de años es: N 5 5 b) Al cabo de 5 años habrá N gladiolos c) Para que haya gladiolos han de pasar: años 8. Un culivo de bacerias comienza con 100 células. Media hora después hay 435. Si ese culivo sigue un crecimieno exponencial del ipo y ka ( en minuos), calcula k y a y represena la función. Cuáno ardará en llegar a bacerias? a) N k a donde = minuos y N 0 N ka k 100 N 100a número de células b) 1 h 30 min. 435 N a a a 100 N 100 1,05 c) Represenación gráfica: ,35 4,35 4, , 05 1 Tomando como referencia meses de 30 días. Deparameno de Maemáicas 4

5 log10 50 d) N ,05 80,18 min 1 h 0 min 11 seg log 1, En la perforación de un pozo el cose de la exracción del mero cuadrado de ierra a una a profundidad de x meros es proporcional a x, para un ciero número a 1. Llamaremos C x al cose de la exracción de ierra del pozo, desde la superficie hasa una profundidad de x meros. Sabiendo que C 8 C 1, se pide: a) Calcular a. C h 18C 1. b) Hallar la profundidad h para que a) La función es de la forma a C x k x b) Calculamos a : C 1 k a a C8 C 1 8 k k 8 k 1 a 7 Cxkx c) Susiuimos en la expresión 7 7 C h 18C 1 kh 18k h 7 h4 m 10. De odos los pares de números que suman 18, cuál es el par cuyo produco es máximo? 10 Sean x e y los números buscados. Tenemos que resolver el siguiene problema: x y 18 xy máximo Como x y18 y 18 x susiuimos en el produco, que represenaremos por p : p xy x x x x. Por ano, lo que enemos que hacer es maximizar la función p x x x, que sabemos que iene su máximo en el vérice de la parábola: b 18 xv 9 a 1 Así, uno de los números es 9 y el oro es 18 9 = 9, y el produco máximo es Tras la aparición de una ciera enfermedad infecciosa, el número de afecados viene dado 4 por la función p() 48, siendo el número de días desde que se deecó el primer caso. Se pide: a) Cuános días ranscurrirán hasa que la enfermedad deje de propagarse? b) Cuándo aumena el número de personas afecadas? Cuándo disminuye? c) Cuándo se deeca el número máximo de personas afecadas? Cuánas son las personas afecadas en ese momeno? Teniendo en cuena la represenación gráfica: a) Han de ranscurrir 3,5 días para que la enfermedad deje de propagarse. b) El número de personas afecadas aumena hasa el ercer día y medio y desde ahí hasa el 4,9 día disminuye. c) El número máximo de personas afecadas se deeca el día 3,5 y en ese momeno hay 90 personas afecadas. Cipri Maemáicas I 5

6 1. Supongamos que el momeno acual corresponde al valor 0 las pérdidas o ganancias 1 x de la variable iempo y que y de una empresa que acaba de fundarse siguen una función del ipo y x 1. Basándose en la represenación gráfica de esa función deerminar: a) Los inervalos de iempo en que la empresa iene pérdidas y en cuáles iene ganancias. b) En qué momeno iene la mayor pérdida. c) En qué momeno no iene ni pérdidas ni ganancias. Es decir, la empresa iene pérdidas desde la hora de aperura hasa ranscurridas dos horas. A parir de ahí iene ganancias. La mayor pérdida la iene precisamene cuando ranscurre una hora desde la aperura, siendo esa pérdida 1. No iene pérdidas ni ganancias cuando y 0, es decir, 0 cuando x, eso es, a la hora de aperura y las dos horas de haber abiero. 13. En un esudio sobre el cose de producción de una empresa de ordenadores, se ha concluido que producir x unidades de un deerminado componene iene un cose expresado por la función f x0,01x x 1. La vena de x unidades de ese componene proporciona unos ingresos que vienen deerminados por la función gx6 0,5xx, siendo x el número de unidades producidas. a) Calcular el número de unidades que deben producir para que los coses sean mínimos. b) Hallar la expresión, en función de x, de los beneficios, suponiendo que se venden odas las unidades que se producen. c) Calcular el número de unidades que deben producir y vender para que los beneficios sean máximos. a) Hay que minimizar el cose: 0,01 1 f x x x 1 x 50 0,0 Deparameno de Maemáicas 6

7 Habría que producir 50 unidades (el problema esá mal planeado). b) Beneficio: B x g x f x x x x x c) Nos piden maximizar Bx : 15 Vérice: x 1 6x 15x5 5 Es decir, la función no iene máximo (cosa que se puede apreciar en la gráfica). 14. La emperaura T de una reacción química en un laboraorio de producos agrícolas viene dad, en función del iempo en horas, por la expresión T para 0. a) Qué emperaura habrá a los quince minuos? b) En qué momeno volverá a alcanzarse esa misma emperaura? c) Halla las emperauras máxima y mínima alcanzadas y lo momenos en que se producen. 15 minuos equivalen a 0,5 horas a) T (0,5) 0,5 0,5 0,50 0,065 0,4375 b) 0' 4375 es de º grado, cuyas soluciones son: x 1 = 0,5 y x = 1,75; la x 1 ya la sabíamos. Por ano se repie al cabo de 1 hora y ¾ de hora. c) Hallamos los máximos y mínimos de la función T() y hallamos un máximo en = 1 y no iene mínimos pero observando la gráfica y el problema, enemos mínimos en = 0 y = horas. La emperaura máxima se alcanza cuando = 1 hora con un valor de T (1) 11 1 ºC La emperaura mínima se alcanza cuando = 0 y cuando = horas con un valor de CERO grados. 15. Dada la función x 1 x 3 f. 3 a) Represena gráficamene f. b) Esudia su coninuidad en x 3. a) Represenación gráfica: Cipri Maemáicas I 7

8 b) Coninuidad en x 3. Gráficamene se ve que la función es coninua en x 3. Vamos a verlo analíicamene: x3 y0. Eso se escribe lim f x 0 x 3 y 0 x3 Por oro lado como f 3 0 y lim f x 0 f 3 f x es coninua en x3 x3 (Eso no enra en el examen, es simplemene una forma de inroducirnos en el ema siguiene). Deparameno de Maemáicas 8