Diana del Pilar Cobos del Angel. Experimento: Es una prueba o ensayo. Es el proceso de obtener una observación.

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1 Diana del Pilar Cobos del Angel Términos básicos Experimento: Es una prueba o ensayo. Es el proceso de obtener una observación. Eventos Simples: Cualquier resultado básico de un experimento. Un evento simple no se puede descomponer en resultados más simples. Ej.: Cuáles son los eventos simples asociados al lanzamiento de un dado? Diana del Pilar Cobos del Angel 2 1

2 Términos básicos Espacio Muestral: Es la colección de todos los eventos simples de un experimento. Ej.: Cuál sería el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado? Evento: Conjunto de eventos simples. Subconjunto del espacio muestral. Ej.: Un evento de lanzar un dado puede ser: A : {1,3,5} Donde A sería el evento obtener un número impar. Diana del Pilar Cobos del Angel 3 Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son útiles para representar probabilidades. Ej.: Probabilidad de pertenecer a uno cualesquiera de tres conjuntos. Diana del Pilar Cobos del Angel 4 2

3 Operaciones elementales Unión El evento Unión (A B) consiste de todos los eventos simples que estan contenidos en A o B y en ambos. A B puede ser descrito como que ocurre por lo menos uno de los dos eventos A o B. A A B B Diana del Pilar Cobos del Angel 5 Operaciones elementales Intersección El evento Intersección (A B) consiste de todos los eventos simples comunes de A y B. A B puede ser descrito como que ocurren ambos eventos A y B. A B Diana del Pilar Cobos del Angel 6 3

4 Operaciones elementales Complemento El evento A, llamado complemento de A, consiste de todos los eventos simples que no están en A. A significa que el evento A no ocurra. A A Diana del Pilar Cobos del Angel 7 Eventos Disjuntos Eventos disjuntos: Dos eventos son disjuntos si no pueden ocurrir al mismo tiempo, en otras palabras, ellos no tienen eventos simples en común. A y B son disjuntos si A B = Ø En el siguiente diagrama de Venn A y B son disjuntos porque su intersección es el conjunto vacío. B y C no son disjuntos. A B C Diana del Pilar Cobos del Angel 8 4

5 Axiomas de la probabilidad Para cada evento A, se asigna la probabilidad del evento tal que: Axioma 1: 0 A) 1 Axioma 2: S ) = 1 Axioma 3: SiA 1, A 2, A 3,..., A n son disjuntos dos a dos: A 1 A 2 A 3...A n ) = A 1 ) + A 2 ) + A 3 ) + A n ) Diana del Pilar Cobos del Angel 9 Eventos complementarios Si el evento A no ocurre, decimos que su complemento A ha ocurrido y viceversa. Las probabilidades de A y A estan relacionadas por la fórmula: A ) = 1 A) A A Diana del Pilar Cobos del Angel 10 5

6 Regla general de la suma Cuando un evento se expresa de la forma A B, su probabilidad puede calcularse a través de la siguiente fórmula: A B) = A) + B) - A B) Para 3 conjuntos: A B C) = A) + B) + C) -A B) -A C) - B C) +A B C) Diana del Pilar Cobos del Angel 11 Operaciones elementales Ejercicio De los voluntarios que llegan a un banco de sangre, 1 de 3 tiene sangre tipo O+; 1 de 15, tipo O-; 1 de 3, tipo A+; y 1 de 16, tipo A-. Se selecciona al azar el nombre de un donante de los registros del banco. Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga Sangre tipo O+? Sangre tipo O? Sangre tipo A? Sangre que no es del tipo A, ni O? Diana del Pilar Cobos del Angel 12 6

7 Ejercicio La siguiente tabla muestra un resumen de una encuesta realizada a 500 personas en referencia a su posición frente a la despenalización del aborto: Afavor En contra Total Mujeres Hombres Total Si aleatoriamente se selecciona una persona de entre las 500, cuál es la probabilidad de que: El encuestado esté a favor de despenalizar el aborto? El encuestado sea hombre y esté en contra de la despenalización del aborto? Diana del Pilar Cobos del Angel 13 Ejercicio La siguiente tabla muestra un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos: La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No Sí No 12 8 Si se toma una flecha al azar cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado o con los de curvatura? Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura? Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de Diana del Pilar Cobos del Angel acabado y curvatura? Diana del Pilar Cobos del Angel 14 7

8 Ejercicio La siguiente tabla muestra un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos: La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No Sí No 12 8 Se escoge una flecha y se observa que cumple con los requisitos de curvatura. Cuál es la probabilidad bilid d de que la flecha cumpla con los requisitos it de acabado? Diana del Pilar Cobos del Angel 15 Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos y B) > 0. La probabilidad condicional de A con respecto a B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre B: Diana del Pilar Cobos del Angel 16 8

9 Probabilidad Condicional Ejemplo: Probabilidad de que un test de embarazo dé positivo sabiendo que la persona está embarazada Dos moléculas raras tienden a encontrarse siempre juntas. La probabilidad de que una muestra de aire contenga alguna de las dos moléculas es pequeña. Sin embargo, como éstas tienden a aparecer juntas, el conocimiento de que una de ellas está presente aumenta de manera muy marcada la posibilidad de que la otra también esté presente en la muestra. Diana del Pilar Cobos del Angel 17 Ejercicio La siguiente tabla muestra un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos: La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No Sí No 12 8 Se escoge una flecha y se observa que cumple con los requisitos de curvatura. Cuál es la probabilidad bilid d de que la flecha cumpla con los requisitos it de acabado? Diana del Pilar Cobos del Angel 18 9

10 Probabilidad Condicional Axioma 1: 0 A) 1 Puede violarse este axioma al aplicar esta fórmula? Diana del Pilar Cobos del Angel 19 Eventos independientes Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra uno no afecta la ocurrencia del otro Luego: A B) A) A B) A B) A) B) A B) A) B) Diana del Pilar Cobos del Angel 20 10

11 Eventos independientes En un grupo de estudiantes de bachillerato que consta de 60 mujeres y 40 varones, se observa que 24 chicas y16 muchachos usan lentes. Además, se sabe que si un estudiante es elegido aleatoriamente la probabilidad bld d de que el estudiante use lentes es 40%=0.4 Considerando esto, Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente use lentes dado que es un estudiante varón Puede usted afirmar que ambos eventos son independientes en este grupo? Diana del Pilar Cobos del Angel 21 Eventos independientes Que los eventos sean independientes significa que los eventos son excluyentes? Diana del Pilar Cobos del Angel 22 11

12 Teorema de Probabilidad Total La probabilidad de infarto para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la probabilidad de hipertensión en una cierta población es del 25% Cuál es la probabilidad del infarto en esa población? ( B A 2) A2 B A1 ( B A 1) Recordemos que: A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} (estos sucesos constituyen una partición) B = {padecer infarto} B) =? Diana del Pilar Cobos del Angel 23 sicos de Probabilidad Teorema de Probabilidad Total A 1 A 2 A 6 forman una partición del espacio muestral. A A i j A 1 i j P ( B) B Ai ) A i ) i n de los Conceptos BásA1, A2,, A6, forman A 2 A 3 B A 4 A 6 A 5 Diana del Pilar Cobos del Angel 24 12

13 Teorema de Bayes. Ejercicio Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor escoge los que deben pasar por una inspección ió completa; 10% de todos los artículos producidos son defectuosos; 60% de todos los artículos defectuosos y 20% de todos los artículos buenos pasan por una inspección completa. Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso, dado que pasó por una inspección completa? Diana del Pilar Cobos del Angel 25 Teorema de Bayes Por definición de probabilidad condicional se tiene: A B) B A) A) A B) B) P ( B A ) P ( A ) P ( A B ) B) Diana del Pilar Cobos del Angel 26 13

14 Teorema de Bayes A 2 A 1 A 3 A 6 A 3 B A A 5 4 P ( B A1 ) P ( A1 ) A1 B) B A ) ) i i A i Diana del Pilar Cobos del Angel 27 Teorema de Bayes Para el caso de una partición en dos conjuntos A y A C : B A) A) A B) C C P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) P ( A ) Diana del Pilar Cobos del Angel 28 14

15 Teorema de Bayes. Ejercicio El departamento de meteorología ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50% b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20% Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: 20% b) Si nieva: 10% c) Si hay niebla: 5% Resulta que Ud, que estaba de viaje, escuchó en la radio que ocurrió un accidente el fin de semana cuál es la probabilidad de que estuviera nevando? Diana del Pilar Cobos del Angel 29 Teorema de Bayes. Ejercicio Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En el pasado, el 95% de los productos con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10% de productos de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación. a.- Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? b.- Si un nuevo diseño recibe una buena evaluación, cuál es la probabilidad bilid d de que se convierta en un producto de gran éxito? c.- Si un producto no obtiene una buena evaluación, cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? Diana del Pilar Cobos del Angel 30 15

16 Teorema de Bayes. Ejercicio Aun sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en un 90% cuando la persona es culpable y en un 99% si la persona es inocente. Es decir, un 10% de los culpables son detectados como inocentes yun 1% de los inocentes son juzgados culpables. Si se administra el suero aun sospechoso escogido de un grupo donde solo el 5% han cometido un crimen y el suero indica que es culpable, Cuál es la probabilidad de que sea inocente? Diana del Pilar Cobos del Angel 31 16