Absorción de la droga en el organismo
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- María del Carmen Olivares Coronel
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1 Universidad de oriente Unidad de estudios básicos Matemática Absorción de la droga en el organismo Profesor: Integrantes: Castillo Cristian Cedeño Luisaydis Hernández Peter Villarroel Jesús Ciudad bolívar 04 marzo de 2010
2 Absorción de drogas en órganos o células Cuando hablamos de la absorción de drogas en el organismo, no nos referimos a nada mas sino al proceso de asimilación de los medicamentos en el cuerpo estos tienen ciertas características y procesos que influyen tanto grupa como individualmente. Es necesario resaltar el uso que podemos darla a esta aplicación: nuestro principal objetivo será conseguir una ecuación que nos exprese la concentración del medicamento en un determinado órgano después de cierto intervalo de aplicación. Dicha ecuación puede tener diversos usos: Para propósitos de análisis matemático en biología, a menudo es conveniente considerar un organismo (tal como un humano, animal, o planta) como una colección de componentes individuales llamados compartimientos. Un compartimiento puede ser un órgano (tal como el estomago, el páncreas o hígado) o un grupo de células que actúan como una unidad. Un problema importante consiste en determinar la absorción de químicos, tales como drogas, por células u órganos. Esto tiene aplicación práctica en el campo de la medicina, puesto que puede suceder que ciertas drogas fatales puedan acumularse en un órgano o en un grupo de células llevando a su destrucción. El tipo de problema más simple trata solamente con un compartimiento. Sin embargo, puede ser importante para ciertos propósitos tratar con sistemas que involucran dos o más compartimientos los cuales interactúan entre sí. Como se podría esperar, la dificultad del análisis matemático tiende a crecer con el número de compartimientos. El siguiente ejemplo nos servirá para ilustrarnos de los posibles problemas que puedan surgir. Ejemplo ilustrativo: Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de volumen Vcm 3 a una tasa de a y sale a una tasa de b. La concentración de la droga en el líquido que entra es c. a) Escriba una ecuación diferencial para la concentración de la droga en el órgano en cualquier tiempo junto con las condiciones apropiadas. b) Resuelva la ecuación. Solución a) la situación esta descrita esquemáticamente por la figura 1.1 la cual muestra un compartimiento simple de volumen V junto con la entrada y salida.
3 a Volumen V b. Si x representa la concentración de la droga en el órgano (esto es el número de gramos de droga por cm 3), la cantidad de droga en cualquier tiempo t está dada por: 1. El numero de gramos por segundo ( ) que entra en el órgano en tiempo t esta dado por: 2. El número de gramo por segundo que salen del organismo viene dada por: 3. Ahora la tasa de cambio de la cantidad de droga en el órgano es igual a la tasa a la cual entra la droga en el órgano menos la tasa a la cual la droga sale. Así, de (1), (2), (3) obtenemos (4). 4. Solución de b) Si asumimos que las concentración de la droga en t=0 es x 0 entonces: x=x 0 en t=0 Si asumimos que a, b, c, y V son constantes, lo cual no se requiere son constantes de acuerdo a la formulación en la parte a) podemos reescribir la ecuación 4 así:
4 5. Resolviendo 5 por separación de variables usando la condición inicial.
5 6. Donde 6 es la solución de la ecuación diferencial. Existen dos casos de interés: Primer caso: a=b, es decir, la tasa de entrada de la droga al órgano es igual a la que sale. Con esto la solución se convierte en: Segundo caso: a=b y x 0 =0. En este caso la tasa de entrada de la droga al órgano es igual a la que sale y la concentración inicial de droga en el organismo es 0 entonces tenemos que: Podemos mencionar algunos ejemplos para los cuales se utilizan estas ecuaciones: - Se puede presentar el caso en que conozcamos un rango de concentración en el cual es efectivo un medicamento en un órgano dado, pero sin llegar a ser letal para el órgano ni el resto del organismo, al órgano se le aplican una serie de dosis que mantendrán a concentración del medicamento dentro del rango previamente mencionado. entonces debido a que el organismo por acción natural expulsara el medicamento a un ritmo constante, la concentración bajara y puede llegar hasta a salir del rango de efectividad. Allí es donde utilizamos la ecuación para calcular los intervalos de tiempo para los cuales se debe suministrar el medicamento para mantener la concentración de la droga en el órgano sin llegar a ser letal.
6 Ejercicios Un liquido transporta una droga dentro de un órgano de 500cm 3 de volumen a una tasa de entrada de 10 y sale a la misma tasa. La concentración de la droga en el liquido es de 0,08 asumiendo que inicialmente la droga no está presente en el órgano, encuentre: a) la concentración de la droga en el órgano después de 30seg 120seg, respectivamente, b) la concentración de estado estacionario. Solución parte a) Datos: X 0 = 0 Tasa de entrada= Tasa de salida= 10 C= 0.08 T 1= 30seg T 2= 120seg Dado que la concentración inicial en el órgano x 0 =0 y las tasas de entrada y salida del líquido en el órgano son iguales se emplea la ecuación del segundo caso: Sustituyendo: para T 1
7 Para T 2 Suponga que la máxima concentración de una droga presente en un órgano dado de volumen constante V debe ser C max. Asumiendo que el órgano inicialmente no contiene droga, que el liquido que transporta la droga en el órgano tiene una concentración C> C max, y que las tasas de entrara y salida son ambas iguales, demuestra que no se debe permitir entrar el liquido un tiempo mayor que: Demostración: X= C max C> C max Como: Tasa de entrada (a)= tasa de salida (b) X 0 =0 Entonces la ecuación a utilizar será:
8 El análisis matemático de de esta ecuación nos da a entender que mientras un tiempo t cumpla con la condición la concentración de droga en el organismo no excederá las condición de concentración máxima Trabaje el ejercicio anterior si la concentración inicial de la de droga en el órgano es x 0.
9 Suponga que en el problema del texto la tasa (a) a la cual entra el líquido con concentración de droga constante (c) al órgano es mayor que la tasa (b) a la cual sale. Como consecuencia, suponga que el volumen del órgano se expande a una tasa constante (r) de modo que V=V 0 +rt. si la concentración inicial de la droga en el órgano es x 0, muestre que la concentración en cualquier tiempo t>0 es
10 Demostración: Tasa de entrada= a Tasa de salida=b Concentración de droga en el liquido= c Volumen del órgano V= V 0 + r t Entonces: se sustituye en la ecuación. Derivando el producto tenemos que:
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