PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN
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- Francisco José Velázquez Córdoba
- hace 8 años
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1 Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros, por medio de la epresión: R( -,,,5 Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan. Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior? Obviamente, convendrá invertir la cantidad que maor rentabilidad produca: R '( -,,, R '( -,,, R ''( -, <, por tanto es un máimo de la función R( La rentabilidad que se obtiene es R( -,(,,5, 5 Ejercicio Determinar las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en un círculo de radio ½ Sean e las dimensiones del rectángulo. El área es A Además, e son los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa : sustituendo en A: f( Por tanto, debemos maimiar esta función: f'( ( f'( ± ± De los dos valores obtenidos, descartamos el negativo por no tener sentido en este problema. Comprobemos si es máimo:
2 Problemas de optimiación ( ( ( ( ( ( ( ( ( f ''( 8 f < ' ' es máimo En cuo caso, Las dimensiones se corresponden con un CUADRADO de lado Ejercicio Los costes de fabricación, C( en euros, de cierta variedad de salchichas, dependen de la cantidad elaborada ( en kilos de acuerdo con la siguiente epresión: C( El fabricante estima que el precio de venta en euros de cada kilogramo de salchichas viene dado por: P( Obtener la función de ganancias Qué cantidad de salchichas interesa producir para maimiar ganancias? Calcular en este caso, el precio de venta la ganancia que se obtiene. Sea el número de kilogramos de salchichas a fabricar El precio de venta de un kilogramo de salchichas es 8 6 P ( En total obtendremos por la venta de kilogramos: 8 6 P ( La función de ganancias es: ( C P G ( ( (
3 Problemas de optimiación G' ( G'( ± 8 8 ± De los dos valores obtenidos descartamos el negativo Vamos si el valor positivo es máimo: G' '( 8 8 Claramente se aprecia que G '' ( < es un máimo, por lo que conviene fabricar 8,8 Kg de salchichas para obtener el máimo beneficio. El precio de venta de un kilogramo de salchicha será: ( ( P Las ganancias obtenidas por la venta de 8,8 Kg es: G( 6 ( ( 8 ( , Ejercicio Descomponer el número 6 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máimo. Sean e dichos sumandos: 6 6 La función a optimiar es la que determina el producto de ambos números: ( 6 6 f( 6 f' ( 6 6 f '( 6 f ''( <, por tanto 8 es un máimo, Los dos sumandos son ambos iguales a 8. 8 Ejercicio 5 Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior ha sido sustituido por un triángulo equilátero como indica la figura.
4 Problemas de optimiación Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6.6 m, halla sus dimensiones para que su superficie sea máima. llamemos: Lado del triángulo equilátero base del rectángulo Mitad del lado del triángulo equilátero Altura del rectángulo h altura del triángulo El perímetro es: P 6 6, 6 Altura del triángulo: h ( El área total de la ventana es: A ( ( ( Despejando del perímetro: 6, 6 6, (, ( 6 6, 6 f( es la función de superficie a optimiar. ( f '(, f'(, ( 6, ( 6 ( 6 ( 6 6, 6, ( ( 6 ''( 6, por lo que f < DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO: ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 BASE ( (, , 6 es un máimo. 5, ( ( ALTURA,,98 LADO DEL TRIÁNGULO:,55 Ejercicio 6 Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las horas las 6 horas de la tarde viene dada por: v( t t 5t 7t 8 para t [,6] A qué hora circulan los coches con maor velocidad? Justifica la respuesta. A qué hora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta.
5 Problemas de optimiación 5 Para determinar las horas en que los coches circulan a maor menor velocidad debemos calcular los máimos mínimos de la función v (t v( t t 5t 7t 8 v' ( t t t 7 v' ( t t t 7 t ± ± v'' ( t 6t v''( > v''( 6 6 < mínimo máimo A las de la tarde los coches circulan a maor velocidad, mientras que a las 6 circulan a menor velocidad. Ejercicio 7 Se dispone de un hilo metálico de longitud metros. Se quiere dividir dicho hilo en tres troos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada troo. Sean los tres troos,, Un ellos ha de medir el doble de otro: Además, los tres han de medir m: La función a optimiar es la suma de áreas de los cuadrados que se forman con cada troo. Si cada troo forma un cuadrado, el lado será la cuarta parte de la longitud del troo correspondiente: A
6 Problemas de optimiación 6 f( f'( 6 ( ( f '( 6 8 ( 8 8 f ''( 8 >, es un mínimo 6 Con esto, los tres troos son: Ejercicio 8 La concentración de oono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( 9 5 6,, donde es el tiempo transcurrido desde de enero de 99 contado en años. Hasta que año está creciendo la concentración de oono? Cuál es la concentración máima de oono que se alcana en esa ciudad? C ( 9 5 6, C '( 5, 5 C '( 5, 5,, C '(, <, por tanto,, 5es máimo La concentración de oono contaminante ha estado creciendo hasta,5 años después, es decir, hasta el de junio de. La concentración máima ha sido: ( 5 58,75 C(, , 6,, microgramos por metro cúbico. Ejercicio 9 Calcular la base la altura del triangulo isósceles de perímetro 8 área máima. Sea la base, la altura h, uno de los lados iguales.
7 Problemas de optimiación 7 8 Por otro lado, por el teorema de Pitágoras: h ( La superficie será: f( f'( ( f '( f''( 6 ( ( ( ( 8 6 ( ( 6 6 ( 8 ( ( 8 ( 8 f '' < 8 es un máimo. La base del triángulo es Uno de los lados iguales es: 8 8 Se trata de un triángulo equilátero. La altura es 8 h Ejercicio Una compañía de autobuses interurbanos ha comprobado que el número de viajeros (N diarios depende del precio del billete (p según la epresión: N(p - 6 p.
8 Problemas de optimiación 8 Dar la epresión que nos proporciona los ingresos diarios (I de esa compañía en función del precio del billete. Qué ingreso diario se obtiene si el precio del billete es 5 euros? Cuál es el precio del billete que hace máimo los ingresos diarios? Cuáles son esos ingresos máimos? N( p 6p es el número de viajeros según el precio del billete, p. a Por tanto la función que nos proporciona los ingresos en función del precio del billete será el producto del número de viajeros por el precio que paga cada uno: f( p N( p p p 6p ( ingreso diario para un billete de 5 b f 5 5 6( 5 5 c f' ( p p f '( p p p 5 f ''( p <, por tanto, p 5 es máimo ( ingresos máimos. d f 5 5 6( 5 75 Ejercicio Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos materiales distintos. Los dos materiales tienen precios respectivamente de euros por centímetro cuadrado. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro? Sean e los lados (en cm. de los dos cuadrados respectivamente. Si la suma de perímetros es metro: 5 La función de costes es: C C( ( C '( - 5 ; C '( C ''( > ; por tanto 5 es mínimo Los cuadrados deben medir de lados, respectivamente: 5 cm 5 5 cm
9 Problemas de optimiación 9 Ejercicio Descomponer el número 8 en dos sumandos de forma que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máimo. Sean e ambos sumandos: 8 8 P( ( 8 8 P' ( 6 P' ( 6 ( 5 5 P' '( 6 6 ; P ''( < ; 5 es máimo P ''( > ; es mínimo Los sumando son 5, Ejercicio Se dispone de una barra de hierro de metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máima superficie interior posible. a Qué longitud deben tener los postes el larguero? b Qué superficie máima interior tiene la portería? Perímetro de la portería: La superficie encerrada: S( ( S' ( S '(, 5 S ''( < ;, 5 es un máimo Los postes deben medir cada uno, 5 m El larguero deberá medir, 5 5 m S(,,,, m La superficie encerrada será 5 5 ( 5 5
10 Problemas de optimiación Ejercicio Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es: C ( h h 8h El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura sigue la función: g( h 5h a En que hora se produce la maor afluencia de clientes? b Cuánto gasta el último cliente? c Cuando ha maor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora? a C ( h h 8h C '( h h 8 8 C '( h h 8 h C ''( h <, por tanto, h es máimo: La maor afluencia de clientes se produce horas después de abrir, es decir, a las h. b Cuando el último cliente sale, no queda ninguno: C( h h 8h h ( h 8 h h 8 Cuando h, es decir, a las 9 de la mañana, el comercio acaba de abrir Cuando h 8, es decir, a las 5 de la tarde, el comercio acaba de cerrar A esa hora: g ( gasta el último cliente c La recaudación en un determinado momento es el producto del número de clientes por lo que gasta cada uno: R( h C( h g( h ( 8 ( 5 6 ( ( R( C( g( R( 5 C( 5 g( 5 Se recauda más a las horas de abrir. Ejercicio 5 Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 5 m de volumen, que tenga superficie mínima.
11 Problemas de optimiación V 5 5 La superficie será la suma de cuatro caras laterales iguales la base cuadrada: S 5 f ( f '( f '( f ''( ( ( f' ' 6 > ; es un mínimo Las dimensiones del depósito serán: cm 5 5 cm ( Ejercicio 6 La función de coste total de producción de unidades de un determinado producto es: C( 8 Se define la función de coste medio por unidad como Q( C( Cuántas unidades son necesarias producir para que sea mínimo el coste medio por unidad? Qué relación eiste entre Q ( ( C'? a Q( C( 8 8 Q' ( 5 Q' ( 5 5 Q ''( 5
12 Problemas de optimiación Q ''( 5 > ; es un mínimo Es necesario producir unidades para que el coste medio por unidad sea mínimo. C( 8 C' ( 8 C' ( C'( 8 ( Q( ( 8 8 Q ( C ( Q ' son iguales. Ejercicio 7 Un barco B dos ciudades costeras A C forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A C son Km 5 Km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a Km/h caminar a 5 Km/h, a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible? Sea D el punto donde el nadador abandona la costa continua a nado. AD DC BD Por el teorema de Pitágoras: AC Entonces: DC AD BD 5 El tiempo que emplea en ir caminando desde A hasta D es: Tiempo( h t Longitud( Km 5 t 5 El tiempo que emplea en ir nadando desde D hasta B es:
13 Problemas de optimiación Tiempo( h t Longitud( Km 5 t 5 El tiempo total empleado será: T' ( T( T'( ± ( 5 ± T''( ( 5 5 ( 5 5 Obviamente: 5 T '' >, 5 es un mínimo: El hombre deberá abandonar la costa a 5 8,5 Km de la ciudad A. Ejercicio 8 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función: I ( 8 6, mientras que sus gastos (también en euros pueden calcularse mediante la función G( 7, donde representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar: La función que define el beneficio anual en euros. La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máimo. Justificar que es máimo. El beneficio máimo. a el beneficio es:
14 Problemas de optimiación B( I( G( 6 7 b B '( ( 8 6 ( 7 B '( B ''( < 75 es máimo 75 Deberán venderse 75 unidades c El beneficio máimo es: ( B( Ejercicio 9 La suma de tres números positivos es 6. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman. Hallar los números que verifican estas condiciones cuo producto es máimo. Sean,, dichos números: 6 ( e e : 6 6 ( e e : EL producto es P ( 6 La función a maimiar es f( ( 6 6 f' ( 6 f' ( 6 6 ( f' '( f ''( > ; es un mínimo f ''( < ; es un máimo 6 6 Por tanto, los tres números son iguales a. Ejercicio En los estudios epidemiológicos realiados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función: f( 7
15 Problemas de optimiación 5 siendo el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. Determinar: El número de días que han de transcurrir hasta que desapareca la enfermedad. El número máimo de personas afectadas. Los intervalos de crecimiento decrecimiento de la enfermedad. Justificar las respuestas. A La enfermedad desaparece cuando no ha ningún enfermo: f( 7 7 ± ± ± ± 9-6 ( Obviamente, no tiene sentido que haan transcurrido - días Por tanto, han de transcurrir 7 días para que desapareca la enfermedad. B f '( f' ( f ''( 6 < ; es un máimo 7 El número máimo de personas enfermas se da a los días, el número máimo de personas enfermas es: f( personas enfermas C La función f( es una parábola con coeficiente principal negativo, esto es, con la ramas hacia abajo un máimo en su vértice: La enfermedad crecerá entre los días (, decrecerá entre los días (, 7 Ejercicio Determinar la maor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuo lado maor mida metro. EL lado maor es la hipotenusa: Sean e los catetos del triángulo: El área es S
16 Problemas de optimiación 6 La función a maimiar es f ( f '( f ± ± '( ( ( ( ( ( ( ( ( f ''( 8 f < '' es un máimo Los catetos del triángulo son: que es un triángulo rectángulo isósceles.
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