INTERACCION SUELO ESTRUCTURA, ESTATICA Y SISMICA DE CIMENTACIONES MONOLITICAS SUPERFICIALES 1. Por. Dr. Leonardo Zeevaert

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1 INTERACCION SUELO ESTRUCTURA, ESTATICA Y SISMICA DE CIMENTACIONES MONOLITICAS SUPERFICIALES Por. Dr. Leonardo Zeevaert INTRODUCCIÓN La compatbldad de los desplazamentos en la nterfase, entre la estructura de la cmentacòn y suelo, es mportante en el dseño de la ngenería de las cmentacones. Conocdas las fuerzas que actúan sobre la estructura de la cmentacòn nducdas por la superestructura y reaccones del suelo, el ngenero de cmentacones podrá estmar los momentos flexonantes y las fuerzas cortantes que actúan en los elementos que forman la cmentacòn parta realzar un dseño justfcado y económco. En mecánca de los suelos se presentan múltples problemas relaconados con la nteraccón estructura - suelo, como son: zapatas contnuas de cmentacòn, cmentacones compensadas, cmentacones profundas con plotes, muros de retencón y elementos subterráneos como plas, ataguías, tubos túneles, etc. En la mayoría de los casos las estructuras de cmentacones se construyen de concreto smple o reforzado, por tanto es mportante conocer las propedades mecáncas de esfuerzo deformacón - tempo del concreto y del suelo bajo dferentes condcones de carga. Además de las propedades mecáncas del suelo, es necesaro conocer la estratgrafía y Condcones hdráulcas del lugar; mas aun, en regones sísmcas las propedades dnámcas del concreto y suelo deben de determnarse para el problema específco en cuestón. Una buena solucón de la nteraccón entre la estructura y el suelo podrá obtenerse solamente sí sé conocen las propedades reales de esfuerzo-deformacón tempo de los materales y s se establece la compatbldad de deformacón entre la estructura y el suelo. Las teorías convenconales de Interaccón Suelo- Estructura de cmentacòn están basadas en la sguente ecuacón dferencal. 4 d y ( EI) K B y + q ( ) 4 dx En donde K B se consdera un parámetro constante dentfcado por el coefcente de reaccón ò Constante de resorte por undad de longtud de vga. El valor de Ic es el momento de nerca equvalente a la seccón de concreto reforzado de la vga: Ec es el módulo de elastcdad del concreto. La rgdez de la vga se mde por el producto ( Ec * Ic ). El resultado obtendo por medo de la Ecuacón ( ) nos consttuye una solucón exacta del problema de una vga sobre un suelo compresble, ya que K B no puede consderarse, en sentdo verdadero, como un parámetro constante del suelo a una varable dscreta. VI Semnaro de Mecánca de Suelos Interaccón Suelo- Estructura. Caracas Venezuela, septembre 980

2 El valor de K B depende de factores como son: el sstema de cargas aplcado, la extensón de la superfce cargada, la dstrbucón de las reaccones, el comportamento plasto-vscoso del suelo, el nvel de esfuerzos nducdo en la masa del suelo, el tempo, la estratgrafía, la dspacón de esfuerzos en la masa del suelo y la profunddad del estrato frme. Con relacón al concreto, y ya que éste no se comporta en el sentdo completo de la palabra elástcamente, el autor propone representar la deformabldad del concreto usando el concepto de módulo de deformacón untara defndo por: ε ε ep + ε v Mc () σ σ En donde es la deformacón untara para una rápda elasto plástca y ε es la deformacón ε ep untara que representa el fenómeno plasto-vscoso o escurrmento del concreto, esta deformacón es una funcón del tempo. v El módulo estátco de deformacón del concreto puede expresarse como: Mc Mep ( + Kv ) ( 3 ) En donde Kv es una funcón que mde el efecto de las propedades plasto-vscosas del concreto y depende de varos factores, como son: la relacón agua-cemento, la relacón de cemento agregado y humedad. Para efectos a largo plazo su valor puede alcanzar el orden de dos y en los prmeros años el orden de 0.5 a.0. El valor de Mep puede consderarse como el módulo de deformacón untara elasto-plástco del concreto determnando en pruebas rápdas; puede expresarse como: n Mep Co (W*f` c) ( 4 ) Donde Co, n son parámetros que se suponen constantes ; Sn embargo, ndudablemente dependerán de la relacón cemento-agregado y resstenca o caldad del agregado. El valor de w es el peso del concreto, f` c es la resstenca a la compresón smple del concreto (ver deflexones en membros reforzados a la flexón ACI 435). En el caso de problemas dnámcos, el módulo de deformacones bajo condcones dnámcas debe determnarse para el rango de frecuencas que se esperan en la estructura de cmentacòn. Su valor

3 puede ser una funcón de las dmensones de los elementos estructurales, del nvel de deformacón o esfuerzo, del porcentaje de refuerzo de acero, de la relacón cemento agregado, de la relacón aguacemento o resstenca, de la edad del concreto y de su humedad. Esta propedad dnámca del concreto smple o reforzado no ha sdo nvestgada en forma extensva. Las dfcultades para obtener mejores solucones en la nteraccón estructura-suelo son dos:.- Métodos de cálculo..- El conocmento de los parámetros adecuados. Hoy en día el prmer problema puede resolverse con precsón aceptable, usando computadoras. El segundo problema es consderablemente más dfícl de resolver porque es necesaro conocer las propedades mecáncas estátcas o en su caso: Dnámcas del concreto y suelo. Aun más, la nvestgacón para cada caso específco de las propedades mecáncas de esfuerzo-deformacón tempo del concreto y suelo, es costosa. En ocasones cuando el estrato compresble es delgado, el uso de la ecuacón ( ) proporcona Solucones satsfactoras desde el punto de vsta practco de ngenería. Por ejemplo, una vga como la que se muestra en la fg., con dos cargas guales Q concentradas en sus extremos, tenen solucón teórca dada por la ecuacón ( ). El momento flexonante máxmo y el desplazamento vertcal ( ) al centro de la vga, son: m c Q senh lλ / sen lλ / (5) λ senh lλ sen lλ y c 4Qλ cosh lλ / coslλ / (6) k senh lλ coslλ B aquí 4 k 4 B λ (7) Ec I c El valor de K B es el módulo de cmentacòn por undad de longtud de vga que se supone constante en la longtud de la vga, y se defne como sgue: K B Ko ( B ) ( 8 )

4 En donde Ko es el llamado coefcente de reaccón por undad de superfce y ( B ) el ancho de la vga de cmentacòn en contacto con el suelo. Del argumento λ fórmula ( 7 ), se puede notar que el valor de K B tene menos nfluenca en el momento flexonante en la fórmula ( 5 ) que en el caso del desplazamento vertcal fórmula ( 6 ), donde el valor de K B tene un sgnfcado mucho mayor. Por otro lado, se puede juzgar que los valores del momento flexonantes son nversamente proporconales al valor de λ. llamado Kb / (EI)c τ se puede escrbr. 4 λ τ / 4 ( 9 ) De la ( 9 ) se deduce que un error en la estmacón de τ, esto es τ/τ afectará úncamente 5% del valor λ. λ 4τ λ 4 τ (0) De la deprecacón anteror se conoce la aproxmacón que s necesaro obtener el parámetro K B para obtener una precsón aceptable en los momentos flexonantes. Así pues, para obtener una precsón de 5% en los valores MC, el valor de τ deberá quedar dentro del 0%. La fórmula expresada por la ( ) es compatble con la suposcón de E.Wnkler (867), quen consdera dscontnudad del suelo, esto es, el subsuelo lo representa por resortes que pueden deformarse al ser cargados en forma ndependente los unos de los otros. La Fg., muestra la planta y corte de una cmentacón. La planta ha sdo secconada en 6 bandas por facldad de exposcón, bajo cada una de las bandas se coloca un resorte que toma la reaccón de la banda correspondente, se observa que s la estructura de la cmentacón es muy rígda con respecto al suelo, τ muy pequeño, el desplazamento vertcal se efectuará en un plano y las fuerzas de los resortes tendrán una varacón lneal, ya que R K B * s la estructura de cmentacón es muy flexble, τ grande, las relacones se concentrarán en los resortes de acuerdo con las cargas aplcadas sobre la estructura de la cmentacón, Fg.. Puede reconocerse fáclmente que el valor del coefcente de reaccón no puede ser consderado como una constante, s se analza un cmento rígdo y contnuo apoyado sobre una masa sem-nfnta, Fg.3.

5 En efecto, una vga muy rígda al ser cargada smétrcamente, muestra un desplazamento vertcal gual a R sn embargo, la reaccón bajo el cmento, tomada de la elastcdad, tene el sguente valor: q x π q a ( x / B) y el coefcente de reaccón por defncón será: R Q, q a () B q x x () r De donde se reconoce que R X no puede consderarse como constante, pues es una funcón de la rgdez de la vga, de la dstrbucón de reaccones y de las propedades mecáncas y estratgráfcas del suelo. CONCEPTO DE COMPATIBILIDAD Supongamos una vga flexble con cargas concentradas y soportadas sobre la superfce de una masa sem nfnta, fg.4. la vga está en equlbro con las cargas Q y las reaccones del suelo. Bajo estas condcones de carga, la vga toma certa confguracón, la cual está dada por los desplazamentos vertcales del suelo mpuestos por la vga cargada. Supongamos un punto sobre la vga. Sí la vga es nfntamente rígda, el desplazamento vertcal en este punto será y la confguracón de la vga será una línea recta: a,, b. Los desplazamentos vertcales del suelo tambén quedarán sobre la msma línea recta: por tanto, la dstrbucón de reaccones deberá ser tal forma que carguen la superfce de la masa sem-nfnta del suelo para que se produzca dcha confguracón en línea recta de los desplazamentos vertcales. Supongamos ahora que la vga se flexona debdo a los momentos flexonantes y fuerzas cortantes, y por lo consguente, se nducrá un desplazamento vertcal adconal y la vga tomará certa confguracón específca +. El suelo se deformará la msma magntud de acuerdo con las reaccones mpuestas, Fg.4. la confguracón relatva de la vga flexble es una funcón de Ic/Mc en donde Ic es el momento de nerca de la seccón transversal de la vga, Mc es el módulo de deformacón untara del concreto que es una funcón del tempo y de las característcas mecáncas del concreto usado. De aquí se deduce que el desplazamento total vertcal del suelo en la nterfase es una funcón de la rgdez de la vga Ic/Mc de la confguracón de las reaccones, del nvel de esfuerzos en la masa del suelo, de la estratgrafía y de las propedades de esfuerzo-deformacón - tempo de los estratos del subsuelo, en cmentacones puede usarse el concepto de módulo de cmentacón untaro como una varable auxlar convenente pero desconocda.

6 q K (3) En donde q es la reaccón untara del suelo y el desplazamento vertcal del suelo en cualquer punto de la superfce. en caso de una vga de cmentacón de ancho B, el módulo de cmentacón por undad de longtud de vga es: K B (B) q R B En donde R B es la reaccón meda por undad de longtud de vga en cualquer punto. El módulo de cmentacón concentrado para certa área trbutara pequeña a es: (4) q * a R K En donde R es la carga total concentrada en el área a por tanto Rq a (5) De estas defncones puede observarse que los valores R, K B y K, son cantdades que toman valores varables en la nterfase de la estructura de cmentacón y el suelo, aún cuando el desplazamento vertcal sea unforme como es el caso de una vga rígda de cmentacón. La teoría que trata con un coefcente de reaccón constante, no es compatble con la nteraccón real de la estructura y el suelo. Supongamos una vga soportada por dos o más zapatas rígdas que no nterferen entre sí, cuando este es el caso, el módulo de cmentacón concentrado para cada zapata puede determnarse ndependentemente. S se conocen las propedades de deformacón untara M para cada estrato del subsuelo de espesor d, el hundmento de una zapata será: n 0.85 M d σ (6) En donde σ es el ncremento de esfuerzo medo en el estrato consderando y de acuerdo con la carga a la cual quedará sometda la zapata, así tambén deberá estmarse el nvel de esfuerzos en el subsuelo para elegr con mayor precsón posble el valor del módulo de deformacón untara, el cual es ben sabdo es funcón del nvel de esfuerzos confnantes ó esfuerzos octaédrco exstente en el subsuelo. Llamaremos en adelante α N manera que podamos escrbr: ( Md) N, la compresón volumétrca de un estrato de espesor d de tal

7 N N α σ (7) Conocendo los valores de para un nvel de esfuerzos N σ cercano al esperado se puede calcular los valores de K para cada una de las zapatas, a saber: Q K, Q K, Q 3 K 3 (8) 3 El desplazamento vertcal del suelo puede calcularse para certo tempo con las propedades esfuerzo-deformacón - tempo y con la estratgrafía del suelo bajo cada una de las zapatas ndvduales. En el caso de la Fg.5, el problema se resuelve por estátca smple. En el caso de la Fg.6. el problema de las relacones del suelo pueden resolverse por métodos convenconales usados en la solucón de estructuras estátcamente ndetermnadas, como el ejemplo de cálculo para tres zapatas asladas que se muestra en la Fg.7. se observa que cuando las zapatas ndvduales no nterferen entre sí, la solucón es úncamente una funcón del tempo obtenda de las propedades mecáncas del concreto y del suelo y puede calcularse fáclmente para un tempo determnado por medo del concepto de un módulo de cmentacón constante. INTERACION SUELO- ESTRUCTURA CARGAS ESTATICAS. Supongamos ahora que la vga de cmentacón queda soportada sobre un número grande de zapatas colocadas unas a contnuacón de las otras. Los esfuerzos que estas zapatas orgnan en el subsuelo nterferen entre sí, consderando que éste actúa como una masa contnua. Por lo consguente, el concepto de un módulo de cmentacón constante ya no es váldo. Para resolver este problema en forma práctca procederemos prmero a encontrar un método de cálculo para encontrar los valores de los asentamentos bajo las 6 zapatas con reaccones untaras q como se muestra en la Fg.8. colocamos una carga untara en la banda y calculamos las nfluencas N Ij al centro de cada uno de los estratos N formando la matrz que se encuentra en la Fg.8. el cálculo de N Ij se puede efectuar usando las solucones de Boussnesq, Westergaard o Frohlch (4) dependendo de la estratgrafía y de Las propedades de deformabldad del suelo. Conocendo las deformacones de los estratos α N se pueden calcular los asentamentos. N N α (9) j Ij

8 Por consguente el vector de desplazamentos vertcales en los puntos a,,, 3, 4 y b quedan expresados en forma matrcal (5) como sgue: j N T N [ ] α (0) Ij Lo anteror mplca el sguente cálculo para cuando la carga untara se coloca sucesvamente en cada una de las bandas: N T N [ ] j4 I j4 α N T N [ ] ja I ja α N T N [ ] j I j α N T N [ ] j I j α ( ) 3 N T N [ ] j3 I j α N T N [ ] jb I jb α Conocendo los vectores de desplazamento vertcales orgnados por las cargas untaras, se establece (4) la ecuacón matrcal de los asentamentos que se llamará en adelante EMA, aa a a 3a 4a ba a 3 4 b a 3 4 b a b3 a b4 ab b b 3b 4b bb q q a q q q q 3 4 b a 3 4 b ()

9 Por medo de la ecuacón () se puede calcular los hundmentos producdos por las cargas q aplcadas en las bandas de gual dmensón de tal manera de obtener de flexbldad del suelo smétrca. y por tanto una matrz j j En forma matrcal EMA se lee como sgue: T [ j ] q (3) Cuando se trate un caso smétrco, Fg.9: q q, q q q q, así tambén a b, 4, 3, y la () se puede escrbr como sgue: a b 4, 3 aa a a ab b b a + a a a3 3 3 q a q q a o ben: [ j ] q (4) SIM para un caso asmétrco q a qb, q q4, q q3, a b, 4, 3 se escrbe: aa a a ba b b a a a a3 3 3 q a q q a El caso asmétrco representa un gro de la cmentacón. en forma matrcal: [ j ] q SIM (5) Los hundmentos totales se encuentran de la suma de (3 y 4), Fg.9. esto es: + (6)

10 Supongamos ahora que se requere encontrar las reaccones que se orgnan por ser la estructura de la cmentacón un cajón rígdo. En este caso el desplazamento vertcal tendrá una varacón lneal y podrá descomponerse en un caso smétrco y otro asmétrco. Caso Smétrco (4) El caso smétrco se resuelve consderando un hundmento medo obtenendo de la (3) consderando que qaq...q qb y calculando: a n n susttuyendo en la (4) a a q [ ] j ISIM a (7) de la (7) se obtenen las reaccones de contacto Fg.9. Caso Asmétrco ( 4) Para este caso cuando la cmentacón es rígda de acuerdo con el momento de volteo O T un ángulo de tal manera que los movmentos vertcales, Fg.0. serán: a X X a X X 4 X X 3 Substtuyendo los valores de (8) en (5) se tene: b (8) [ j ] q X SIM de donde: El momento de volteo: El gro: q [ j ] X ASIM q X (30) OT (9)

11 OT (3) ( q / ) X Fnalmente, las reaccones para el caso asmétrco se calcula por: q q (3) CORRECCIONES DE LOS VALORES α POR HISTERESIS. Las cmentacones para edfcos pesados o altos en los suelos compresbles generalmente se dseñan con cajones rígdos de cmentacón, con uno o dos sótanos bajo la superfce del suelo. La excavacón para alojar la cmentacón provoca una dstrbucón de los esfuerzos efectvos en la masa del suelo, Fg.ª. Posterormente se coloca la carga recomprmendo al suelo. El cclo de descarga y carga se orgna a dferentes nveles de esfuerzo con la profunddad. El módulo de deformacón untara Mz se defne por: ε Mz (33) σ En donde ε es el ncremento en la deformacón untara orgnada por el ncremento de esfuerzo σ. Esta propedad mecánca del suelo se determna en el laboratoro en muestras nalteradas, en las que se ha retrado el estado de esfuerzos al que estaban sometdas, después de lo cual se recomprmen para determnar el valor de Mz. Consderemos, Fg.b, un cclo de hsteréss para descarga total, donde la expansón máxma, es ε eo y la recompresón es ε co Este fenómeno de descompresón y recompresón total se produce úncamente en la superfce de la excavacón en donde el alvo de esfuerzos es parcal, σ r y provoca úncamente una expresón parcal ε cr Supongamos que se requere corregr el módulo de deformacón untara por expansón o respuesta elástca Me ( 4) debdo a una expansón parcal. De nvestgacones del autor la Ley Fenomenológca que goberna la expansón es como sgue. (4) c εer a ( σ o σ o ) (34) En donde ( σ σ ) σ representa el alvo de esfuerzos a la profunddad nvestgada. Por o o r consguente el módulo secante de deformacón untara por expansón será:

12 ε er Mer ( σ σ o o a( σ ) r ) c En el laboratoro por medo de un cclo de hsteréss se determna el módulo secante Meo para expansón total que vale. ε Meo σ eo o a( σ o ) c Por consguente la relacón de los módulos de expansón; por el alvo parcal de esfuerzos Mer, al total Meo será: Mer Meo σ σ o r c (35) De donde el factor de expansón queda defndo por: ρ e c σ o De donde el módulo para la expansón parcal es: ρ e (36) σ o Mer ρ e Meo (37) S d es el espesor del estrato la expansón volumétrca del estrato es: α Meo e ρe d (38) Al recomprmr el materal por el msmo alvo de esfuerzos σ σ σ ) se verfca una compresón elástca, plástca y vsco-plástca, esto es: r ( o o ε cr ε er + ε pr + ε vpr El módulo de deformacón untara por compresón parcal, Fg. b es:

13 Mcr ε σ er cr ε + ε pr er ε + ε vpr er Mcr Mer( + k pr + kvpr ) (39) En donde k pr ε ε pr er k vpr ε ε vpr er Para la recompresón total efectuada en el laboratoro en probetas del suelo nalterado se obtene: ε co ε eo + ε po + ε vpo O ben Mco ε σ eo o ε + ε po eo ε + ε vpo eo Mco Meo( + k po + kvpo ) (40) En donde k po ε ε po eo k vpo ε ε vpo eo Por lo consguente, la relacón de los módulos de compresón untara es: Mcr Mco Mer + k Meo + k pr po + k + k vpr vpo (4) Aquí Mer/Meo ρ y los valores de k y k se pueden determnar en el laboratoro de pruebas e po vpo completas de hsteréss. Sn embargo, los valores k y k son desconocdos pero puede suponer que son proporconales al nvel de esfuerzos, aproxmadamente: pr vpr

14 k k pr po k k vpr vpo σ σ r o Substtuyendo en (4) se obtene (4) Mcr Mco + ( k po + kvpo )( σ r / σ o ) ρ e (4) + k + k La expresón (4) proporconaría el factor de recompresón para el fenómeno de hsteréss: po vpo + ( k po + kvpo )( σ r / σ o ) ρ e (43) + k + k po De donde Mcr ρ Mco c. El valor de Mco y los valores de ε y ( ε + ) se determnan en eo el laboratoro en probetas nalteradas del suelo con cclos de hsteréss. La compresón volumétrca de un estrato es: vpo po ε vpo α Mco c ρc d (44) COSIDERACIONES SISMICAS Durante la práctca profesonal se ha poddo comprobar que el buen comportamento de una estructura durante temblores de terra fuertes, depende en alto grado de un dseño adecuado de la cmentacón tanto para cargas estátcas como para las sísmcas. Una cmentacón podrá haber sdo dseñada y construda para trabajar satsfactoramente con cargas estátcas y, sn embargo, su comportamento sísmco podría ser defectuoso, afectándose la respuesta sísmca de la superestructura. La cmentacón es el elemento que transmte las fuerzas sísmcas a la superestructura, consecuentemente ésta será la responsable del comportamento del edfco. La respuesta sísmca de una cmentacón monolítca es funcón de varos factores, a saber: a.- Característcas del ssmo. b.- Característcas estratgráfcas e hdráulcas y de resstenca del subsuelo. c.- Propedades y comportamento dnámco del subsuelo. d.- Poscón del centro de masa del edfco. e.- Interaccón entre el suelo y la estructura de cmentacón. F.- Magntud de los esfuerzos de contacto. En la práctca profesonal el subsuelo no se puede consderar homogéneo e sótropo como ya se ha menconado en la nteraccón para condcones estátcas. Generalmente está consttudo por una sere

15 de depóstos de sedmentos con propedades dnámcas varables que defnen las propedades de los dferentes estratos. Sn embargo, desde un punto de vsta práctco, se podrá consderar que cada estrato del subsuelo puede ser representado por sus característcas geotécncas meddas, esto es: su geometría, propedades dnámcas, de resstenca y de esfuerzo-deformacón. Las fórmulas de cálculo basadas exclusvamente en propedades del subsuelo consderando como un medo homogéneo e sótropo no podrán proporconar resultados cercanos a la realdad, más que en casos muy partculares. La respuesta sísmca de la cmentacón dependerá, por tanto, de las condcones estratgráfcas reales y de las propedades dnámcas de los estratos nvolucrados en el movmento sísmco. Así tambén del nvel de esfuerzos a que será sometdo el subsuelo durante el fenómeno sísmco. Conocendo las condcones reales del subsuelo y procedmentos de calculo afnes a las condcones ambentales del lugar en cuestón, los resultados dependerán fundamentalmente de la precsón con se conozcan las propedades estratgráfcas y dnámcas del subsuelo para un ssmo de certas característcas predetermnadas en estas condcones la respuesta sísmca de la cmentacón podrá conocerse con precsón práctca que permta analzar los esfuerzos y deformacones de la cmentacón y de los efectos que su comportamento nduce en la superestructura. CARACTERISTICAS DE LOS SISMOS ( 6) Los ssmos deberán dentfcarse por su magntud e ntensdad y elegr las característcas del ssmo que se utlzará como base para poder efectuar un dseño lo más apegado a la realdad cuando quera llevarse acabo una mejor vsualzacón de los fenómenos nvolucrados, y los cuales deberán cumplr como mínmo con los códgos legales de dseño establecdos. Los códgos para las dferentes regones sísmcas han sdo elaborados con la ntencón de cubrr por medo de factores como: las peores condcones que podrían presentarse y que por experenca local han sdo observadas en la regón consderada. No sempre los códgos así aplcados proporconan dseños seguros. El prncpal defecto es que el ngenero de cmentacones perde contacto con la físca elemental del problema dnámco. El códgo sendo una legslacón deberá, sn embargo, respetarse como una condcón mínma. Por otro lado, el ngenero dseñador no deberá perder de vsta cualesquera de los aspectos físcos y ambentales que puedan afectar su dseño sísmco de la cmentacón y superestructura. La magntud de un ssmo se mde ndrectamente por la cantdad de energía potencal lbertad en la zona focal y por tanto es ndependente de la dstanca. Sn embargo, a determnada dstanca la ntensdad sísmca se mde por la aceleracón regstrada en un acelerógrafo. El profesor Rchter establecó la escala de magntud sísmca que lleva su nombre ( 7). La escala de Rchter srve para

16 estmar la posble energía lberada en los focos sísmcos y su aprecacón de los efectos producdos en el lugar de observacón deberá de nterpretarse cudadosamente. En efecto, s una M R 6.0 produce determnado nvel de daño en una regón lejos del foco, podría que la lberacón del doble de energía correspondente a M R 6.3 producría el doble de daños. Para precsar mejor los efectos de determnada magntud sísmca en el lugar de observacón se utlzan las escalas ntensdad sísmca. La ntensdad sísmca representa los efectos producdos en el lugar de observacón. Estos pueden ser meddos en fuerza, aceleracón o por los daños producdos. De tal manera que, en una regón podrán establecerse lugares donde sean observadas las msmas ntensdades sísmcas para un ssmo de certa magntud obtenéndose así las cartas sosísmcas. La ntensdad se tabula por escalas de grados sísmcos, como la ben conocda escala de Mercall en Amérca y Europa. Las escalas de ntensdad han sdo tambén estudadas en térmnos de la aceleracón máxma en la superfce del suelo por Cancan-Seberg (6.7), y correlaconadas con la escala modfcada de Mercall la cual corresponde en térmnos de aceleracón a una escala geométrca. Así pues, la ntensdad de grado VII es el doble del grado VI y el grado VII es cuatro veces mayor. En térmnos de aceleracón aproxmadamente: VI5 cm/seg, VII50 cm/seg, y VIII00 cm/seg. Desde el punto de vsta de ngenería sísmca de dseño, sn embargo, el conocmento de la ntensdad sísmca para el lugar de nterés no es sufcente nformacón para efectuar un dseño apropado de la cmentacón y estructura de un edfco, ya que la respuesta sísmca es funcón de las característcas dnámcas del subsuelo. Se puede demostrar que las ondas prncpales que se producen en la zona de generacón sísmca (4,7) corresponden a: ondas compresbles conocda como ondas de dlatacón u ondas p, que requeren para su transmsón que el suelo sufra cambos de volumen. Las ondas compresbles se desplazan con velocdad v d en el sentdo de la compresón la dlatacón. Las ondas mportantes se transmten sn cambo de volumen y se conocen como ondas s, ondas equvolumétrcas o de esfuerzo cortante y producen dstorsón en el suelo perpendcular a la dreccón de traslacón con velocdad. v s De las ecuacones de movmento de estas ondas se deduce que:.- La velocdad de las ondas p; λ + µ v d ( ρ 45)

17 .- La velocdad de las ondas s; µ v s (46) ρ υε De la teoría de elastcdad el valor de λ queda defndo por: λ (8) ( + υ)( υ ) Se observa que la velocdad de las ondas p es funcón de la relacón de Posson y tene una velocdad mayor que las ondas s, que pueden determnarse drectamente conocendo úncamente el módulo de rgdez del suelo µ y la masa untara ρ. Para un suelo saturado donde el cambo de volumen no pueda verfcarse en forma nstantánea el valor de v tende a ser varías veces mayor que. Por lo anteror se puede tambén deducr que las deformacones sísmcas ocasonadas por las ondas S serán de mayor mportanca. d vs Para calcular la respuesta sísmca en un determnado lugar se hace necesaro conocer la hstora de aceleracón del ssmo, la cual se determna regstrando el movmento sísmco por medo de un acelerógrafo. En la Fg.. Se muestra un acelerograma regstrado en mayo, 96 para la parte central de la Cudad de Méxco, en donde se observa que la aceleracón máxma a m del suelo alcanza un orden de 38 cm/seg. Se puede demostrar que la respuesta sísmca máxma puede determnarse por medo de la ntegral de Duhamel: t ξwo ( t τ ) Rv a( τ ) e sen w d ( t τ ) dτ} max 0 El valor de Rv representa la ntegracón de los mpulsos transmtdos por la aceleracón a(τ ) a la base de una estructura equvalente a un grado de lbertad con frecuenca crcular lbre Wo y amortguada WdWo(-ξ 0 ), en donde ξ o representa la fraccón de amortguamento crítco de la estructura. (47) Para el dseño sísmco de la estructura al ngenero le nteresa fundamentalmente la fuerza de nerca que se genera en el centro de la masa, esto es: VmM*Ra (48) El valor de RaWoRv, se conoce como la respuesta de seudo-aceleracón y la aceleracón Ra vs T el espectro de seudo-aceleracón. Por medo del acelerograma de la Gg.. Y la expresón (47) se obtuveron los espectros de respuesta de aceleracón que muestra la Fg.3. Para dferentes

18 amortguamentos crítcos y para el centro de la Cudad de Méxco. Para una estructura rígda donde T 0 la aceleracón será la de la superfce del suelo obtenda como la máxma del acelerograma. Nótese que a medda que la estructura se hace más flexble aumenta la respuesta hasta llegar a un valor máxmo después del cual declna hasta hacerse pequeña. El sgnfcado físco del espectro de respuesta se puede vsualzar suponendo Fg.4. Una sere de edfcos en la zona de estudo, representados por péndulos con períodos T dferentes y representatvos del modo fundamental de vbrar de los edfcos. Supongamos períodos que varían desde T0 hasta T4 seg. Ahora magnemos que en la nterfase con el suelo frme se producen trenes de ondas de esfuerzo cortante con velocdad de traslacón v s pero con dferentes períodos y longtudes de onda de tal manera que: L L v s T T L T (49) El suelo se puede consderar como vbrador, por tanto tendrá una sere de períodos de vbracón lbre dependendo de las condcones estratgráfcas y de sus propedades dnámcas. Se encontrará que exstrá un período máxmo de vbracón o fundamental el cual puede ser exctado por la perturbacón sísmca más fáclmente que los armóncos más altos. Cuando el período fundamental del duelo es T y éste sea aproxma concdentemente con alguno de ς los períodos de los péndulos representatvos de los edfcos, dcho péndulo entrará en resonanca producéndose en su centro de masa una amplfcacón de la aceleracón con respecto a la aceleracón máxma de la superfce del suelo. La aceleracón de la superfce del suelo será tomada úncamente por el péndulo de alta rgdez: Tn 0. Así pues los pcos en el espectro de respuesta de seudo-aceleracón serán representatvos de las amplfcacones producdas cuando las longtudes de las ondas sean compatbles con la estratgrafía del subsuelo y, por tanto, nduzcan períodos en éste cercanos a los períodos fundamentales de las estructuras. El período fundamental T del subsuelo resulta el más mportante de consderar ya que orgna la respuesta máxma y consecuentemente la amplfcacón máxma para determnado amortguamento crítco, y por tanto, puede servr como base para formular un espectro práctco de dseño. Llamemos la amplfcacón de la aceleracón por R f el espectro de respuesta de aceleracón en térmnos de a a a m f a s y dbujemos en escalas log-logarítmcas vs To/T, en don To es el período equvalente de la estructura y su cmentacón como s fuese un grado de lbertad. El dbujo se efectuará s

19 de tal manera que represente la envolvente de todos los pcos en el rango, desde To/ pequeño, hasta To/T 3 por consguente el valor de To/T representará la concdenca del período equvalente s s T s To con el subsuelo T y por tanto se obtendrá la respuesta máxma s f a, Fg.5. De lo anteror dscusón se ve la mportanca de poder conocer el período fundamental del subsuelo. Tambén es mportante el segundo modo de vbracón para el caso de sedmentos suaves como es el de la Cudad de Méxco. El uso del espectro que muestra la Fg.5. Es fácl; magnemos que el subsuelo tene un período domnante de T.0 seg. Una estructura tene un período fundamental de To.0 seg. Por consguente To/T.0 y de la Fg.5. Se obtene ξ o s s a.0 para un amortguamento de 5%. De donde la fuerza de nerca en el centro de masa de la estructura será Vm( M ). f am S hm es la altura del centro de masa desde la nterfase del suelo con la cmentacón, el momento de volteo será: O h m ( M ) (50) T a m B V m Y la fuerza cortante en la base V (5) PERIODO FUNDAMENTAL DEL SUELO En párrafos anterores se menconó la mportanca de conocer las propedades dnámcas del suelo, para lo cual es necesaro nvestgar cada uno de los estratos que lo forma hasta alcanzar la base frme. De la experenca se conoce que en sedmentos no consoldados los efectos más mportantes de movmento sísmco son los producdos por las ondas de esfuerzo cortante con velocdad: µ V s (5) ρ En donde µ es la rgdez del suelo o módulo de elastcdad al cortante, y ρ la masa untara. El valor de µ puede ser determnado en probetas de suelo nalterado representatvas de cada uno de los estratos del subsuelo. La determnacón de µ se puede efectuar por medo del Péndulo de Torsón Lbre

20 dseño por el autor. La probeta nalterada representatva de cada estrato del subsuelo se coloca en una cámara traxal a un esfuerzo de confnamento σ equvalente al esfuerzo efectvo octaédrco al cual c dcho materal se encontraba sujeto a la profunddad de donde la muestra fue extraída, Fg.6. S el materal se encuentra saturado se permte la consoldacón total del suelo y luego se hace vbrar la muestra lbremente, obtenéndose la respuesta elástca. De los resultados obtendos se calcula la rgdez (5) del suelo µ y la fraccón del amortguamento crítco representatvos. De cada estrato ξ s Fg.7.con los valores de µ s y de la masa untara del suelo se calcula la velocdad V de la onda de cortante por la (5), de donde se podrá calcular aproxmadamente el período fundamental del suelo. Sea v, ρ, d s la velocdad de la onda, masa untara, y espesor respectvamente del estrato. El tempo que la onda tardaría en atravesar dcho estrato es: d t v s Al recorrer la onda de la base frme a la superfce del suelo donde ésta será reflejada haca la base frme el tempo transcurrdo será ¼ del período fundamental, así la dstorsón total del suelo en la superfce representará la ampltud del movmento, Fg.8. por consguente: n d T s 4 (53) v s Las dstorsones relatvas y esfuerzos cortantes en el subsuelo producdas por certa aceleracón sísmca en la superfce pueden calcularse por medo de expresones paraámetrcas del movmento para el caso (4) de ondas de esfuerzo cortante que vajan desde el estrato frme haca la superfce.. RESPUESTA SISMICA DE LA CIMENTACION Supongamos una estructura y su cmentacón representada esquemátcamente como se muestra la Fg.9. la fuerza de nerca máxma durante el movmento sísmco es: v m ( + n ) w 0 M (54) Y el momento de volteo: O T v m h m (55) Por otro lado las fuerzas de resttucón serán:

21 Por flexbldad de la estructura ( kn n ), y por la rotacón de la cmentacón ( k ).El equlbro dnámco requere: k v m h m w ( + ) M (56) h n 0 k / m w 0 hm M + k n h m k M Pero n k h m nkn k, susttuyendo en (56) h k m 0 n hm w 0 hm M + k M k n k Por otro lado, se encuentra que para n 0 la frecuenca crcular por rotacón es: w y Mh m (57) para 0 la frecuenca crcular de la superestructura w n k n M susttuyendo estos valores en (57): w 0 w + w n (58) O ben ya que wπ/t T T + T (59) 0 n En donde Tn es el período de la estructura. De donde se deduce que el período equvalente acoplado de la estructura y su cmentacón puede ser obtendo por la (59). El período de rotacón T es funcón de la masa total del edfco y de las propedades dnámcas y estratgráfcas del subsuelo, esto es: M T πh m (60) k

22 El problema consstrá en determnar el módulo de cmentacón por rotacón k para conocer el / s 0 Ts 0 período fundamental del suelo T. Conocendo T y el amortguamento crítco equvalente ξ se encuentra al espectro normalzado de respuesta y se determna f a, por consguente los valores de v m O T y. La expresón (59) es tambén válda para los períodos amortguados cuando ξ <0%, de donde se puede escrbr: 0 T T + T (6) od d nd Sea ξ el amortguamento crítco equvalente del sstema estructura-cmentacón, ξ el 0 amortguamento crítco de la cmentacón y ξ el de superestructura, por tanto: T 0 T od ( ξ 0 n ) T T ( ξ ) (6) d T n Tnd ( ξ n ) Susttuyendo en (6) y efectuando operacones algebracas. ( ζ )( ζ ) n T ( ξ 0 ) (63) ( ξ ) T + ( ξ T n 0 ) n Consderando que (-ξ )ξ n ξ n y (- ξ n )ξ ξ para los valores: ξ < 0. 0, de la (63) se obtene: ξ T + ξ T ξ (64) 0 n n ( ξ n ) T + ( ξ ) Tn

23 Por consguente los valores T,, T ξ se podrán calcular de (59) y (64) los valores del período To y ξ n, n amortguamento equvalente ξ respectvamente. Los amortguamentos de las estructuras se 0 encuentran en rangos de ξ % a 5% y para las cmentacones aproxmadamente: En sedmentos n muy suaves 0% - 5% suaves 5% - % rígdos % - 8% muy rígdos 8% - 6% duros 5% ξ REACCIONES SISMICAS Para el cálculo de k se procede como sgue: supongamos una cmentacón como la que se ndca en la Fg.. de planta rectangular formada por un sstema de vgas cortadas y dos vgas longtudnales donde las cortas apoyan, y que en conjunto con la losa nferor de reaccón y la losa superor sobre las vgas forman en conjunto un cajón capaz de tomar el movmento de volteo sísmco y trabar en forma contnua a la flexón, fuerzas cortantes y torsón. El momento de volteo nducdo por la fuerza de nerca en el centro de masa se puede dvdr en dos: el momento que toma los muros de retencón de la cmentacón O de tal manera que: TB O TN y la fraccón del momento de volteo que toma la base Así tambén por defncón O T k O TW k w O TB k B O O + O T TW TB (65) En donde es la ampltud sísmca de la rotacón ó cabeceo de la caja rígda de la cmentacón, por consguente: k k w + k B El problema consstrá en valuar los módulos de cmentacón y k. Para calcular el valor de k W k W, consderaremos a la caja de cmentacón con un gro máxmo, Fg.0. B (66)

24 El muro de la caja de cmentacón gra en un plano presonado sobre el suelo en sentdo horzontal. Lo anteror orgna un empuje unforme (p) en el suelo en contacto con el muro. Suponendo un módulo dnámco medo Me en sentdo horzontal, se puede demostrar que el desplazamento horzontal a una altura (z) de la base es aproxmadamente como sgue: Z ( M e q) Z (67) Z De donde ( Meρ), pero por defncón: k, luego: W O TW / OTW k W (68) Me Además, de Fg.0. se obtene que O pd / y conocendo la rgdez del suelo: T Me (69) ( + υ)µ Susttuyendo los valores dados en (68) se obtene que: k B ( + υ) d µ (70) Se hace notar de la (70) que el valor de cmentacón en el suelo. k W es una funcón mportante del empotramento del cajón de Para el cálculo del módulo de cmentacón de la base k B se procede como sgue: se dvde la superfce de apoyo en fajas transversales de gual área a y tantas como sean necesaras para obtener precsón práctca ( 5). Supongamos ses fajas para lustrar el procedmento. Carguemos una faja, Fg.8.con una N carga untara q + y calculemos la nfluenca I que dcha carga untara nduce en el subsuelo al centro de los estratos consderados, en este caso cuatro, y de debajo de cada una de las bandas. Las compresones dnámcas volumétrcas se desgnan por α j N d para cada estrato. Por consguente, de acuerdo con la Fg.8. se puede encontrar los desplazamentos vertcales j al centro de las bandas que dcha carga untara produce en los puntos a 6 cuando ésta se aplca

25 sucesvamente en cada una de las bandas consderadas. En forma matrcal estos valores se calculan como sgue: N T N [ ] j I j α d N T N [ ] (7) j I j α d N T N [ ] j I j α d De donde: N [ ] I matrz transpuesta de las nfluencas en j debdo a la carga untara j aplcada en la banda. N α d matrz columna de las compresones volumétrcas en los estratos de A a N en condcones dnámcas. N j desplazamento vertcal en puntos j debdo a una carga untara vertcal en la banda. Sn embargo para condcones dnámcas los valores de las deformacones volumétrcas de los estratos α se calculan con la rgdez dnámca µ del suelo, esto es: N d d α d (7) ( + υ)µ Con los valores de (7) se forma la ecuacón matrcal sísmca de desplazamentos vertcales en la msma forma que para la (3). La que llamaremos EMAS, esto es: ecuacón matrcal de desplazamentos vertcales sísmcos ( 5) consderando que el fenómeno es asmétrco y representa la ampltud del gro sísmco de la cmentacón, se puede escrbr en la msma forma que la (39), la sguente expresón matrcal: q [ j ] X ASIM (73)

26 Soluconando el sstema de ecuacones smultáneas que representa la ecuacón matrcal (73) se determnan los valores ( q / ). El momento de volteo será: O T q a x (74) El módulo de cmentacón para rotacón queda defndo por k O T /, de donde resulta: q k a 6 x (75) Conocendo el valor k se calcula T y el valor de T T + T y con el amortguamento crítco 0 0 n equvalente ξ se entra al espectro de dseño con T T y se encuentra f. El momento de volteo será: 0 0 / s a O T f a ( a M h ) m m (76) La ampltud del ángulo que gra la cmentacón: f a M h (77) a ( m m ) k En donde el ncremento de esfuerzos en la nterfase de la estructura de cmentacón y el suelo es: q q (78) Los esfuerzos de la reaccón sísmca de la cmentacón se suman a los ya determnados para las condcones estátcas, Fg.. Se examna s los esfuerzos máxmos en las orllas de la cmentacón no (5) sobrepasan la resstenca del suelo en esos lugares,.

27 REFERENCIAS () Heteny, M. (964). Beams on Elastc Foundatons. Unversty of Mchgan Press. 7 th Prntng. () Wnkler, E. (867) De Lehre von der Elastztat und Festgket, pp 8 Prague Verlag. (3) Zeevaert,L.(973). Foundatons Engneerng for Dffcult Subsol Condton. Chapter IV Van Nostrand Renhold. (4) Zeevaert,L. (973) FEDISOC. Chapter III, XII. (5) Zeevaert,L. (980). Interaccón Suelo-Estructura de Cmentacones para Cargas Estátcas y Sísmcas, Lmusa. Méxco, D.F.

28 (6) Zeevaert,L. (964). Característcas de los Temblores en Ingenería Sísmca. Socedad Mexcana de Ingenería Sísmca. (7) Rchter, Ch.F. (958) Elementary Sesmology W.H.Freeman Company. (8) Bo, M.A (943). Analytcal and Expermental Methods n Engneerng Sesmology.ASCE VOL.08 pp FIG. VIGAS SOBRE SUELO COMPRESIBLE PLANTA DE CIMENTACION 3 CIMENTACION RIGIDA ( MASA SEMI - INFINITA ) 4 CIMENTACION SEMI - FLEXIBLE 5 DOS ZAPATAS DE CIMENTACION 6 TRES ZAPATAS DE CIMENTACION 7 CALCULO TRES ZAPATAS DE CIMENTACION 8 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES 9 REACCIONES SIMETRICAS Y ASIMETRICAS 0 GIRO DE LA CIMENTACION ALIVIO DE ESFUERZOS EN EL SUBSUELO ( HISTERESIS ) ACELEROGRAMA CIUDAD DE MEXICO, MAYO ESPECTRO DE SEUDO-ACELERACION, MAYO, PENDULO DE DIFERENTES PERIODOS 5 ESPECTRO ENVOLVENTE DE DISEÑO SISMICO 6 PENDULO DE TORSION LIBRE 7 PERFIL DEL MODULO DINAMICO DE ELASTICIDAD AL CORTANTE 8 PERIODOS DEL SUELO POR VELOCIDADES

29 9 DESPLAZAMIENTO Y GIRO DE LA ESTRUCTURA Y DE LA CIMENTACION 0 EMPUJE SISMICO SOBRE LOS MUROS DE LA CAJA DE LA CIMENTACION DISTRIBUCION DE REACCIONES ESTATICAS Y SISMICAS EN LA BASE DE LA CIMENTACION

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