LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS ENSAYOS

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1 LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS ENSAYOS ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA 00

2 INDICE Contenido Página Números Enteros, operatoria, propiedades Números racionales, operatoria, propiedades 0 Potencias, propiedades, aplicaciones 0 4 Operatoria algebraica 6 5 Simbología 8 6 Razones y proporciones 4 7 Tanto por ciento 49 8 Raíces, propiedades, aplicaciones 57 9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de 64 ecuaciones 0 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 79 Ecuación de segundo grado 8 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 85 Funciones, operatoria, tipos de funciones 88 4 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de 08 Pitágoras, teorema de Euclides 5 Congruencia de triángulos 9 6 Semejanza de triángulos 7 Cuadriláteros 4 8 Polígonos 5 9 Ángulos en la circunferencia 5 0 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 6 Poliedros, volumen 66 División interior y exterior 7 Trigonometría 75 4 Probabilidad 8 5 Estadística 98 6 Transformaciones isométricas 09 7 Teorema de Tales 8 Evaluación de suficiencia de datos 6 9 Respuestas 4 0 Resumen contenidos Primer año medio 48 Resumen contenidos Segundo año medio 58 Resumen tercer año medio 69 Resumen Cuarto año medio 80 4 Ensayo 90 5 Ensayo 08 6 Ensayo 9 7 Ensayo Ensayo Ensayo 6 84

3 RESUMEN PSU MATEMATICA I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN 0 ) Los elementos del conjunto ln = {,,, } se denominan números naturales. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos ln 0 = {0,,, } llamado conjunto de los números cardinales. NÚMEROS ENTEROS (Z) Los elementos del conjunto Z = {, -, -, -, 0,,, } se denominan números enteros Algunos subconjuntos de Z son: Z + = {,,, } enteros positivos Z + 0 = {0,,, } enteros no negativos Z - = {-, -, -, } enteros negativos Z 0 = {0, -, -, -, } enteros no positivos. Son cuadrados perfectos los enteros:, 4, 9, 6, 6, 49, 64, 8, 00,, 44, 69, 96, 5, 56,. Son cubos perfectos los enteros:, 8, 7, 64, 5, 6, 4, 5, 79, 000, y también: -, -8, -7, -64, -5, -6, -4, MÚLTIPLO Y DIVISOR En la expresión a = b c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible: Por Cuando Termina en cifra par. La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 0 Termina en cero. La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.

4 NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son:,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 0,, 4, 5, 6, 8, 0,, TEOREMA FUNDAMENTAL Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor común entre dos o más enteros. CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Se descomponen los números en factores primos:. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor. OPERATORIA EN Z ADICIÓN i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común. ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto. MULTIPLICACIÓN i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo. ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. VALOR ABSOLUTO Es la distancia que existe entre un número y el 0 n, si n 0 DEFINICIÓN: n si n < 0 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Si D: d = c, entonces D = d c + r r // D = dividendo d = divisor c = cuociente o cociente r = resto 4

5 OBSERVACIONES: ) 0 r < d ) La división por cero no está definida. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:. Resolver los paréntesis.. Realizar las potencias.. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. 4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIÓN DE ORDEN EN Z Si a y b son números enteros, entonces diremos que: i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo. iii. a b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez). EJEMPLO PSU-: Si al entero ( ) le restamos el entero ( ), resulta A) B) C) 4 D) 4 E) ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + = A) m + n + B) 0m + n + C) 00m + n + D) 00m + 0n + E) 0(m + ) + n EJEMPLO PSU-: Si n = y m = -, cuál es el valor de nm (n + m)? A) - B) -5 C) 5 D) 7 E) -7 5

6 EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 7 golosinas para repartir entre niños invitados. Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna? A) B) 0 C) D) 0 E) 7 EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco? A) $ 8p B) $ 0p C) $ p D) $ 6p E) $ 4p EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números anteriores. Cuál es el valor de x? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 6 x EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras: Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La décima figura de la secuencia está formada por círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar de círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras consecutivas es A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 6

7 EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $0. Estas monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $00, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 7 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-9: Se define valor de ( 5) # (-) es: a b = a b + b y a # b = a - 4b, para a y b números enteros, el A) 8 B) 66 C) 60 D) 8 E) EJEMPLO PSU-0: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, (x + 7), (x - 9), 4(4x + ),..., resulta A) 4x - B) 6x + 5 C) 4x - 09 D) 4x + 09 E) 4x - EJEMPLO PSU-: De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $.000 usando billetes de $ $ o $.000 o combinaciones de ellos? A) De forma B) De formas C) De 4 formas D) De formas E) De 6 formas EJEMPLO PSU-: Si hoy es miércoles, qué día de la semana será en 00 días más, a partir de hoy? A) Viernes B) Sábado C) Lunes D) Miércoles E) Jueves 7

8 EJEMPLO PSU-: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 pasteles de $ 40 cada uno, cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 80 cada uno? A) $80 B) $00 C) $0 D) $00 E) $ 40 EJEMPLO PSU-4: El precio de los artículos M, N y T son $(n-), $(n-) y $(n -), respectivamente. Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T? A) 6n - 4 B) 6n 6 C) 5n 4 D) n 4 E) n - 6 EJEMPLO PSU-5: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros positivos. Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q? A) p = nq + r B) q = np + r C) q = np D) p = nq p E) = + q q EJEMPLO PSU-6: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: Cada malas se descuenta buena y omitidas equivalen a mala. Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 5 malas y 9 omitidas? A) 8 B) 6 C) 9 D) 0 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-7: Si 6(n + 8) = 6, entonces n - 5 es igual a A) - B) -7 C) - D) 4 E) 8

9 EJEMPLO PSU-8: M, N y P son números enteros mayores que. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el, cuando M = 9 y N = 8, cuál es el menor valor posible de P? A) 7 B) 5 C) 4 D) E) EJEMPLO PSU-9: En un triángulo equilátero de lado.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:.000 A).000 B) C) D) E) 5 EJEMPLO PSU-0: La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I) divisible por II) divisible por 6 III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 9

10 II. NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma b a con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a c Si, Q, entonces: b d OBSERVACIONES. El inverso aditivo (u opuesto) de b a es - b a, el cual se puede escribir también como a b o a b. El número mixto A c b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a c Si, Q, entonces: b d MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN OBSERVACIÓN a a b El inverso multiplicativo (o recíproco) de es =, con a 0 b b a 0

11 RELACIÓN DE ORDEN EN Q OBSERVACIONES. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a) igualar numeradores. b) igualar denominadores. c) convertir a número decimal.. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,45 tiene cifras decimales b) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. Ejemplo: 0, = 0,4 c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. Ejemplo: 4,4... = 4,4 OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo: 0,9,8 +, 6,0. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. Así por ejemplo:,, ,8

12 . División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 0. Así por ejemplo:,4:, se amplifica por 00 4: 0 y se dividen como números enteros TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 0 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. 4 Por ejemplo:,4 = 00. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. 5 Por ejemplo:,5 = 99. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo Por ejemplo: 5,4 = 90 0,05 EJEMPLO PSU-: 5 0,5 A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500 EJEMPLO PSU-: El orden de los números a =, b = 6 5 y c = 8 de menor a mayor es A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a EJEMPLO PSU-: 40-0,5 + 0 = A) 0 B) -0 C) 60 D) 75 E) 50

13 9 EJEMPLO PSU-4: = 8 5 A) 0,5 B) 0,5 C) 0,5 D) 0,55 E) EJEMPLO PSU-5: Si a 6 5 se le resta resulta: A) B) C) D) E) 4 9 EJEMPLO PSU-6: 5 A) 6 B) 6 C) D) 4 E) ,75 0,5 8 EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,0, entonces A) 80,89 B) 80,9 C) 88,9 D) 89 E) Ninguno de los valores anteriores t r = r

14 EJEMPLO PSU-8: En la igualdad =, si P y R se reducen a la mitad, entonces P Q R para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe A) duplicar. B) reducir a la mitad. C) mantener igual. D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte. EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ para gastar en entretención. Si se sabe que cobran $.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más horas de pool II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar,5 horas de pool y conectarse,5 horas a internet A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-0: + + = x x x A) B) C) D) E) x x x x 4

15 EJEMPLO PSU-: Si P = RH, entonces H - es igual a: P A) R R B) P P C) R R D) P R E) P EJEMPLO PSU-: + = 6 5 A) B) 5 C) 9 D) E) 4,6,8 EJEMPLO PSU-: =,6 6 +,8 A) 5 B) 9,4 C) D) E) 5 9,4,8 9,4 7,6 9,8 5

16 EJEMPLO PSU-4: + = 4 A) B) C) 6 D) E) ,5 EJEMPLO PSU-5: 00 = (0,5) A) 0 B) C) 0, D) 0,5 E) 0,75 EJEMPLO PSU-6: Una persona debe recorrer, kilómetros y ha caminado metros. Cuánto le falta por recorrer? A) 4,45 km B) 4,55 km C) 5,55 km D) 5,45 km E) 6,6 km EJEMPLO PSU-7: Si a es un número natural mayor que, cuál es la relación correcta entre las fracciones: p = t = r = a a a+ A) p <t < r B) r < p < t C) t < r < p D) r < t < p E) p < r < t 6

17 EJEMPLO PSU-8: Se mezclan litros de un licor P con litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, cuál es el precio de los 5 litros de mezcla? a+ b A) $ a+ b B) $ 5 C) $(a + b) D) a + b $ 8 E) 5 (a + b) $ 8 EJEMPLO PSU-9: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los litros. Cuántos litros le faltan para llenarlo? A) B) C) D) E) EJEMPLO PSU-0: + = 4 A) B) 4 C) 5 D) 4 E) 7

18 EJEMPLO PSU-: Se define a b = ab, entonces a (b c) es igual a: A) B) C) D) E) abc a bc bc a ab c c ab EJEMPLO PSU-: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si P = b a + d y Q = c a + d, cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)? I) P - Q 0 P c II) = Q b III) P Q = A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. a + d bc EJEMPLO PSU-: = A) B) 5 C) D) 5 E) 8

19 EJEMPLO PSU-4: tres atletas corrieron los 00 metros planos, Javier cronometró, segundos, Arturo,0 segundo y Marcelo, segundos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 8 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la meta III) Arturo llegó primero A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 00 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, por cuál número se debe multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan? A), B) 00 C).00 D) 6 E) 0,0 EJEMPLO PSU-6: Sean a, b y d números enteros positivos. Si bd A) a ad+ ab B) bd b+ d C) a b+ d D) a bd E) a(b+ d) a a S = +, entonces b d S es: EJEMPLO PSU-7: A) 5 B) 0 C) 5 D) 5 (0,) = E) 5 9

20 III. POTENCIAS EN Z DEFINICIÓN PROPIEDADES n. 0 = 0, si n Z + n. = n. Si n es par, ( ) = 4. Si n es impar, n ( ) = - n Positivo Signos de una potencia: a = Negativo si si a 0 a< 0 y y n n es par es impar MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS Sean a y b Z, m y n Z +.- Multiplicación de potencias de igual base.- División de potencias de igual base.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente 4.- División de potencias de distinta base e igual exponente DEFINICIÓN OBSERVACIÓN: 0 0 no está definido POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO POTENCIAS DE BASE = 0 = 0 =0, 0

21 0 = 0 0 = 00 0 = =0, = =0, = 000 Las potencias de base 0 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k k < 0 y n Z. n 0, en que. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 0 n, en que p es el menor entero y n Z.. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...) abcde = a 0 + b + 4 EJEMPLO PSU-: 5 = A) 5 B) 5 C) 7 5 D) 5 7 E) 5 0,0009 0, EJEMPLO PSU-: = 6 0,000 A) 0-5 B) 0 - C) 0-7 D) 0-6 E) Ninguno de los valores anteriores 0 + c 00 + d 0 + e 0 EJEMPLO PSU-: El orden de los números: M = 4,5 0 ; N = 45, 0 y P = 45 0, de menor a mayor, es A) M, N, P B) P, M, N C) N, M, P D) P, N, M E) M, P, N 6 5 7

22 EJEMPLO PSU-4: a = 6 A) 8a B) 8a 5 C) a D) a 8 E) a EJEMPLO PSU-5: Si A) 6 9 B) C) D) E) Ninguna de las anteriores 4 EJEMPLO PSU-6: 4 + = A) 8 B) 4 C) 6 D) 8 E) 6 EJEMPLO PSU-7: ( a) (a) = x = 8, cuántas veces x es igual a 9? A) 7a B) 7a 5 C) 6a 5 D) 6a 6 E) 6a 5

23 EJEMPLO PSU-8: Cuál es la mitad de A) 5 B) C) 6 D) E) 6 6? EJEMPLO PSU-9: Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)? n n n I) a a = a II) a n III) (a A) Solo I B) Sólo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III a n ) n = a = a n n EJEMPLO PSU-0: Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 4? 4 I) + 5 II) III) A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II, III E) Ninguna de ellas 0 EJEMPLO PSU-: El valor de la expresión n A) B) 4 C) D) 6 E) 6 n n n+ n es

24 ,6 0 0,00006 EJEMPLO PSU-: = A),08 0 B),08 0 C),08 0 D),08 0 E), EJEMPLO PSU-: En la igualdad 4 = A) B) C) D) E) ninguno de los valores anteriores 6 n n 4 n , el valor de n es: EJEMPLO PSU-4: (0,) = A) 5 B) 0 C) 5 D) 5 E) 5 5 a b EJEMPLO PSU-5: = 5 a b 9 A) 7 B) C) D) E) a a a 8 4 b b b EJEMPLO PSU-6: Si A) B) C) 4 D) 6 E) 7 6 x. Entonces x= 9 9 = 4

25 EJEMPLO PSU-7: Si una colonia de bacterias se triplica cada 0 minutos e inicialmente hay de ellas, el número de bacterias que hay al término de horas es: A) bacterias B) bacterias C) bacterias D) bacterias E) bacterias EJEMPLO PSU-8: Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-? x I) 4 = 64 A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III II) 4 x III) (4 4 ) x = = 64 EJEMPLO PSU-9: Si p = 5, 0 y q = 0, cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)? I) p + q = 7, 0 II) p q =,04 0 III) p q =, A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 5 EJEMPLO PSU-0: Si A) P B) P + C) P D) P E) P x x + = P, entonces 9 x x + 9 es igual a: 5

26 IV. ALGEBRA y FUNCIONES EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a (b c) = (a b) c MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad 6

27 POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. PRODUCTOS NOTABLES: Cuadrado de binomio: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b Suma por su diferencia: (a + b) (a b) = a b Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x + (a + b) x + ab Cubo de binomio: (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = a a b + ab b Cuadrado de trinomio: (a + b + c) = a + b + c + ab + bc + ac (a b c) = a + b + c ab bc - ac Suma de cubos: (a + b) (a ab + b ) = a + b Diferencia de cubos: (a b) (a + ab + b ) = a b EJEMPLO PSU-: La expresión 4 A) ( a b) B) ( a+ b) (a b) C) (a b )(a+ b) D) (a + b )(a b ) + E) (a b)(a b ) a 4 4 b se puede escribir como EJEMPLO PSU-: Si n = (a + b) y p = (a b), entonces a b = A) n p B) 4 4 n p 4 C) n p 4 D) n p 4 E) 4(n p) 7

28 EJEMPLO PSU-: La expresión A) B) C) D) E) 0 a xy ax y xa(y ) xy a y xy x ay a : y y es igual a: EJEMPLO PSU-4: Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n)? a+ I) + a a b II) (a b) A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III III) a (b a) + b ab EJEMPLO PSU-5: El doble de [ ( a ( b)) ] A) a + b B) a - b + C) a + b + D) a + b E) -a - b EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide x + y. Si su perímetro mide 0x + 6y, cuánto mide el ancho del rectángulo? A) x + y B) 4x + y C) 7x + 4y D) x + y E) 7 x + y 8

29 EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es ), el otro lado mide A) (x + 8) B) (x + 8) C) (x - 4) D) (x - ) E) (x + 4) x + x - 4. Si uno de sus lados mide (x - EJEMPLO PSU-8: Si A) -9 B) 6 C) 4 D) E) a b a+ = 9 y = 6, b b entonces a b EJEMPLO PSU-9: Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica x 6x 0? I) II) (x 5) III) (x + ) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-0: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide z, entonces cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo? A) 4 z z B) C) z z D) z E) 4 EJEMPLO PSU-: Si x =, entonces (x )( ) = A) 45 B) 75 C) 5 D) 75 E) 05 x 9

30 x y EJEMPLO PSU-: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces + = y x x + y A) xy x + y B) xy C) x + y D) xy E) EJEMPLO PSU-: (w ) (w )(w + ) = A) w w - 4 B) w w + C) w w -5 D) w w + E) w w + 4 EJEMPLO PSU-4: Si 4(x + ) = 5(6 + x), entonces x es: A) 9 B) 6 C) 8 7 D) 0 E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-5: Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k + k 6? A) k + B) k + C) k 6 D) k E) k 0

31 EJEMPLO PSU-6: En la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a + ab + b II) El área de la región achurada es (a + b) III) El área de AEFD es b + ab A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-7: Si x es un número entero mayor que y el área de un rectángulo se expresa como (x + 5x 6), cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados? A) (x ) y (x 5) B) (x + ) y (x ) C) (x ) y (x + 6) D) (x + ) y (x 6) E) (x ) y (x ) EJEMPLO PSU-8: Dada la expresión expresiones es (son) factor(es) de ella? I) xy + II) x + III) y + A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III x y + x y+ xy+ x, cuál(es) de las siguientes n n EJEMPLO PSU-9: Si n es un número natural, una expresión equivalente a ( ) es: A) B) C) 4 D) 6 E) 8 (n ) (n ) (n ) (n ) (n )

32 EJEMPLO PSU-0: a [a a (a a) a a]: a = A) a B) a C) a D) a E) a - 5a+ 4 a 6 EJEMPLO PSU-: = a 6 a 4 a+ A) (a ) a B) (a a C) (a a D) (a + 5 ) 5 ) ) a E) a 0 EJEMPLO PSU-: Si mx mp = y x p = m, entonces (x + p) = A) B) m C) m D) m E) 4 m EJEMPLO PSU-: a a( a) A) - a B) a C) 0 D) a E) a EJEMPLO PSU-4: Si a b = 0 y a + b = 9, entonces el valor de (a b) es: A) 9 B) 9 C) 9 D) 49 E) No se puede determinar el valor

33 EJEMPLO PSU-5: Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a A) (m n) B) m + n C) m 4mn + n D) m 4mn + n E) m mn + n ( m+ n) 4mn? EJEMPLO PSU-6: Sea m 0, al simplificar la expresión A) 0 r B) r C) m r D) mr E) m mr resulta: m x x EJEMPLO PSU-7: Al sumar con m se obtiene, entonces cuál es el valor de de t t + m? A) 0 x B) t(t + ) x C) t + x D) t(t + ) E) t(t + ) EJEMPLO PSU-8: (0 + 5) (0 + 5)(0 5) = A) 0 B) 50 C) 00 D) 50 E) 450

34 EJEMPLO PSU-9: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a y el segundo $(a b). Cuánto le costo el tercero? A) $ a B) $ 7a C) $ (a b) D) $ (a + b) E) $ (a + b) EJEMPLO PSU-0: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 4 E) Ninguno de los anteriores x EJEMPLO PSU-: Si el ancho de un rectángulo es y el largo es el doble del ancho. Cuánto mide su perímetro? 9x A) B) x 9x C) D) 9x E) 6x EJEMPLO PSU-: Si equivale a: a =, b= y c=, entonces la expresión x (a + b + c) x 4x 6x x A) x x 7 B) x x C) D) x 7 E) x 4

35 EJEMPLO PSU-: Dada la siguiente figura: Se sabe que a y b son positivos y a > b. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de lado a y el lado de b. III. a(a + b) > a + b A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-4: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. Cuál es el área sombreada? A) 8 x B) 64 4x C) 64 x D) 8 x E) 64 x 4 EJEMPLO PSU-5: Si a b= (a+ b) y a# b= (a + b ), a cuánto equivale la expresión A) -m + 8p B) -m + 6mp + 8p C) 8m + 6mp p D) -m + mp + 8p E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-6: Si m = y b = 5, entonces {m - (m - b)} es igual a A) -0 B) 0 C) D) -5 E) 5 5

36 EJEMPLO PSU-7: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s) A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo I y III EJEMPLO PSU-8: Si n =, entonces A) 6 B) 9 C) 4 D) 7 E) 8 n n + n es igual a: EJEMPLO PSU-9: x + y x y = 4 A) x y 4 B) x y 9 C) x y 9 4 D) x y 6 E) Ninguna de las expresiones anteriores EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como: A) x(z y) B) x(y z) C) xz xy D) x(z+ y) E) 6

37 x+ y x y EJEMPLO PSU-4: para que la expresión = sea positiva, se debe cumplir x+ y + x y necesariamente que: A) xy < 0 B) x < 0 C) xy > 0 D) y < 0 E) x > y EJEMPLO PSU-4: Si x = -, cuál es el valor de la expresión A) -9 B) - C) - D) E) 4 x x + x? EJEMPLO PSU-4: Cuál es el valor de x xy, si x = e y =? A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 0 EJEMPLO PSU-44: a [ a ( a + b c)] = A) a + b c B) a + b c C) a b + c D) a b c E) a + b + c EJEMPLO PSU-45: (m 5p) = A) 6m 0p B) 9m 5p C) 9m 5mp + 5p D) 9m 0mp 5p E) 9m 0mp + 5p 7

38 V. SIMBOLOGÍA: Números natural cualquiera = n El antecesor de un número = n El sucesor de un número = n + Número natural par = n Número natural impar = n El cuadrado del sucesor de un número = (n + ) El sucesor del cuadrado de un número = n + El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n Dos números naturales impares consecutivos = n, n + El inverso aditivo u opuesto de un número = n El inverso multiplicativo o recíproco de un número = n El triple de un número = n Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 0d + u Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 00c + 0d + u La razón o cuociente entre p y q = q p El valor absoluto de un número = n p p es directamente proporcional a q = = k(cons tan te) q p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante) EJEMPLO PSU-: El doble del cuadrado de (x ) se expresa por: A) [(x-)] B) (x ) C) (x 6) D) (x ) E) (x ) 8

39 EJEMPLO PSU-: Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4? x A) + 5 = 4 5 x B) + 5 = x 5 x C) + 9 = x 5 x D) + 9 = x 5 x E) + 5 = 4 5 EJEMPLO PSU-: El enunciado: A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe A) d+ d d B) d+ d (d) C) (d+ d) (d) D) (d+ d) d E) (d+ ) (d) EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como A) n+ B) E) n n C) n+ n + n n D) n+ ( n) + ( n) EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades, entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como A) πr B) πr D) π(r C) π(r + ε + ε E) π(r+ ε) + ε + ε) ) 9

40 EJEMPLO PSU-6: Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t, se escribe A) 5m+ m t B) m + m 5 t C) m 5m+ t m m D) + 5 t E) m + m 5 t EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 5% de la edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 0 años, en cuál de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan? J A) M = 4 y J+ = 0 J B) M = 4 y J = 0 J C) M+ = 4 y J = 0 J D) M = 4 y J = 0 J E) M+ = 4 y J+ = 0 EJEMPLO PSU-8: hace años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. Cuál será la suma de sus edades en a años más? A) ( + a) años B) ( + a) años C) ( + a) años D) (8 + a) años E) (5 + a) años EJEMPLO PSU-9: La expresión: El doble del cuadrado de ( + b) es igual al cuadrado del doble de ( b) se representa como: A) C) [ ( + b] B) 4( + b) [ ( + b] D) ( + b) E) ( + b) = ( b) = 4( b) = ( + b)( b) = ( b) = [ ( b) ] 40

41 EJEMPLO PSU-0: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es: A) (4x + 6) metros B) (x + 8) metros C) (x + 6) metros D) (4x + 8) metros E) (4x + ) metros EJEMPLO PSU-: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 9. Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este problema? A) [x + (x + ) + (x + )] = 9 B) x + (x + ) + (x + ) = 9 C) (x ) + x + (x + ) = 9 D) (x ) x (x + ) = 9 E) x (x + )(x + ) = 9 EJEMPLO PSU-: La expresión: para que el doble de (a + c) sea igual a 8, le faltan 4 unidades, se expresa como A) a + c + 4 = 8 B) (a + c) 4 = 8 C) (a + c) + 4 = 8 D) 4 (a + c) = 8 E) a + c 4 = 8 EJEMPLO PSU-: Compré x kg de café en $ y compré 40 kg más de té que de café en $ Cómo se expresa el valor de kg de café más kg de té, en función de x? A) + x x B) + x x 40 x x+ 40 C) x x 40 D) E) + x 40 4

42 VI. RAZONES y PROPORCIONES RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe b a o a: b. Y se lee a es a b ; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente. x y PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe = ó x: a = y : b a b Y se lee x es a a como y es a b ; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) (x b = y a) OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka, y = kb ; k 0 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. OBSERVACIONES: En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x y = x y = x y =...= x n y n = k k : constante OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera 4

43 EJEMPLO PSU-: Dada la siguiente tabla: A B x,5 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es. III. La constante de proporcionalidad inversa es 0. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III I. 4 electricistas harán el trabajo en días, trabajando 8 horas diarias. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. III. La constante de proporcionalidad es. EJEMPLO PSU-: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 00 árboles. Si hay 0 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7:, entonces cuántos duraznos hay en la quinta? A) 54 B) 77 C) 84 D) 6 E) 0 4

44 EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 6, x =. Si x = 8, entonces y = A) B) 4 C) D) 4 E) 9 EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 70 mm en tres trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas? A) 80 mm 0 mm 90 mm B) 40 mm 80 mm 0 mm C) 0 mm 40 mm 60 mm D) 50 mm 0 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número b y cuando a toma el valor 5, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es: A) 0 B) 8 5 C) 5 8 D) 0 E) 5 4 EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que cm en él corresponden a 5 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es A) 50 km B) 65 km C) 67,5 km D) 6,5 km E) ninguno de los valores anteriores. 44

45 EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N A) aumenta al doble. B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades. D) disminuye en dos unidades. E) se mantiene constante. EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a y. Según los datos registrados, el valor de b a, es A) 56 B) 6 C) 6 D) 64 E) 64 z y 8 a 4 6 b 4 EJEMPLO-0: La escala de un mapa es : Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es,5 cm, cuál es la distancia real entre ellas? A,75 km B 7,5 km C 75 km D.750 km E km EJEMPLO PSU-: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los pesos de M y S es : 4, entonces S: K = A) 4: 7 B) 4: C) 7: 4 D) : 7 E) : 4 45

46 EJEMPLO PSU-: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es P V = constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura T absoluta. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al volumen III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la temperatura A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón : :. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, cuántos litros tiene la mezcla total? A 6 litros B 0 litros C litros D 4 litros E 6 litros EJEMPLO PSU-4: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m: h. Cuál es la expresión que representa el número de mujeres? 40m A) m+ h 40(m + h) B) m 40(m + h) C) h 40h D) m+ h 40m E) h 46

47 EJEMPLO PSU-5: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 6 II) El valor de t es 9 III) El valor de m es 6 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas EJEMPLO PSU-6: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada hombres, cuántas mujeres asistieron al evento? A) 8 B) C) 4 D) 8 E) EJEMPLO PSU-7: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día? hx A) 50 50x B) h x C) 50h h D) 50x E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-8: En un balneario, hay.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, cuántas personas hay en febrero? A) 46 B) C).500 D) E)

48 EJEMPLO PSU-9: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho? x A) = y w v = 8 u B) x u = y w + v = 8 w C) x u = y = 8 v D) x + u = y w v = 8 E) x + w = 0 EJEMPLO PSU-0: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 5 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 0 días. Cuántos días se demorará Y trabajando solo? A) 0 B) 8 C) 5 D) 0 E) 5 EJEMPLO PSU-: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,5, entonces entre ambos índices se cumple: A) D = 0,5C B) D = C 0,5 C) D = C D) D = 0,5C 0,5 E) D = C EJEMPLO PSU- : Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se contratara electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían días, trabajando 8 horas diarias II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 48

49 TANTO POR CIENTO El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 00: P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es P P% de C = C 00 OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar a% de C ± b% de C = (a ± b)% de C ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos El a% del b% de C = a 00 b 00 INTERÉS SIMPLE Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final C F después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula: i C F = C + n 00 OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable. INTERÉS COMPUESTO Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final C F después de cumplido el periodo n es: C C F = C + i 00 n 49

50 OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses. EJEMPLO PSU-: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 8 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, cuál es el total de trabajadores? A) 08 B) 7 C) 80 D) 90 E) 54 EJEMPLO PSU-: Una persona deposita $.000 y en tres años gana $57,5. Calcular el interés simple anual. A) 5% B) 5,5% C) 5,5% D) 5,75% E) 5,75% EJEMPLO PSU-: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 0% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 5% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 8.50 y luego, compra dos pares de zapatos. Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. Cuánto debe vender para ganar $ en el mes? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $

51 EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 50 cc cada uno, se llena un jarro. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 5 cc, se necesitarían 0 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 5%, se necesitarían 4 vasos para llenar el jarro. III) Con vasos de 50 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para personas sentadas y otro B para Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el 5% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en.000 a la capacidad de B. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 0 litros que equivalen al 5% de su capacidad, entonces para que llegue al 0% de su capacidad hay que agregar A) 4 litros. B) 4 litros. C) 40 litros. D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores. 5

52 EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 0%, 0% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,? A) 5,0 B) 5, C) 5, D) 6,0 E) 6, EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 0% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original? A) Se mantiene igual. B) Aumenta en un 4%. C) Disminuye en un 4%. D) Aumenta al doble. E) Disminuye a la mitad. EJEMPLO PSU-0: Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el,5% del precio de un artículo? I) 8 del precio del artículo II) El precio del artículo multiplicado por,5 III) El precio del artículo dividido por 00 y multiplicado por,5 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III EJEMPLO PSU-: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m de cerámica y 00 m de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es de: A) $ 45 P B) $ 70 P C) $ 75 P D) $ 45 P E) $ 95 P 5

53 EJEMPLO PSU-: Si el 5% de a es 4 y el % de b es 6, entonces el valor de a b es: 400 A) 7 5 B) 8 8 C) 5 5 D) 8 8 E) 5 EJEMPLO PSU-: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades? A) Menos del 9%. B) Entre el 9% y el 9%. C) Entre el 9% y el 95%. D) Entre el 95% y el 97%. E) Más del 97%. EJEMPLO PSU-4: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m en el primer piso y 40 m en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un 60% más cara, cuál de las siguientes expresiones representa el costo total C en alfombras? A) C =,6 p 00 + p 00 B) C = 0,6 p 00 + p 00 C) C = 0,6 p 60 + p 40 D) C = p ,6 p 40 E) C =,6 p 60 + p 40 EJEMPLO PSU-5: El día lunes, en un curso de 6 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Faltó la cuarta parte del curso II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 5% del curso A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 5

54 EJEMPLO PSU-6: Un niño aumenta su peso de 5 kg a 8 kg. El porcentaje de aumento es: A) % 5 B) % 6 C) % D) 0% E) 0% EJEMPLO PSU-7: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 0% es geometría, el 0% es álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son: A) 4 B) 8 C) 0 D) E) 8 EJEMPLO PSU-8: En una casa comercial hacen un descuento de un 5% de la mitad del precio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600, cuánto me descuentan? A) $ 555 B) $ 50 C) $ 55 D) $ 45 E) $ 90 EJEMPLO PSU-9: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: Antes $ 400, ahora $ 00. Con respecto al precio original, cuál es el porcentaje de rebaja? A) 4 % B) 0% C) 5% D), % E) 75% EJEMPLO PSU-0: En un curso hay 0 alumnos. La relación entre los que practican teatro y los que no practican es : 5 respectivamente. Qué porcentaje practica teatro en relación al total del curso? A) 0% B) 80% C) 6,6..% D) 8,..% E) No se puede determinar 54

55 EJEMPLO PSU-: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ más un % de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende $ y sólo el 0% corresponde a ganancias, cuánto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado? M P A) $ $ B) $ $ C) $ $ D) $ $ E) $ $ EJEMPLO PSU-: Un banco paga interés con una tasa anual del 00%. Si se abre una cuenta el 0 de enero con $.000, entonces al de diciembre de ese mismo año habrá en la cuenta, en pesos, 00 A) B) C) D) E) EJEMPLO PSU-: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 4 I) Las gallinas que no son blancas son T 5 II) El 0% de las gallinas son blancas III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de gallinas que son blancas A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-4: En una tienda se decide subir todos los precios en un 5%. Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio? A) Por 5% B) Por 0,5 C) Por,5 D) Por,5 E) depende del precio de cada artículo 55

56 EJEMPLO PSU-5: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada nt por: P = C +.Al invertir $ al 6% anual de interés compuesto 00n trimestralmente, al término de año se tendrá, en pesos, una cantidad de: A) (,06) B) (,06) C) (,8) D) (,05) E) (,05) EJEMPLO PSU-6: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ el cual ya ha sido rebajado en un 70%. Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación? A) $.450 B) $.57 C) $ D) $ E) $ EJEMPLO PSU-7: En un negocio un cliente recibe, por cada $ de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo en $ 9.800, a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento? A) $ 600 B) $ 750 C) $ 79 D) $ 800 E) $ 9.00 EJEMPLO PSU-8: En un curso de 0 alumnos, la razón entre los alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de : 5. Qué porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de alumnos del curso? A) 8, % B) 80% C) 0% D) 6, 6 % E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-9: A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $.000, durante tres años, para obtener una ganancia de $ 57,5? A) 5,0% B) 5,5% C) 5,7% D) 5,5% E) 5,05% 56

57 VII. RAÍCES Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no n negativo, tal que b = a n a = b b n = a, b 0 Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b, n tal que b =a OBSERVACIONES n a = b b n = a, b R. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL. La expresión n k a exponente fraccionario, con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de n k a = a. = a, para todo número real a PROPIEDADES Si k n n n a y b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades: MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n n a b = n a b DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n n a b = n a, b b 0 POTENCIA DE UNA RAÍZ n a m = m n ( a), a > 0 RAÍZ DE UNA RAÍZ n m a = nm a AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ n mn m a = a m Z, a R + PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE n m mn m a b = a b, a,b R n FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL b n n n a = b a, b R

58 RACIONALIZACIÓN Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz a Fracciones de la forma b c a Fracciones de la forma p b + q c EJEMPLO PSU-: 5 7 A) 6 B) 4 C) D) E) No se puede det er minar 4 EJEMPLO PSU-: = A) 0 B) C) 5 0 D) E) Ninguno de los valores anteriores x+ x+ EJEMPLO PSU-: a a = A) a B) a x C) a D) a E) a x+ 6 x+ x+ x+ 58

59 EJEMPLO PSU-4: Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0,,? I) II) x x = x = x III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas. x = x 4 4 EJEMPLO PSU-5: ( ) ( + ) + ( ) ( + ) es un número: A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo D) Irracional negativo E) No real EJEMPLO PSU-6: = A) B) C) D) 6 6 E) 8 4 EJEMPLO PSU-7: Si siguientes es(son) equivalentes a 60 I) bc II) 4 a 4 b c III) a bc A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III = a, = b y 5 = c entonces cuál(es) de las expresiones 59

60 EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión A) B) C) D) E) resulta EJEMPLO PSU-9: + 8 = A) + B) 5 C) D) 0 5 E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-0: ( ) : = A) 0 B) 0 C) 8 5 D) E) EJEMPLO PSU-: = A) 5 B) 5 C) D) 5 E)

61 EJEMPLO PSU-: Si A) B) 0 C) D) E) + = t, entonces el valor de t es: a EJEMPLO PSU-: ( 0,5) = A) B) C) a a a a D) a E) EJEMPLO PSU-4: Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de y = x x I) (,5) II) (,-5) III) (,-) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguno de ellos EJEMPLO PSU-5: Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? I) II) III) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

62 6 EJEMPLO PSU-6: = + A) 0 B) C) D) 6 E) EJEMPLO PSU-7: Si 0 < x <. Cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) x > B) < x x C) > x x D) x > E) x < x x x EJEMPLO PSU-8: 7 7 = A) 7 B) C) D) 9 E) x x x+ x+ x EJEMPLO PSU-9: Dados los números reales,, 7,, 4 ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es: A) B) C) D) E) 7 4, al 6

63 EJEMPLO PSU-0: ( 5 )( + 5 ) = A) B) 4 C) 7 D) E) EJEMPLO PSU-: El número A) B) C) 4 ( ) 4 4 D) E) Ninguno de los números anteriores 6 es igual a: 6

64 VIII. ECUACIONES: (a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. (b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga fracciones. (c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso : Leer con atención el problema. Paso : Anotar los datos del problema. Paso : Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra). Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación. Paso 5: Resolver la ecuación. Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos. PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un número. La fracción b a de un número x se calcula multiplicando b a por x. PROBLEMAS DE DÍGITOS Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la forma x y z queda representado por x z 0 0 PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda: Edad pasada (hace b años) Edad Actual Edad futura (dentro de c años) x - b x x + c y - b y y + c B. ECUACIONES LINEALES: La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x, y ) y B(x, y ), se determina mediante la expresión: d AB = (x x ) + (y y ) 64

65 Dados los puntos A(x, y ) y B(x, y ), las coordenadas del punto medio del segmento AB son PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta) RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0) L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva (α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 80º) si y sólo si (m < 0) L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por un punto (x, y ) y cuya pendiente es m es 65

66 CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe: Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P (x, y ) y P (x, y ) es ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal: A C A C y = x + donde m = y n = B B B B RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L y L rectas de pendientes m y m respectivamente (fig. ). Entonces: RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -. Sean L y L rectas de pendientes m y m respectivamente (fig. ). Entonces: 66

67 SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales. Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades. i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura ). ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura ). iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura ). L L L L = L = L L = (Vacío) L RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita. 67

68 ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sea el sistema: a a x + b x + b y = c y = c Entonces: * El sistema tiene solución única si a * El sistema tiene infinitas soluciones si * El sistema no tiene solución si a a a b = b a a b b b = b c c = c c EJEMPLO PSU-: La ecuación de una recta es x my = 0. Si el punto (, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es A) B) C) D) E) EJEMPLO PSU-: Una recta que contiene al punto P de coordenadas (, ) tiene pendiente, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P de coordenadas (8, ). Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x vale A) 5 B) C) D) 5 E) x EJEMPLO PSU-: Cuál es el valor de x en la ecuación 5 A) - 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 5 = 5? 68

69 EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 80; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, cuál es el precio de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400? A) $ 600 B) $ 580 C) $ 547 D) $ 57 E) $ 50 EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L y L son perpendiculares, entonces cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L? 5 A) y = x 4 5 B) y = (x ) 4 4 C) y = (x ) 5 4 D) y = x 5 5 E) y = (x ) 4 EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si se sabe que º F corresponde a 0º C y º F corresponde a 00º C, entonces cuál es la temperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente? A) º C B),7º C C),7º C D) º C E) 5,9º C EJEMPLO PSU-7: La ecuación ( k)x + y 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es 6x + y 9 = 0. Cuál es el valor de k? A) 0 B) C) 8 7 D) E) 6 69

70 EJEMPLO PSU-8: Si = 9, entonces x = x 9 A) B) 9 9 C) 8 D) E) 8 EJEMPLO PSU-9: Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de x + y = 4 con y + x = 0? A) B) C) D) E) x my = 9 EJEMPLO PSU-0: En el sistema, nx + 4y = Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (, )? m n A) B) C) D) 4 E) Ninguno de los valores anteriores 70

71 EJEMPLO PSU-: En la figura, la ecuación de L es y + x = 5, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) L // L II) La ecuación de L es y = -x + III) Ambas rectas tienen igual inclinación respecto del eje x A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: La intersección de las rectas y = 5 x e y = x es el punto: A) (,) B) (,) C) (,-) D) (0,) E) (,) EJEMPLO PSU-: Juan en 0 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. Qué edad tendrá Juan en un año más? A) años B) 0 años C) 6 años D) 5 años E) años EJEMPLO PSU-4: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ faltan $.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone $ sobran $ 500. Cuál es el valor de la cuenta? A) $ B) $.000 C) $ D) $ E) $

72 EJEMPLO PSU-5: La señora Marta compró kilogramos de azúcar y kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, cuánto cuesta el kilogramo de harina? A) B) C) D) E) $(s p) s p $ s + p $ s p $ $(s + p) EJEMPLO PSU-6: Si A) 7 4 B) 7 C) 5 D) E) 4 x =, entonces cuánto vale x? x EJEMPLO PSU-7: Si 4(x + ) = 5(6 + x), entonces x es: A) 9 B) 6 C) 8 7 D) 0 E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-8: Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación x = a? A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a). B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0). C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a). D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0). E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a). 7

73 EJEMPLO PSU-9: Un padre reparte.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x hectáreas, al del medio los de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibió A).000 hectáreas B) hectáreas C) 5., hectáreas D) hectáreas E) hectáreas EJEMPLO PSU-0: Para qué valor de k el sistema A) B) - 0 C) - 5x ky = no tiene solución? x + y = D) - 4 E) - x + EJEMPLO PSU-: Cuál es el valor de x en la ecuación =? A) -9 B) -5 C) - D) E) EJEMPLO PSU-: Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación 0,0x = 5,? 6 A) 0,0x = 5 B) x = 5, 0 C) x = D) x = 5, 00 E) 0 x = 5, 7

74 EJEMPLO PSU-: Si a+ b = 6 + = a b, entonces a b = A) B) 9 C) D) E) EJEMPLO PSU-4: Dada la recta de ecuación y = x y (,) es el punto medio del segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son: A), B), C) (4,) D) (,4) E) (,) EJEMPLO PSU-5: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis compran en el local ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene claveles y le costo $ a. Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan? A) 4a B) 6a C) a a D) 4 4a E) EJEMPLO PSU-6: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas kilogramos de plátanos y kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $.850. Como en la semana siguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 0 por kilogramo, cambio su costumbre y compró kilogramos de plátanos y kilogramos de manzanas y gastó $.90. Cuánto costaba el kilogramo esa cierta semana? A) $450 B) $50 C) $400 D) $46 E) $9 74

75 EJEMPLO PSU-7: Al ubicar los puntos A(-,-), B(5,-) y C(5,), en el sistema de ejes coordenados, se pude afirmar que: I) AB BC II) AB es paralelo al eje X III) (0,5) es un punto Es(son) correcta(s): A) Solo II B) Solo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III del trazo BC EJEMPLO PSU-8: Según el sistema A) 6b B) b C) b D) -b E) -b x + y = 7a+ b x y = 7a b, cuál es el valor de y? EJEMPLO PSU-9: Dada la recta L, donde a y b son positivos, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La pendiente de la recta L es negativa. II. El punto (a, b) pertenece a la recta. III. La recta L es perpendicular a la recta y = b ax. A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-0: Tres números enteros consecutivos suman cero. Entonces es verdadero que: I) El número mayor y el menor suman cero II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 75

76 EJEMPLO PSU-: En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuación y = px + q. Cuál es el valor de q? A) B) C) 0 D) - E) - EJEMPLO PSU-: Si (x + 4) = 4, entonces x es igual a: A) -4 B) 0 C) D) 4 E) 6 EJEMPLO PSU-: Si 6 x = 4, entonces x x es igual a: A) -0 B) -0 C) -0 D) 0 E) 0 EJEMPLO PSU-4: Se corta una tabla de metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. Cuáles son las longitudes de cada parte? A) 50 cm y 50 cm B) 50 cm y 50 cm C) 75 cm y 5 cm D) 00 cm y 00 cm E) Ninguna de las medidas anteriores EJEMPLO PSU-5: En la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de AD y de BC no es un número real II) La pendiente de DC es cero III) La pendiente de AB es positiva A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 76

77 EJEMPLO PSU-6: Hace años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. Cuál será la suma de sus edades en a años más? A) ( + a) años B) ( + a) años C) ( + a) años D) (8 + a) años E) (5 + a) años EJEMPLO PSU-7: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $ a y el segundo $ (a b). Cuánto le costó el tercero? A) $ a B) $ 7a C) $ (a b) D) $ (a + b) E) $ (a + b) EJEMPLO PSU-8: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es A) 6 B) 7 C) 8 D) 4 E) ninguno de los anteriores. t EJEMPLO PSU-9: Si = 4, entonces t = A) 5 B) C) 9 D) 7 E) 77

78 EJEMPLO PSU-40: Se mezclan litros de un licor P con litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, cuál es el precio de los 5 litros de mezcla? a+ b A) $ a+ b B) $ 5 C) $(a+ b) a+ b D) $ 8 5 (a+ b) E) $ 8 78

79 VII-: DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a b ó a b. las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad : Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c Propiedad : Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc Propiedad : Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Si a, b, c son números reales tales que a<b y c< 0, entonces ac > bc INTERVALOS Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y a, b b. se simboliza por ] [ Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b] Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se simboliza por: [ a,b[ Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza por: ] a,b] ] a, b[ = { x R /a< x< b} En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo [ a, b] = { x R /a x b} 79

80 En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este caso, que dichos puntos pertenecen al intervalo [ a, b[ = { x R /a x< b} Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda ] a, b] = { x R /a< x b} Este intervalo también se denomina semicerrado por derecha INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0, ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S, S,.,S n son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: S = S S S... Sn PROBLEMAS DE INECUACIONES En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ó, tales como: a lo menos ( ), cuando mucho ( ), como mínimo ( ), como máximo ( ), sobrepasa (>), no alcanza (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema. 80

81 EJEMPLO PSU- Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones x <? x+ > A), B) C) D) E) ] [ ], [ ], + [ ],[ ], + [ [,] ], + [ EJEMPLO PSU-: Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 0 de 8? A) B) C) D) E) ] 6,8[ ] 6,8[ ]., 6[ ] 6,8[ ],8[ ], [ ] 6,6[ ] 8, [ EJEMPLO PSU-: x 8 < 5x + 5, cuánto vale x? A) x < B) x > C) x < D) x > E) x > x EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones x < 6, cuál es el 4 gráfico solución? A) B) C) D) E) 8

82 EJEMPLO PSU-5: Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que: A) B) C) D) 8 7 E) 5 7 EJEMPLO PSU-6: El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación 6 4x es EJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de x 6 < inecuaciones es 4 x 6 8

83 B. ECUACIONES CUADRATICAS: Ecuación cuadrática: ax + bx + c = 0 Fórmula cuadrática: x = b± b 4 a c a Número de soluciones: > 0. raíces reales y distintas = 0. raíces reales e iguales < 0. No tiene raíces reales ( : discriminante) ( : b 4ac) Cortes en el eje x: > 0. cortes en el eje x = 0. corte en el eje x < 0. No corta el eje x Propiedades de las raíces: b x + x = x x a = EJEMPLO PSU-: Según la ecuación y = x x + a, es correcto afirmar que: A) Sólo I B) I y II C) II y III D) Sólo II E) Sólo I y III I. Si a >, existen dos intersecciones con el eje X. II. Si a =, existe solo una intersección con el eje X. III. Si a <, no hay intersección con el eje X. c a EJEMPLO PSU-: Un patio rectangular de 4 m de superficie, tiene metros más de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio? A) x(x + ) 4 = 0 B) x(x ) 4 = 0 C) x(x ) + 4 = 0 D) x - = 0 E) 4x - 0 = 0 EJEMPLO PSU-: Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x ) = 0 son A) y 0 B) y 0 C) 4 y 5 D) 4 y 5 E) 4 y 5 8

84 EJEMPLO PSU-4: Si x = es una solución (raíz) de la ecuación x + 5x + c = 0, entonces cuál es el valor de c? A) - 4 B) -8 C) - D) E) 5 EJEMPLO PSU-5: Cuál es el menor valor para la expresión 5 igualdad x + = 6? x A) 4 B) C) D) 0 E) - x + cuando x satisface la x EJEMPLO PSU-6: El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x + = x + es: A) {0} B) {} C) {0,} D) {0,-} E) Ninguno de los conjuntos anteriores 84

85 IX. LOGARITMOS: () log () log () log (x y) = log (4) log (5) log (6) log a a a a a = 0 a= x = log y x n a y = y log m = Cambio de base: a a x log n x+ log x log a a m a log a b= a y y log b log a EJEMPLO PSU-: log (a + b) log (a + b) = A) B) a + b C) log a + log b D) log a + log b E) log (a + b) EJEMPLO PSU-: Si log = entonces x vale: x 99 A) 00 B) C) 00 0 D) 00 9 E) 0 EJEMPLO PSU-: Cuál de las siguientes opciones es igual a log? A) log 6 log B) log 0+ log C) log 6 D) log log log E) log 6+ log 85

86 EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión A) 5 B) C) D) 5 4 E) 7 4 log 8 log 9 log 6 4 es EJEMPLO PSU-5: log = a resulta A) a = B) a = C) = a D) = a E) a = a = EJEMPLO PSU-6: Si a >, entonces log (log a ) A) 0 B) C) D) a E) a EJEMPLO PSU-7: Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I)log log 0= log 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III II) log log 0< 0 III) log 4 log 0= log 4 86

87 EJEMPLO PSU-8: Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) log = 9 II) Si log x=, entonces x= A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III III) Si log EJEMPLO PSU-9: log.000 = A) 4 log.000 B) 6 + log C) (6 + log ) D) (log )(log.000) E) + log x 49=, entonces x= 7 87

88 X. FUNCIONES: DEFINICIÓN: función Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: y f: A B x y x f(x) = y Re corrido Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec f. Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor. EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Para encontrar los valores de las imágenes de una función definida, se reemplazará la variable independiente por el número o expresión que corresponda. Ejemplo: Si f(x) = x, la imagen de - sería f(-) = (-) = - 4. Si la imagen es 9 y la función es f(x) = x +, la preimagen se obtendrá igualando x + = 9 de aquí x = 4 pre-imagen. Función continua: Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión (figura ). Do min io Función discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica (figura y ). Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período (figura 4). x 88

89 A. FUNCION DE PRIMER GRADO: f(x) = ax + b y f (x) a > 0 m positiva f (x) a < 0 y m negativa x x B. FUNCION LINEAL: y Función de primer grado f (x) = ax + b, con b = 0: f(x) = ax, con a 0 La recta pasa por el origen. f (x) = ax x C. FUNCION IDENTIDAD: y Función lineal f(x) = ax, con a = : f(x) = x La recta pasa por el origen. Existe una proporcionalidad directa entre x e y. f (x) = x x TRASLACIÓN DE FUNCIONES Sea y = f(x) una función. La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (figura y ). La función y = f(x h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (figura y 4). La función y = f(x h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x. Si f(x) = ax entonces: f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x h), h < 0 f(x) = a(x h), h > 0 89

90 D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, denotado por x, es siempre un número real no negativo. x Si x 0 f(x) = x =, x R x, Si x< 0 Representaciones gráficas a indica el punto de traslación en el eje de las ordenadas b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas. y E. FUNCION CONSTANTE: Función de grado cero. Su gráfico es una recta horizontal. f (x) = x F. FUNCION CUADRATICA: y Función de segundo grado f(x) = ax + bx + c Se grafica una curva llamada parábola. f (x) = ax + bx + c x A la función de segundo grado f(x) = ax + bx + c, siendo a, b, c lr y a 0 se le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría. 90

91 Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola Si a > 0, la concavidad de la parábola está Orientada hacia arriba Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo INTERSECCIÓN CON EL EJE Y La parábola asociada a la función y = ax + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c. CEROS DE LA FUNCIÓN Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x y x para los que y = 0 9

92 DISCRIMINANTE La expresión b 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax + bx + c EJE DE SIMETRÍA El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos ramas congruentes. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría. 9

93 G. FUNCION RAIZ CUADRADA: Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por OBSERVACIONES: i. La función es creciente. ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento. Su dominio son los IR + U {0}. H. FUNCION EXPONENCIAL: La función f definida por f(x) = a, con a R y a x + se denomina función exponencial. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL f (x) = x x f(x) = En las gráficas se puede observar que: La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, ). Si a >, entonces f(x) = Si 0 < a <, entonces f(x) = x a es creciente. x a es decreciente. La gráfica no corta al eje de las abscisas. 9

94 I. FUNCION LOGARITMICA: Una función f definida por f(x) = log a x, con a R, a y x> 0 se denomina función logarítmica + f(x) = log x f(x) = log x f(x) = log x f(x) = log x En los gráficos se puede observar que: La gráfica intersecta al eje x en el punto (,0) Si a >, entonces f(x) = log x es creciente Si 0 < a <, entonces f(x) La curva no intersecta al eje y a = log x es decreciente a 94

95 J. FUNCIÓN PARTE ENTERA Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x. Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,5, esta función persigue que al número real 6,5 se le asocie el número real 6. Su representación gráfica es OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama función escalonada. APLICACIONES LINEALES En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación. 95

96 EJEMPLO PSU-: Si A) 4 7 B) C) D) 7 E) x + f(x) =, entonces f(7) es igual a: EJEMPLO PSU-: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 5 minutos, el segundo día 80 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 0 minutos. Cuánto canceló en total por los días que estacionó? A) $.900 B) $.00 C) $.400 D) $.000 E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-: En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = x + y g(x) = x +? A ) B ) C) D ) E) 96

97 EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 00t 5t, donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 40 m de altura sobre el nivel del suelo? I) 6 segundos II) 0 segundos III) 4 segundos A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) Sólo en I y en II E) Sólo en I y en III EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola y= (x ) Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La parábola se abre hacia arriba II) Su vértice se encuentra en (,0) III) Su eje de simetría es x = A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: Cuál es el dominio de la función f(x) = x 4 en los números reales? A) B) C) D) E) [, + [ [, + [ [ 0, + [ ], ] [, + [ [ 4, + [ EJEMPLO PSU-7: Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f( ) > f(4) II) f( ) + f() = f( ) III) f( 6) f(8) = A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 97

98 EJEMPLO PSU-8: Cuál es la ecuación de la parábola de la figura? A) y = ( x + )(x ) B) y = (x + )(x ) C) y = ( x + )(x + ) D) y = ( x )(x ) E) y = (x + )( x ) EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una función tal que: f(x ) = x (a + )x +, entonces el valor de f(a) es A) B) a C) a D) + a E) a EJEMPLO PSU-0: Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + y f(- ) = 5 Cuál es el valor de t? A) - B) - C) D) E) EJEMPLO PSU-: Del gráfico de la función real f(x) I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = y en x = - Es(son) verdadera(s): A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III = x, se puede afirmar que: EJEMPLO PSU-: Si f(x) = 5x, entonces 5 f(5x) es igual a A) 5x B) 5x C) 5x D) 5x E) ninguna de las expresiones anteriores. 98

99 EJEMPLO PSU-: Considere la función f(x) = x + 4x + 5, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es A) 5 B) C) D) 0 E) EJEMPLO PSU-4: Si f(x) = 4x, g(x) = x y h(x) = x 4, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III EJEMPLO PSU-5: Si f(x) = A) 9 B) 4 C) D) E) 8 a x + y f() = 9, entonces a = EJEMPLO PSU-6: Sea f una función cuyo dominio es R {-} definida por entonces f(-) A) B) - C) D) - E) - x f(x) =, x+ 99

100 EJEMPLO PSU-7: Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +] EJEMPLO PSU-8: Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + ) +? EJEMPLO PSU-9: Considere la función f(x) = x 8x + 5, cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x II) Su valor mínimo es - III) f(-) > 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 00

101 EJEMPLO PSU-0: El nivel de agua en un estanque es de m y baja 0,5 m cada semana. Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua y con el número de semana x? A) y = - + 0,5x B) y = - 0,5 + x C) y = + 0,5x D) y =,5x E) y = 0,5x EJEMPLO PSU-: De acuerdo al gráfico de la figura, cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-) + f() = f(0) II) f(-) f(0) = f() III) f(-) f() = f() - A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: Sea la función de números reales f(x) = x, cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) =? A) {-} B) {-,} C) {} D) {4} E) No tiene solución en el conjunto de los números reales EJEMPLO PSU-: Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x 5x + 6? 0

102 EJEMPLO PSU-4: La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) = A) x B) x + x C) x x D) x x E) x x EJEMPLO PSU-5: Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x? EJEMPLO PSU-6: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo: Consumo en m Precio 0-9 $ $ o más $.000 Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la empresa? 0

103 EJEMPLO PSU-7: En la figura Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (,5) pertenece a la recta III) La ecuación de la recta es y = 5x - 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III EJEMPLO PSU-8: Dada la siguiente figura: Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la figura? A) y = x B) y = x C) y = 4x 4 D) y = 4 x E) y = 4x 0

104 EJEMPLO PSU-9: La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: A= π Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II D) Sólo II y III E) I, II y III I. π es variable. II. r es variable y A sólo toma valores positivos. III. A es función de r. r EJEMPLO PSU-0: Dada la función A) 6 B) C) D) 6 E) Otro valor x x f(x) =, entonces f(-4)= x EJEMPLO PSU-: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 50 y cobra, además, $ 00 por cada Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es: A) y= x B) y= 50 C) y= 50 D) y= 50 E) y= 50 [ ] [ x] + 00 [ x ] [ x ] + 00 [ x+ ] EJEMPLO PSU-: Dada la función f(x) = (x ), se puede afirmar que: I) La función está definida para los x mayores o iguales a II) f() = III) El punto (5,) pertenece a la función A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 04

105 EJEMPLO PSU-: Si f(x) = mx + n, qué valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f() = 8 y f() = 6? A) y 5 B) - y C) y D) y E) y 0 EJEMPLO PSU-4: Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes: Plan P): $ de cargo fijo mensual, más $ 0 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno. Plan Q): $ de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 0 por minuto, por llamadas en cualquier horario. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 00 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 00 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ mensuales y costos varios por lámpara de $ Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)? A) C(x) = x B) C(x) = x C) C(x) = x D) C(x) = 5.000x E) C(x) = (x 5.000)

106 EJEMPLO PSU-6: Dada la función f(x)= es(son) verdadera(s)? I)f( ) = f( ) II)f = III) f() = 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III x x, cuál(es) de las siguientes igualdades EJEMPLO PSU-7: Si f(x) = log x, entonces f(6) f(8) es: A) B) C) D) 4 E) 7 EJEMPLO PSU-8: Si f(x) = x + x 4, entonces f(x + ) es igual a: A) x + x - B) x + 5x C) x + 5x D) x + 5x E) x + x EJEMPLO PSU-9: dada la parábola de ecuación y = x x + a, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a >, la parábola intersecta en dos puntos al eje x II) Si a =, la parábola intersecta en un solo punto al eje x III) Si a <, la parábola no intersecta al eje x A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III 06

107 EJEMPLO PSU-40: Sea la función cuadrática f(x) = ax + bx+ c, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen III) S b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos puntos A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-4: Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura? A) f(x) = 8x B) g(x) = x C) h(x) = 4x D) t(x) = x E) s(x) = x 4 07

108 XI. ANGULOS: Clasificación de ángulos Según su medida, un ángulo puede ser: DEFINICIÓN Ángulo Agudo: su medida es menor que 90 AOB < α < 90º DEFINICIÓN Ángulo Recto: su medida es 90, es decir, mide la cuarta parte del ángulo completo. Se dice que sus lados son perpendiculares ( ) BOC = 90 DEFINICIÓN Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que 90 y menor que < AOB < 80 DEFINICIÓN Ángulo Extendido: Su medida es 80 BAC = 80 Ángulos en el plano DEFINICIÓN Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes si y solo si tienen en común el vértice y un lado, y sus interiores no se intersectan. Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD 08

109 DEFINICIÓN Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90. Complemento de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para completar de giro (90 ). 4 α + β = 90, complemento de α = 90 α DEFINICIÓN Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 80. suplemento de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para completar de giro. (80 ) α + β = 80 Suplemento de α = 80 α Así entonces, podemos tener: a) ángulos adyacentes complementarios α + β = 90 b) ángulos adyacentes suplementarios: α + β = 80 DEFINICIÓN Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Propiedad: ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida ( son congruentes) α = β y γ = δ 09

110 Ángulos entre paralelas y una transversal Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales hay parejas que cumplen propiedades importantes Opuestos por el vértice.son congruentes Ángulos Correspondientes. Al trasladar L paralelamente hasta hacerla coincidir con L, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el nombre de correspondientes, y obviamente son congruentes Ángulos alternos internos. Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos internos son congruentes Ángulos alternos externos Son los que están en el exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos externos son congruentes. 7 8 Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen. Observación: Sea L // L, entonces: () α= β si : () α + β = 80 0

111 Observación: T y T transversales, entonces se cumple: ε = α + β Observaciones: (a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes) α β (b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida es de 90º L L

112 Triángulo DEFINICIÓN Un triángulo lo podemos entender como la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. Estos tres puntos se denominan vértices, y los segmentos, lados del triángulo; además, se determinan tres ángulos, cuyos lados son los lados del triángulo, y se denominan ángulos interiores del triángulo Se acostumbra usar letras minúsculas para los lados, de acuerdo al vértice al que se oponen. Teorema fundamental: En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 80 α + β+ γ = 80 DEFINICIÓN Ángulo Exterior Se llama ángulo exterior de un triángulo, al ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro. α '; β'; γ' ángulos exteriores Propiedades () La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes α' = β+ γ β' = α+ γ γ' = α+ β () La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 60 α ' + β' + γ' = 60

113 Clasificación de los triángulos Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos Según la medida de sus ángulos Acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos interiores agudos Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos interiores son agudos y complementarios. Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos y el lado opuesto al ángulo recto hipotenusa Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo interior obtuso

114 Según la medida de sus lados Equilátero: tiene sus tres lados congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos interiores también lo son, y como la suma de sus medidas es 80, cada uno mide 60 Isósceles: es aquel que tiene dos lados congruentes, llamados lados, y el tercero se llama base Se puede demostrar que los ángulos opuestos a los lados son también congruentes. A estos ángulos se les llama ángulos basales Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ángulos también ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO Se denominan Elementos Primarios del triángulo a sus lados y ángulos. Los Elementos secundarios del triángulo son los llamados Puntos Notables y Rectas notables Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas. Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el incentro y el circuncentro. 4

115 DEFINICIÓN. Transversal de gravedad.- Es la recta que une un vértice, con el punto medio del lado opuesto. Se denominan t a, t b, t c, donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Centro de Gravedad ( o baricentro) D,E, AD = t t a t F : Puntos b a ; t G : Centro BE = t c = {G} de medios b ; CF = t Gravedad ( de c o los lados Baricentro) Propiedad: El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón :. El segmento que va desde el vértice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al lado AG GD = BG GE = CG GF = DEFINICIÓN.- Altura. Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se denominan ha, hb, hc ; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro. AE BC ; BF AC AE = h h a h h H : Ortocentro a b ; BF = h c = b { H} ; ; CD AB CD = h c Propiedad: Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados a h = b h = c h k a b c = 5

116 Observaciones: En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, puesto que los catetos se confunden con las alturas. DEFINICIÓN.- Bisectriz.- Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se denominan: b ; b ; b ; donde el subíndice α β indica el ángulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo, se decir, el incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega ρ. AF = bα b α b β b I:Incentro ; BG = b = P,Q,R :Puntos γ {} I γ β de ; CE = bγ tan gencia AE EB = AC CB ; FB FC = AB AC CG GA BC BA Propiedad: Las bisectrices dividen al lado opuesto en la razón de las medidas de los lados que forman el ángulo ; = 6

117 Observaciones: En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los Excentros o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo. 4.- Simetral DEFINICIÓN Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: S a, S b, S c, donde el subíndice indica el lado al cual es perpendicular. El punto de intersección de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, el circuncentro es un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Su radio se designa por r OD = S S a S b a ; OF = S S O:Circuncent ro c = { O} b ; OE = S c Observación: En general, las simetrales no pasan por los vértices del triángulo. DEFINICIÓN 5.- Mediana Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo P, Q, R : Puntos medios de los lados PQ, QR, RP : Medianas Propiedades: La mediana es paralela al tercer lado: RP //AB ; QR //AC ; PQ //BC 7

118 La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela: AB = PR ; BC = PQ ; AC = QR Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los triángulos equiláteros e isósceles. Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO PROPIEDADES () AB= BC= CA = a () ángulos iguales a 60 cada uno, α= 60 () Las transversales de gravedad, alturas y bisectrices son una misma recta t = t = t = h = h = h = b = b b a b c a b c α β = (4) AM= MB M; punto medio lado a (5) Altura= = (lado) a (6) Área= = 4 4 (7) Radio de la circunferencia lado a = = 6 6 (8) Radio de la circunferencia circunscrita lado = = a inscrita γ 8

119 TRIÁNGULO ISÓSCELES PROPIEDADES () AC= BC ; AB base () α = α () β ángulo ángulos del basales vértice (4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo Mismo h c = t c = b β = CM La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo del triángulo u v = a b o bien v u = b a La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interior del triángulo. EA b = EB a 9

120 TEOREMA DE PITÁGORAS El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir a + b = c RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c = a + b, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo Tríos pitagóricos: (a b c) a b c TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema: Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 0º, entonces el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa Tesis: AB BC= 0

121 Teorema: En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa Tesis: BM = AC Corolario: En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º) CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que abarcan los dos catetos es de 80º Por tanto, se cumplirá: a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia. b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c. c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

122 TEOREMAS DE EUCLIDES El triángulo de la figura es rectángulo en C y CD es altura. a y b: catetos c: hipotenusa p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes. Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h c = p q Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. a = p c b = q c h c a b = c Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO c < a + b c = a + b c > a + b OBSERVACIÓN: En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo

123 PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial c b a b a + + = ρ semiperíme tro : s ; c b a s + + =

124 EJEMPLO PSU-: En el triángulo ABC rectángulo en C, BC = 5 cm y BD = 4 cm. La medida del segmento AD es: A) cm B) 9 4 cm C) 4 cm D) 4 cm E) 9 cm EJEMPLO PSU-: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s)? I) x = z II) x + y = EBD III) x + y z = 60 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III EJEMPLO PSU-: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos triángulos A) isósceles rectángulos congruentes. B) acutángulos escalenos congruentes. C) acutángulos congruentes. D) escalenos rectángulos congruentes. E) equiláteros congruentes. EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El área del DEF es la sexta parte del área del ABC. II) El lado FE es paralelo al lado AB. III) El lado FE es perpendicular al lado AC. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III 4

125 EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 8 cm de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es: A) 9 B) 9 C) 9 9 D) 9 E) cm 5 5 cm cm cm cm EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el ABC es rectángulo en C y AC = BC = 6, entonces CD es A) B) 6 C) D) 6 E) EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, CE = cm y BE = cm, entonces la medida de CD es: A) 6 cm B) 5 cm C) cm D) 9 cm E) Indeterminable con los datos dados EJEMPLO PSU-8: Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se divide por dos y se mantiene su base? A) Se reduce en media unidad cuadrada B) Se reduce a la mitad C) Se reduce a la cuarta parte D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada E) Falta información para decir que ocurre con el 5

126 EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son puntos que dividen a BC en tres segmentos iguales. Si B'C' // BC, AC =, AC' = 4 y B'C' =, área AB' D' Entonces área ACE A) 8 B) C) 4 D) 6 E) 9 p 4 EJEMPLO PSU-0: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si = y p + q = q 0, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) I) a + b = 6 5 II) h = 4 III) El área del triángulo ABC = 0 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 0% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original? A) Se mantiene igual B) Aumenta en un 4% C) Disminuye en un 4% D) Aumenta al doble E) Disminuye a la mitad 6

127 EJEMPLO PSU-: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide: s a A) s a B) C) s a D) s a E) (s a) EJEMPLO PSU-: Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la figura? A) º B) 9º C) 45º D) 5º E) No se puede determinar, faltan datos EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es rectángulo en C. CD es perpendicular a AB. AD = 9 y DB= 4 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III I) CD II) AC III) BC = = = EJEMPLO PSU-5: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,5 cm y cm, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su hipotenusa es igual a 5 del cateto menor. II) El área del triángulo es 5 cm III) Su perímetro es igual a cm. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III 7

128 EJEMPLO PSU-6: En la figura, el ABC es rectángulo en C y h c = c. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) (p + q) = 4pq p q II) q = ó p = III) El ABC es isósceles. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 8

129 XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS: DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. AB PQ AC PR CB RQ ABC PQR A P B Q C R POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. 9

130 EJEMPLO PSU-: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se intersectan en T. Cuál(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)? I) PTS STR II) PTS RTQ III) PSR RQP A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: En la figura, PTR y SVQ son congruentes. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III I) II) TR // VQ PT // SV III) RQV RPT EJEMPLO PSU-: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB. Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABC A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 0

131 EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base AB. La circunferencia de centro C y radio r interfecta a los lados del triángulo en D y E. Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)? A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III I. ABE ABE II. BEC ADC III. ABD ADC EJEMPLO PSU-5: En la figura I) AEC ADB II) AEC BED III) AC DB A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III ABC BAD EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles congruentes de bases BC y AE, respectivamente. Si BAC = 6º, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) DAC CAB II) ABC ACD III) AEP DCP A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

132 EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado y cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ADC BDC II) ACD = 0º III) CD = A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III AD DB, EJEMPLO PSU-8: Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con congruentes II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

133 XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS: DEFINICIÓN: Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales A P B Q C R D S E T AB PQ = BC QR = CD RS = DE ST = EA TP Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la misma forma. Así, por ejemplo; () todos los cuadrados son semejantes entre sí () todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí () todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las circunferencias son semejantes entre si. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras ABC PQR A= P; AB PQ = BC QR = B= Q ; C= R y CA RP si y solo si :

134 TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes. * TEOREMA FUNDAMENTAL Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero Si DE // AB, entonces CDE ~ CAB Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales. TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA) Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes Hipótesis: A D y C F Tesis ABC DEF Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes. 4

135 TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA) Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. CA C'A' CB = C C' C'B' ABC ~ A B C TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza) Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. AB A'B' = BC B'C' = CA C'A' ABC ~ A B C Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y LLL Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales. Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce: a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente. 5

136 b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional. RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a los lados respectivos. Sea ABC A B C. Por el postulado AA se tiene que ADC A D C. De esa CD AC semejanza se deduce que: = C' D' A' C' En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de dos triángulos semejantes. h a t c bα = = =... = λ h' t' b' a c α RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera 6

137 perímetro ABC h = perímetro A'B'C' h c c' b = b a a' =... RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera área ABC b = área A'B'C' b a a' h = h c c' =... Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma unidad, se establece una razón entre estas medidas. Nota: MN es el segmento. MN es la medida de MN La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real positivo. Dicho número puede ser racional o irracional. Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre si. Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre si. Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos respectivamente congruentes. Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los triángulos equiláteros son semejantes) Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos. 7

138 Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +e Perímetro polígono A B C D E = a + b + c + d + e P a P b P e = ; = ;...; = P' a' P' b' P' e' EJEMPLO PSU-: En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q? A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III EJEMPLO PSU-: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 50 metros de longitud. A 48,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, qué altura tiene la torre? A) 00 metros B) 98,4 metros C), metros D),5 metros E) 0 metros EJEMPLO PSU-: Qué significa que dos triángulos sean semejantes? A) Que tienen igual área B) Que tienen igual perímetro C) Que sus lados son proporcionales D) Que sus tres lados respectivos coinciden E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno 8

139 EJEMPLO PSU-4: Según la figura, Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)? I) ACD y BCE II) BEC III) ACD A) Sólo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III y y AEB CAB EJEMPLO PSU-5: En la figura, cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes I) ABE AFD II) FEC BDC III) CFE ABE A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si? A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguno de ellos son semejantes entre si EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una altura de metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, cuál es la altura del poste? A),5 metros B) 7, metros C) 4 metros D) 5 metros E) No se puede determinar 9

140 EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM = 5, AB = y CN = 5, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) CN : AB = CM : ED 5 II) Área EDC = Área EDC III) = Área ABC A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 9 AN EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón es equivalente a: NM BC A) AB AB B) BC AC C) BC AN D) NC AM E) AC EJEMPLO PSU-0: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 0 m; si el primer piso tiene una altura de 5 m y el segundo piso una altura de 0 m, cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso? A) 8 m B) 0 m C) 5 m 40 D) m E) No se puede determinar 40

141 XV. CUADRILATEROS: Los ángulos interiores suman 60º Los ángulos exteriores suman 60º Clasificación según par de lados opuestos paralelos: A. PARALELOGRAMOS: > Paralelogramos ( pares) > Trapecios ( par) > Trapezoides (ningún par) Tienen pares de lados opuestos paralelos. Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide. CUADRADO: 4 ángulos interiores rectos 4 lados iguales Lados opuestos paralelos Las diagonales son iguales y son perpendiculares Las diagonales se dimidian ( en partes iguales) Las diagonales bisectan los ángulos Se puede inscribir una circunferencia Se puede circunscribir una circunferencia d = a p = 4a A = a. RECTANGULO: 4 ángulos interiores rectos Lados opuestos de igual medida Lados opuestos paralelos Las diagonales son iguales y se dimidian Se puede circunscribir una circunferencia p = a + b A = ab D A D A a a d d d d C B C b B. ROMBO: 4 lados iguales Lados opuestos paralelos Ángulos opuestos iguales Ángulos contiguos suplementarios Las diagonales son perpendiculares Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos Se puede inscribir una circunferencia p = 4a e f A = a h // A = A D e h a d f d B C 4

142 4. ROMBOIDE: Lados opuestos de igual medida Lados opuestos paralelos Ángulos opuestos iguales Ángulos contiguos suplementarios Las diagonales se dimidian p = a + b A = a h B. TRAPECIOS: A D h a d d B b C Tienen par de lados opuestos paralelos llamados basales. Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo. TRAPECIO ESCALENO: Lados no paralelos no son congruentes. AB // CD α + δ = 80º β + γ = 80º p = a + b + c + d (a+ b) A = MN h / A = h a+ b MN= D c M α A h δ b a γ C N β d B. TRAPECIO ISOSCELES: Lados no paralelos son iguales (AD = BC) AB // CD Las diagonales son iguales Ángulos contiguos suplementarios α = β γ = δ p = a + b + c (a+ b) A = MN h / A = h A M α c D b δ d h a γ d C d N β B 4

143 . TRAPECIO RECTANGULO: Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases. AB es perpendicular a AD DA es perpendicular a DC AB // CD c = h = altura Ángulos en A y D son rectos β + γ = 80º p = a + b + c + d (a+ b) A = MN h / A = h D c M A h b a γ C d N β B 4. MEDIANA DE UN TRAPECIO: Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Es paralela a las bases. MN = AB + DC A M D C N B C. TRAPEZOIDES: No tienen lados opuestos paralelos. c D δ b γ C d A α a β B D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS: En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. (α + γ = β + δ = 80º) D δ γ C A α β B 4

144 d D c C b En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí. (a + c = b + d) A a B EJEMPLO PSU-: En la figura, AD =, DC = 4 y CB =. El área del cuadrilátero ABCD es: A) 6 + B) 6 + C) + D) E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de FCGI es II) El área de ABFI es 6 III) El área de AEIH es A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-: Los vértices de una figura son: A(, 0); B(0, ); C(, 0) y D(0, ). Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro de la figura es 8. II) Cada diagonal mide 4. III) El área de la figura es 4. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 44

145 EJEMPLO PSU-4: Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos? A Si sus ángulos son rectos es un cuadrado. B Los ángulos consecutivos son complementarios. C Las diagonales son bisectrices. D Los ángulos opuestos son congruentes. E Los ángulos opuestos son suplementarios. EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es A) B) C) D) E) 4a 9 5a a 4 5a 9 8a 9 EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del polígono es 8. II) Cada diagonal del polígono mide 4. III) El área del polígono es 4. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 45

146 EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de radio BC II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una circunferencia de radio AB III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de ABCD. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PC= PB, QD = QC y M es el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del DMQ es A) k 9 B) k 4k C) 9 D) k 9 E) k 6 EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 46

147 EJEMPLO PSU-0: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es A) 4 cm B) 46 cm C) 48 cm D) 50 cm E) 56 cm EJEMPLO PSU-: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m, cuál es el largo de la piscina de la figura? A) m B) 6 m C) m D) 80 m + 65 E) m EJEMPLO PSU-: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, AF= FC y α mide 60º, entonces cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) FE= FC A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III AB II) FE= III) AB= BC EJEMPLO PSU-: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 0 cm de lado cada uno. El área de la región achurada mide A) 50 cm B) 75 cm C) 00 cm D),5 cm E) 5 cm 47

148 EJEMPLO PSU-4: Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q? A) 4p + q B) 4p + 4q C) p + q D) p + q E) No se puede determinar EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AD y a A) a B) 4 a C) 8 a D) 4 a E) 8 AB, respectivamente. Cuál es el área del triángulo MAN? EJEMPLO PSU-6: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura, cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) Área de la región sombreada es II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetro del rectángulo ABCD A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II, III EJEMPLO PSU-7: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados respectivos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) TLP TMB II) PML LTM A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III III) DTA= CBL 48

149 EJEMPLO PSU-8: Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un cuadrado cuando su lado se duplica? A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetro D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetro E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área EJEMPLO PSU-9: En la figura AQ = y QC =, entonces cuál es el área del rectángulo ABCD? A) B) 6 C) D) E) EJEMPLO PSU-0: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es: 9 A) 8 B) C) D) E) EJEMPLO PSU-: En la figura ABCD es un cuadrado de lado cm y CQ = cm. Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide: A) 6 B) 9 C) D) 9 E) 8 cm cm cm cm cm EJEMPLO PSU-: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro de 0 cm. Cuál es el perímetro del cuadrado? A) 50 cm B) 48 cm C) 60 cm D) 50 cm E) Ninguno de los valores anteriores 49

150 EJEMPLO PSU-: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. Cuánto mide el área del cuadrado? a) d d B) d C) 4 d D) 8 d E) 6 EJEMPLO PSU-4: EFGH es un rectángulo. Si AHD CFB y DGC BEA entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) DCB DAB II) DC AB III) DCG ADG A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm? A) 60 cm B) 70 cm C) 80 cm D) 84 cm E) 0 cm EJEMPLO PSU-6: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 0, en el cual se ha inscrito el trapecio isósceles EFGH. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de EFGH es 48 II) AEH CFG III) HJ = EF A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 50

151 EJEMPLO PSU-7: En el rectángulo ABCD de la figura, EF // AB, DG = 5 cm, EG = 4 cm y BG = 0 cm. Cuál es el perímetro del trapecio ABGE? A) 8 cm B) 4 cm C) cm D) 5 cm E) 4 cm EJEMPLO PSU-8: para cercar un terreno rectangular se necesitan 00 metros de malla. Cuál es el área del terreno si el largo mide 0 metros? A) 600 m B).050 m C).00 m D).00 m E).400 m EJEMPLO PSU-9: Si dos circunferencias son congruentes, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus perímetros son iguales. II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 5

152 XVI. POLIGONOS: Figura plana limitada por lados rectos. De acuerdo al número de lados se clasifican en: > lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono > 4 lados: Cuadrilátero > 0 lados: Decágono > 5 lados: Pentágono > lados: Undecágono o Endecágono > 6 lados: Hexágono > lados: Dodecágono > 7 lados: Heptágono > 5 lados: Pentadecágono > 8 lados: Octágono u Octógono > 0 lados: Icoságono La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 80º (n ) (n = número de lados del polígono) La suma de los ángulos exteriores es 60º. Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n- n(n ) Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados: D= A. POLIGONOS REGULARES: Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales. 80º(n ) Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: ángulo int erior= n 60º Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: ángulo exterior= n Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia. EJEMPLO PSU-: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 5

153 XVII. CIRCUNFERENCIA: DEFINICION: Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio. NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos. r = AO (radio) r = BO (radio) d = AB (diámetro ) De lo anterior se deduce AO+ BO = r AB = r = d que : ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa. Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas. El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende. 5

154 ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia. La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice se ubica fuera de la circunferencia. La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda 54

155 La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende Corolarios. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la circunferencia, son suplementarios (suman 80 ) 55

156 4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia T r 5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia x + α = 80º 6. Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes 56

157 EJEMPLO PSU-: En la figura entonces el ángulo α mide: AB BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE, A) 0º B) 40º C) 0º D) 70º E) 80º EJEMPLO PSU-: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y BAC = 0. El valor del x es A) 0 B) 5 C) 40 D) 55 E) 70 EJEMPLO PSU-: En la figura, O y O son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide, entonces el valor del ángulo α es A) 68 B) 66 C) 57 D) 44 E) ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es A) º B) 6º C) 8º D) 5º E) 64º 57

158 EJEMPLO PSU-5: En la figura,cd es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el BOD = 0 y arco AD es congruente con el arco DB, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) CBO = 0 II) CAO = AOD III) AOD = BOD A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el BOC mide 00º. Cuánto mide el AED en el triángulo isósceles AED? A) 70º B) 50º C) 40º D) 0º E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 0. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el x mide A 55 B 70 C 0 D 5 E 0 EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, DOC = 60º y DB es bisectriz del OBC. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) OBC AOD II) ACB BDA III) AED BEC A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 58

159 EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, cuál es la medida del ángulo x? A) 0º B) 40º C) 70º D) 0º E) 60º EJEMPLO PSU-0: En la figura, cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda A) 4 B) C) 4 D) E) AC = y el ángulo ABC es inscrito de 45º? EJEMPLO PSU-: Si dos circunferencias son congruentes, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus perímetros son iguales II) Sus radios son de igual longitud III) Sus centros son coincidentes A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden. AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC. Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita? A) + B) C) D) E) 59

160 EJEMPLO PSU-: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 4. Cuál es la medida del ángulo AOC? A) B) 4 C) 48 D) E) 56 EJEMPLO PSU-4: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo α es A) 80º B) 00º C) 0º D) 5º E) 0º EJEMPLO PSU-5: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 0º. La longitud del arco AB es: A) πr B) πr 6 C) πr D) πr E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O de la figura, si α + β = º, entonces el valor del ángulo γ es: A) 6º B) º C) 48º D) 64º E) Indeterminable 60

161 EJEMPLO PSU-7: En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la circunferencia de centro O es: A) 60º B) 70º C) 80º D) 0º E) 0º EJEMPLO PSU 8: En la circunferencia de la figura. relaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) α= β II) γ= α+ β III) α+ β+ γ= 80º A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III AB // DC, Cuál(es) de las siguientes EJEMPLO PSU-9: En la circunferencia de centro O, AD es diámetro y ABC = DAB. La medida del ABC es: A) 00º B) 0º C) 5º D) 60º E) 70º 6

162 XVIII. CIRCULO: A. SECTOR CIRCULAR: Área del sector = r π α 60º B. SEGMENTO CIRCULAR: Área segmento circular = Área sector circular AOB Área triángulo AOB π α Área 60º r triángulo AOB C. CORONA O ANILLO CIRCULAR: Área del anillo = (R r ) R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor Teorema de las cuerdas PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra AP PB= CP PD 6

163 Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior PA PC= PB PD Teorema de la tangente y la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior PT = PA PB 6

164 EJEMPLO PSU-: Si en la circunferencia de diámetro 0 cm de la figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide A) 6 cm B) cm C) 8 cm D) 0 cm E) 4 cm EJEMPLO PSU-: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM, en términos de r, es A) r B) C) r 5 r D) r E) 4r EJEMPLO PSU-: En la figura, los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia de centro O. Si QT : TP = : 4, QT = 6 y ST =, entonces RT mide A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 64

165 EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y diámetro AB. Si por el punto medio M de OB, se traza la cuerda CD perpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda CD es A) r B) r C) r D) r E) r EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 0 cm la distancia desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide: A) 8 cm B) 0 cm C) cm D) 6 cm E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, BD =. El radio es: A) 5 5 B) 5 C) 5 D) 9 5 E) 6 CD BD ; CD = 4; EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) MQ = 6 II) PQ = III) QN = 6 A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III MP = OP 65

166 XIX. CUERPOS POLIEDROS: POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices. PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto. A. POLIEDROS REGULARES: Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí. Son cinco: b. Octaedro: Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, aristas. Son dos pirámides unidas por su base común. a. Tetraedro: Tiene 4 caras (triángulos equiláteros), 4 vértices, 6 aristas. d. Hexaedro o cubo: Tiene 6 caras (cuadrados), 8 vértices, aristas, 4 diagonales congruentes. c. Icosaedro: Tiene 0 caras (triángulos equiláteros), vértices, 0 aristas. e. Dodecaedro: tiene caras (pentágonos regulares), 0 vértices, 0 aristas. 66

167 Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total de caras del poliedro. B. POLIEDROS IRREGULARES: No tienen todas sus caras congruentes. Se clasifican en: > Prismas > Pirámides. PRISMA: Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras laterales. A = Área lateral Área basal V = Área basal h. PIRAMIDE: Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común también llamado cúspide. a p A = Área basal (nº de caras) Área lateral h p V = Área basal h a XX. CUERPOS REDONDOS: Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas. Los principales son: > Cilindro > Cono > Esfera A. CILINDRO: r Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de sus lados. A = π r (h + r) V = π r h h B. CONO: Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos. A = π r (g + r) π r h V = h g r 67

168 C. ESFERA: Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro. A = 4 π r V = 4 π r CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana: 68

169 EJEMPLO PSU-: En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de ese pistón es: V= 0,79 D L Si el diámetro es 0 cm y la longitud del desplazamiento también es 0 cm, cuál es el volumen del cilindro? A) cm B) 790 cm C) 79 cm D) 7,9 cm E) 0,79 cm EJEMPLO PSU-: Un cuadrado de lado metros, se traslada metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 6 m E) 4 m EJEMPLO PSU-: Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado BC? A) 0π cm B) 45π cm C) 75π cm D) 80π cm E) 00π cm EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las rectas AD' y BC' son paralelas. II) Las rectas A'B y DC' son paralelas. III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 69

170 EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si = cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es A) 9 π cm 7 B) π cm C) 6 π cm D) 7π cm E) 8π cm EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular de lado altura del prisma es. Cuál es el volumen del prisma?. La A) 9 B) 8 C) 9 D) 9 E) 9 6 EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es: A) πr E) B) πr C) πr D) 4πr 4 πr EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (, 0, 0), B = (0,, 0) y C = (0, 0, ). Su área y su perímetro miden, respectivamente, A) y B) y C) D) E) y y y 70

171 EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. Cuál de las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir? A) a B) 6a C) a D) 4a E) 8a EJEMPLO PSU-0: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, cuál de las siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado? 7

172 EJEMPLO PSU-: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide cm, el volumen del cubo perforado, en cm, es A) 5 - π B) 5-6π C) 5-8π D) 56 - π E) 480π EJEMPLO PSU-: En la figura se muestra el cubo de arista a. El triángulo EBD es: A) equilátero B) isósceles no equilátero C) isósceles rectángulo D) rectángulo en D E) rectángulo en B EJEMPLO PSU-: La pirámide de la figura, está compuesta de: A) 7 caras, aristas y 6 vértices B) 6 caras, aristas y 6 vértices C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices E) 7 caras, aristas y 7 vértices EJEMPLO PSU-4: En la figura, el prisma recto tiene una altura de hexágono regular de lado m. Su volumen es: A) m m y la base es un B) 9 m C)8 m D) m m E) 6 m m 7

173 XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: A. DIVISION INTERIOR: DIVISIÓN INTERNA Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n AP m = PB n B. DIVISION EXTERIOR: Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m : n, significa encontrar en el exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q tal que: AQ m = QB n m n m n Q A B A B Q C. DIVISION ARMONICA: Dividir armónicamente el trazo AB en la razón m : n, significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente (punto Q) en una misma razón AP AQ dada, tal que: = = PB QB m n A P B m n Q D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor. AB AP = AP PB (AP> PB) AB OBSERVACIÓN: La razón se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO AP ÁUREO AB = AP 5 +,6804 7

174 EJEMPLO PSU-: Un segmento está dividido interiormente en la razón : : 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. Cuál es la longitud del segmento del medio? A) 45 cm B) 5 cm C) 60 cm D) 5 cm E) No se puede determinar. EJEMPLO PSU-: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón : 5. Si QR mide 0, entonces cuánto mide PR? A) 8 B) 8 C) 50 D) 70 E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-: Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el punto P en la razón :? A) Sólo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como A) : B) : C) : 4 D) : 5 E) : 6 74

175 XXII. TRIGONOMETRIA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos AB : hipotenusa AC y BC catetos α y β : ángulos agudos Si prolongamos los lados AB y AC, y unimos algunos puntos de dichas prolongaciones mediante segmentos paralelos a BC, obtenemos entonces otros triángulos rectángulos semejantes al triángulo ABC ABC ADE AFG AHJ Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones: ABC ADE AFG AHJ cateto BC hipotenusa AB cateto AC hipotenusa AB cateto BC cateto AC = = DE AD AE AD DE = AE FG AF HJ = = CONSTANTE AH = K AG AF AJ CONSTANTE = = AH = K FG AG HJ = = CONSTANTE K AJ = En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un valor constante Respecto al ángulo agudo α de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene que: (A) A la razón constante K entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno de α, y se abrevia senα (B) A la razón constante K se le denomina coseno de α, y se le abrevia cosα (C) A la razón constante K se la denomina tangente de α, y se la abrevia tgα 75

176 Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las calculadoras científicas usan esta última abreviatura En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene: FUNCIÓN DEFINICIÓN Seno de α Coseno de α Tangente de α Cotangente de α Secante de α Cosecante de α cat. opuesto hipotenusa cat. adyacente hipotenusa cat. opuesto cat. adyacnte cat. adyacente cat. apuesto hipotenusa cat. adyacente hipotenusa cat. opuesto RAZÓN ABREVIACIÓN a c b c a b b a c b c a sen α cos α tg α cotg α sec α cosec α ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS senα= cos(90º α) cosecα= sec(90º α) cosα= sen(90º α) tgα= cot g(90º α) secα= cos ec(90º α) cotgα= tg(90º α) Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última. Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales. 76

177 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 0º, 45º y 60º sen α cos α tg α 0º 45º 60º IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES ( α : 0º < α< 90º ). sen α cos ecα= 4. senα tg α= cos α. cos α sec α= 5. cos α cot gα= senα. tg α cot gα= 6. sen α + cos α= 77

178 EJEMPLO PSU-: En el triángulo rectángulo de la figura, tgα es igual a: A) B) p p p p C) D) E) + p p p p + p EJEMPLO PSU-: En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado, entonces senβ= A) 4 5 B) 4 C) 4 5 D) 4 E) 5 EJEMPLO PSU-: Dada la siguiente figura: Es verdadero que: 5 I) senα= 9 II) cos α= 9 5 III) tan α= A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 78

179 EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 70. Si la distancia del ratón al árbol es m, determinar la distancia entre el águila y el ratón. A) tan 70º B) cos 70º C) sen70º cos 70º D) sen70º E) EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la tierra, es de 0 metros. El cable forma un ángulo de 60 con la tierra. A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en el poste? A) A 0 metros B) A 0 6 metros C) A 0 metros D) A 40 metros E) A 60 metros EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 0º como se muestra en la figura. A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de.500 metros? A) 750 metros B).000 metros C).000 metros D) 750 metros E).500 metros 79

180 EJEMPLO PSU-7: Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de la escalera de la figura?, I) metros sen0º II) metros cos 70º III), cos 70º metros A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-8: En la figura, cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? I) tg α = A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 4 5 II) sen α + cosβ = 5 III) tg β + tgα = EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P, NP = cm y su área es cm, entonces tgα= A) B) C) D) 4 4 E) 80

181 EJEMPLO PSU-0: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y cm, entonces el coseno del ángulo menor es: 5 A) B) 5 C) D) 5 E) EJEMPLO PSU-: Si α es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y entonces tgα cos α = A) 0 B) 0 C) 0 D) 5 E) 8 5 sen α =, 5 EJEMPLO PSU-: Con los datos de la figura, la expresión sen α cos α es igual a: a c A) b c a B) b a b C) c b a D) c ac ab E) bc 8

182 EJEMPLO PSU-: En la figura, una persona ubicada en lo alto del edificio P de m de altura, observa a otra persona, de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 8 m de altura con un ángulo de elevación de 40. Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios? A) 6 tg40º B) 6 tg40º 6 C) sen40º 6 D) cos 40º E) 6 sen40º EJEMPLO PSU-4: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si la hipotenusa es, cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el perímetro del triángulo? I) sen γ + sen β + II) cos γ + cos β + III) sen β + cos β + A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, cuál de las siguientes opciones es verdadera? b A) senα= c c B) cos α= a a C) cosβ= c b D) senβ= c a E) tgα= b 8