Dadas las partes indicadas del triángulo rectángulo ABC, encuentre los valores de las partes restantes.

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1 Subdirección de Educación Departamento de Educación Contratada Colegio CAFAM Los Naranjos IED DOCENTES: RICARDO CASTILLO GÓMEZ JORGE COBA GRADO: 10 ÁREA: MATEMÁTICAS PERÍODO: I y II NOMBRE: CURSO: FECHA: OBSERVACIONES: El presente plan de mejoramiento debe ser entregado en hojas examen, solucionado de manera completa y mostrando cada uno de los procesos necesarios para dar la respectiva respuesta. Preste atención a las indicaciones que el docente indicará en clase para su sustentación. OBJETIVO: Evidenciar cambios significativos en el desarrollo de situaciones problema donde se involucren las temáticas referidas a las razones trigonométricas, teorema del seno, teorema del coseno y circunferencias. COMPETENCIA: Explicar fenómenos y hechos cotidianos mediante el uso de las razones trigonométricas y la circunferencia. Dadas las partes indicadas del triángulo rectángulo ABC, encuentre los valores de las partes restantes. Solución de problemas 1. Una persona que hace volar una cometa, sostiene la cuerda 4 pies arriba del nivel del suelo. La cuerda de la cometa está tensa y forma un ángulo de 60 con la horizontal. Calcule la altura de la coleta arriba del nivel del suelo si se dan 500 pies de cuerda. 4. Un cable está unido a la cima de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40 metros de la base de la antena. Si el cable forma un ángulo de 58 con el suelo, calcule la longitud del cable. 5. Para hallar la distancia d entre los puntos P y Q en las horillas opuestas de un lago, un topógrafo localiza un ponto R que está a 50 metros de P de manera que RP es perpendicular a PQ, como se observa en la figura. A continuación, utilizando un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ, que resulta ser de 72. Encuentre d. 2. Desde un punto a 15 metros sobre el nivel del suelo, un topógrafo mide un ángulo de depresión de un objeto en el suelo a 68. Calcule la distancia desde el objeto al punto en el suelo directamente abajo del topógrafo. 3. Un piloto, que vuela a una altitud de 5000 pies, desea aproximarse a los números de una pista a un ángulo de 10. Calcule, a los 100 pies más cercano, la distancia desde el avión has los números al principio del descenso. 6. Para medir la altura h de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige un proyector de luz directamente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P en el nivel del suelo que está a d metros del proyector de luz, el ángulo de elevación Ɵ de la imagen de la luz en las nubes se mide entonces. Exprese h en términos de d y Ɵ. Calcule h si d=1000 m y Ɵ=59.

2 7. Un cohete es disparado al nivel del mar y asciende a un ángulo constante de 75 toda una distancia de pies. Calcule la altitud con respecto al nivel del mar. 8. Un avión despega a un ángulo de elevación de 10 y vuela a razón de 250 pies/s. Aproximadamente cuánto tarda el avión en alcanzar una altitud de pies? 9. Un puente levadizo mide 150 pies de largo cuando se tiende de un lado a otro en un río. Como se ve en la figura, las dos secciones del puente se pueden girar hacia arriba hasta un ángulo de 35. a) Si el nivel del agua está 15 pies abajo del puente cerrado, encuentre la distancia d entre el extremo de una sección y el nivel del agua cuando el puente está abierto por completo (los 35 ). b) Cuál es la separación aproximada de los extremos de las dos secciones cuando el puente está abierto por completo, como se ve en la figura? 12. Un constructor desea fabricar una rampa de 24 pies de largo, que suba a una altura de 5 pies sobre el nivel del suelo. Calcule el ángulo que la rampa debe formar con la horizontal. 13. En la figura se muestra la pantalla de un juego de video sencillo en el que unos patos se mueven de A a B a una velocidad de 7 cm/s. Balas disparadas desde el punto O se mueven a 25 cm/s. Si un jugador dispara tan pronto como aparece un pato en A, a qué φ debe apuntar el arma para acertar en el blanco? 10. En la figura se muestra parte de un diseño para un tobogán acuático. Encuentre la longitud total del tobogán. 14. Una banda transportadora de 9 metros de largo puede hacerse girar hidráulicamente hacia arriba a un ángulo máximo de 40 para descargar aviones. a) Encuentre, al grado más cercano, el ángulo que la banda transportadora debe girar hacia arriba para llegar a la puerta que está a 4 metros sobre la plataforma que soporta la banda. b) Calcule la máxima altura sobre la plataforma que la banda pueda alcanzar. 11. Calcule el ángulo de elevación α del sol si un apersona que mide 5 pies de estatura proyecta una sombra de 4 pies de largo en el suelo.

3 15. La elongación del planeta Venus se define como el ángulo Ɵ determinado por el Sol, la Tierra y Venus, como se muestra en la figura. La máxima elongación de Venus ocurre cuando la Tierra está en su máxima distancia D e del Sol y Venus está en su máxima distancia D V del Sol. Si D e = 91,500,000 millas y D v =68, millas, calcule la máxima elongación Ɵ max de Venus. Suponga que la órbita de Venus es circular. directamente en el camino, como se muestra en la figura. Calcule la longitud del poste. 16. Para hallar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran en márgenes opuestas de un río, un topógrafo traza un segmento de recta AC de 240 yardas de longitud a lo largo de una de las márgenes y determina que las medidas del BAC y ACB son 63 y 54 respectivamente (vea la figura). Calcule la distancia entre A y B. 20. Los ángulos de elevación de un globo desde dos puntos A y B al nivel del suelo son y 47 10, respectivamente. Como se muestra en la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas entre sí, y el globo está entre los puntos, en el mismo plano vertical. Calcule la altura del globo sobre el suelo. 21. En la figura se muestra un panel solar de 10 pies de ancho que se va a unir a un techo que forma un ángulo de 25 con la horizontal. Calcule la longitud d del puntal que es necesario para que el panel forme un ángulo de 45 con la horizontal. 17. Para determinar la distancia entre dos puntos A y B, un topógrafo selecciona un punto C que está a 375 yardas de A y 530 yardas de B. Si BAC tiene medida de 49, calcule la distancia entre A y B. 18. Como se ilustra en la figura, un funicular lleva pasajeros de un punto A, que está a 1.2 millas de un punto B en la base de una montaña, a un punto P en la cima de la montaña. Los ángulos de elevación desde P de A y B son 21 y 65, respectivamente. a) Calcule la distancia entre A y P. b) Calcule la altura de la montaña. 22. Un camino recto forma un ángulo de 22 con la horizontal. De un cierto punto P en el camino, el ángulo de elevación de un avión en el punto A es 57. En el mismo instante, desde otro punto Q, a 100 metros más arriba en el camino, el ángulo de elevación es 63. Como se indica en la figura, los puntos P, Q y A se encuentran en el mismo plano vertical. Calcule la distancia de P al avión. 19. Un camino recto forma un ángulo de 15 con la horizontal. Cuando el ángulo de elevación del Sol es 57, un poste vertical al lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo 23. Un guardabosque que se encuentra en un punto de observación A avista un incendio en la dirección

4 N27 10'E. Otro guardabosque que está en un punto de observación B, a 6.0 millas al este de A avista el mismo incendio en N52 40'W. Calcule la distancia de cada uno de los puntos de observación al incendio. 24. La torre inclinada de Pisa originalmente estaba perpendicular al suelo y tenía 179 pies de altura. Debido al hundimiento de la tierra, ahora está inclinada a un cierto ángulo Ɵ con respecto a la perpendicular, como se ve en la figura. Cuando la cima de la torre se ve desde un punto a 150 pies del centro de su base, el ángulo de elevación es 53. a) Calcule el ángulo Ɵ. b) Calcule la distancia d que el centro de la cima de la torre se ha movido de la perpendicular. 27. El ángulo en una esquina de un terreno triangular es 73 40' y los lados que se encuentran en esta esquina miden 175 pies y 150 pies de largo. Calcule la longitud del tercer lado. 28. La caja rectangular que se ilustra en la figura tiene dimensiones de 8" X 6" X 4". Calcule el ángulo Ɵ formado por una diagonal de la base y una diagonal del lado de 6" X 4". 25. Una catedral está situada en una colina, como se ve en la figura. Cuando la cima de la torre se ve desde la base de la colina, el ángulo de elevación es 48 ; cuando se ve a una distancia de 200 pies de la base de la colina, el ángulo de elevación es 41. La colina sube a un ángulo de 32. Calcule la altura de la catedral. 29. Dos puntos P y Q al nivel del terreno están en lados opuestos de un edificio. Para hallar la distancia entre los puntos, un topógrafo selecciona un punto R que está a 300 pies de P y a 438 de Q y luego determina que el ángulo PRQ mide 37 40' (vea la figura). Calcule la distancia entre P y Q 26. Un helicóptero permanece en posición fija a una altitud que es de 1000 pies sobre el pico de una montaña de 5210 pies, como se ve en la figura; un segundo pico más alto se ve desde la cima de la montaña y el helicóptero. De este último, el ángulo de depresión es 43 y desde la cima de la montaña el ángulo de elevación es 18. a) Calcule la distancia de pico a pico. b) Calcule la altitud del pico más alto. 30. Un avión de reconocimiento P, que vuela a 10,000 pies sobre un punto R en la superficie del agua, localiza un submarino S a un ángulo de depresión de 37 y a un buque tanque T a un ángulo de depresión de 21, como se muestra en la figura. Además, se encuentra que SPT es 110. Calcule la distancia entre el submarino y el buque tanque.

5 31. Un barco de excursión fija un rumbo N47 E de una isla a un puerto en tierra firme, que está a 150 millas de distancia. Después de avanzar en fuertes corrientes, el barco está fuera de curso en una posición P que es N33 E y 80 millas de la isla, como se ilustra en la figura. a) Aproximadamente a qué distancia está el barco del puerto? b) Qué dirección debe tomar el barco para corregir su curso? 33. La puerta del portamaletas de un vehículo mide 42 pulgadas de largo. Un soporte de 24 pulgadas de largo se ha de conectar a la puerta y carrocería del auto de modo que, cuando la puerta se abra por completo, el soporte sea vertical y el espacio libre trasero sea de 32 pulgadas, como se ve en la figura. Calcule las longitudes de los segmentos TQ y TP. 32. La distancia entre las márgenes del río que se ve en la figura se puede hallar sin medir ángulos. Se seleccionan dos puntos B y C de la orilla opuesta y los segmentos de recta AB y AC se prolongan como se muestra. Los puntos D y E se seleccionan como se indica y se miden las distancias BC, BD. BE, CD y CE. Suponga que BC = 184 ft, BD = 102 ft, BE = 218 ft, CD = 236 ft y CE = 80 ft. a) Calcule las distancias AB y AC. b) Calcule la distancia más corta que hay del punto A al otro lado del río. 34. Trace las gráficas de las siguientes funciones, compárelas con la función y enuncie tres conclusiones acerca de sus semejanzas y/o diferencias (sugerencia: haga uso de geogebra o algún programa para graficar funciones): a) b) c) d)

6 Obtenga la ecuación canónica y general de la circunferencia que satisfaga las condiciones expresadas, luego grafíquela y determine las intersecciones con los ejes de manera analítica. (Sugerencia: haga uso de geogebra o algún programa para graficar funciones) Encuentre el centro y radio de la circunferencia teniendo en cuenta la ecuación general dada, luego determine de manera analítica las coordenadas de los puntos de corte con los ejes del sistema coordenado y finalmente represéntela de manera gráfica. (Verifique que los resultados obtenidos sean coherentes con dicha representación). (Sugerencia: haga uso de geogebra o algún programa para graficar funciones)