MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #19

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #19 (Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quinta Edición. Sección 2.4) TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES (CONTINUACIÓN): Re exión de Grá cas Sea P = (x; y) un punto en el plano cartesiano. Decimos que P 0 es la re exión de P con respecto al eje x si P 0 = (x; y): P es la re exión de P con respecto al eje y si P = ( x; y): Si los puntos de la grá ca de la función y = f(x); son de la forma (x; y), entonces: La grá ca de y = f (x), se obtiene al re ejar todos los puntos de la grá ca de y = f (x) con respecto al eje x, ya que los puntos de y = f (x) ; son de la forma (x; y) Para gra car y = f ( x), re ejamos la grá ca de y = f (x) con respecto al eje y; ya que sus puntos son de la forma ( x; y): Ejemplo 1

2 Consideremos la grá ca de la función f que se muestra a continuación: Tracemos las grá cas de y = f (x) y y = f ( x). Alargamiento y Compresión Vertical de Grá cas Sea c 2 R; c > 1: Si los puntos de la grá ca de la función y = f(x); son de la forma (x; y), entonces: Para gra car y = cf (x), trazamos la grá ca de y = f (x) y la alargamos o estiramos verticalmente en un factor de c, ya que los puntos de la grá ca y = cf (x), son de la forma (x; cy). Para gra car y = 1 f (x), trazamos la grá ca de y = f (x) y la comprimimos verticalmente en un factor c 2

3 de c ya que los puntos de la nueva función son de la forma (x; 1 c y): Ejemplo Consideremos la grá ca de la siguiente función f : Tracemos la gra ca de y = 2f (x) 3

4 Tarea Trace la grá ca de y = 1 2 f (x). Alargamiento y Compresión Horizontal de Grá cas Sea c 2 R; c > 1. La grá ca de y = f (cx) se obtiene comprimiendo horizontalmente la grá ca de y = f (x) en un factor de c. En efecto, si f es una función cuyo dominio D f es [a; b] ; para comprobar que la grá ca de f(cx) es la grá ca de f(x) comprimida horizontalmente en un factor de c, de namos una función h por h(x) = f(cx) y veamos que la grá ca de h es la grá ca de f comprimida horizontalmente en un factor de c. Para encontrar el dominio de h; usamos el hecho de que la función h está de nida si cx está en el dominio de f; es decir, si cx 2 [a; b] () a cx b () a c x b c : Como c > 1; 1 c < 1 entonces x está en un intervalo comprimido horizontalmente en un factor de c: Luego, D h = [ a c ; b c ]: Si w 2 D f ; entonces 1 c w 2 D h y así h( 1 c w) = f(c1 w) = f(w): c Luego, la grá ca de h es la grá ca de f comprimida horizontalmente en un factor de c y la grá ca de h es la grá ca de f(cx). Usando un argumento similar podemos mostrar que la grá ca de f( 1 w) es la grá ca de f alargada o c estirada horizontalmente en un factor de c. 4

5 Ejemplo Consideremos la grá ca de la siguiente función f : x Tracemos la grá ca de y = f 2 Tarea Trace la grá ca de y = f (2x). 5

6 Ejemplo (Funciones cuadráticas) Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2, es decir una función de la forma f (x) = ax 2 + bx + c; con a 6= 0 y su grá ca es una parábola vertical que se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. Usando procedimientos algebraicos podemos mostrar que cualquier función cuadrática pueden escribirse en la forma y k = a (x h) 2 que es la ecuación de una parábola vertical con vértice en el punto (h; k) : Para gra car cualquier función cuadrática trazamos la parábola y = x 2 que tiene el vértice en (0; 0) y la transformamos de acuerdo con las especi cidades de la función.ilustración Trazar la grá ca de y = 2x 2 4x + 1 y = 2 x 2 + 2x + 1 y 2 = 2 x 2 + 2x y 3 = 2 x 2 + 2x + 1 y 3 = 2 (x + 1) 2 El vértice de la parábola es el punto ( 1; 3) y como a = 2 < 0 la parábola se "abre" hacia abajo. Veamos cómo trazar la grá ca de y = 2x 2 4x + 1 a partir de la grá ca de y = x 2 : 1. Gra camos y = x Gra camos y = (x + 1) 2. (Traslación de la grá ca anterior, 1 unidad hacia la izquierda). 3. Gra camos y = (x + 1) 2. (Re exión de la grá ca anterior con respecto al eje x). 4. Gra camos y = 2 (x + 1) 2. (Alargamiento vertical de la grá ca anterior, en un factor de 2). 5. Gra camos y = 2 (x + 1) (Traslación de la grá ca anterior, 3 unidades hacia arriba). 6

7 Ejemplo Trazar la grá ca de y = j x + 1j 2 a partir de la grá ca de y = jxj, Solución Debemos elegir adecuadamente el orden de las transformaciones: 1. Gra camos y = jxj. 2. Gra camos y = jx + 1j. (Traslación de la grá ca anterior, 1 unidad hacia la izquierda). 3. Gra camos y = j x + 1j. (Re exión de la grá ca anterior respecto al eje y). 4. Gra camos y = j x + 1j 2. (Traslación de la grá ca anterior, 2 unidades hacia abajo). Observación: En el ejemplo anterior, se debe tener cuidado con la secuencia que se utilice al trazar la grá ca de la función: no es lo mismo trasladar hacia la izquierda y luego re ejar con respecto al eje y que primero re ejar con respecto al eje y y luego trasladar hacia la izquierda. En este último caso, como f ( x + 1) = f ( (x 1)); si realizamos primero la re exión de la grá ca y = jxj respecto al eje y, el siguiente paso sería trasladar la grá ca resultante 1 unidad hacia la derecha (y no hacia la izquierda) y nalmente trasladarla 2 unidades hacia abajo. En este caso, la secuencia correcta sería: 1. y = f (x). 2. y = f ( x). (Re exión respecto el eje y). 3. y = f ( (x 1)). (Traslación hacia la derecha) 4. y = f( (x 1)) 2. (Traslación 2 unidades hacia abajo). Importante: En general, cuando se trabaja con transformaciones horizontales y hay 2 o más transformaciones que afectan la x, se debe tener especial cuidado en la secuencia a utilizar para trazar la grá ca de la función. Se sugiere realizar primero las traslaciones y luego las re exiones, alargamientos o compresiones. 7