CPE (SEGUNDO CURSO) = P [T 1 ]P [T 2 ]... P [T 525,600 ] = ( ) 525,600 =

Transcripción

1 1/10 CPE (SEGUNDO CURSO PRÁCICA 1 SOLUCIONES (Curso Suponiendo que los sucesos terremotos y huracanes son independientes y que en un determinado lugar la probabilidad de un terremoto durante un minuto es de 10 8 y la de un huracán es de 10 5, se pide: 1.- Determinar la probabilidad de que ocurran simultáneamente ambos fenómenos en un minuto. Las normas de edificación no obligan a que el ingeniero calcule una obra bajo esta hipótesis (terremoto y huracán a la vez. Es razonable esta norma? 2.- Calcular la probabilidad de que, durante un minuto, ocurra alguno de los dos fenómenos señalados. 3.- Si dos sucesos en dos minutos diferentes son independientes, qué probabilidad hay de que no se presenten terremotos en un año en dicho lugar?. Y en 10 años? 1.- Llamamos al suceso se produce un terremoto y H al suceso se produce un huracán, todo ello en un minuto determinado. Se tiene, ya que ambos sucesos se suponen independientes, P [ H] P [ ]P [H] Se puede interpretar que aproximadamente en uno de cada minutos ocurren un terremoto y un huracán de forma simultánea. Dado que minutos son más de diecinueve millones de años, la norma es razonable. 2.- Con la misma notación que la del apartado anterior, se nos pide P [ H] P [ ] + P [H] P [ H] Un año (que suponemos dura 365 días son 525,600 minutos. Llamemos n y H n, respectivamente, a los sucesos ocurre un terremoto en el minuto n-simo y ocurre un huracán en el minuto n-simo de ese año, donde n 1, 2,..., 525, 600. Lo que nos piden es P [ ,600 ] P [ ] indeptes. P [ 1 ]P [ 2 ]... P [ 525,600 ] ( , En 10 años: es el mismo cálculo para 5,256,000 minutos. El resultado es ( ,256,

2 2/10 2. La probabilidad de que una probeta de hormigón tenga resistencia a compresión menor que σ o es 0.5. Se pide: a Calcular la probabilidad de que la mínima resistencia a compresión de n probetas de igual comportamiento sea menor que σ o. b Se prescinde de la probeta que dio la mínima resistencia. Cuál es entonces la probabilidad de que la mínima resistencia a compresión de las n 1 probetas restantes sea menor que σ o? a Sea X la variable resistencia a compresión de una probeta. Entonces, sabemos que P [X σ o ] 0.5. Sea Y el mínimo de n probetas iguales e independientes, X 1, X 2, X 3,..., X n ; entonces, si Y es el mínimo, P [Y > σ o ] P [(X 1 > σ o (X 2 > σ o (X 3 > σ o... (X n > σ o ] P [(X > σ o ] n (1 F X (σ o n luego P [Y σ o ] 1 (1 F X (σ o n n b En este caso nos piden el segundo mínimo. Llamemos a este Z. Entonces P [Z > σ o ] P [(X 1 > σ o (X 2 > σ o (X 3 > σ o... (X n > σ o (X 1 > σ o (X 2 > σ o (X 3 > σ o... (X n > σ o (X 1 σ o (X 2 > σ o (X 3 > σ o... (X n > σ o (X 1 > σ o (X 2 σ o (X 3 > σ o... (X n > σ o... (X 1 > σ o (X 2 > σ o (X 3 > σ o... (X n σ o ] y teniendo en cuenta independencia e incompatibilidades P [Z > σ o ] (1 F X (σ o n + nf X (σ o (1 F X (σ o n n + n0.5 n (n n Luego P [Z σ o ] 1 (n n En la siguiente figura puede verse esta probabilidad en función de n n P

3 3/10 3. Para realizar una gestión bancaria has quedado con una persona en tu banco a una cierta hora de un cierto día. anto esta persona como tu podéis retrasaros en llegar al banco. Supongamos que los dos llegáis independientemente y al azar en el intervalo [0, ], correspondiendo el tiempo 0 a la hora a que habéis quedado y estando expresado en minutos. Dado que ambos sois personas muy ocupadas, tu sólo puedes esperar al otro un tiempo a y el otro sólo puede esperarte a ti un tiempo b. Se pide a La probabilidad de que tu llegues el primero b La probabilidad de que ambos coincidáis en el banco c Suponiendo que os encontráis, la probabilidad de que tu hayas llegado primero Particularizar para 5 min, a 3 min, b 2 min a Llamemos X el momento en que tu llegas (en el intervalo [0, ] e Y el momento en que llega la otra persona. Si representamos en un gráfico el momento de llegada de ambos obtenemos Y xy X El área sombreada es precisamente aquella en que X < Y, es decir la que representa el suceso tu llegas antes. Por tanto, como las llegadas son al azar P [X < Y ] 1 2 b Considérese el siguiente gráfico Y a b X El área marcada representa el suceso os encontráis en el banco. Por lo tanto, y dado que ambos llegáis al azar, la probabilidad de que coincidáis es el área marcada dividida por el área que representa el espacio total. En este caso es más sencillo calcular la probabilidad de que no

4 4/10 coincidáis (área no marcada. Por tanto Luego la probabilidad pedida es P [no coincidáis] P [coincidáis] 1 P [no coincidáis] 1 Comprobaciones sencillas: 1 2 ( a ( b2 2 Si a b 0, entonces P [coincidáis] 0, lo que es lógico Si a b, entonces P [coincidáis] 1, lo que es lógico Particularizando P [coincidáis] 0.74 c Lo que nos piden es P [X < Y coincidáis]. Por definición 1 2 ( a ( b2 2 2(a + b a2 b P [X < Y coincidáis] P [{X < Y } coincidáis] P [coincidáis] Si observamos la siguiente figura, vemos que el numerador de la expresión anterior es el área marcada dividida por el área total. Y a b X Por tanto P [X < Y coincidáis] [ ] ( a2 2 [ ] 1 2(a + b a 2 2 b 2 2 Particularizando P [X < Y coincidáis] a a 2 2(a + b (a 2 + b 2

5 5/10 4. La bomba de alimentación de combustible en un transbordador espacial debe funcionar normalmente para que la nave pueda reentrar en la atmósfera sin problemas. La empresa fabricante de dichas bombas (de capital francés dice que la probabilidad de que una bomba falle es inferior al 15 %. El responsable de la Agencia Espacial Europea (de nacionalidad alemana, sin embargo, decide colocar cuatro bombas conectadas de tal forma que la reentrada sea posible con tal de que funcione una de ellas. a Qué probabilidad tiene el transbordador de reentrar sin problemas? b Si a pesar de la cuádruple instalación el sistema falla, qué puede decirse acerca de la aseveración de la empresa constructora de las bombas sobre su probabilidad de fallo? Especifíquense de forma estricta todas las hipótesis que se realicen. dichas hipótesis? Son lógicas (a Sea S el suceso el transbordador reentra sin problemas. Sea B i el suceso la bomba i-ésima funciona, para i {1, 2, 3, 4}. Según la estimación de los fabricantes, P ( B i Como es suficiente que funcione una de ellas para que la reentrada sea posible, se tiene S B 1 B 2 B 3 B 4 (Obsérvese que, tal como nos indica el enunciado, estamos suponiendo que el éxito de la reentrada depende sólo del buen funcionamiento del sistema de suministro de combustible, y despreciando por lo tanto otros posibles factores que podrían influir en la operación. Suponemos que el hecho de que cada una de las bombas funcione es independiente de que funcionen o no las otras; esta suposición es razonable ya que si el sistema de bombas combinadas ha de aumentar realmente la seguridad, cada una de ellas ha de actuar independientemente del resto. Por lo tanto P (S 1 P ( S 1 P ( B1 B 2 B 3 B 4 1 P ( B 1 B 2 B 3 B 4 1 P ( B1 P ( B2 P ( B3 P ( B4 Como P ( B i 0.15 para i 1, 2, 3, 4, resulta que P (S (b De la estimación ofrecida por la empresa constructora de las bombas hemos deducido en el apartado (a que el sistema falla con una probabilidad menor que cinco diezmilésimas, es decir, como máximo una vez de cada intentos. Si el suministro de combustible falla después de todo, la estimación de la empresa no era correcta, con casi total seguridad.

6 6/10 5. Las empresas A y B fabrican bujías para motores de maquinaria pesada. El 6 % de las bujías fabricadas por A y el 3 % de las fabricadas por B son defectuosas. En el almacén de suministros hay 2000 bujías de la empresa A y 1000 de la empresa B. Calcular la probabilidad de que, al elegir una bujía al azar, y resultando defectuosa, haya sido fabricada por la empresa A. Llamemos A al suceso la bujía ha sido fabricada por A, B al suceso la bujía ha sido fabricada por B, y D al suceso la bujía es defectuosa. Los datos de que disponemos al elegir una bujía al azar son: P [A] 2 3, P [B] 1, P [D A] 0.06, P [D B] Nos piden P [A D] por lo que, aplicando el teorema de Bayes obtenemos P [A D] P [D A]P [A] P [D A]P [A] + P [D B]P [B] El teorema de Bayes ha podido aplicarse porque A B Ω y A B ϕ. 0.8

7 7/10 6. La figura representa el sistema de canales (línea continua y túneles (línea a trazos para abastecimiento de agua a una cierta ciudad, y en ella se han indicado las cotas de los puntos más representativos. La pendiente de cada tramo de canal o túnel es constante en el tramo. La probabilidad de que un canal falle un día cualquiera es de 0.05 (por obstrucción, rotura, necesidad de reparación o limpieza, etc y la probabilidad de que falle un túnel es de 0.1. Calcular la probabilidad de que un día cualquiera falle el suministro de agua a la ciudad. Presa 1 A B C Ciudad D Presa 2 E F Cotas de los puntos señalados A 2000 D1800 B900 E800 C400 F350 Ciudad 150 Suponemos que todos los canales y túneles fallan o funcionan de forma independiente. El enlace entre los puntos A y C a través de B es equivalente a un único conducto que tiene probabilidad de funcionar. Análogamente, el enlace entre E y la ciudad (que representaremos por G se puede reducir a un solo conducto con probabilidad de funcionar. Sea F el suceso falla el suministro de agua a la ciudad. Para simplificar el cálculo vamos a dividir el espacio total en varios sucesos disjuntos y exhaustivos. Por ejemplo podemos distinguir estos cuatro casos: por los tramos CG y EG circula agua (CG EG, circula por CG pero no por EG (CG EG, circula por EG pero no por CG (CG EG, no circula por CG ni por EG (CG EG. Por el teorema de la probabilidad total P [F ] P [F CG EG]P [CG EG] + P [F CG EG]P [CG EG] + P [F CG EG]P [CG EG] + P [F CG EG]P [CG EG] Se tiene (aplicando la hipótesis de independencia P [CG EG] , P [CG EG] 0.95( , P [CG EG] ( , P [CG EG] (1 0.95( Para calcular P [F CG EG] basta tener en cuenta que si CG y EG funcionan, el suministro falla si y sólo si fallan simultáneamente AC y DE. En símbolos: AC DE; por tanto P [F CG EG] ( (1 0.9 (de nuevo hemos usado la hipótesis de independencia. Para calcular P [F CG EG] basta imaginarse el circuito de arriba sin la conexión EG y con CG funcionando con seguridad. El suministro fallará si falla AC y además falla alguno entre DE y EC. En símbolos: AC (DE EC AC (DE EC; por tanto P [F CG EG] ( (

8 8/10 Para calcular P [F CG EG] basta imaginarse el circuito de arriba sin la conexión CG y con EG funcionando con seguridad. El suministro fallará si y sólo si falla DE. Por tanto P [F CG EG] Si CG y EG fallan simultáneamente, la probabilidad de que falle el suministro es claramente 1. Finalmente se obtiene P [F ] ( ( ( ( ( (1 0.9( (1 0.95(

9 9/10 7. Un camionero que hace regularmente el trayecto A Coruña - Oviedo sabe que en el mes de febrero el tramo de la autovía A-8 entre Abadín y Lorenzá está despejado el 10 % de los días, tiene nieve el 30 % y niebla el 60 %. Además sabe que existe una cierta relación entre la temperatura en Villalba y estas tres diferentes situaciones, dada por la ley de probabilidad de la abla I. Se pide: 1.- Si al llegar a Villalba, la temperatura es de 4 o C, cuáles son las probabilidades de encontrar cielo despejado, niebla o nieve en la autovía?. 2.- Y si la temperatura es de 15 o? abla I Despejado Nieve Niebla emperatura > 10 o en 0 o 10 o Villalba < 0 o Nota: esta tabla representa las probabilidades de que en Villalba haga una temperatuta determinada si se conoce la situación en el tramo especificado de la A-8. Llamamos A al suceso la temperatura en Villalba es mayor que 10, M a la temperatura en Villalba está entre 0 y 10, y B a la temperatura en Villalba es menor que 0. Asimismo, llamamos respectivamente D, NB y NV a los sucesos consistentes en que la autovía esté despejada, tenga niebla y tenga nieve. Los datos proporcionados por la abla I son: P [A D] 0.4 P [A NV ] 0.1 P [A NB] 0.4 P [M D] 0.4 P [M NV ] 0.4 P [M NB] 0.5 P [B D] 0.2 P [B NV ] 0.5 P [B NB] 0.1 Además en el enunciado también se nos dice que P [D] 0.1, P [NV ] 0.3 y P [NB] 0.6. eniendo todo esto en cuenta, 1.- por el teorema de la probabilidad total P [M D]P [D]+P [M NV ]P [NV ]+P [M NB]P [NB] Ahora aplicamos reiteradamente el teorema de Bayes y obtenemos que, si la temperatura en Villalba es la indicada (suceso M, la probabilidad de encontrar cielo despejado en la autovía es P [D M] P [D M] P [M D] P [M D]P [D] %, la de encontrar niebla es P [NB M] P [NB M] P [M NB] P [M NB]P [NB] %

10 10/10 y la de encontrar nieve, P [NV M] P [NV M] P [M NV ] P [M NV ]P [NV ] % 2.- Es totalmente análogo. Se obtiene P [A] P [A D]P [D] + P [A NB]P [NB] + P [A NV ]P [NV ] y por lo tanto P [D A] P [NB A] P [NV A] P [A D]P [D] %, P [A] 0.31 P [A NB]P [NB] %, P [A] 0.31 P [A NV ]P [NV ] %. P [A] 0.31