±. C inicial = C inicial. Índice de variación

Transcripción

1 Aitmética mecatil: coteidos 2.1 Aumetos y dismiucioes pocetuales 2.2 Iteeses bacaios 2.3 Tasa aual equivalete ( T.A.E.) 2.4 Amotizació de péstamos 2.5 Pogesioes geométicas 2.6 Aualidades Pocetajes: C fial = 1 ±. C iicial = C iicial. Ídice de vaiació 1.- Ua etada de u cie costaba el año pasado 3,30 y este año 4,10. Cuál ha sido el ídice de vaiació? y el pocetaje de subida?. : 4,10 Ídice de vaiació 4,10 = I.V. 3,30 de dode I.V. = = 1,2424 3,30 Pocetaje de subida: ( 1+ ) = 1,2424 de dode se deduce que = 24,24 % 2.- La catidad de agua de u embalse ha dismiuido e u 35 % especto a lo que había el mes pasado. Ahoa cotiee 74,25 milloes de litos. Cuátos litos teía el mes pasado? 35 74,25 = C iicial. ( 1 ) = C iicial. 0,65; de dode C iicial = 114,23 milloes de litos 3.- Aveigua el ídice de vaiació del pecio de u televiso que costaba 450, después de subilo u 15 % y ebajalo e u 25 %. Cuál es el pecio actual? : Pecio actual: C fial = 450. ( 1+ ) ( 1 ) = ,15. 0,75 = 388, Ídice de vaiació: ( 1+ ). ( 1 ) = 1,15. 0,75 = 0,8625 Pocetaje fial: como el I.V. es meo que la uidad ( 1 ) = 0,8625 de dode = 13,75% El esultado fial es que el pecio del televiso se ha ebajado u 13,75 % 4.- E u exame de facés ha apobado el 60 % de los estudiates. E la ecupeació de los suspedidos, apueba el 30 %. E total so 18 los apobados. Cuál es el pocetaje de apobados? Cuátos estudiates so? - 1 -

2 Sea x el úmeo de estudiates. E pimea opció apueba 60% de x = 0,6 x De los 0,4 x estates apueba el 30 % e seguda opció, de dode el 30 % de 0,4 x = 0,3. 0,4 x. Como e total ha sido 18 los alumos que ha apobado teemos 0,6 x + 0,3.0,4 x = 18, esultado que x = 25. El pocetaje de apobados e total seá 0,6 + 0,3. 0,4 = 0,72 es deci 72 % 5.- El pecio de u odeado ha bajado duate los últimos años, pasado de costa 3750 a Calcula el ídice de vaiació y la dismiució pocetual del pecio : 1560 = 3750 (1 ) ; (1 ) = I.V. = 0,416 Dismiució pocetual (1 ) = 0,416 = 58,4 % 6.- Si el pecio del alquile de u apatameto sube u 10 % cada año cuátos años tadaía e duplicase el alquile? 10 Si el pecio fial debe se el doble que el iicial tedemos que 2C = C. ( 1+ ) y de aquí 2 = 1,1,. Aplicado cálculo logaítmico l 2 =.l 1,1 de dode = l 2 l1,1 Debeá tascui más de 7 años paa que se doble el alquile. 8 años. = 7,27 años. 7.- U libeo compó dos mauscitos atiguos po 2250 y después los vedió obteiedo u beeficio del 40 %. El pime mauscito le dejó u beeficio del 25 % y el segudo u beeficio del 50 %. cuáto pagó po cada mauscito? Sea x e y los pecios que pagó el libeo po los mauscitos. Se veifica que x + y = Po el pime mauscito obtuvo u beeficio del 25 % luego lo vedió po x. ( 1+ ) = 1,25 x 50 Po el segudo mauscito obtuvo u beeficio del 50 % luego lo vedió po y ( 1+ ) = 1,5 y 40 Si el beeficio total del 40 %, po la veta de los dos mauscitos cosiguió 2250 ( 1+ ) =

3 x + y Podemos establece el sistema de ecuacioes 1,25 x + 1,5 y que x = 900 y que y = 1350 = 2250 = 3150 Mat. Aplic. I- (Tema 2) de cuya esolució obteemos 8.- Co fecuecia los medios de comuicació comete eoes al utiliza los pocetajes. Aaliza esta oticia publicada el 26/7/1996: Mazazo a los fucioaios: e el 97 o tedá subida salaial. E sólo cico años habá pedido el 10,8 % de su pode adquisitivo Subida Fucioaios IPC Difeecia ,8 4,9-3, ,0 4,3-4, ,5 4,3-0, ,5 3,5 0, ,0 2,6-2,6 Total pédida pode adquisitivo - 10,8 : El eo se comete al igoa que cada % idividual se aplica sobe el valo obteido el año ateio lo que poduce u efecto multiplicativo y o sumativo como apaece e la tabla. 1,8 0 3,5 3,5 0 La subida salaial, a lo lago de esos años ha sido: ( 1+ ). ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) = 1, ,035. 1, = 1, 0905 que coespode al ídice de vaiació. El % seá: (1+ ) = 1,0905 de dode deducimos que la subida salaial ha sido de = 9,05 %. Si se hubiese aplicado ua subida igual al I.P.C. seía 4,9 4,3 4,3 3,5 2,6 ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) = 1,049. 1,043. 1,043. 1,035. 1,026 =1,2118 que coespode al ídice de vaiació del I.P.C. duate esos mismos años. El % seá: (1+ ) = 1,2118 de dode deducimos que la subida del I.P.C. ha sido de = 21,18 %. La pédida del pode adquisitivo habá sido 21,18 % - 9,05 % = 12,13 % 9.- U comeciate compa 50 camisas al pecio de 12 cada ua uidad. Co u 20 % de aumeto sobe el pecio de compa cosigue vede 40 de esas camias. Las 10 camisas estates cosigue vedelas ebajado su pecio u 40 % sobe el pecio de veta macado. Se pide: - 3 -

4 Qué catidad ha gaado e la opeació? Cuál ha sido el ídice de vaiació de la opeació? Cuál ha sido la vaiació pocetual de la opeació? Paga po la compa = Vede 40 de ellas co u 20 % de gaacia V 1 = ( 1+ ) = Vede las 10 estates bajado u 40 % sobe pecio veta: V 2 = ( 1+ ) ( 1 ) = 86,4 Cosigue e la veta V 1 + V 2 = ,4 = 662,4 La gaacia seá G = 662,4-600 = 62,4 Ídice de vaiació de la opeació IV = 662,4 600 = 1,104 Vaiació pocetual 1,104 = (1+ ) de dode = 10,4 % Iteeses bacaios: C e años = C iicial. 1 + ; C e m meses = C iicial. 1 + m 1.- U baco paga el 10 % del dieo que se deposita e él, siempe que se matega si saca ada duate u año. Cuáto te daá al cabo de u año si depositas 18500? Y si lo dejas duate cico años? : 10 E u año C fial = ( 1+ ) = E cico años C fial = ( 1+ ) = 29794, Calcula e cuáto se tasfoma 5000 e u año, al 10 %, si los peiodos de capitalizació so: a) semestes; b) timestes; c) meses. Di e cada caso cuál es la T.A.E. coespodiete : a) 5512,5 (TAE 10,25 % ); b) 5519,06 (TAE 10,38 % ); c) 5523,56 (TAE 10,47%) - 4 -

5 Semestes: 5000 ( 1+ ) = 5512,5 ; T.A.E. = ( 1+ ) = 1,1025 = (1+ ) ; = 10,25% E los estates apatados se pocede de igual foma. 3.- Halla e cuáto se tasfoma u capital de 00 al 5 % aual duate 2 años y 3 meses si el peiodo de capitalizació es: a) aual b) mesual : a) aual. Dos años y tes meses equivale a 2,25 años. C F = 00 b) mesual. Dos años y tes meses equivale a 27 meses. C F = ,25 ( 1+ ) = 11160, ( 1+ ) = 11188, Recibimos u péstamo de 8500 al 15 % aual, que hemos de devolve e u solo pago Cuátos años ha tascuido si al liquidalo hemos pagado 14866,55? : 14866,55 = l 1,7490 = l 1,15.; = ( 1+ ) ; 1,7490 = 1,15. Aplicado cálculo logaítmico tedemos: l1,749 l1,15 = 3, años 5.- U capital colocado al 15 % aual duate 4 años, se ha covetido e 5596,82 A cuáto ascedía ese capital? 5596,82 = C ( 1+ ) ; 5596,82 = C. 1,7490; de dode C = U baco paga el 2 % timestal. Cuátos años tiee que esta depositados 2000 paa covetise e 2536,48? El 2 % timestal supoe u 8 % aual po lo que : 2536,48 = ,26824 = 1,02. Aplicado cálculo logaítmico tedemos: = 8 ( 1+ ) 400 l1,26824 l1,02 = 11,99 12 timestes - 5 -

6 7.- Calcula el tato po cieto aual al que se ha de coloca 600 paa que e dos años se covieta e 699,84. Y si fuese e tes años? : E dos años 699,84 = 600 (1+ ) ; 1,1664 = (1+ ) ; (1+ ) = 1, 1664 = 1,08 de doe =8% E tes años 699,84 = 600 (1+ ) ; 1,1664 = (1+ ) ; aplicado logaitmos:... l 1,1664 = 3. l (1+ ) ; l (1+ ) = 0, (1+ ) = e 0, = 1, de dode = 5,26 % 8.- Calcula la T.A.E. paa u édito aual del 10 % co pagos mesuales de iteés. : ( 1+ ) = (1 ).. + ; 1,1047 = (1+ ) ; = 10,47 % T.A.E. Amotizació de péstamos Peiodo de amotizació (1+ i ). i a = C siedo (1 + i ) 1 i aual = ó i mesual = 1.- Compueba que podemos amotiza 00 al 10 % aual mediate cuato pagos timestales de 2649 cada uo. : Deomiemos po a cada uo de los pagos timestales que debemos hace. El 1 e pago pemaece e maos del pestamista 3 timestes y se ha covetido e: 10 3 a. ( 1+ ) = 1, a 400 El 2º pago pemaece e maos del pestamista 2 timestes y se ha covetido e: 10 2 a. ( 1+ ) = 1, a 400 El 3º pago pemaece e maos del pestamista 1 timestes y se ha covetido e: 10 1 a. ( 1+ ) = 1,025. a 400 El 4º pago lo ecibe el pestamista al fializa el año po lo que seá úicamete a: - 6 -

7 La suma de todos estos pagos debeá compesa la catidad 00 luego: 1, a + 1, a + 1,025. a + a = 11038,129 Mat. Aplic. I- (Tema 2) ( 1+ ) = 11038,129, E el pime miembo teemos los 4 témios de ua p.g. de azó 1,025 cuya suma os da: 4, a = 11038,129; siedo a = 2658, Depositamos u cieto dieo al comiezo de u año, e u baco, al 6 % aual. Cada mes esa catidad aumeta e pogesió geomética Cuál es la azó? 6 Cada mes aumetaá e ( 1+ ) = 1, Al comiezo de cada año depositamos 6000 e u baco al 7 % aual. Cuáto dieo ecogeemos al fializa el 10º año? 7 10 Los 6000 pimeos euos, al cabo de 10 años, se covetiá e 6000 ( 1+ ) = , Los segudos 6000 euos, al cabo de 9 años, se covetiá e 6000 ( 1+ ) = , Los últimos 6000 euos, al cabo de u año, se covetiá e 6000 ( 1+ ) = ,07 1 El dieo que ecogeemos seá la suma de las 10 catidades ateioes, que foma ua p.g. de azó 1,07 y su suma seá: ,07.1, ,07 C fial = 1,07 1 = 88701, U ahoado mete todos los años e la misma fecha 1500 e ua cueta que le poduce el 6 aual. Qué catidad habá acumulado al cabo de tes años? 6 3 Po los pimeos le daá ( 1+ ) = ,06 3 = 1786, Po los segudos le daá ( 1+ ) = ,06 2 = 1685,4-7 -

8 Po los teceos le daá ( 1+ ) = ,06 1 = 1590 Mat. Aplic. I- (Tema 2) Al fializa el tece año habá coseguido ua catidad que seá la suma de las tes catidades ateioes. Dado que el úmeo de sumados es educido podemos suma los tes esultados ateioes obteiedo 5061,92 Si el úmeo de sumados hubiese sido elevado debeíamos habe obteido el total teiedo e cueta que se tata de la suma de témios de u pogesió geomética cuya azó es ( ) 5.- Recibimos u péstamo de 20000, al 12 %, y hemos de devolvelo e 4 años, pagado cada año los iteeses de la catidad adeudada más la cuata pate del capital. Cómo seá los pagos auales? Deuda al iicio Tiempo de del péstamo Cada año 1 e año año 2º año año 3 e año 00 1 año 4º año año Iteeses Iteés más Capital amot Capital pediete = = = = Hemos de amotiza e 5 años, co u iteés del 15 % de modo que cada año se pague los iteeses del capital pediete más la quita pate del capital total. Calcula lo que hay que paga cada año. : Compamos u electodoméstico de 750 y lo pagamos e 24 plazos mesuales co u iteés del 13 %. Cuál seá la cuota mesual? - 8 -

9 a) Pime pocedimieto ( ) 1 + i. i m = C. = (1 + i ) 1 c) Segudo pocedimieto ( ).( Desigemos po a la catidad mesual que debemos paga. ) 1, , = , = 35,65 La pimea de esas catidades estaá 23 meses e maos del aceedo po lo que se covetiá e: 13 a = 1, a La seguda de esas catidades estaá 22 meses e maos del aceedo po lo que se covetiá e: 13 a = 1, a Y así sucesivamete hasta llega a la última mesualidad a que, al aboala, daá la deuda po saldada. Tedemos pues que: 1, a + 1, a a = = 971, a.1,0108.1,0108 a 1, = 971,338 de dode a = 35, Ua pesoa paga u coche e seseta mesualidades de 333,67. Si el pecio del dieo está al 12 % aual cuál seía el pecio del coche si se pagaa al cotado? : ,67 = C. ; 333,67 = C (1 + ) 1 de dode C = , ,01 ; 333,67 = C. 0, , Compueba que si pagamos al fial de cada año ua aualidad de 2500 duate 8 años, al 5 %, hemos pagado e total 23872,77. Sugeecia: el aceedo ecibe u dieo que egocia co él co igual %

10 10.- Recibimos u péstamo de 00 al 12 % aual que hemos de paga e u año co plazos mesuales. El baco os coba 350 po la gestió del péstamo e el mometo de su cocesió. Cuál es el T.A.E. coespodiete a ese péstamo? : 16,77 % (Sugeecia del péstamo descotaemos la comisió iicial)