ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

Transcripción

1 NÁLSS Y ESOLCÓN DE CCTOS. Las Leyes de Kirchhoff..- Euciado de las Leyes de Kirchhoff. Defiició de Nodo y Lazo Cerrado. Las Leyes de Kirchhoff so el puto de partida para el aálisis de cualquier circuito eléctrico. Si embaro, ates de proceder al euciado de las mismas, es meester defiir lo que es u odo y u lazo cerrado e u circuito eléctrico. Se deomia odo a todo puto perteeciete a u circuito dode se ue dos o más elemetos. E el circuito de la Fiura. puede idetificarse cuatro odos, idicados co las letras,, C y D. Previo a determiar el cocepto de lazo o camio cerrado, debe defiirse que es ua rama. Como primera defiició, puede decirse que ua ama es todo camio que ue dos odos. te esto y siuiedo co el circuito de la Fiura. se observa que el mismo esta costituido por 6 ramas: D,, C, CD y CD uevamete, tal como se idica e la Fiura.: El odo D se extiede a lo laro de toda la parte iferior del circuito. Esto se debe a que cualquier semeto de líea cotiuo e u diarama circuital debe iterpretarse siempre como ua coexió de resistecia ula. Tambié puede establecerse desde u puto de vista eléctrico que e u odo solo puede fijarse ua úica tesió, mietras que por ua rama siempre circula ua úica corriete. hora puede determiarse que es u lazo cerrado. Comezado e u odo cualquiera, se establece u Lazo Cerrado, al ir uiedo distitas ramas de u circuito, y llear al odo de partida, si haber pasado más de ua vez por cualquier odo itermedio. Puede determiarse e el circuito de la Fiura. cico lazos cerrados: -,,, 5 -,,, -,, -,, -, 5

2 E todos los casos se ha tomado como odo de partida al D, y se ha cerrado el lazo pasado solo ua vez por alú odo itermedio. Estas defiicioes, por el mometo alcaza a los fies de poder euciar las Leyes de Kirchhoff, si embaro más adelate se reverá estos coceptos. La primer Ley de Kirchhoff o Ley de Kirchhoff para la corriete, establece que: L a suma alebraica de todas las corrietes e cualquier odo de u circuito, es iual a cero E la defiició de rama, el odo D, se extiede a lo laro de todo el coductor debido a que u semeto de líea cotiuo e u diarama circuital se cosidera como ua coexió de resistecia cero. Esto implica que se cosidera a los coductores como reales, es decir, o disipa eería, o cocatea campo maético y o almacea caras eléctricas. hora bie, como u odo se halla siempre sobre u coductor ideal y estos o puede almacear caras eléctricas, la suma de caras que llea a ese odo por uidad de tiempo debe ser iual a la suma de caras que deja dicho odo. Tomado la defiició de corriete que es la velocidad de variació de cara respecto del tiempo: Por lo expresado ateriormete se tiee que: i ( t dq( t dt (. k i k ( t (. La expresió. es la maera de euciar e forma de ecuació a la Ley de Kirchhoff. Como la ecuació. represeta ua suma alebraica, debe asiarse u sio alebraico a cada corriete e el odo. Por coveció se toma co sio positivo las corrietes etrates al odo y co sio eativo las salietes. La Seuda Ley de Kirchhoff o Ley de Kirchhoff para la Tesió, establece: La suma alebraica de todas las tesioes a lo laro de cualquier camio cerrado e u circuito, es iual a cero Como e la primer Ley, debe asiarse u sio alebraico a las tesioes a lo laro del recorrido del lazo cerrado. Por coveció se le asia co sio positivo a u aumeto de tesió y co sio eativo a ua caída. La maera de escribir e forma de ecuació a la Ley de Kirchhoff, está dada por la siuiete expresió: k k ( t (. Se aalizará ahora u circuito simple, aplicado las Leyes de Kirchhoff e idetificado los elemetos que compoe el mismo. Ejemplo.: E el circuito de la Fiura., aplicado las Leyes de Kirchhoff, hallar las corrietes y tesioes e cada resistecia, idetificado previamete cada elemeto que compoe el circuito.

3 priori, se está e presecia de 6 icóitas, las cuales so,,,, y, co lo cual se debería cotar co 6 ecuacioes. E primer luar se debe idetificar los elemetos que compoe el circuito: odos señalados co las letras,, C y D; 5 ramas idetificadas co los elemetos que cotiee,,,,, ; lazos cerrados, ; - - ; - - ; E la Fiura., se observa el circuito idicado los odos y corrietes que circula por cada rama, supoiedo el setido idicado. plicado la Ley de Kirchhoff a los cuatro odos: odo : (. odo : (.5 odo C: - (.6 odo D: - (.7 Se observa de las ecuacioes (. y (.6 que e co lo cual puede cocluirse que cuado u odo coecta úicamete dos elemetos, la corriete que circula por uo de ellos es idética y de iual setido que la corriete que circula por el otro. plicado esta oció a fies prácticos de la resolució del circuito, la úica ecuació útil es la (.5, la cual se vuelve a escribir a cotiuació: (.8

4 Hasta ahora se cueta solo co ua ecuació y co 6 icóitas. Si embaro, aplicado la Ley de Ohm, coociedo la corriete e ua resistecia, se cooce e forma directa la tesió e dicho elemeto, por lo tato, solo debe optarse por ua icóita por cada resistecia. De esta maera se dismiuye el úmero de icóitas de 6 a. ú se precisa ecuacioes más. Si se aplica la Ley de Kirchhoff a los lazos cerrados del circuito, se obtiee: Lazo : CD (.9 Lazo : (. Lazo : CD (. Se cueta co ecuacioes. Si embaro se ha sumado ua icóita más que es CD (la tesió e bores de la fuete de corriete. De esta forma hay u sistema de ecuacioes y icóitas, co lo cual se está e codicioes de poder resolver el problema. Como el eerador de corriete impoe la corriete e la rama,, es u dato coocido. Solo resta coocer e, así que tomado la ecuació del odo y la ecuació del lazo, queda establecido el sistema de ecuacioes ecesario: Desarrollado: (. (. (. (.5 ( (.6 Etoces valdrá: ( (.7 El sio eativo de idica que la circulació de corriete por la resistecia es cotraria a la supuesta iicialmete.. El Circuito Divisor de Tesió y el Circuito Divisor de Corriete. E aluas aplicacioes es ecesario cotar co diferetes tesioes a partir de ua sola fuete idepediete de tesió, o dismiuir la corriete que circula por ua resistecia. te estos requerimietos, se cueta co los deomiados circuitos divisores de tesió o corriete, seú sea el caso. El circuito divisor de tesió se muestra e la Fiura.5:

5 alizado este circuito aplicado las Leyes de Kirchhoff, supoiedo que e bores de, o se ha coectado iua cara, la corriete que circula por y es la misma, e este caso. plicado La Ley de Kirchhoff al lazo cerrado, se obtiee: co lo cual la corriete que circula por el lazo está dada por: (.8 (.9 plicado la Ley de Ohm para calcular s: S (. La ecuació (. idica que s es ua fracció de. Como es obvio, por simple ispecció, esta fracció será siempre meor a, por lo tato la tesió de salida s es siempre meor que. Teiedo como puto de partida y s como meta, habrá u úmero ifiito de combiacioes de y que eerará la razó apropiada para la tesió de salida deseada. alícese ahora el circuito de la Fiura.5, pero cosiderado la resistecia de cara: La expresió de la tesió de salida está dada e este caso por la siuiete expresió: eq s eq (. 5

6 dode la eq es: eq C C (. reemplazado la ecuació (. e la expresió de s: s ( ( / C (. La ecuació (. se trasforma e la ecuació (. cuado C esto idica que mietras se cumpla que C >> la iclusió de la cara e el divisor de tesió, o perturba la razó s /. El circuito divisor de corriete se ilustra e la Fiura.7. Está compuesto por dos resistecias e paralelo a través de ua fuete de corriete. Este Circuito se diseña a los fies que la corriete que etrea la fuete se divida y solo la porció deseada de esta sea aplicada a la resistecia. plicado la Ley de Ohm y la Ley de Kirchhoff para la corriete se puede hallar las corrietes que circula e ada resistecia. La tesió e las resistecias está dada por la siuiete expresió: (. Separado las iualdades de la ecuació (.: (.5 (.6 Las ecuacioes (.5 y (.6 muestra que la corriete, se divide etre las dos resistecias e paralelo de tal forma que la corriete e cualquiera de ellas es iual a la corriete que etra al par e paralelo multiplicada por la resistecia e la otra rama y dividida por la suma de las resistecias. 6

7 te esto y como e el caso del divisor de tesió, se cueta co ua ifiidad de combiacioes etre y a los fies de poder obteer la corriete deseada que circule por la resistecia de cara.. - Las Leyes de Kirchhoff y la Liealidad: ditividad y Homoeeidad. Sea u lazo cerrado costituido por elemetos activos y pasivos. La ecuació (. puede trasformarse e ua expresió más eérica: k k ( t ik ( t L k k k k dt k C di ( t t i ( t dt (.7 La ecuació (.7 o es más que la Ley de Kirchhoff aplicada juto a la Ley de Ohm, al recorrer u lazo cerrado. Siedo riurosos los elemetos costates como, L y C, debería estar afectados tambié del subídice k, si embaro esto o afectará el resultado fial al cual quiere arribarse y se omite a los fie de facilitar el desarrollo. Si se aaliza la Ley de Ohm solo para la parte estática de la ecuació (.7 e su expresió más elemetal: (.8 Por simple ispecció puede aseverarse que se trata de ua fució lieal, ya que cumple co sus dos pricipios ecesarios: la aditividad y la homoeeidad. Si: pricipio de aditividad f(ax a f(x pricipio de homoeeidad El seudo y tercer térmio (la parte diámica de la ecuació (.7, so e esecia, la Ley de Ohm aplicada a u iductor y u capacitor. Estos casos desde u puto de vista matemático (desde el puto de vista de la resolució de circuitos se verá a cotiuació, o so más que la derivada o la iteral de ua fució lieal. Estas dos operacioes (la derivada y la iteral, so a su vez fucioes lieales, por lo cual la fució resultate siue siedo lieal. De esta maera la ecuació (.7 es ua suma de fucioes lieales, cosecuetemete (.7 es ua fució lieal. No debe perderse el objetivo al cual quiere arribarse. Se asevera que la ecuació (.7 es lieal. No se está aalizado las fucioes i k (t e particular, sio toda la expresió e eeral. lua fució o todas las i k (t puede ser fucioes o lieales, si embaro la Ley de Ohm es lieal y todas las operacioes aplicadas a la ecuació (.7 so lieales, por ede esta última es lieal. áloamete se procede co la ecuació (. De esta forma puede verificarse que las Leyes de Kirchhoff so expresioes lieales. Cómo se aplica estas aseveracioes a la resolució de circuitos? Supóase u circuito como el de la fiura, compuesto por ua excitació, ua red pasiva compuesta por elemetos lieales y ua cara C : 7

8 Si se establece e forma arbitraria que por C circula ua corriete S y se recorre la red desde la resistecia de cara hacia la excitació, al llear a, si la suposició fue correcta, se debe obteer etre los bores, ua tesió de iual maitud que la de la excitació. E caso cotrario la diferecia etre y será ua costate K tal que se verifique: K (.9 Esta costate K, será la misma que se utilizará para obteer la verdadera corriete que circula por la cara C, al multiplicarla por S. Es decir c K S. De esta maera se cumple co el pricipio de homoeeidad o escalamieto establecido precedetemete. uque esta maera de resolució es muy eorrosa, es ecesario que se cumpla a los fies de poder aplicar el seudo pricipio, debido a que trabajamos co sistemas lieales. Este es el pricipio de aditividad o superposició, el cual da orie al teorema que lleva su ombre y que combiada co otros métodos se covierte e ua herramieta de ra utilidad, para la resolució de circuitos eorrosos.. El Pricipio de Superposició. El Pricipio de Superposició es la característica más relevate de u sistema lieal y ua herramieta fudametal para el aálisis de circuitos, ya que permite simplificar e forma otoria la resolució de problemas. Establece que, siempre que se excita u sistema lieal co más de ua fuete de eería idepediete, la respuesta total del sistema es la suma de todas las respuestas idividuales, dode cada respuesta idividual es la iteracció del sistema a ua sola fuete, aulado todas las demás. Cabe aclarar que la suma de las respuestas idividuales debe efectuarse respetado el sio de cada ua de ellas. La cacelació de ua fuete de eería, varía seú el tipo de fuete y o siifica (como se verá a cotiuació, simplemete extraerla del sistema, sio aular su aporte de eería al circuito. De esta maera cuado se trabaja co ua fuete idepediete de tesió, lo que se debe aular es la diferecia de potecial etre sus bores. Cuado el caso es ua fuete de corriete, lo que se debe aular es la itesidad que circula por la rama que la cotiee. Para la fuete de tesió esto se lora cortocircuitado sus bores, obteiedo de esta maera ua diferecia de tesió ula etre los mismos. Para cacelar la itesidad que etrea al circuito ua fuete de corriete, se debe dejar a circuito abierto la rama que la cotiee. Esto se ilustra e la Fiura.9: 8

9 Tomado el circuito de la Fiura., se ejemplificará la aplicació del Pricipio de Superposició. Ejemplo.: Calcular la corriete que circula por la resistecia aplicado el Pricipio de Superposició. Como primer paso se debe aular ua fuete de eería. Se opta por la fuete de tesió. Si se cortocircuita los bores de se obtiee el circuito siuiete: 9

10 La otació de las corrietes co ua comilla, idica que las mismas, so debidas exclusivamete a la acció de la fuete de corriete. plicado Las Leyes de Kirchhoff al odo y al lazo cerrado - : ' ' ' ' ' (. (. Despejado de (. y reemplazado e (.: ( ' ' ' ' ' ( (. (. La ecuació (. es la expresió de la corriete que circula por la resistecia solo por la causa de la acció de la fuete de corriete. hora aulado la fuete de corriete, poiedo uo de sus bores a circuito abierto: l abrir uo de los bores de la fuete de corriete, tambié queda a circuito abierto, co lo cual o circula corriete y puede desafectarse del circuito la rama. De esta forma se obtiee el circuito de la Fiura. compuesto solo por u lazo cerrado por el cual solo circula ua corriete: (.

11 plicado la seuda Ley de Kirchhoff al lazo cerrado del circuito obteido: " " ( ( (.5 (.6 Solo resta sumar respetado su sio, ambas compoetes de : (.7 ' ( ( (.8 Dode o es más que la itesidad que etrea la fuete de corriete, es decir : ( (.9 Como era de esperar la ecuació (.9, es idética a la ecuació (.7 salvo el sio eativo de esta última debido a la suposició erróea del setido de circulació. a cosideració importate al aplicar el Pricipio de Superposició a circuitos que cotiee fuetes depedietes, es que estás uca se desactiva. El siuiete ejemplo sirve para aplicar esta aseveració Ejemplo.: E el circuito de la fiura, hallar s aplicado el pricipio de superposició. Como primer paso, se pretede hallar la compoete de s debido a la acció de la fuete de tesió. Para esto se debe aular la acció de la fuete de corriete, abriedo uo de sus bores, obteiédose el circuito de la Fiura.. hora todas las maitudes iterviietes, o costates, lleva el ídice prima, por la ausecia de la fuete de corriete. hora la fuete depediete de corriete, impoe la corriete sobre la rama que cotiee la resistecia. De esta maera debe cumplirse que:

12 ' (, ' (. De esta forma la úica solució posible para la ecuació (. es que lo que implica que por o circula corriete o e otras palabras las fuetes depedietes se halla a circuito abierto. alizado el lazo cerrado compuesto por, y : ' ' (. ' ( ' s ' ' s ( (. (. Como próximo paso, se desactiva la fuete de corriete cortocircuitado sus bores, obteiédose el siuiete circuito: plicado la Ley de Kirchhoff a los odos y : ", " " (.

13 , " " (.5 Dode: " s " " s " " " (.6 (.7 (.8 eemplazado: " s " s, ", " " s ( ", " ", (.9 (.5 Sustituyedo la ecuació (.5 e la (.9:, " s (, ( (.5 Sumado las compoetes s y s se obtiee la tesió s buscada. Debe observarse que al aplicar el Pricipio de Superposició, e iú istate se aularo las fuetes depedietes, auque si debió teerse e cueta la variació de los parámetros a los cuales las mismas estaba afectadas, al aular alua fuete idepediete.. Método de Nodos. tes de comezar co la descripció del Método de Nodos, es coveiete reformular las defiicioes vistas e la Secció., cuado se describió el odo, la rama y el camio o lazo cerrado. odo está defiido como la uió de dos o más elemetos. Si embaro e el Ejemplo., se observa que la corriete que etra a u odo formado por la uió de dos elemetos es la misma que sale, ate lo cual este tipo de odos pierde iterés para el aálisis circuital. Solo se cosiderará los odos que ue tres o más elemetos, llamádose a estos odos eseciales. De la misma maera, cosiderado que la rama queda defiida por la uió de dos odos, ahora este elemeto queda determiado por la uió de dos odos eseciales. sí los elemetos que queda icluidos detro de ua rama, o so más que elemetos que se ecuetra e serie. ecordado que la codició primordial que defie ua cofiuració serie, es que circule por ellos la misma corriete, se llea a la misma coclusió que al especificar u odo esecial. Por último, u lazo cerrado es todo camio que se recorre uiedo distitas ramas de u circuito si haber pasado más de ua vez por cualquier odo itermedio y llear al odo de partida. Como ueva defiició se itroduce el cocepto de Malla, como todo tipo de lazo cerrado que e su recorrido o cotea otro lazo. Volviedo a dibujar el circuito de la Fiura.:

14 Cosiderado estas uevas defiicioes, puede idetificarse los siuietes elemetos: tres odos eseciales:, C y D, cico ramas: D, D, C, CD, CD, cico lazos cerrados:,,, 5 ;,,, ;,, ;,, ;, 5 ; y tres mallas:,, ;,, ;, 5. Como se observa los dos primeros lazos cerrados o so mallas, ya que cotiee otros lazos cerrados. Tambié se observa que el úmero de odos eseciales es meor que el úmero de odos y el úmero de mallas, es meor o iual que el úmero lazos cerrados. De aquí e más cuado se haa referecia a los odos de u circuito estos será los eseciales, omitiédose e adelate esta aclaració y haciédose referecia a ellos solo como odos. Esta reformulació de las defiicioes ateriores o es arbitraria. El úmero de odos, ramas y mallas e u circuito determia el úmero de ecuacioes simultáeas que es ecesario obteer a los fies de poder resolver el circuito. La razó de esto se debe a que el úmero de corrietes descoocidas e u circuito es iual al úmero de ramas r, e las cuales se descooce la corriete. De esta forma, se precisa r ecuacioes idepedietes para hallar las r corrietes descoocidas. Si represeta el úmero de odos e el circuito, puede obteerse - ecuacioes idepedietes al aplicar la Ley de Kirchhoff. La aplicació de la ley de Kirchhoff para la corriete al eésimo odo o eera ua ecuació idepediete ya que esta puede obteerse de las - ecuacioes ateriores. plicado la Ley de Kirchhoff para la tesió a las mallas del circuito se obtiee las r - ( - ecuacioes restates. De esta forma, al cotar las ramas, odos y mallas, se establece u método sistemático para escribir el úmero de ecuacioes ecesarias para resolver el circuito. Se debe aplicar la Ley de Kirchhoff a - odos y la Ley a r - ( - las mallas obteiedo de esta maera las ecuacioes ecesarias. Co estos coceptos, se está e codicioes de ecarar el Método de Nodos. El Método de Nodos utiliza para el aálisis circuital, las tesioes de odo como variables del sistema. Esta elecció, e ves de optar por las tesioes e los elemetos como variables del circuito, es más coveiete ya que reduce el úmero de ecuacioes simultáeas que debe resolverse. E forma sitética, el Método de Nodos, implica realizar los siuietes pasos, cosiderado u circuito de odos: - Debe optarse por u odo de referecia. Se asia las tesioes,, - a los restates - odos, refiriedo estas tesioes al odo de referecia. - Se aplica la Ley de Kirchhoff a cada uo de los - odo, expresado la corriete que circula por cada rama, e térmios de las tesioes de odo. - Se obtiee de esta forma u sistema de ecuacioes simultáeas, cuyas icóitas so las tesioes de odos descoocidas. E primer luar se debe idetificar los odos del circuito. o de estos odos debe establecerse como odo de referecia. Lo más coveiete es optar por el odo iferior pues es el que coecta mayor úmero de ramas. Este odo recibe el ombre de Tierra, pues se supoe que su tesió es ula. a vez desiado el odo de referecia, se debe refereciar todas las tesioes de los demás odos a la tesió de referecia. Esto es, la tesió e cualquier odo es la diferecia etre la tesió de dicho odo y el de referecia. Como seudo paso se aplica la Ley de Kirchhoff a cada odo (salvo el de referecia, pero expresado las corrietes descoocidas que circula por cada rama, e térmio de las tesioes de odo. plicado La Ley de Kirchhoff para la corriete a los - odos, se obtiee las - ecuacioes simultáeas, dode las icóitas so las tesioes de odo. E el siuiete ejemplo se aplica estos coceptos. Ejemplo.: E el circuito de la fiura tomado como odo de referecia al C, al que cofluye mayor úmero de ramas, debe hallarse las tesioes y.

15 5 fies prácticos, se deota co el subídice de cada resistor, a la corriete que circula por la rama que lo cotiee. plicado la Ley de Kirchhoff a los odos y : (.5 (.5 Expresado las corrietes descoocidas e térmios de las tesioes de odos: (.5 (.55 (.56 (.57 eemplazado estas expresioes e las ecuacioes (.5 y (.5: (.58 (.59 Desarrollado estas ecuacioes: (.6 ( (.6 (

16 6 E térmios de coductacia: (.6 ( (.6 ( E forma matricial: esolviedo este sistema de ecuacioes, se obtiee las tesioes e los odos y, co lo cual puede coocerse las corrietes que circula por las ramas del circuito.. Casos Especiales: -Nodo co Tesió Coocida: Si ua fuete de tesió se ecuetra etre u odo y el odo de tierra, la tesió del primero está dada directamete por la fuete de tesió. Esto simplifica el aálisis circuital pues ua tesió odal ya es coocida. -Superodo: Si ua fuete de tesió (depediete o idepediete se ecuetra etre dos odos de o referecia, estos forma lo que se deomia u superodo. l aplicar la Ley de Kirchhoff, o es posible coocer a priori, la corriete que circula por la fuete de tesió. Si embaro la Ley de Kirchhoff para la corriete debe satisfacerse e u superodo como e cualquier odo. alizado el circuito de la Fiura.8 se aplica este cocepto. l aplicar la Ley de Kirchhoff e el superodo, debe verificarse: (.65 E térmio de las tesioes de odo: (.66 D D

17 plicado la Ley de Kirchhoff a la malla compuesta por los odos C y recorriédola e el setido de las aujas del reloj: ' ' (.67 Cosiderado que e el odo D, se verifica lo expuesto e el primer caso, es decir, odo co tesió coocida: D (.68 partir de las ecuacioes (.66, (.67 y (.68 es posible obteer las tesioes de odo del circuito aalizado. -Fuetes Depedietes: Cuado el circuito cotiee fuetes depedietes, se debe complemetar las ecuacioes de las tesioes de odo co las codicioes que impoe la presecia de dichas fuetes. E el siuiete ejemplo se ilustra la aplicació del método de tesioes de odo a u circuito co fuetes depedietes. Ejemplo: Sea el circuito de la fiura: El circuito cotiee tres odos, por lo tato se requiere dos ecuacioes para describir el sistema. l odo C cocurre cuatro ramas, por lo cual se seleccioa como odo de referecia. Las tesioes de odo está dadas por: k 5 (.69 (.7 Se ha obteido las dos ecuacioes de odos que defie el circuito, si embaro se está e presecia de icóitas:,,. los fies de elimiar, se debe expresar esta corriete e térmio de las tesioes de odo: (.7 Sustituyedo e las ecuacioes de odos y escribiedo las mismas e térmios de las coductacias: 7

18 8 (.7 ( (.7 ( ( 5 5 k k E forma matricial: ( k k. Efoque Sistemático del Método de Nodos: Se pretede establecer u procedimieto eeralizado para el método de odos. Cuado todas las fuetes so idepedietes, o es ecesario aplicar la Ley de Kirchhoff para la corriete. Es posible obteer las ecuacioes por la sola ispecció del circuito. Tomado el sistema de ecuacioes e forma matricial dado por el ejemplo.: Se observa que cada uo de los térmios de la diaoal pricipal es la suma de las coductacias coectadas directamete al odo o, mietras que los térmios que se ecuetra fuera de esta, correspode a las coductacias coectadas e comú etre ambos odos co sio eativo. Los térmios del lado derecho de la ecuació so la suma alebraica de las corrietes que etra a cada odo. eeralizado co u circuito co fuetes idepedietes, co odos, las ecuacioes de las tesioes de odo puede escribirse de la siuiete maera: o simplemete: V dode: kk Suma de las coductacias coectadas al odo k. kj jk Neativo de las sumas de las coductacias que se coecta etre los odos k y j co k j. k Tesió descoocida e el odo k. k Suma de las corrietes idepedietes que llea al odo k, co las corrietes etrates tomadas como positivas. se deomia matriz de coductacia, es el vector de salida e es el vector de etrada. Este procedimieto es válido para circuitos que cotiee co fuetes idepedietes.