Teoría de Colas o Fenómenos de Espera
|
|
- Ernesto García Caballero
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Teoría de Colas o Fenómenos de Espera Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Febrero 2011 Introducción 2 Introducción Colas o Líneas de Espera Objetivo Procesos Estocásticos, Conteo y Poisson 6 Proceso Estocástico Proceso de Conteo Proceso de Poisson Teorema 1: Teorema 2: Distribución Exponencial Modelos de Nacimiento y Muerte 15 Procesos de Nacimiento y Muerte Distribución de Probabildad Ecuaciones de Balance Proceso de Poisson Proceso Estacionario Estado Estacionario Sistema de Colas 22 Descripción del Sistema Hipótesis Consideradas Notación Notación de Kendall Fórmula de Little Modelo M/M/1 28 M/M/ Estado Estacionario L L q Fórmulas de Little Espera de los clientes Costes
2 Modelo M/M/s 36 M/M/s Estado Estacionario P n Cálculo Recursivo L q Fórmulas de Little Espera de los Clientes
3 Introducción 2 / 43 Introducción Colas: Son muy cotidianos los fenómenos en los que entidades discretas: individuos, máquinas, productos, que denominamos usualmente como clientes, utilizan adaptándose a unas normas preestablecidas unos servicios de carácter limitado que hay a su disposición. Inherente a cada fenómeno de espera está el número y la naturaleza de los servidores. Centro de Servicio: Conjunto de todos los servidores. Llegada de Clientes y Tiempo de Servicio pueden estar determinados o pueden quedar al libre albedrío del azar. Fenómenos Determinísticos. Fenómenos Probabiĺısticos. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 3 / 43 Colas o Líneas de Espera En algunos casos, los clientes son obligados a permanecer en el Centro de Servicio no sólo el tiempo de servicio sino que han de soportar una espera, formando una cola. En otros casos, el centro de servicio estará funcionando por debajo de su capacidad, con servidores desocupados. En la industria debemos tomar decisiones sin conocer: Cuándo llegarán los clientes? Cuánto tiempo será necesario para prestar servicio? El compromiso con una estructura de servicio puede llevarnos a: Servidores Desocupados: Demasiado servicio conlleva costes excesivos y pérdidas en forma de tiempos de inactividad. Colas o Esperas: Carecer de la capacidad adecuada de servicio ocasiona esperas demasiado largas en algunos momentos y pérdidas de clientes, entre otros costes. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 4 / 43 3
4 Objetivo El objetivo es lograr un balance entre costes y servicios. La Teoría de Colas no resuelve el problema, sino que modeliza el fenómeno y nos proporciona información vital para la toma de decisiones. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 5 / 43 Procesos Estocásticos, Conteo y Poisson 6 / 43 Proceso Estocástico Un fenómeno de espera suele ser modelado como un proceso estocástico, en tiempo continuo, con un número discretos de estados, que evoluciona a saltos cuando aparecen nuevos clientes en el sistema o cuando desaparecen de él. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 7 / 43 4
5 Proceso Estocástico Proceso Estocástico: Se define como un conjunto de variables aleatorias {X(t)} t T con t tomando valores en un conjunto dado. T, con frecuencia, es el conjunto de enteros no negativos N. X representa una característica de interés medida usualmente en el instante de tiempo t. Ejemplo: El proceso estocástico X(1),X(2),X(3),... puede representar los valores al cierre de cotización de una acción, el día 1 de cotización, 2,3,... Saldo de una cuenta. Demanda de un producto. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 8 / 43 Proceso Estocástico {X((t),t T } es un Proceso Estocástico, P.E., si X(t) es una Variable Aleatoria, V.A., para cada t T, siendo T usualmente el tiempo. Los procesos estocásticos, como conjunto de v.a. pueden ser: Continuos. Discretos. X(t) = x, significará que el P. E. X toma el valor x en el instante t de tiempo. Esto es equivalente a decir que el P.E. se encuentra en el estado x en el instante t. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 9 / 43 5
6 Proceso de Conteo Recibe el nombre de Proceso de Conteo o Proceso de Llegadas, todo P. E. N(t) en tiempo continuo, t 0, donde N(t) es el número de llegadas a un sistema, u ocurrencias de un suceso, durante el intervalo de tiempo [0,t]. Matemáticamente: Decimos que un P.E. {N(t),t 0} es un proceso de conteo, si y sólo si: 1. N(0) = 0 casi seguro, c.s. 2. N(t) sólo toma valores enteros y no negativos, c.s. 3. Si s < t entonces N(s) N(t). 4. N(t) N(s) son el número de ocurrencias en el intervalo de tiempo (s,t]. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 10 / 43 6
7 Proceso de Poisson El Proceso de Poisson es un proceso de conteo que se utiliza en la modelización de fenómenos de espera. Un proceso de Poisson verificará: El valor de N, V. A., en [t 0,t 0 + t], es independiente de la historia anterior a t 0. La probabilidad de n llegadas en un intervalo, sólo depende de su longitud. La probabilidad de que tenga lugar un sólo suceso en un intervalo de tiempo de amplitud t o dt es proporcional a esa longitud. La probabilidad de dos o más sucesos es despreciable frente a t. El número de sucesos que ocurren en intervalos disjuntos, V. A., son independientes. Matemáticamente: Siendo P n (t) = P(N(t) = n). Dado un Proceso de Conteo, {N(t),t 0} se dice que es un Proceso de Poisson de parámetro o intensidad λ > 0 si verifica las siguientes propiedades: El proceso tiene incrementos independientes: Si se tiene instantes 0 t 0 < t 1 < t n entonces N(t 1 ) N(t 0 ), N(t 2 ) N(t 1 ),..., N(t n ) N(t n 1 ) son independientes. P(N(t) = 1) = λt + o(t). P(N(t) 2) = o(t). En un Proceso de Poisson de parámetro λ: P(N(t) = 0) = 1 λt + o(t) P(N(t) = 1) = λt + o(t) P(N(t) 2) = o(t) El parámetro λ del Proceso de Poisson se interpreta como número de ocurrencias del fenómeno por unidad de tiempo, INTENSIDAD: E(N(t + h) N(t)) lim = λ h 0 + h Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 11 / 43 7
8 Teorema 1: Sea {N(t),t > 0} un Proceso de Poisson de parámetro λ, entonces la variable aleatoria N(t) sigue una distribución de Poisson de parámetro λt: P(N(t) = n) = (λt)n e λt n! Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 12 / 43 Teorema 2: Sea {N(t),t > 0} un Proceso de Poisson de parámetro λ, y sean 0 t 0 < t 1 < < t n los tiempos de ocurrencia de los sucesos. Definamos: τ i = t i t i 1 Entonces las variables aleatorias continuas τ i, serán V. A. mutuamente independientes e identicamente distribuidas siguiendo una distribución exponencial de parámetro λ. Recíprocamente: f(τ) = λe λτ Si {N(t),t > 0}, es un Proceso de Conteo, y los tiempos entre ocurrencias del suceso, τ i son V. A. independientes e idénticamente distribuidas mediante la distribución exponencial de parámetro λ, entonces {N(t),t > 0} es un Proceso de Poisson de parámetro λ. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 13 / 43 8
9 Propiedades de la Distribución Exponencial Sea T una V. A. C. que representa el tiempo entre ocurrencias consecutivas, que sigue una distribución exponencial de parámetro λ. Entonces su función de densidad será: f(τ) es estrictamente decreciente. La distribución no tiene memoria. f(τ) = λe λτ P(T > t + t T > t) = P(T > t) Sea {X(t),t T } un proceso de Poisson, parámetro λ. P(X(t) = n) = (λt)n e λt n! Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 14 / 43 9
10 Modelos de Nacimiento y Muerte 15 / 43 Procesos de Nacimiento y Muerte El proceso de Poisson es útil para modelizar situaciones en las que se producen determinadas ocurrencias de un suceso. En otros procesos más generales, se contemplan no sólo llegadas sino también la partida de clientes. Los procesos de Nacimiento y Muerte, son un caso general, y permiten que las tasas tanto de nacimientos como de muertes varíen según el número de individuos de la población. Definición: Sea un P.E. {N(t),t 0} y un conjunto de estados E 0,E 1,E 2,... Diremos que N(t) en el instante t se encuentra en el estado i ésimo, E i, si N(t) = i. Propiedades: Existen λ i, i = 1,2,... y µ i, i = 1,2,... llamadas tasas de nacimiento y muerte respectivamente. Las probabilidades de transición de un estado a otro en un intervalo de tiempo (t,t + h) de amplitud h: P(E i E i 1 ) = µ i h + o(h) P(E i E i+1 ) = λ i h + o(h) La probabilidad de que ocurra más de un cambio de estado en un intervalo de tiempo de amplitud h es del orden de o(h). Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 16 / 43 10
11 Distribución de Probabildad El proceso de Poisson es un caso particular en el que λ i = λ y µ i = 0. Vamos a intentar expresar la probabilidad de encontrarnos en instante de tiempo t + h en el estado i basándonos en las probabilidades de estar en el instante t en los diferentes posibles estados: i,i + 1,i 1. Denotaremos, P i (t) = P(N(t) = i) Prob. que en el instante t estemos en E i P i (t + h) =P i 1 (t) P(E i 1 E i )+ P i (t + h) P i (t) h P i+1 (t) P(E i+1 E i )+ P i (t) P(E i E i ) =P i 1 (t) λ i 1 + P i+1 (t) µ i+1 P i (t) (λ i + µ i ) + o(h) h P i (t + h) P i (t) lim = dp i(t) = P h 0 h dt i(t) = P i 1 (t) λ i 1 + P i+1 (t) µ i+1 P i (t) (λ i + µ i ) Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 17 / 43 Ecuaciones de Balance Llamaremos entonces al siguiente sistema de ecuaciones, el sistema de ecuaciones de balance: { P i (I) (t) = P i 1(t) λ i 1 + P i+1 (t) µ i+1 P i (t) (λ i + µ i ) P 0 (t) = P 1(t) µ 1 P 0 (t) λ 0 Con las siguientes condiciones iniciales: { P 0 (0) = 1 P i (0) = 0 i > 0 Este sistema da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 18 / 43 11
12 Proceso de Poisson Para el caso particular de un proceso de Poisson: { µ i = 0 i λ = λ i i En este caso, el sistema de balance se corresponde con: { P i (t) = P i 1(t)λ λp i (t) P 0 (t) = λp 0(t) Y su solución se puede comprobar que corresponde con: P i (t) = e λt (λt) i i! Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 19 / 43 Proceso Estacionario Un proceso estocástico es estacionario cuando las funciones P n (t) = P(N(t) = n) son constantes P n, es decir, no depende de t. Si el proceso es estacionario, el sistema de ecuaciones de balance se transforma en un sistema de ecuaciones lineales: 0 = P 1 µ 1 P 0 λ 0 i=0 0 = P 0 λ 0 + P 2 µ 2 P 1 (λ 1 + µ 1 ) i=1 Siendo,... 0 = P n 2 λ n 2 + P n µ n P n 1 (λ n 1 + µ n 1 ) i=n-1 λ P 1 = P 0 0 µ 1 λ P 2 = P 0 λ 1 0 µ 1 µ 2... λ P n = P 0 λ 1...λ n 1 0 µ 1 µ 2...µ n c n = λ 0 λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 20 / 43 12
13 Estado Estacionario Sabemos que P n son probabilidades, luego: 1 = P n = P 0 + c n P 0 = P 0 (1 + c n ) n=0 P 0 = c n La condición c n < es necesaria y suficiente para que exista el estado estacionario. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 21 / 43 Sistema de Colas 22 / 43 Descripción del Sistema Todo fenómeno de colas se divide en cuatro secciones claramente diferenciadas: Ingreso de clientes desde una fuente (finita o infinita). Linea de espera o cola, puede constar de uno o más canales. Centro de servicio donde los clientes reciben el servicio por parte de uno o más servidores. Salida de los clientes, hacia la fuente original o hacia otro servicio. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 23 / 43 13
14 Hipótesis Consideradas Sobre el tamaño de la población. Sobre las llegadas: y siendo t 0 < t 1 <... los tiempos de llegadas de clientes consecutivos, y definido τ k = t k t k 1, τ k =cte. es el caso determinista. τ k =aleatorio, Proceso de Poisson de parámetro λ. Capacidad de la cola: finita o infinita. Disciplina de la cola: FIFO, LIFO, RSS, RR, etc. Mecanismo de Servicio: Determinista (mismo tiempo para cada cliente) o Aleatorio (exponencial). Número de servidores: 1, s o servidores en función de la demanda. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 24 / 43 14
15 Notación Basándonos en los Procesos de Nacimiento y Muerte: N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t de tiempo. N q (t): Número de clientes en la cola en el instante t de tiempo. P n (t): Probabilidad de que en el instante t de tiempo se encuentren n clientes en el sistema. s: Número de servidores operativos que forman parte del centro de servicio. λ n : Número medio de clientes que han llegado al sistema por unidad de tiempo cuando en el sistema se encuentran n clientes. Tasa de llegadas, si ésta no depende del número de clientes en el sistema entonces es constante y se denota por λ. µ n : Número medio de clientes que han sido servidos en el centro de servicio por unidad de tiempo cuando en el sistema se encuentran n clientes. Tasa de servicio, si ésta no depende del número de clientes en el sistema representaremos por µ el número medio de clientes que son servidos por cada servidor y por unidad de tiempo. µ n = nµ si n = 1,2,...,s 1 y µ n = sµ si n s. ρ: Intensidad de Tráfico, ρ = λ sµ. N: Variable Aleatoria Discreta que representa el número de clientes en el sistema. N q : Variable Aleatoria Discreta que representa el número de clientes en la cola. P n : Probabilidad de que se encuentren n clientes en el sistema. L: Número medio de clientes en el sistema, L = E(N). L q : Número medio de clientes en la cola, L q = E(N q ). W: Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en el sistema. W q : Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en la cola. W: Tiempo medio que pasa un cliente en el sistema, W = E(W). W q : Tiempo medio que pasa un cliente en la cola, W q = E(W q ). Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 25 / 43 15
16 Notación de Kendall A/B/s A indica la distribución del tiempo entre las llegadas consecutivas. B indica la distribución del tiempo de servicio. s indica el número de servidores. M: Exponencial, Markov. D: Determinista. G: Genérica, normal. E k : Erlang. U: Uniforme. A/B/s/K/H/Z K capacidad de la cola. H tamaño de la población. Z disciplina de la cola. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 26 / 43 Fórmula de Little Para los modelos M/M/s, se verifica la siguiente relación conocida como formula de Little: L = λ W L q = λ W q Otra relación importante es: W = W q + 1 µ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 27 / 43 16
17 Modelo M/M/1 28 / 43 M/M/1 Tiempos entre llegadas consecutivas, distribución exponencial λ. Tiempos de servicio, distribución exponencial µ. 1 servidor. Capacidad de la cola infinita. Población infinita, sin restricciones. Disciplina de la cola, FIFO. { λ i = λ i µ i = µ i Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 29 / 43 17
18 Estado Estacionario Tal y como hemos visto en los procesos de Nacimiento y Muerte: P n = λ 0...λ n 1 P 0 = c n P 0 n = 1,2,... µ 1...µ n c n = λ ( ) 0...λ n 1 = λn λ n µ 1... µ n µ n = = ρ n n = 1,2,... µ 1 = P 0 + P 1 + P = P 0 + c 1 P 0 + c 2 P = P 0 + ρ P 0 + ρ 2 P = P 0 (1 + ρ n ) 1 P 0 = 1 + ρn La condición de proceso estacionario equivale a la convergencia de la serie geométrica: c n = Esta serie será convergente si y sólo si ρ < 1, al ser ρ > 0 esta condición equivale a: ρ < 1 λ < µ Entonces y bajo la condición de proceso estacionario, tendremos: ρ n P 0 = = 1 ρn 1 + ρ 1 ρ = 1 ρ Siendo entonces para n = 1,2,... : P n = c n P 0 = ρ n P 0 = ρ n (1 ρ) Obteniéndose entonces, una expresión general que nos determina la probabilidad de encontrar n personas en el sistema: P n = ρ n (1 ρ) n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 30 / 43 18
19 L Número medio de clientes en el sistema, esperanza: L = n P n = n=0 (1 ρ)ρ n ρ n (1 ρ) = (1 ρ) n ρ n n ρ n 1 = (1 ρ)ρ (1 ρ) 2 = ρ 1 ρ = λ µ λ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 31 / 43 L q Número medio de clientes en la cola, esperanza: L q = Sabemos que si s = 1, entonces, P qn = P n+1. L q = n P n+1 = n=0 n P qn n=0 (m 1) P m = m=1 m P m m=1 m=1 = L (1 P 0 ) = ρ ρ2 (1 (1 ρ)) = 1 ρ 1 ρ = λ 2 µ(µ λ) P m Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 32 / 43 19
20 Fórmulas de Little L = λ W W = L λ = 1 µ λ Además podemos comprobar que se verifica: L q = λ W q W q = L q λ = λ µ(µ λ) W = W q + 1 µ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 33 / 43 Espera de los clientes Además si deseamos tener más información sobre la espera de los clientes en el sistema, deberemos calcular la distribución de probabilidad de la V.A. W, tiempo pasado por un cliente en el sistema. P(W < t) = W exp(µ λ) f(t) = (µ λ)e (µ λ)t E[W] = W = 1 µ λ t 0 (µ λ)e (µ λ)x dx = 1 e (µ λ)t Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 34 / 43 20
21 Costes Coste de Servicio Total= s C s. Coste de Espera en Sistema= λ W C W. Coste de Espera en Cola= λ W q C W. Coste Total= s C s + λ W C W. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 35 / 43 Modelo M/M/s 36 / 43 M/M/s Tiempos entre llegadas, exponencial λ. Tiempos de servicio, exponencial µ. s servidores. Capacidad de la cola infinita. Población infinita. Disciplina FIFO. λ i = λ i µ i = { i µ i = 1,2,...,s 1 s µ i = s,s + 1,... ρ = λ sµ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 37 / 43 21
22 Estado Estacionario c n = λ 0 λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n = { λ n n!µ n n = 1,2,...,s 1 λ n s!s n s µ n n = s,s + 1,... Para determinar el estado estacionario del sistema, basta con analizar la convergencia: c n = = s 1 s 1 λ n n!µ n + λ n n!µ n + λs s!µ s n=s λ n s 1 s!s n s µ n = s ρ = λ n n!µ n + λ n n!µ n + λs s!µ s n=s ρ n s λ s (s 1)!µ s 1 (sµ λ) Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 38 / 43 P n Entonces: Con lo que, P 0 = c n = s 1 λn n!µ + n. λ s (s 1)!µ s 1 (sµ λ) P n = c n P 0 = Problemas en el cálculo de (s 1)!. { λ n n!µ P n 0 n = 1,2,...,s 1 λ s s!µ ρ n s P s 0 n = s,s + 1,... Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 39 / 43 22
23 Cálculo Recursivo Definimos: P n = c n P 0 = entonces tendremos de forma recursiva que, c n = c n 1 { λ n n!µ P n 0 n = 1,2,...,s 1 λ s s!µ ρ n s P s 0 n = s,s + 1,... c 0 = λ0 0!µ 0 = 1, λ nµ n = 1,...,s 1, y c λ n = c n 1 sµ n = s,... y por lo tanto, c n = c s 1 n=s λ sµ λ y P 0 = 1 s 1 0 c n + n=s c. n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 40 / 43 L q Número medio de clientes en la cola, esperanza: L q = E(N q ) = 0(P 0 + P P s ) + = (n s) P n = n=s = λs s!µ s P 0 n=s n=s n=s+1 (n s) P n λ s (n s) s!µ s ρn s P 0 (n s) ρ n s = λs s!µ s P 0 k ρ k k=0 = λs s!µ s P ρ 0 (1 ρ) 2 = λ s+1 P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) 2. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 41 / 43 23
24 Fórmulas de Little W q = L q λ W q = λ s P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) 2 W = W q + 1 µ W = λ s P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) µ L = λ W λ s+1 P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) 2 + λ µ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 42 / 43 Espera de los Clientes Probabilidad de que un cliente esté en la cola o en el sistema: λ 1 s P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) e (sµ λ)t si t 0 P(W q t) = 0 si t < 0 λ 1 (1 + s P 0 t (s 1)!µ s 2 (sµ λ) )e µt si t 0 P(W t) = 0 si t < 0 Probabilidad de que un cliente no tenga que esperar: s 1 P(W q = 0) = P(W q 0) = P(N s 1) = n=0 P n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 43 / 43 24
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales) Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. I. Suponga que en una estación con un solo servidor
Más detallesMétodos generales de generación de variables aleatorias
Tema Métodos generales de generación de variables aleatorias.1. Generación de variables discretas A lo largo de esta sección, consideraremos una variable aleatoria X cuya función puntual es probabilidad
Más detallesDISEÑO DEL SOFTWARE TRAFFIC ANALYZER. Analyzer. En este capítulo se reporta el desarrollo que se llevó a cabo para realizar el software
3 Diseño del Software Traffic Analyzer En este capítulo se reporta el desarrollo que se llevó a cabo para realizar el software que analiza el tráfico en redes de telefonía y computadoras, denominado Traffic
Más detallesT.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE
T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE 1. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIA CONVERGENCIA CASI-SEGURA CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA CONVERGENCIA EN LEY ( O DISTRIBUCIÓN)
Más detalles1 Introducción... 2. 2 Distribución exponencial... 2. 3 Distribución Weibull... 6. 4 Distribuciones Gamma y k-erlang... 10
Asignatura: Ingeniería Industrial Índice de Contenidos 1 Introducción... 2 2 Distribución exponencial... 2 3 Distribución Weibull... 6 4 Distribuciones Gamma y k-erlang... 10 5 Distribución log-normal...
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales) Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A.. Suponga que en una estación con un solo servidor
Más detallesSelectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009. Opción A
SEPTIEMBRE 2009 Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES,
Más detalles2. Modelo de colas poissoniano con un servidor M/M/1. 3. Modelo con un servidor y capacidad finita M/M/1/K
CONTENIDOS 1. Introducción a las colas poissonianas. 2. Modelo de colas poissoniano con un servidor M/M/1 3. Modelo con un servidor y capacidad finita M/M/1/K 4. Modelo con varios servidores M/M/c. Fórmula
Más detallesTema 3: Aplicaciones de la diagonalización
TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización 1 Ecuaciones en diferencias Estudiando la cría de conejos, Fibonacci llegó a las siguientes conclusiones:
Más detallesAmbas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.
1. Introducción. En este trabajo se aplica la teoría de colas. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares
Más detalles2 Teoría de colas o líneas de espera
2 Teoría de colas o líneas de espera El tráfico en redes se puede modelar con la ayuda de la teoría de colas, es por ello ue es importante estudiarlas y comprenderlas. Existen varias definiciones sobre
Más detallesTeoría de Colas. TC: Parte de la Investigación Operativa que estudia el comportamiento de sistemas cuyos elementos incluyen líneas de espera (colas).
Teoría de Colas TC: Parte de la Investigación Operativa que estudia el comportamiento de sistemas cuyos elementos incluyen líneas de espera (colas). IO 07/08 - Teoría de Colas 1 Teoría de Colas: ejemplos
Más detallesEl aeropuerto se puede modelar como un sistema de colas M/G/1 con distribución uniforme de tiempo de servicio E[S] = 60 seg y σ 2 S = 48 seg 2.
ESTUDIO DE OPERACIONES URBANAS MATERIAL REUNIDO POR JAMES S. KANG OTOÑO 2001 Soluciones trabajo 4 3/10/2001 1. Problema 4.12 LO (Pinker, 1994; Kang, 2001) El aeropuerto se puede modelar como un sistema
Más detallesLíneas de espera. Introducción.
Líneas de espera. Introducción. En este capítulo se aplica la teoría de colas. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas
Más detallesV Unidad: Teoría de Colas (Líneas de espera) de Espera: Teoría de Colas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI-NORTE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II INGENIERIA INDUSTRIAL E INGENIERIA DE SISTEMAS V Unidad: Teoría de Colas (Líneas de espera) de Espera: Teoría de Colas Maestro
Más detallesEstadística EIAE (UPM) Estadística p. 1
Ö Ó ÓÒØ ÒÙÓ ÑÓ ÐÓ p. 1 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que a) En 1 minuto lleguen dos coches. b) En 1 minuto lleguen al menos dos coches.
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos
Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos
Más detallesTema 5. Variables aleatorias discretas
Tema 5. Variables aleatorias discretas Resumen del tema 5.1. Definición de variable aleatoria discreta 5.1.1. Variables aleatorias Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada suceso
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detallesDistribuciones Multivariantes. Distribuciones Multivariantes. Distribuciones Multivariantes. Objetivos del tema:
Distribuciones Multivariantes Distribuciones Multivariantes Distribución conjunta de un vector aleatorio Objetivos del tema: Distribuciones marginales y condicionadas Al final del tema el alumno será capaz
Más detallesUnidad V: Líneas de Espera
Unidad V: Líneas de Espera 5.1 Definiciones, características y suposiciones El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente
Más detallesUna invitación al estudio de las cadenas de Markov
Una invitación al estudio de las cadenas de Markov Víctor RIVERO Centro de Investigación en Matemáticas A. C. Taller de solución de problemas de probabilidad, 21-25 de Enero de 2008. 1/ 1 Introducción
Más detallesUNIDAD 4 PROCESOS DE MARKOV
UNIDAD 4 PROCESOS DE MARKOV Anteriormente se han cubierto modelos estáticos, esto es, modelos cuyos parámetros permanecen sin cambio a través del tiempo. Con excepción de programación dinámica donde se
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesProblemas de Variable Compleja. Soluciones. Hoja 4
Problemas de Variable Compleja. Soluciones. Hoja 4 Ejercicio.- Sobre la circunferencia C(0, /r) se verifica que Sea N N tal que para todo n N max{ e ( +! min{ e : = /r} = e /r. +... + n n! } : = r }
Más detallesTEORIA DE COLAS, FENOMENOS DE ESPERA
Universidad del Bío-Bío Facultad de Ingeniería Depto. Ingeniería Industrial Investigación de Operaciones II: TEORIA DE COLAS, FENOMENOS DE ESPERA Integrantes: Pedro Chávez Cristian Guajardo Victor Pino
Más detallesAnálisis de Decisiones II
Tema 14 Distribución de llegadas Poisson, distribución de servicio Exponencial, varios servidores, servicio PEPS, población y cola infinita Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 7 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. REPASO DE MATEMÁTICAS DISCRETA. CONGRUENCIAS. En el conjunto de los números enteros
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS REPASO DE MATEMÁTICAS DISCRETA. CONGRUENCIAS. En el conjunto de los números enteros Z = {..., n,..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n, n + 1,...} tenemos definidos una suma y un producto
Más detallesCPE (SEGUNDO CURSO) = P [T 1 ]P [T 2 ]... P [T 525,600 ] = (1 10 8 ) 525,600 = 0.9948
1/10 CPE (SEGUNDO CURSO PRÁCICA 1 SOLUCIONES (Curso 2015 2016 1. Suponiendo que los sucesos terremotos y huracanes son independientes y que en un determinado lugar la probabilidad de un terremoto durante
Más detalles3. Equivalencia y congruencia de matrices.
3. Equivalencia y congruencia de matrices. 1 Transformaciones elementales. 1.1 Operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son: 1. H ij : Permuta la fila i con la fila j. 2. H
Más detallesTeoría de Líneas de Espera
Teoría de Colas Teoría de Líneas de Espera COLAS: Líneas de espera que utiliza modelos matemáticos que describen sistemas de líneas particulares o Sistemas de Colas. Modelos presentan las siguientes características:
Más detallesÍndice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones
Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Números 2 Polinomios 3 Funciones y su Representación
Más detallesCadenas de Markov. http://humberto-r-alvarez-a.webs.com
Cadenas de Markov http://humberto-r-alvarez-a.webs.com Definición Procesos estocásticos: procesos que evolucionan de forma no determinista a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados. Estos
Más detallesx 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesIntroducción a la Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería - Universidad de la República Oriental del Uruguay
Introducción a la Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería - Universidad de la República Oriental del Uruguay Procesos Estocásticos de Tiempo Contínuo Práctico Ejercicio 1 Sean X e Y variables
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()
Más detallesSelectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León ATEÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR
Más detallesRelación de problemas: Distribuciones de probabilidad
Estadística y modelización. Ingeniero Técnico en Diseño Industrial. Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad 1. Un jugador de dardos da justo en la diana 2 de cada cinco veces que lanza. Si
Más detallesProgramación Lineal. Ficha para enseñar a utilizar el Solver de EXCEL en la resolución de problemas de Programación Lineal
Programación Lineal Ficha para enseñar a utilizar el Solver de EXCEL en la resolución de problemas de Programación Lineal Ejemplo: Plan de producción de PROTRAC En esta ficha vamos a comentar cómo se construyó
Más detallesExamen de Estadística Ingeniería de Telecomunicación
Examen de Estadística Ingeniería de Telecomunicación 8 de Mayo de 3 Cuestiones solucion h C. (.5p) El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 5 personas de las
Más detallesVariables aleatorias continuas
Variables aleatorias continuas Hemos definido que una variable aleatoria X es discreta si I X es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES GUÍA 5: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS Profesor: Hugo S. Salinas. Segundo Semestre
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesTema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
Más detallesMatemáticas II Grado en Economía
Matemáticas II Grado en Economía Curso 2011-2012 Tema 1 Universidad devalladolid Departamento de Economía Aplicada 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras
Más detallesDIRECCIÓN DE OPERACIONES Y TOMA DE DECISIONES INGENIERÍA INDUSTRIAL CICLO DE PROFESIONALIZACIÓN
TEORIA DE COLAS: Líneas de Espera Claro Ana Milena, Cardona Luz Dary, Ruiz Lina María, Gómez Juan Fernando, Estudiantes Ingeniería Industrial Universidad Católica de Oriente. Mayo 21 de 2011. Resumen:
Más detallesEjercicios de Teoría de Colas
Ejercicios de Teoría de Colas Investigación Operativa Ingeniería Informática, UC3M Curso 08/09 1. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene: L = ρ Solución. L = = = = = ρ np n nρ n (1 ρ) nρ n n=1 ρ n ρ
Más detallesSolución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004
Solución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004. Estudia si existe alguna función de variable compleja f() entera cuya parte real sea x
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD GUÍA DE TRABAJO 2 Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre 2010 1. La dureza Rockwell de un metal
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @
Más detallesControl Estadístico de Procesos
Control Estadístico de Procesos Gráficos de Control Los gráficos de control o cartas de control son una importante herramienta utilizada en control de calidad de procesos. Básicamente, una Carta de Control
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesDiagnosis y Crítica del modelo -Ajuste de distribuciones con Statgraphics-
Diagnosis y Crítica del modelo -Ajuste de distribuciones con Statgraphics- 1. Introducción Ficheros de datos: TiempoaccesoWeb.sf3 ; AlumnosIndustriales.sf3 El objetivo de esta práctica es asignar un modelo
Más detalles1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR
. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesTema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales
Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos
Más detallesLa aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una
Más detallesFUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD
UNIDAD 2 PROPORCIONALIDAD. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD 1.- INTRODUCCIÓN Continuamente hacemos uso de las magnitudes físicas cuando nos referimos a diversas situaciones como medida de distancias (longitud),
Más detallesTEORIA DE COLAS SIMULACIÓN DE SISTEMAS
SIMULACIÓN DE SISTEMAS UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL- ICA Ing. Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas: Personas esperando para una caja en un banco, Estudiantes esperando
Más detallesSelectividad Junio 2008 JUNIO 2008 PRUEBA A
Selectividad Junio 008 JUNIO 008 PRUEBA A 3 a x + a y =.- Sea el sistema: x + a y = 0 a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resuélvelo
Más detallesTeoría a de Colas o Filas de Espera. M. En C. Eduardo Bustos Farías
Teoría a de Colas o Filas de Espera M. En C. Eduardo Bustos Farías as Introducción Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede
Más detallesCAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas
CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas Introducción En la economía, la variación de alguna cantidad con respecto a otra puede ser descrita por un concepto promedio o por un concepto
Más detallesValores propios y vectores propios
Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas
Más detallesLa nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx
La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx Resumen Se dan algunas definiciones básicas relacionadas con la divisibilidad
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL N o 2 Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre 20. El gerente
Más detallesCONCEPTOS PREVIOS TEMA 2
1.PROPORCIONALIDAD 1.1 REPARTOS PROPORCIONALES CONCEPTOS PREVIOS TEMA 2 Cuando queremos repartir una cantidad entre varias personas, siempre dividimos el total por el número de personas que forman parte
Más detallesTema 5: Teoría de colas. Ezequiel López Rubio Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación Universidad de Málaga
Tema 5: Teoría de colas Ezequiel López Rubio Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación Universidad de Málaga Sumario Conceptos básicos Cola M M Cola M M c Cola M M k Redes de colas Redes de
Más detallesUnidad III: Programación no lineal
Unidad III: Programación no lineal 3.1 Conceptos básicos de problemas de programación no lineal Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa
Más detalles2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace
2.2 Transformada de Laplace y Transformada 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace Dada una función de los reales en los reales, Existe una función denominada Transformada de Laplace que toma
Más detallesModelos Matemáticos de Poblaciones
Capítulo 1 Modelos Matemáticos de Poblaciones 1.1. Introducción Actualmente, en algunos campos de la Ciencia los esfuerzos van dirigidos, dentro de ciertas limitaciones, a conocer el desarrollo de algunos
Más detalles1.3 Números racionales
1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA GUÍA 4: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Plan Común de Ingeniería 1.
Más detallesSubconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Más detallesAnálisis de Decisiones II. Conceptos básicos de Teoría de Colas. Objetivo de aprendizaje del tema
Tema 11 Conceptos básicos de Teoría de Colas Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Explicar en qué consiste la Teoría de Colas. D.R. Universidad TecMilenio 1 Introducción
Más detallesPrecio del alquiler de pisos durante una serie de meses. Evolución del índice del precio del trigo con mediciones anuales.
Series Temporales Introducción Una serie temporal se define como una colección de observaciones de una variable recogidas secuencialmente en el tiempo. Estas observaciones se suelen recoger en instantes
Más detallesSistemas y Circuitos
Sistemas y Circuitos Práctica 4: Circuitos Analógicos Curso Académico 09/10 Objetivos En esta práctica el alumno aprenderá a calcular impedancias equivalentes analizar filtros de primer orden Normas La
Más detallesTema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Más detallesDepartamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación
Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación EXAMEN RESUELTO DE ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS CONVOCATORIA: ENERO / FECHA: de Enero de Duración del examen: 3 horas Fecha publicación
Más detallesContabilidad Orientada a los Negocios
Tema 5 Introducción Como todos sabemos, al pagar por alguna cosa, cualquiera que esta sea, que jamás haya sido utilizada, se debe desembolsar una cantidad de dinero, esto es porque, al igual que todas
Más detallesOPCIÓN A 0 1 X = 1 12. Podemos despejar la matriz X de la segunda ecuación ya que la matriz. 1 1 ; Adj 0 1 X =
Selectividad Junio 011 Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO/A DEBERÁ ESCOGER UNO DE
Más detallesSoluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación
Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación de Septiempbre, 00 Cuestiones 1h C1. El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una v.a. Y Expλ). Para hacer un estudio
Más detallesASPECTOS GENERALES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA CONDUCCIÓN TRANSITORIA.
CONDUCCIÓN TRANSITORIA Aquí encontrarás Los métodos gráficos y el análisis teórico necesario para resolver problemas relacionados con la transferencia de calor por conducción en estado transitorio a través
Más detallesPEOBLEMAS RESUELTO DE CADENAS DE MARKOV
PROBLEMAS RESUELTOS DE CADENAS DE MARKOV TEMA: CADENAS DE MARKOV Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés I. El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un
Más detallesFUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.
FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. 1 Introducción Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar los valores
Más detallesAplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
Más detallesTEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES GUÍA 2: PROBABILIDADES Profesor: Hugo S. Salinas Segundo Semestre 2010 1. Describir el espacio muestral
Más detallesMatemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8
Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo; un kilo
Más detallesEjercicios de Programación Lineal
Ejercicios de Programación Lineal Investigación Operativa Ingeniería Informática, UCM Curso 8/9 Una compañía de transporte dispone de camiones con capacidad de 4 libras y de 5 camiones con capacidad de
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
Más detallesTEMA 5. MUESTREO PARA LA ACEPTACIÓN.
TEMA 5. MUESTREO PARA LA ACEPTACIÓN. Introducción. Planes de muestreo por atributos simple, doble, múltiple y rectificativos Dodge-Romig, Norma militar 1000STD-105D. Pautas a seguir para el cambio de rigor
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detalles5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión. Puente grúa. 5.3.1 Flexión pura
5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión Puente grúa 5.3.1 Flexión pura Para cierta disposición de cargas, algunos tramos de los elementos que las soportan están sometidos exclusivamente a
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS SOLUCIONES HOJA 5: Optimización 5-1. Hallar los puntos críticos de las siguiente funciones y clasificarlos: a fx, y = x y + xy.
Más detallesDistribuciones de Probabilidad en Arena
Distribuciones de Probabilidad en Arena Arena posee una amplia gama de funciones o distribuciones estadísticas incorporadas para la generación de números aleatorios. Estas distribuciones aparecen cuando,
Más detalles