Polinomios. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid
|
|
|
- Gabriel Álvarez Guzmán
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid
2 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0
3 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n: grado del polinomio
4 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n: grado del polinomio a n : coeficiente principal
5 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n: grado del polinomio a n : a 0 : coeficiente principal término independiente
6 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a.
7 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2
8 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
9 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2
10 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2 = ( 3) 2
11 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2 = ( 3) 2 =
12 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2 = ( 3) 2 = = 103
13 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini.
14 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2
15 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
16 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
17 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
18 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
19 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
20 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
21 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
22 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
23 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
24 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
25 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
26 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:
27 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0
28 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente:
29 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +
30 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0
31 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0 = a 0 = a 1 r a 2 r 2 a 3 r 3
32 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0 = a 0 = a 1 r a 2 r 2 a 3 r 3 = a 0 = r(a 1 + a 2 r + a 3 r 2 + )
33 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0 = a 0 = a 1 r a 2 r 2 a 3 r 3 = a 0 = r(a 1 + a 2 r + a 3 r 2 + ) = r es divisor de a 0
34 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1)
35 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1) Son polinomios primos los que no pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo, 3x 6 o x son polinomios primos.
36 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1) Son polinomios primos los que no pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo, 3x 6 o x son polinomios primos. Los polinomios primos son los polinomios de primer grado y los de segundo que no tienen raíces (los de discriminante menor que cero). Todos los demás pueden descomponerse en factores y son compuestos.
37 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1) Son polinomios primos los que no pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo, 3x 6 o x son polinomios primos. Los polinomios primos son los polinomios de primer grado y los de segundo que no tienen raíces (los de discriminante menor que cero). Todos los demás pueden descomponerse en factores y son compuestos.
38 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x)
39 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración.
40 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración. Sea r raíz del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0.
41 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración. Sea r raíz del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. Si se divide P (x) por x r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: P (x) = (x r)q(x) + R
42 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración. Sea r raíz del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. Si se divide P (x) por x r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: Para x = r: P (x) = (x r)q(x) + R P (r) = (r r)q(r) + R = R = P (r) = 0 y por consiguiente P (x) = (x r)q(x).
43 Teorema del resto Teorema (Teorema del resto) El resto de dividir un polinomio por x a es el valor numérico del polimomio para x = a. P (x) = (x a)q(x) + R R = P (a)
44 Teorema del resto Teorema (Teorema del resto) El resto de dividir un polinomio por x a es el valor numérico del polimomio para x = a. P (x) = (x a)q(x) + R R = P (a) Demostración. Si se divide P (x) por x a se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: Para x = a: P (x) = (x a)q(x) + R P (a) = (a a)q(a) + R = R = P (a)
45 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini
46 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: Divisor: Cociente: Resto:
47 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: Cociente: Resto:
48 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: x + 3 Cociente: Resto:
49 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: x + 3 Cociente: 2x 3 6x x 35 Resto:
50 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: x + 3 Cociente: 2x 3 6x x 35 Resto: 103
51 Factorización de un polinomio de segundo grado Sea ax 2 + bx + c un polinomio de segundo grado.
52 Factorización de un polinomio de segundo grado Sea ax 2 + bx + c un polinomio de segundo grado. Según el valor del discriminante: = b 2 4ac
53 Factorización de un polinomio de segundo grado Sea ax 2 + bx + c un polinomio de segundo grado. Según el valor del discriminante: = b 2 4ac el polinomio se descompone: raíces Factorización > 0 r 1, r 2 ax 2 + bx + c = a(x r 1 )(x r 2 ) = 0 r ax 2 + bx + c = a(x r) 2 < 0 ax 2 + bx + c es primo
54 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces.
55 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0.
56 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0. Si sabemos que una solución es x = 1, dividimos el polinomio por x + 1:
57 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0. Si sabemos que una solución es x = 1, dividimos el polinomio por x + 1:
58 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0. Si sabemos que una solución es x = 1, dividimos el polinomio por x + 1: Ahora podemos escribir la ecuación como: (x + 1)(x 2 5x + 4) = 0
59 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0. Si sabemos que una solución es x = 1, dividimos el polinomio por x + 1: Ahora podemos escribir la ecuación como: (x + 1)(x 2 5x + 4) = 0 e igualando a cero cada factor se calculan las soluciones.
POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.
POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se
1. División de polinomios por monomios
1. División de polinomios por monomios El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: como coeficiente, el cociente de los coeficientes; como parte literal, las letras que
REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o
4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN
4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,
Polinomios y fracciones algebraicas
UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,
TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro
1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):
Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen
La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:
Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número
Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x
Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
14 Expresiones algebraicas. Polinomios
PARADA TeÓRICA 14 Expresiones algebraicas. Polinomios Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números, letras, ligados entre sí con la adición, sustracción,
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (
Ejercicios Resueltos del Tema 4
70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la
Descomposición factorial de polinomios
Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de
Factorización de polinomios
Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes
Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2
SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de
Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes
4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,
. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.
Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes
Polinomios y Fracciones Algebraicas
Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.
EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO
RECONOCER OBJETIVO EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los términos del polinomio.
Operaciones con polinomios
5 Operaciones con polinomios 5.1 Igualdades notables El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (a + b) a + ab + b El
2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42
PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen
Observaciones del profesor:
Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: 60 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 4 puntos) Se considera la matriz: A=( ) a) Determina la matriz B= A 2-2A 1,5 PUNTOS b) Determina los
Polinomios. Antes de empezar
Antes de empezar Utilidad de los polinomios Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones polinómicas,
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
82652 _ 0275-0286.qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS 1. Dado el polinomio A(x)=x +3. Halla: a) (B(x)) y b)(b(x)) 3. a) Define valor numérico de un polinomio P(x) en x=a. b) Halla el valor numérico del polinomio P(x) =
Notaciones y Pre-requisitos
Notaciones y Pre-requisitos Símbolo Significado N Conjunto de los números naturales. Z Conjunto de los números enteros. Q Conjunto de los números enteros. R Conjunto de los números enteros. C Conjunto
Polinomios y fracciones algebraicas
829566 _ 0249-008.qxd 27/6/08 09:21 Página 27 Polinomios y fracciones algebraicas INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de
3 Polinomios y fracciones algebráicas
Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los
5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta
5 Operaciones con polinomios 1. Polinomios. Suma y resta Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = 6 2 b) V() = 3 P I E N S A Y C A L C U L A 1 Dado el prisma
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Polinomios Definición: P es un polinomio en el conjunto de los números reales si y sólo si P es una función de
Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.
2010 Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2010 . INDICE: 01. APARICIÓN DE LAS FRACCIONES. 02. CONCEPTO DE FRACCIÓN. 03.
4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA
4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
Tema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO
IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado
Polinomios y Ecuaciones
Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números
Polinomios y fracciones algebraicas
0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica
6 División de polinomios. Raíces
6 División de polinomios. Raíces ACTIVIDADES INICIALES 6.I. 6.II. Si quieres ampliar una foto de x por y píxeles a 4y por x píxeles, cuántos píxeles nuevos tendrás que rellenar? 4y x x y = 6xy píxeles
DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO.
DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. En ocasiones, en matemáticas, necesitamos operar con números desconocidos. Para ello, se toman letras para representar esas cantidades desconocidas o
Propiedades de les desigualdades.
Desigualdades Inecuaciones Diremos que a < b a es menor que b si b a es un número positivo. Gráficamente, a queda a l esquerra de b. Diremos que a > b a mayor que b si a b es un número positivo. Gráficamente,
3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes
Qué son los monomios?
Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes
Congruencias de Grado Superior
Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CONCEPTOS IMPORTANTES FRACCIÓN: Es la simbología que se utiliza para indicar que un todo será dividido en varias partes (se fraccionará). Toda fracción tiene dos partes básicas:
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. REPASO DE MATEMÁTICAS DISCRETA. CONGRUENCIAS. En el conjunto de los números enteros
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS REPASO DE MATEMÁTICAS DISCRETA. CONGRUENCIAS. En el conjunto de los números enteros Z = {..., n,..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n, n + 1,...} tenemos definidos una suma y un producto
POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS
POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas
( x ) 2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. 1 Saca factor común: 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio:
Pág. 1 Página 95 PRACTICA Factor común e identidades notables 1 Saca factor común: a) 9x 2 + 6x 3 b) 2x 3 6x 2 + 4x c) 10x 3 5x 2 d) x 4 x 3 + x 2 x a) 9x 2 +6x 3 = 3(3x 2 + 2x 1) b) 2x 3 6x 2 + 4x = 2x(x
TALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0.
NOTAS Toda expresión algebraica del tipo es un polinomio de grado n, si a n 0. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 RELACIONES DE DIVISIBILIDAD 1) x n a n = (x a)(x n 1 + ax n 2 + a 2 x n 3 +... +
Polinomios y fracciones
BLOQUE II Álgebra 3. Polinomios y fracciones algebraicas 4. Resolución de ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 3 Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA
http:/// CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON: I. GUIONES DE CONFERENCIAS II. FICHAS DE ESTUDIO III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS Trata las unidades siguientes:
MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas Elaborado por la Profesora Doctora
Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes.
Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta un informe Teórico práctico donde describas el procedimiento para realizar cada operación y al
UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez
UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez 1 ESQUEMA ESQUEMA-RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD Álgebra (Concepstos básicos) Suma Resta Multiplicación División OPERACIONES
SUCESIONES INFINITAS
SUCESIONES INFINITAS 1 2 Ejercicio: Cálculo del término general de una sucesión: Encontrar el quincuagésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7,... Es una progresión aritmética de diferencia 2. Su término
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Límite de una función
Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina
Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar info@faena.edu.ar TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución
) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA
Factorización de polinomios
ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 1 Factorización de polinomios Objetivos 1. Factorizar completamente polinomios mediante los métodos de factor común, diferencia de cuadrados, diferencia
OPERACIONES CON POLINOMIOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,
Tema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA CARACAS, MARZO DE 2013 ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL CONTENIDO Base del sistema decimal Nomenclatura Ordenes Subordenes
CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS
CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...
Multiplicación. Adición. Sustracción
bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.
1. Suma y producto de polinomios. Propiedades
ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Resumen teoría Prof. Alcón 1. Suma y producto de polinomios. Propiedades Sea (A, +,.) un anillo conmutativo. Llamamos polinomio en una indeterminada x con coeficientes
5 Expresiones algebraicas
8948 _ 04-008.qxd /9/07 :0 Página 9 Expresiones algebraicas INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras
Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria
Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?
PROBLEMAS RESUELTOS. CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Algebra Baldor
PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto CASO IV Diferencia de cuadrados
Operaciones con polinomios
Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución. La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de
Repasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional
Repasando lo aprendido......con una propuesta autoinstruccional Te propongo un rápido repaso en matemática básica, que te será de suma utilidad para fijar los conocimientos dados. Sólo te brindo una guía
Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 2014
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna [ 5 puntos] Sabiendo que Sabiendo que 0 0 cos(3) - e + a sen() Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre
UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS
UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS En nuestra educación matemática se nos introdujo muy pronto -generalmente en los primeros años de secundariaal estudio de los polinomios. Durante una temporada que parecía
Ecuaciones de primer y segundo grado
Igualdad Ecuaciones de primer y segundo grado Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2.
Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología
Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
45 EJERCICIOS de POLINOMIOS 4º ESO opc. B
EJERCICIOS de POLINOMIOS º ESO opc. B 1. Calcular el valor numérico del polinomio P(x) para el valor de x indicado: a) P(x)x +1, para x1 b) P(x)x +1, para x-1 c) P(x)x +x+, para x d) P(x)-x -x-, para x-
b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales.
1. 1.1 Epresiones algebraicas 1.1 Epresión algebraica. En matemáticas una epresión algebraica es un conjunto de letras y números, ligados por los signos de adición, sustracción, multiplicación, división,
M a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la
f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0
FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables
Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Curso Propedéutico de Matemáticas Unidad IV Secciones 6 y 8) 0.6 Operaciones con epresiones algebraicas. 0.8 fracciones
Capitulo 4. Polinomios
Capitulo 4. Polinomios Objetivo. El alumno usará y analizará los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para obtener raíces. Contenido. 4.1 Definición de polinomio. Grado de un polinomio.
Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo
POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N
Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia
Juan-Miguel Gracia Índice 1 Valores propios 2 Polinomio característico 3 Independencia lineal 4 Valores propios simples 5 Diagonalización de matrices 2 / 28 B. Valores y vectores propios Definiciones.-
Propiedades de los límites
SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante
Tema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -
SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 - SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina www.frro.utn.edu.ar e-mail: ingreso@frro.utn.edu.ar
43 EJERCICIOS de POLINOMIOS
EJERCICIOS de POLINOMIOS 1. Calcular el valor numérico del polinomio P(x) para el valor de x indicado: a) P(x)x +1, para x1 b) P(x)x +1, para x-1 (Soluc: a) ; b) 0; c) 8; d) -) Ejercicios libro: pág. 1:
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Fundamentos de la Matemática 1 Operaciones Binarias Dado un conjunto A, A, decimos que es una operación binaria en A si, y sólo si, : A A A es una función. Investigar si los siguientes son ejemplos de