Mario Cosenza Mec anica Cl asica Versi on B-2015

Transcripción

1 Mario Cosenza Mecánica Clásica Versión B-2015

2 Mario Cosenza Universidad de Los Andes Mérida, Venezuela Mecánica Clásica Versión B-2015 c MMXV

3 a Claudia

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5 Mi propósito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo. Quizás nada hay en la naturaleza más antiguo que el movimiento, respecto al cual los libros escritos por filósofos no son ni pocos ni pequeños; no obstante, he descubierto, experimentando, algunas propiedades que merecen ser conocidas. Galileo Galilei, Diálogos Sobre Dos Nuevas Ciencias.

6 Fórmulas vectoriales Identidades A (B C) = (A B) C = C (A B) = (C A) B = B (C A) (1) A (B C) = B(A C) C(A B) (2) (A B) (C D) = (A C)(B D) (A D)(B C) (3) Derivadas de sumas (f + g) = f + g (4) (A + B) = A + B (5) (A + B) = A + B (6) Derivadas de productos (fg) = f g + g f (7) (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (8) (fa) = f( A) + A f (9) (A B) = B ( A) A ( B) (10) (fa) = f( A) A ( f) (11) (A B) = A( B) B( A) + (B )A (A )B (12) Derivadas segundas ( A) = ( A) 2 A (13) ( A) = 0 (14) ( f) = 0 (15) Teoremas integrales b ( f) dl = f(b) f(a) (16) a ( A) dv = A ˆn ds Teorema de Gauss (divergencia) (17) V S ( A) ˆn ds = A dl Teorema de Stokes (18) S C (f 2 g g 2 f) dv = (f g g f) ˆn ds Teorema de Green (19) V S

7 Índice general 1. Ecuaciones de movimiento Leyes de Newton y mecánica de una partícula Mecánica de un sistema de partículas Coordenadas generalizadas Principios variacionales y ecuaciones de Euler Principio de mínima acción y ecuaciones de Lagrange Propiedades de las ecuaciones de Lagrange Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios sistemas Problemas Leyes de conservación y simetrías Momento conjugado Teorema de Noether Conservación del momento lineal y homogeneidad del espacio Conservación del momento angular e isotropía del espacio Conservación de la energía y homogeneidad del tiempo Teorema de Euler para la energía cinética Potenciales dependientes de la velocidad Sistemas integrables y sistemas caóticos Movimiento unidimensional Problemas Fuerzas centrales Problema de dos cuerpos Potencial efectivo Ecuación diferencial de la órbita Problema de Kepler Leyes de Kepler y dependencia temporal Estabilidad de órbitas circulares y ángulo de precesión Dispersión en campo de fuerza central El vector de Laplace-Runge-Lenz Problemas

8 8 4. Oscilaciones pequeñas Oscilaciones en una dimensión Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad Modos normales Oscilaciones forzadas y amortiguadas Problemas Movimiento de cuerpos rígidos Velocidad angular de un cuerpo rígido Ángulos de Euler Energía cinética y tensor de inercia Momento angular de un cuerpo rígido Ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos Ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos Problemas Dinámica Hamiltoniana Ecuaciones de Hamilton Sistemas dinámicos y espacio de fase Teorema de Liouville Paréntesis de Poisson Transformaciones canónicas Transformaciones canónicas infinitesimales Propiedades de las transformaciones canónicas Aplicaciones de transformaciones canónicas Ecuación de Hamilton-Jacobi Variables de acción-ángulo Problemas A. Lagrangiano de una partícula relativista 299 B. Transformaciones de Legendre 313 C. Teorema del virial. 315 D. Bibliografía 317

9 Capítulo 1 Ecuaciones de movimiento 1.1. Leyes de Newton y mecánica de una partícula La Mecánica consiste en el estudio del movimiento; esto es, la evolución de la posición de una partícula o de un sistema de partículas en el tiempo. La Mecánica Clásica se refiere a movimientos que ocurren en escalas macróscopicas; es decir, no incluye fenómenos cuánticos (nivel atómico). La Mecánica Clásica provee descripciones válidas de fenómenos en una extensa escala espacial que va desde el orden de 100 nm (R. Decca et al., Phys. Rev. Lett. 94, (2005)) hasta distancias cosmológicas. Actualmente, la Mecánica Clásica se enmarca dentro de un campo de estudio más general denominado Sistemas Dinámicos. Éstos son sistemas descritos por variables generales cuyos estados evolucionan en el tiempo de acuerdo a reglas deterministas, e incluyen sistemas físicos, quimicos, biológicos, sociales, económicos, etc. El origen del método científico está directamente vinculado a la primeras formulaciones cuantitativas de la Mecánica Clásica realizadas por Galileo con base en sus experimentos. La Mecánica Clásica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construido toda la Física. Figura 1.1: Galileo Galilei ( ). 9

10 10 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Durante el siglo XX, la Mecánica Clásica se encontró con varias limitaciones para explicar nuevos fenómenos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades condujeron a tres grandes revoluciones intelectuales en la Física: i. Limitación para explicar fenómenos a altas velocidades o a altas energías, lo que condujo a la Teoría de Relatividad (Especial y General). ii. Limitación para explicar fenómenos a escala atómica o microscópica, lo cual dio origen a la Mecánica Cuántica. iii. Limitación del concepto de predicción en sistemas dinámicos deterministas no lineales, que condujo al desarrollo del Caos y eventualmente al estudio actual de Sistemas Complejos. Para describir el movimiento, se requiere la definición de algunos conceptos básicos. Un sistema de referencia es una convención necesaria para asignar una posición o ubicación espacial a una partícula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O. Se asume que una partícula tiene asociada una cantidad de masa, denotada por m. La posición de una partícula en un sistema de referencia puede describirse mediante un conjunto de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, el vector de posición r = (x, y, z) da la ubicación de una partícula en el espacio con respecto a un origen O. Las componentes del vector de posición en coordenadas cartesianas también se denotan como x 1 x, x 2 y, x 3 z. Figura 1.2: Posición de una partícula en un sistema de coordenadas cartesianas. El vector de posición de una partícula en movimiento depende del tiempo, r(t) = (x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posición en el tiempo constituye el movimiento. El tiempo t se considera un parámetro real en Mecánica Clásica que permite establecer el orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especificar las posiciones sucesivas que una partícula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos que el parámetro t posee la propiedad de incremento monotónico a medida que r(t) cambia: a través de sucesivas posiciones: dados dos valores t 1 y t 2 tales que t 2 > t 1, entonces la partícula ocupa la posición r(t 2 ) después de la posición r(t 1 ). El vector de desplazamiento infinitesimal se define como dr = r(t + dt) r(t). (1.1)

11 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 11 La velocidad de una partícula se define como v dr dt. (1.2) En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad son v x = dx dt, v y = dy dt, v z = dz dt. (1.3) Las componentes de la velocidad también se denotan como v 1 = v x, v 2 = v y, v 3 = v z. La aceleración se define como a = dv dt = d2 r dt 2. (1.4) Se acostumbra usar la siguiente notación para las derivadas con respecto al tiempo, ẋ dx dt, ẍ d2 x dt 2. (1.5) El momento lineal o cantidad de movimiento de partícula con masa m que se mueve con velocidad a es la cantidad vectorial p = mv. (1.6) Una partícula puede experimentar interacciones con otras partículas. Las interacciones entre partículas están asociadas a sus propiedades intrínsecas y se manifiestan como fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interacción electromagnética está asociada a la carga eléctrica, mientras que la interacción gravitacional depende de la masa. Las fuerzas son cantidades vectoriales. La suma de las fuerzas debido a interacciones con otras partículas o con agentes externos se denomina fuerza total (neta) sobre la partícula; se denota por F. La fuerza total sobre una partícula puede afectar su estado de movimiento. Las Leyes de Newton describen el movimiento de una partícula sujeta a una fuerza: I. Primera Ley de Newton: Una partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si la fuerza total sobre ella es nula. II. Segunda Ley de Newton: Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una partícula con masa m y velocidad v está descrito por la ecuación III. Tercera Ley de Newton: F = dp dt = d(mv). (1.7) dt Si F ji es la fuerza que ejerce una partícula j sobre una partícula i, y F ij es la fuerza que ejerce la partícula i sobre la partícula j, entonces F ji = F ij. (1.8)

12 12 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Figura 1.3: Isaac Newton ( ). La Segunda Ley de Newton establece una relación causa (fuerza) efecto (cambio de momento). La Primera Ley de Newton también se llama Ley de inercia, y es consecuencia de la Segunda Ley: si F = 0, entonces v = constante. La Tercera Ley también es conocida como Ley de acción y reacción. Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza sustentadas en observaciones experimentales. La Segunda Ley de Newton es una ecuación vectorial, es decir, equivale a tres ecuaciones, una para cada componente cartesiana: Si m es constante, F i = dp i, i = 1, 2, 3. (1.9) dt F = ma = m d2 r dt 2. (1.10) Matemáticamente, la Segunda Ley de Newton, Eq. (1.10), corresponde a una ecuación diferencial de segundo orden para cada componente de r(t). La solución r(t) está determinada por dos condiciones iniciales, r(t o ), v(t o ). Este es el principio del determinismo en Mecánica Clásica, y que ha sido fundamental en el desarrollo del método científico. A finales del siglo XX, se encontró que el determinismo no necesariamente implica predicción: existen sistemas dinámicos no lineales en los cuales perturbaciones infinitesimales de las condiciones iniciales de sus variables pueden conducir a evoluciones muy diferentes de esas variables. Este es el origen de la moderna Teoría del Caos. Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominan sistemas de referencia inerciales. En ausencia de fuerzas, una partícula en reposo en un sistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante. Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecen términos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas explícitas en el sistema. Esos términos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos a la aceleración del sistema de referencia.

13 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 13 Ejemplos de la Segunda Ley de Newton: 1. Un sistema no inercial: péndulo en un sistema acelerado (x, y, z ). Figura 1.4: Péndulo en un sistema acelerado. El sistema (x, y, z ) posee una aceleración a en la dirección x, visto desde un sistema fijo (x, y, z). En el sistema acelerado, la componente en la dirección x de la fuerza que actúa sobre la masa del péndulo es f x = T sin θ, pero esta masa está en reposo en ese sistema; esto implica que ẍ = 0. Luego, una fuerza adicional ficticia igual a T sin θ debe anular a f x, de modo que no haya fuerza neta en la dirección x. En el sistema (x, y, z), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin θ = ma. La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de referencia en rotación (Cap. 5). 2. Oscilador armónico simple. Figura 1.5: Oscilador armónico simple. La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamiento x desde la posición de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = kxˆx, donde k es la constante del resorte. Entonces, F = ma kx = mẍ ẍ + ω 2 x = 0, (1.11) donde ω 2 k/m. La Eq. (1.11) es la ecuación del oscilador armónico. Su solución general es x(t) = A cos ωt + B sin ωt. (1.12)

14 14 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO También se puede escribir x(t) = C sin(ωt + φ), (1.13) con A = C sin φ, B = C cos φ. Los coeficientes A y B están determinados por las condiciones iniciales x(0) y ẋ(0) = v(0), Luego, 3. Partícula en un medio viscoso. x(0) = A, (1.14) ẋ(t) = ωa sin ωt + Bω cos ωt B = v(0) ω. (1.15) x(t) = x(0) cos ωt + v(0) ω sin ωt. (1.16) Figura 1.6: Partícula en medio viscoso. La fuerza que ejerce un medio viscoso sobre una partícula que se mueve en ese medio es proporcional a la velocidad de la partícula, F = γv, donde γ es un coeficiente de fricción característico del medio. Supongamos que la partícula se mueve en la dirección x. La Segunda Ley de Newton para la componente x de la fuerza da: Integrando obtenemos, γv = m dv dt. (1.17) v(t) = c 1 e (γ/m)t = dx dt, c 1 = v(0), (1.18) x(t) = v(0) e (γ/m)t dt = v(0)m e (γ/m)t + c 2. (1.19) γ donde v(0) es la velocidad inicial de la partícula. La constante c 2 se determina usando la posición inicial x(0), c 2 = x(0) + v(0)m γ. (1.20) Luego, x(t) = x(0) + v(0)m γ ( 1 e (γ/m)t). (1.21)

15 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA Sistema de masa variable: movimiento de un cohete. Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional de la Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete en t es v, y la velocidad de los gases expulsados es u. Sea dm la masa de los gases expulsados (asumida negativa) en un instante t + dt. Figura 1.7: Cohete en movimiento vertical. Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la única componente y de la fuerza, mg = dp dt p(t + dt) p(t) =. (1.22) dt Tenemos y p(t) = mv, (1.23) p(t + dt) = (m + dm)(v + dv) + ( dm)u. (1.24) Usamos la velocidad del cohete relativa a los gases, Luego, v rel = (v + dv) u. (1.25) p(t + dt) p(t) = mv + m dv + v dm + dm dv Sustituyendo en la Eq. (1.22), obtenemos v dm dm dv + dm v rel mv = m dv + v rel dm. (1.26) mg = m dv dt + v rel dm dt. (1.27)

16 16 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO La Eq. (1.27) se conoce como la ecuación del cohete. De esta ecuación, se puede obtener la variación de la velocidad del cohete, dv + dm m v rel = g dt. (1.28) Integrando entre un valor inicial de masa m 0 en t = 0 y un valor final m f en t = t, tenemos f 0 dv + v rel f 0 dm m = g t 0 dt v f = v 0 + v rel ln ( m0 m f ) gt. (1.29) Si la masa del cohete no varía, m 0 = m f ; entonces obtenemos la velocidad vertical de una partícula en el campo gravitacional terrestre, v f = v 0 gt. (1.30) Existen otros conceptos útiles en Mecánica, que definimos a continuación. Consideremos una partícula ubicada en la posición r y cuya velocidad es v. Se define el momento angular de la partícula como la cantidad vectorial l r p = mr v. (1.31) El torque ejercido por una fuerza F sobre una partícula ubicada en r se define como La Ec. (1.32) se puede expresar como τ r F. (1.32) τ = r F = r dp dt d(r p) = dr dt dt p = dl dt + 0 v p τ = dl dt. (1.33) La Ec. (1.33) implica la conservación del momento angular: si el torque sobre una partícula es τ = 0, entonces l = constante. Esto significa que cada componente del vector l es una constante. En particular, una fuerza de la forma F = f(r)ˆr, se denomina una fuerza central. La fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, τ = 0. Luego, el momento angular de una partícula se conserva en presencia de fuerzas centrales.

17 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 17 La energía cinética de una partícula con masa m y velocidad v se define como la cantidad escalar T 1 2 m(v v) = 1 2 mv2. (1.34) Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una partícula para llevarla desde una posición r 1 hasta una posición r 2, como la integral de línea W F ds, (1.35) donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posición r 1 con la posición r 2. Figura 1.8: Trayectoría de un partícula entre r 1 y r 2, sujeta a una fuerza F. Note que ds = dr = vdt. Luego, si m es constante, podemos escribir, 2 ( ) dv W 12 = m (v dt). (1.36) dt Usamos la relación d(v v) = 2v dv = d(v 2 ), para expresar 1 W 12 = m d(v v) = m d(v 2 ) 1 = 1 2 mv mv2 1, 1 = T 2 T 1. (1.37) Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una partícula desde la posición r 1 hasta la posición r 2 depende solamente de la diferencia entre la energía cinética que posee la partícula en r 2 y la energía cinética que posee en r 1. Note que, si se utiliza la misma fuerza F y la misma trayectoria, denotada por B, para ir del punto r 1 al punto r 2 y para volver de r 2 a r 1, entonces 2 F ds 1 } {{ } camino B 1 = F ds 2 } {{ } camino B W 12 (B) = W 21 (B), (1.38) puesto que ds(1 2) = ds(2 1) para la misma trayectoria.

18 18 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Si W 12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r 1 y r 2, entonces F se llama fuerza conservativa. Es decir; si F es conservativa y A y B son dos caminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces 2 F ds 1 } {{ } camino A = 2 F ds 1 } {{ } camino B (1.39) Figura 1.9: Izquierda: dos trayectorias distintas A y B para ir del punto 1 al punto 2. Derecha: contorno cerrado C que encierra un área S. Luego, si F es conservativa, las Ecs. (1.39) y (1.38) implican que 2 F ds 1 } {{ } camino A + 1 F ds = 0. (1.40) 2 } {{ } camino B Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa, F ds = 0, (1.41) C donde C es un contorno cerrado arbitrario. Usando el Teorema de Stokes, la integral de contorno Ec. (1.41) se puede escribir como F ds = ( F) da = 0, (1.42) C S donde S es el área encerrada por el contorno cerrado C. Puesto que C es arbitrario y por lo tanto S 0, la Ec. (1.42) implica para una fuerza conservativa, F = 0. (1.43) Por otro lado, para toda función escalar φ(r) se cumple la identidad vectorial φ = 0. Esto implica que la fuerza conservativa F debe ser proporcional al gradiente de alguna función escalar. Se define la función V (r) tal que F = V (r). (1.44)

19 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 19 Luego, para una fuerza conservativa W 12 = = V ds ( 3 i=1 ) V dx i = x i 2 = V 1 V 2. (1.45) Vimos que el trabajo W 12 realizado por toda fuerza es igual al cambio de energía cinética, T 2 T 1, que es una función escalar de la velocidad. La Ec. (1.45) muestra que, en sistemas conservativos, el trabajo W 12 además está relacionado con cambios de otra función escalar V que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2. La funcion escalar V (r) se denomina energía potencial y expresa la energía almacenada en un sistema, relacionada con la posición o configuración de los elementos constituyentes del sistema. Por ejemplo, un resorte estirado o comprimido una distancia x tiene una energía potencial almacenada V (x) = 1 2 kx2, donde k es una constante. Un sistema de dos partículas con masas m 1 y m 2, separadas una distancia r y sujetas a una interacción gravitacional, posee una energía potencial asociada V (r) = Gm 1 m 2 /r, donde G es la constante universal gravitacional (Cap. 3). La Ec. (1.45) válida para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.37) que se cumple para cualquier fuerza, conduce a la relación V 1 V 2 = T 2 T 1, T 1 + V 1 = T 2 + V 2. (1.46) La energía mecánica total de una partícula se define como la cantidad escalar: La Ec. (1.46) implica que 1 dv E T + V. (1.47) E 1 = E 2. (1.48) Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mecánica total es constante en cualquier punto para sistemas conservativos, E = T + V = constante. (1.49) El signo menos en el gradiente de la energía potencial, Ec. (1.44), tiene significado físico; las propiedades de las fuerzas correspondientes a esta definición son consistentes con los comportamientos observados de todas las fuerzas conservativas en Física. Este signo menos implica que la cantidad asociada conservada, denotada como energía mecánica total, se pueda definir como la suma de las energías cinética y potencial. Si la energía potencial depende tanto de las coordenadas como del tiempo, V (r, t) = V (x, y, z, t), la energía mecánica total puede no conservarse. Consideremos la derivada de dt = d dt (T + V ) = dt dt + dv dt. (1.50)

20 20 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Calculamos Luego, dt dt dv (r, t) dt = mv dv = F v, dt (1.51) = 3 V ẋ i + V V = V v + x i t t. (1.52) i=1 de dt = F v + V v + V t = V v + V v + V t = V t. (1.53) donde hemos empleado F = V, para un sistema conservativo. La Ec. (1.53) es la condición para la conservación de la energía mecánica: la energía mecánica total es constante si la energía potencial no depende explicitamente del tiempo, V t = 0 de dt = 0 E = constante. (1.54) La energía potencial V también puede ser definida para sistemas no conservativos; en esos casos V depende explícitamente tanto de la posición como del tiempo. La fuerza correspondiente puede expresarse como el gradiente de esta V. Sin embargo, el trabajo hecho para mover una partícula entre los puntos 1 y 2 ya no es V 1 V 2, puesto que V cambia con el tiempo cuando la partícula se mueve. La energía total también puede ser definida como E = T + V ; pero la cantidad E no se conserva durante el movimiento Mecánica de un sistema de partículas Consideremos un conjunto de N partículas en un sistema de referencia cartesiano. Sean m i y r i la masa y la posición de la partícula i, respectivamente, con i = 1,..., N. Definimos el vector de posición relativa r ij r j r i, que va en la dirección de la partícula i a la partícula j. El vector de posición del centro de masa de un sistema de partículas se define como R i m ir i i m i donde M T = i m i es la masa total del sistema. La velocidad del centro de masa es = v cm = dr dt = 1 M T i m ir i M T, (1.55) i m i dr i dt. (1.56)

21 1.2. MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 21 Figura 1.10: Sistema de N partículas en un sistema de referencia cartesiano. El momento lineal total del sistema de N partículas es P T = i p i = i dr i m i dt = M dr T dt = M T v cm. (1.57) Luego, el momento total P T es equivalente al momento de una partícula que posea la masa total del sistema, moviéndose con la velocidad del centro de masa del sistema. Supongamos que existen fuerzas sobre las partículas, tanto internas como externas al sistema. Denotamos por F ji la fuerza que la partícula j ejerce sobre la partícula i, y por F ext (i) la fuerza total debida a influencias externas sobre la partícula i. Recordemos que las fuerzas de interacción entre dos partículas i y j obedecen la Tercera Ley de Newton, F ji = F ij. (1.58) Figura 1.11: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas. Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es más restrictiva. Si F ij es central, F ij = f ij ( r ij ) r ij r ij, (1.59)

22 22 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO entonces las fuerzas sobre las partículas van en la dirección (paralela o antiparalela) del vector r ij. Esta condición sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la ley de acción y reacción. Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condición; por ejemplo, las fuerzas magnéticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales. La ecuación de movimiento para la partícula i puede expresarse como F ji + F ext (i) = dp i dt = d dt (m iv i ), (1.60) j i donde N i j F ji es la suma de las fuerzas internas sobre la partícula i, debido a las interacciones con las otras partículas. Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las partículas en la Ec. (1.60), 0 i F ji + F ext (i) = ṗ i = d dt (m iv i ). (1.61) j i i El primer término es cero porque contiene sumas de pares de fuerzas F ji + F ij que se anulan debido a la Tercera Ley de Newton. Luego, si m i es constante i, la Ec. (1.61) queda F ext (i) = d 2 r i m i dt 2. (1.62) i i Usando la definición del centro de masa, la Ec. (1.55), se puede expresar como F ext (i) = d 2 r i m i dt 2 = M d 2 R T dt 2. (1.63) i i Luego, F ext (total) F ext (i) = dp T dt, (1.64) i La Ec. (1.64) constituye una ecuación de movimiento para el centro de masa. La Ec. (1.64) implica que si la fuerza externa total sobre un sistema de partículas es cero, entonces el momento lineal total P T del sistema se conserva. El momento angular de la partícula i es l i = r i p i. (1.65) Entonces, el momento angular total del sistema de partículas es l T = i l i = i (r i p i ) = i (r i m i v i ). (1.66) Si definimos la posición r i de la partícula i con respecto al centro de masa del sistema como r i = r i R, (1.67) la velocidad de la partícula i con respecto al centro de masa será v i = v i v cm. (1.68)

23 1.2. MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 23 Figura 1.12: Posición relativa de una partícula con respecto al centro de masa. Entonces, en términos del centro de masa podemos escribir l T = i (r i + R) m i (v i + v cm ) = ( ) 0 (r i m i v i) i + m i r i v cm i ( ) 0 ( ) + R m i v i + R m i v cm. (1.69) i i Para mostrar los términos que se anulan en la Ec. (1.69), calculamos M T R = i m i r i = i m i (r i + R) = i m i r i + M T R i m i r i = 0. (1.70) Del mismo modo, m i v i = i i m i dr i dt = d dt ( ) m i r i = 0. (1.71) i Entonces, la Ec. (1.69) para el momento angular total queda l T = i (r i p i) + R (M T v cm ). (1.72) El momento angular total l T de un sistema de partículas contiene dos contribuciones: (i) el momento angular del centro de masa, R (M T v cm ); (ii) el momento angular relativo al centro de masa, i (r i p i ).

24 24 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Calculemos la derivada temporal de l T, dl T dt = N d dt (r i p i ) = i i=1 = i r i F ext (i) + F ji j i 0 (v i mv i ) + i r i p i = i r i F ext (i) + 0 (r i F ji ). (1.73) i j i El segundo término en la Ec. (1.73) contiene sumas de pares de la forma r i F ji + r j F ij = (r j r i ) F ij = r ij F ij, (1.74) puesto que F ji = F ij, de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si además suponemos que se cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte, F ij = k F ji r ij. Luego, r ij F ij = 0 y el segundo término de la Ec. (1.73) se anula. Entonces, dl T dt = i = i r i F ext (i) τ i (externo) = τ T (externo). (1.75) La Ec. (1.75) expresa la conservación del momento angular total de un sistema de partículas: si el torque externo total τ (externo total) = 0, entonces l T = constante. La energía cinética total de un sistema de partículas es T total = 1 m i vi 2. (1.76) 2 En coordenadas del centro de masa, v i = v i + v cm, y podemos escribir i T total = 1 m i (v i + v cm ) (v i + v cm ) 2 i = 1 m i vcm m i v i v cm m i v i. (1.77) Pero m i v i = d dt ( m i r i ) = 0; luego i i i T total = 1 2 M T v 2 cm mi v 2 i. (1.78) Es decir, la energía cinética total de un sistema de partículas contiene dos contribuciones: (i) la energía cinética del centro de masa, 1 2 M T v 2 cm; (ii) la energía cinética relativa al centro de masa, 1 2 mi v 2 i.

25 1.2. MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 25 Para obtener la conservación de energía mecánica total de un sistema de partículas, partimos de la ecuación de movimiento para una partícula, Ec. (1.60), F ext (i) + j i F ji = d dt (m iv i ). (1.79) Asumimos que las particulas interaccionan mediante fuerzas centrales que dependen de la distancia entre las partículas; es decir, F ji f ij ( r ij ) r ij r ij, (1.80) r ij = (r j r i ). (1.81) Entonces, se puede definir una energía potencial de interacción V ij ( r ij ) tal que F ji = i V ji ( r ij ), (1.82) donde denotamos i = / r i. Puesto que F ji = F ij, las funciones f ij = f ji son simétricas con respecto al intercambio de i y j; luego debemos tener V ij ( r ij ) = V ji ( r ij ), (1.83) y, por lo tanto, ambas F ji y F ij son derivables a partir de una energía potencial de interacción mutua entre la partícula i y la partícula j, F ji = i V ij ( r ij ), F ji = j V ij ( r ij ). (1.84) Luego, suponiendo que las masas m i son constantes, la Ec. (1.79) se puede expresar como F ext (i) j i i V ij ( r ij ) = m i dv i dt. (1.85) Tomando el producto escalar de la Ec. (1.85) con v i, obtenemos v i F ext (i) v i j i i V ij ( r ij ) = 1 2 m dvi 2 i dt. (1.86) Sumando sobre todas las partículas, obtenemos ( ) d 1 dt 2 m ivi 2 = v i F ext (i) v i i V ij ( r ij ) i i i j i = v i F ext (i) 1 [v i i V ij ( r ij ) + v j j V ji ( r ij )] 2 i i j i = v i F ext (i) 1 [ i V ij ( r ij ) v i + j V ij ( r ij ) v j ] 2 i i j i = v i F ext (i) 1 d 2 dt V ij( r ij ), (1.87) i i j i

26 26 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO donde hemos usado V ij ( r ij ) = V ji ( r ij ). Entonces, podemos escribir d dt ( i ) 1 2 m ivi V ij ( r ij ) = i i j i v i F ext (i). (1.88) Si asumimos que las fuerzas externas son conservativas, F ext (i) = V ext (i), tenemos, v i F ext (i) = i i v i V ext (i) = d V ext (i). (1.89) dt i La Ec. (1.88) se puede expresar entonces como ( ) d 1 dt 2 m ivi V ij ( r ij ) + 2 i i j i i V ext (i) = 0. (1.90) Podemos identificar la energía cinética total del sistema, T total = i 1 2 m iv 2 i, (1.91) y la energía potencial total del sistema como, donde V total = i V ext (i) + 1 V ij ( r ij ), (1.92) 2 i j i V int 1 V ij ( r ij ) (1.93) 2 i es la energía potencial total de la interacción entre las partículas. La Ec. (1.90) implica entonces que la energía total del sistema se conserva, j i E total = T total + V total = constante. (1.94) 1.3. Coordenadas generalizadas Consideremos un sistema de N partículas, i = 1, 2,..., N, cuyos vectores de posición son {r 1, r 2,..., r N }. Cada vector de posición posee tres coordenadas, r i = (x i, y i, z i ). El sistema de N partículas con posiciones {r 1, r 2,..., r N } está descrito por 3N coordenadas. En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo, el movimiento ocurre sobre un plano (z = cte), o sobre un círculo (x 2 + y 2 = cte), sobre una esfera (x 2 +y 2 +x 2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar como relaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.

27 1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 27 Si un sistema posee k restricciones, éstas se puede expresar como k funciones o relaciones que ligan las coordenadas: f 1 (r 1, r 2,..., t) = 0, f 2 (r 1, r 2,..., t) = 0,. f k (r 1, r 2,..., t) = 0. (1.95) Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas se llaman restricciones holonómicas. Las existencia de restricciones implica que no todas las 3N coordenadas son independientes. El número de coordenadas independientes cuando existen k restricciones holonómicas es s = 3N k. La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el número mínimo de coordenadas independientes necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertad definen un conjunto de coordenadas generalizadas, denotadas por {q 1, q 2,..., q s }. La evolución temporal de estas coordenadas permite definir también un conjunto de velocidades generalizadas { q 1, q 2,..., q s }. En Mecánica Clásica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sino como un parámetro. Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, o inclusive pueden ser otras variables físicas. Las coordenadas generalizadas {q 1, q 2,..., q s } están relacionadas con las coordenadas cartesianas {r 1, r 2,..., r N } por un conjunto de transformaciones: r 1 = r 1 (q 1, q 2,..., t), r 2 = r 2 (q 1, q 2,..., t),. r N = r N (q 1, q 2,..., t). (1.96) En general, el conjunto de ligaduras f α (r 1, r 2,..., r N, t) = 0, α = 1, 2,..., k, y las transformaciones r i (q 1, q 2,..., q s, t) = r i, i = 1, 2,..., N, permiten expresar las coordenadas generalizadas en términos de las coordenadas cartesianas, q j = q j (r 1, r 2,..., r N, t), j = 1, 2,..., s. Es decir, en principio, las transformaciones r i q j son invertibles. También pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales se denominan restricciones no holonómicas. Éstas se expresan como desigualdades o en forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas. Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas: 1. Péndulo plano. Consiste en una partícula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de una varilla rígida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo está fijo, tal que la varilla cual puede girar en un plano vertical.

28 28 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Figura 1.13: Péndulo simple con longitud l y masa m. Hay k = 2 restricciones: z = 0 f 1 (x, y, z) = z = 0. (1.97) x 2 + y 2 = l 2 f 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 l 2 = 0. (1.98) Luego, s = 3(1) 2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistema sugiere escoger q = θ como coordenada generalizada. Las transformaciones r(q) son x = l sin θ (1.99) y = l cos θ, (1.100) y la transformación q(r) es ( θ = tan 1 x ). (1.101) y 2. Péndulo doble. Consiste en un péndulo plano que cuelga de otro péndulo plano. Hay N = 2 partículas y seis coordenadas cartesianas correspondientes a las componentes de r 1 y r 2. Figura 1.14: Péndulo doble.

29 1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 29 Hay k = 4 restricciones: f 1 = z 1 = 0 f 2 = z 2 = 0 f 3 = x y 2 2 l 2 1 = 0 f 4 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 l 2 2 = 0. (1.102) Luego, hay s = 3(2) 4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere las coordenadas generalizadas q 1 = θ 1 y q 2 = θ 2. Las transformaciones r i (q) son x 1 = l 1 sin θ 1 y 1 = l 1 cos θ 1 x 2 = l 1 sin θ 1 + l 2 sin θ 2 y 2 = l 1 cos θ 1 l 2 cos θ 2. (1.103) Las transformaciones inversas q(r i ) son ( θ 1 = tan 1 x ) 1 3. Polea simple (máquina de Atwood). y 1 θ 2 = tan 1 ( x1 x 2 y 2 y 1 (1.104) ). (1.105) Figura 1.15: Polea simple. Hay N = 2 partículas. Las restricciones se pueden expresar como f 1 = y 1 + y 2 c 1 = 0 f 2 = x 1 c 2 = 0 f 3 = x 2 c 3 = 0 f 4 = z 1 = 0 f 5 = z 2 = 0, (1.106) donde c 1, c 2, c 3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2) 5 = 1. Se puede escoger q = y 1, o q = y 2 como la coordenada generalizada.

30 30 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO 4. Partícula dentro de un cono invertido con ángulo de vértice α, cuyo eje es vertical. Figura 1.16: Partícula moviéndose dentro de un cono con su eje vertical. Hay N = 1 partícula y 3 coordenadas cartesianas para su posición. La relación r = z tan α define al cono. Hay una restricción, la cual puede expresarse como f 1 (x, y, z) = (x 2 + y 2 ) 1/2 z tan α = 0. (1.107) Entonces, hay s = 3(1) 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomar como q 1 = r, q 2 = θ. Las transformaciones r(q) son y las transformaciones inversas son x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = r cot α, ( y ϕ = tan 1 x r = z tan α. ) (1.108) (1.109) 5. Partícula deslizando sobre un aro en rotación uniforme sobre su diamétro. Figura 1.17: Partícula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su diámetro vertical con velocidad angular ω.

31 1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 31 La velocidad angular de rotación del aro sobre eje z es ω, asumida constante. Luego, ϕ = ωt. Hay k = 2 restricciones: f 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 a 2 = 0, (1.110) y x = tan ϕ f 2(x, y, z, t) = y x tan ωt = 0. (1.111) La función f 2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas como del tiempo. Luego, s = 3(1) 2 = 1. La coordenada generalizada apropiada es q = θ. Las transformaciones de coordenadas r(q) son z = a cos θ x = a sin θ cos ωt y = a sin θ sin ωt. (1.112) 6. Restricción no holonómica: aro rodando sin deslizar sobre un plano. Figura 1.18: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha: condición de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instantáneo. Existe la restricción z = cte. Sea θ el ángulo que forma el vector velocidad v con respecto a la dirección ˆx. La condición de rodar sin deslizar se expresa como Las componentes de la velocidad v son ds = vdt = Rdϕ v = R ϕ. (1.113) ẋ = v cos θ = R ϕ cos θ ẏ = v sin θ = R ϕ sin θ. (1.114) Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holonómicas, dx R cos θ dϕ = 0, dy R sin θ dϕ = 0. (1.115) Las coordenadas generalizadas son: (x, y) para ubicar el punto de apoyo instantáneo P, θ para dar la dirección de la velocidad de P y la orientación del aro, y ϕ para ubicar un punto cualquiera sobre el aro. Luego s = 4.

32 32 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO 7. Partícula dentro de una esfera de radio R. Figura 1.19: Ligadura no holonómica: partícula dentro de una esfera. La ligadura es no holonómica y se expresa como r i < R 1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler. En los problemas de extremos en el cálculo diferencial buscamos el valor de una variable para el cual una función es máxima o mínima. En cambio, los problemas de extremos en el cálculo variacional consisten en encontrar la función que hace que una integral definida sea extrema. Consideremos dos puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) fijos en el plano (x, y), unidos por una función o trayectoria y = y(x), x [x 1, x 2 ], tal que y(x 1 ) = y 1 y y(x 2 ) = y 2, y cuya derivada es y (x) = dy dx. Figura 1.20: Función y(x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y). Definimos una funcional como una función de varias variables f(y, y, x) cuyos argumentos son funciones y sus derivadas. Una funcional es una función de funciones dadas. Por ejemplo, consideremos la funcional f(y, y, x) = y(x) + y (x). Para la función y(x) = 3x + 2, tenemos f(y, y, x) = 3x + 5; mientras que para y(x) = x 2, f(y, y, x) = x 2 +2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la función y. Una funcional asigna un número a una función, mientras que una función asigna un número a otro número.

33 1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 33 Principio variacional: Dada una funcional f(y, y, x), cuál es la función y(x) que hace que la integral definida de línea: I = x2 tenga un valor extremo (máximo ó mínimo) entre x 1 y x 2?. x 1 f(y, y, x)dx, (1.116) Note que I es una integral definida y, por tanto, da como resultado un número cuyo valor depende de la función y(x) empleada en el argumento de la funcional dada f(y, y, x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y (x)), entonces cualquier otra trayectoria cercana a y(x) definida entre x 1 y x 2 debe incrementar (o disminuir) en valor de la integral I, es decir, debe variar I. Se emplea la notación δi para indicar la variación de I. Luego, δi = 0 implica que I es extremo. El principio variacional sobre I requiere que δi = 0 para una f dada, lo cual implica una condición sobre y(x). Para encontrar esta condición, supongamos que y(x) es la función que pasa por x 1 y x 2, y que hace δi = 0. Ahora, consideremos una trayectoria cercana a y(x) definida como y(x, α) = y(x) + α η(x), (1.117) donde α es un parámetro que mide la desviación con respecto a la función y(x) y η(x) es una función arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe η (x)), tal que se anule en los puntos x 1 y x 2 : η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0. Entonces y(x, α) también pasa por (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ): Note que y(x, 0) = y(x). y(x 1, α) = y(x 1 ) = y 1, (1.118) y(x 2, α) = y(x 2 ) = y 2. Figura 1.21: Trayectoria y(x, α) = y(x) + α η(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, α), I = x2 x 1 f(y(x, α), y (x, α), x)dx = I(α), (1.119) es decir, I es una función del parámetro α. La condición extrema δi = 0 cuando α = 0, implica que di(α) dα = 0, (1.120) α=0

34 34 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO lo cual a su vez implica una condición sobre f y sobre y(x). Calculemos di/dα, Pero, = x2 x 1 y α (x, α) = η(x); y α x2 di dα = df(y(x, α), y (x, α), x) dx (1.121) x 1 dα [ f y f y ] (x, α) + y α y (x, α) dx. α (x, α) = α puesto que α y x son independientes. Luego, di dα = x2 x 1 ( ) dy = d dx dx ( ) y = dη α dx (1.122) [ ] f f dη η(x) + y y dx. (1.123) dx El segundo término se integra por partes, usando uv dx = uv u vdx, x2 x f dη f y dx = dx y η(x) 2 x2 ( ) d f dx y η(x)dx, (1.124) pero, x 1 f y η(x) puesto que η(x 2 ) = η(x 1 ) = 0. Luego: Evaluando en α = 0, di dα = α=0 x2 x 1 di dα = x2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 = f y (η(x 2) η(x 1 )) = 0 (1.125) [ f y d dx ( )] f y η(x)dx = 0. (1.126) [ f y d ( )] f x2 dx y η(x)dx = M(x)η(x) = 0, (1.127) α=0 x 1 donde [ f M(x) = y d ( )] f dx y. (1.128) α=0 Cuando α = 0, el integrando es una función de x solamente: M(x)η(x). Luego, la condición di dα α=0 = 0 M(x)η(x) = 0. Pero como η(x) es una función arbitraria no nula, entonces debemos tener M(x) = 0. Se acostumbra escribir esta condición en la forma d dx ( f y ) f y = 0. (1.129) La Ec. (1.129) es la ecuación de Euler, y expresa la condición que debe satisfacer la función y(x) que hace δi = 0 para una integral definida I de una funcional f(y, y, x) dada. La Ec. (1.129) es una ecuación diferencial de segundo orden para y(x), cuya solución permite encontrar y(x) para las condiciones dadas.

35 1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 35 Figura 1.22: Leonhard Euler ( ). Ejemplos. 1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia más corta entre dos puntos dados en un plano. Figura 1.23: Trayectoria más corta entre dos puntos del plano (x, y). El elemento de distancia sobre el plano es La distancia entre (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) es I = 2 1 ds = donde f(y, y ) = 1 + (y ) 2. x2 x 1 ds = dx 2 + dy 2. (1.130) 1 + ( ) 2 dy x2 dx = f(y, y ) dx, (1.131) dx x 1 Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor mínimo de la integral I; es decir, que hace δi = 0. La ecuación de Euler es la condición que satisface esa y(x), ( ) d f dx y f y = 0. (1.132)

36 36 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Tenemos f y = 0, Luego, la ecuación de Euler conduce a f y = y 1 + (y ). (1.133) 2 y 1 + (y ) 2 = c = constante, (1.134) y = c 1 c 2 a (1.135) y = ax + b, (1.136) donde a y b son constantes que se pueden determinar a partir de los puntos dados. 2. Superficie mínima de revolución. Encontrar el perfil y(x) entre x 1, x 2 que produce el área mínima de revolución alrededor del eje y. Figura 1.24: Superficie mínima de revolución de y(x) alrededor de eje y. El elemento de área de revolución alrededor de eje y es El área de revolución generada por y(x) es x2 A = da = 2π x 1 + (y ) 2 dx = 2π da = 2πx ds = 2πx dx 2 + dy 2. (1.137) x 1 x2 x 1 f(y, y, x) dx. (1.138) Identificamos en el integrando la funcional f(y, y, x) = x 1 + (y ) 2 que satisface la ecuación de Euler, ( ) d f dx y f = 0. (1.139) y Calculamos las derivadas, f y = 0, f y = xy 1 + y 2. (1.140)

37 1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 37 Sustituyendo en la ecuación de Euler, obtenemos xy 1 + y 2 = a = constante (1.141) y = dy dx = y = a a x2 a 2 (1.142) dx x2 a 2 = a ln(x + x 2 a 2 ) + k. (1.143) Los valores de las constantes a y k se determinan con (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ). Si escribimos k = b a ln a, la Ec. (1.143) también se puede expresar como ( ) ( y b x + ) x = ln 2 a 2 (1.144) a a ( = cosh 1 x ) (1.145) ( a ) y b x = a cosh, (1.146) a que es la ecuación de una catenaria. 3. Braquistocrona (del griego, tiempo más corto ). Encontrar la trayectoria y(x) de una partícula en el campo gravitacional terrestre que da el menor tiempo posible para ir de un punto (x 1, y 1 ) a otro punto (x 2, y 2 ) sin fricción, partiendo del reposo (v 0 = 0). Figura 1.25: Problema de la braquistocrona. Fijamos el punto (x 1, y 1 ) = (0, 0). Para este problema, escogemos la dirección del eje y hacia abajo, con el fin de obtener la función y(x). Si v es la magnitud de la velocidad en un punto de la trayectoria, entonces el elemento de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de la trayectoria es dt = ds v. (1.147)

38 38 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es 2 ds 2 t 1 2 = 1 v = dx2 + dy 2. (1.148) 1 v En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la partícula es F = mgy ŷ, y por lo tanto la energía potencial es V = mgy, tal que V (y = 0) = 0. Puesto que v 0 = 0, la conservación de la energía E = T + V da 0 = 1 2 mv2 mgy v = 2gy. (1.149) Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es 2 dx2 + dy t 1 2 = 2, (1.150) 2gy la cual se puede expresar como La integral t 1 2 es del tipo t 1 2 = I = 1 y2 y 1 y2 1 + (x ) 2 dy. (1.151) 2gy y 1 f(x, x, y)dy, (1.152) donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la funcional f(x, x 1 + (x, y) = ) 2. (1.153) 2gy La ecuación de Euler correspondiente es ( ) d f dy x f x = 0. (1.154) Puesto que f = 0, la ecuación de Euler queda x f x = x = c = constante. (1.155) 2gy 1 + (x ) 2 Note que la ecuación de Euler para la funcional f(x, x, y) resulta más sencilla que la ecuación correspondiente a una funcional f(y, y, x) en este caso. Luego, x = dx dy = 2gyc 2 1 2gyc 2 (1.156)

39 1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 39 y x = 1 dy (1.157) 2gc y 2 y = dy, (1.158) 2R y donde hemos llamado 2R 1/2gc 2. Haciendo el cambio de variable tenemos y = R(1 cos θ), dy = R sin θdθ, (1.159) (1 cos θ) x = R sin θ dθ (1 + cos θ) = R (1 cos θ) dθ = R(θ sin θ) + k. (1.160) Luego, la trayectoria queda parametrizada en términos de la variable θ, y = R(1 cos θ), (1.161) x = R(θ sin θ), (1.162) la cual corresponde a una cicloide que pasa por (x 1, y 1 ) = (0, 0), con k = 0. La constante R se determina con el punto (x 2, y 2 ) y da al valor del radio de la circunferencia que genera la cicloide. La trayectoria de tiempo mínimo es un arco de cicloide que pasa por los puntos dados. Algunos puntos permiten trazar la cicloide, θ = π 2 y = R, x = π 2 R; θ = π x = πr, y = 2R; θ = 2π x = 2πR, y = 0. Figura 1.26: Trayectoria de la cicloide en el problema de la braquistocrona. El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la Física. Fue planteado originalmente por Galileo, quien pensó que la trayectoría de menor tiempo entre dos puntos era un arco de circunferencia. El problema fue estudiado años después por Johann Bernoulli, cuyo trabajo contribuyó a la fundación del cálculo variacional.

40 40 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Figura 1.27: Johann Bernoulli ( ). 4. El Principio de Fermat establece que la luz se propaga entre dos puntos dados en un medio siguiendo la trayectoria que corresponde al tiempo mínimo. A partir de este principio, pueden obtenerse las leyes de la Óptica Geométrica. Como ejemplo, consideremos la ley de refracción de la luz entre dos medios cuyos índices de refracción son n 1 y n 2, con n 1 < n 2, como muestra la figura. La velocidad de la luz en un medio con índice de refracción n es v = c/n, donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Figura 1.28: Ley de refracción de la luz. El tiempo para viajar entre los puntos 1 y 2 es t 1 2 = 2 1 ds v = = 1 c 2 n 1 x2 dx2 + dy 2 c x 1 n 1 + (y ) 2 dx (1.163) El índice de refracción depende de y, n = n 1, para y > 0, y n = n 2, para y < 0, tal que dn dy 0 sólo en y = 0. En la Ec. (1.163) podemos identificar la funcional f(y, y, x) = n 1 + (y ) 2, la cual satisface la ecuación de Euler, ( ) d f dx y f y = 0. (1.164)

41 1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 41 Calculamos las derivadas, Entonces, f y = ny, 1 + y 2 f y = 0. (1.165) ny = cte. (1.166) 1 + y 2 Note que y = dy dx = tan θ, donde θ es el ángulo de la trayectoria con el eje y. Sustituyendo en la Ec. (1.166), obtenemos n tan θ = n sin θ = cte. (1.167) 1 + tan 2 θ La Ec. (1.167) implica la ley de refracción, n 1 sen θ 1 = n 2 sen θ 2. Figura 1.29: Pierre de Fermat ( ). Principios variacionales para funcionales de varias variables. Consideremos una funcional de varias variables tal que la integral definida f (y i (x), y i(x),..., x),, i = 1, 2,..., s (1.168) I = x2 x 1 f (y i (x), y i(x), x) dx (1.169) adquiera un valor extremo, i.e., δi = 0, para las funciones y i (x), i = 1, 2,..., s. Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas: donde f (y i (x, α), y i(x, α),..., x), i = 1, 2,..., s. (1.170) y las η i (x) son funciones arbitrarias que satisfacen y i (x, α) = y i (x) + αη i (x), (1.171) η i (x 1 ) = η i (x 2 ) = 0. (1.172)

42 42 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Figura 1.30: Trayectorias y 1(x) y y 2(x) en el espacio (x, y 1, y 2). Consideremos la integral definida con las funciones y i (x, α) como argumentos, I(α) = x2 x 1 f[y i (x, α), y i(x, α), x]dx. (1.173) La condición de que I(0) sea extremo, o que δi = 0, implica que di dα = 0. (1.174) α=0 Calculamos donde di x2 dα = x 1 y i (x, α) α s i=1 = η i (x); [ f y i y i α + f y ] i y i dx, (1.175) α y i (x, α) = η α i(x). (1.176) El segundo término en la suma de la Ec. (1.175) se integra por partes: x2 x 1 f 0 x y i η i(x)dx f 2 = y i η i (x) x 1 x2 en virtud de la condición Ec. (1.172) sobre las funciones η i (x). Luego, di x2 dα = x 1 s i=1 x 1 ( ) d f dx y i η i (x)dx, (1.177) [ f d ( )] f y i dx y i η i (x)dx. (1.178) La condición implica las s condiciones di dα = 0, (1.179) α=0

43 1.5. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y ECUACIONES DE LAGRANGE 43 ( ) d f dx y i f = 0, i = 1, 2,..., s (1.180) y i que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada función y i (x) Principio de mínima acción y ecuaciones de Lagrange Consideremos un sistema descrito por s coordenadas generalizadas {q 1, q 2,..., q s } y sus correspondientes s velocidades generalizadas { q 1, q 2,..., q s }. Definimos una funcional escalar de {q j }, { q j } y t, dado por L(q j, q j, t) = T V, (1.181) donde T y V son la energía cinética y la energía potencial del sistema, expresadas en términos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(q j, q j, t) se denomina Lagrangiano del sistema. Por ejemplo, el Lagrangiano correspondiente a un oscilador armónico simple es L(x, ẋ) = T V = 1 2 mẋ2 1 2 kx2. (1.182) En principio, todo sistema mecánico se puede caracterizar por un Lagrangiano L. Supongamos que el estado del sistema en los instantes de tiempo t = t 1 y t = t 2 está descrito por t 1 : {q j (t 1 )}, { q j (t 1 )} ; t 2 : {q j (t 2 )}, { q j (t 2 )}. (1.183) Principio de mínima acción: La evolución del sistema entre el estado en t 1 y el estado en t 2 es tal que el valor de la integral definida S = t2 t 1 L(q j, q j, t) dt, (1.184) denominada la acción del sistema, sea mínima; es decir, δs = 0 (S es un extremo). El Principio de mínima acción es un principio variacional; implica que las ecuaciones de movimiento de un sistema, en términos de sus coordenadas generalizadas, pueden formularse a partir del requerimiento de que una cierta condición sobre la acción S del sistema sea satisfecha.