Propiedades y Aplicaciones de los Cuadrados Latinos

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1 Propiedades y Aplicaciones de los Cuadrados Latinos T E S I S QUE, PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE: Maestro en Ciencias Matemáticas Aplicadas e Industriales P R E S E N T A: Mat. Celia Ivonne Cortés Pérez Director de Tesis: Dr. Joaquín Tey Carrera Iztapalapa, D.F., a 26 de Octubre de 2011

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3 Índice general Introducción III 1. Cuadrados Latinos Número de Cuadrados Latinos Cotas Inferiores para L(n) Cotas Superiores para L(n) Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (MOLS) MOLS y Planos Proyectivos de orden n Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS) SOLS y Torneo Doble Mixto Arreglos Ortogonales Colapso de la conjetura de Euler No existen dos MOLS de orden Aplicaciones de los Cuadrados Latinos Cuadrados Mágicos Sudoku Construcción de un conjunto máximo de MOSLS de orden k para k potencia de un primo Construcción de un conjunto de MOSLS de orden k i

4 ÍNDICE GENERAL ii Polinomio cromático Coloración explícita para X n Cotas para el número de SLS Gráficas Factorización de K n,n Factorización de K n Número de Ramsey para árboles Sistema de Ternas de Steiner Método de Bose (v 3 mod 6) Método de Skolem (v 1 mod 6) Corrección de Errores Criptología Esquema de Secreto Compartido Cuadrados Latinos y Cuasigrupos Isotopía de Cuadrados Latinos Diseño de Experimentos Conclusiones 93 Bibliografía 93

5 Introducción Los cuadrados latinos han sido estudiados durante siglos. Sin embargo, fue en 1779 cuando Leonhard Euler los definió formalmente en su manuscrito Recherches sur une nouvelle espece de quarre magique (Investigaciones de una Nueva Especie de Cuadrados Mágicos) (ver [16]). Euler utilizó letras del latín como elementos de tales cuadrados, llamándolos cuadrados latinos. Él estaba interesado en la solución del Problema de los 36 oficiales que será examinado con detalle en la sección Este trabajo se divide en dos capítulos. En el capítulo 1 presentamos conceptos y propiedades básicas de los cuadrados latinos, destacando el concepto de ortogonalidad y el capítulo 2 está dedicado especialmente a la aplicación de los cuadrados latinos en diversas áreas de las matemáticas. Hasta el momento no se conoce el número exacto de cuadrados latinos de orden n > 10. Sin embargo, se han dado distintas cotas a este número. En la sección 1.1 desarrollamos a detalle algunas de estas cotas, por mencionar alguna, la cota superior dada por Ronald Alter en El problema de determinar el número máximo de cuadrados latinos de orden n mutuamente ortogonales (M OLS) es extraordinariamente difícil de resolver. Para ver esto, en la sección 1.3 se muestra la equivalencia que existe entre la existencia de n 1 MOLS de orden n y un plano proyectivo de orden n. Solo se conocen planos proyectivos de orden la potencia de un primo, a pesar de los grandes esfuerzos realizados durante muchos años por una larga lista de matemáticos. No es difícil aceptar que este problema fuera denominado por Mullen en 1995 el Nuevo problema de Fermat. En las secciones 1.4, 1.5 y 1.6 se desarrollan las herramientas que utilizaron Bose, Parker y Shrikhande en 1960 para contradecir la conjetura hecha por Euler en 1782 que afirmaba que no existen dos MOLS de orden n para n 2 (mod 4). Estas herramientas son: los cuadrados latinos auto-ortogonales (SOLS) donde además, mostramos su uso en la construcción de los Torneos Dobles Mixtos; los arreglos ortogonales, que son una alternativa de representar a un conjunto de M OLS y los diseños balanceados. Por último, en la sección se muestra la prueba dada por Stinson en 1984 que nos muestra de manera particular la no existencia de dos MOLS de orden 6. Los juegos matemáticos en años recientes han ganado gran popularidad como pasatiempo, entre ellos tenemos a los cuadrados mágicos que durante la Edad Media se grababan en láminas de plata como amuletos contra la peste negra. Los astrólogos los aconsejaban como amuletos protectores, iii

6 Capítulo 0. Introducción iv precisamente, contra la melancolía. En la sección 2.1 desarrollamos el método para construir estos cuadrados mediante el uso de los cuadrados latinos dado por Euler. Un juego de gran popularidad en el siglo XX es el Sudoku, la relación que existe entre este juego y los cuadrados latinos es que la solución de un Sudoku es, precisamente, un cuadrado latino que llamaremos cuadrado latino Sudoku, la sección 2.2 esta dedicada al estudio de la propiedad de ortogonalidad y construcción de conjuntos ortogonales de dichos cuadrados. Además, en la sección desarrollamos las cotas superior e inferior para el número de cuadrados latinos Sudoku dadas por Agnes M. Herzberg y M. Ram Murty en el En la sección 2.3 presentamos la equivalencia de los cuadrados latinos de orden n con 1-factorizaciones de familias especiales de gráficas, como son: la gráfica bipartita completa (K n,n ), la gráfica completa dirigida sin lazos ( K n ) y la gráfica completa (K n ). En el caso de K n, el número de 1-factorizaciones de este tipo de gráficas esta muy relacionado con el número de cuadrados latinos de orden n. En 1847, Kirkman establece la existencia de un Sistema de Ternas de Steiner de orden n 1, 3 mod 6, n 3, en la sección 2.4 presentamos los métodos de Bose y Skolem que hacen uso de los cuadrados latinos simétricos e idempotentes y los simétricos y semi-idempontes en la construcción de tales sistemas. En Matemáticas, Computación y Teoría de la Información, la detección y corrección de errores es una importante práctica para el mantenimiento e integridad de los datos a través de canales ruidosos y medios de almacenamiento poco confiables. Uno de los principales problemas dentro de la Teoría de códigos es encontrar códigos de gran tamaño, donde la longitud de las palabras esta dada al igual que la distancia mínima entre ellas, en la sección 2.5 haremos uso de los cuadrados latinos ortogonales para la construcción de algunos de estos códigos. La criptografía (escritura oculta) como concepto, son las técnicas utilizadas para cifrar y descifrar información utilizando técnicas matemáticas que hagan posible el intercambio de mensajes de manera que sólo puedan ser leídos por las personas a quienes van dirigidos, en la sección presentamos el uso de los cuasigrupos en la codificación de datos. La relación que existe entre los cuasigrupos y los cuadrados latinos es que la tabla de Cayley asociada a un cuasigrupo es un cuadrado latino. La integridad de un sistema de información consiste en exigir que determinadas operaciones sólo puedan ser llevadas acabo por una o mas personas que tienen derechos de acceso. El acceso a este sistema es a menudo adquirida a través de una clave, cuyo uso se rige por un sistema de generación de claves. En la sección 2.7 describimos un esquema de secreto compartido construido mediante el uso de los cuadrados latinos parciales que es precisamente un generador de claves. Dentro de un conjunto de cuadrados latinos de orden n, el Isotopismo es una relación de equivalencia cuyas clases laterales son llamadas clases Isotópicas, los cuadrados latinos pertenecientes a la misma clase son llamados isotópicos. En la sección describimos de forma breve esta relación. Finalmente, en la sección 2.7 damos una breve introducción del uso de los cuadrados latinos en el diseño de experimentos, los cuales tienen sus orígenes en experimentos agrícolas y otras áreas como la biología, el estudio de mercados y procesos industriales, entre otros.

7 CAPÍTULO1 Cuadrados Latinos En este capítulo abordaremos los aspectos teóricos de los cuadrados latinos, describiremos propiedades básicas de los mismos, entre las que se encuentran la ortogonalidad entre ellos y algunos métodos para construirlos. Se desarrollarán algunas de las cotas inferiores y superiores para el número de cuadrados latinos distintos de orden n. Así como la prueba que contradice la conjetura de Euler y la demostración de la no existencia de dos MOLS de orden 6. Las ideas desarrolladas en este capítulo están basadas en el libro Combinatorial Designs (ver [2]). Un cuadrado latino es una matriz de tamaño n n cuyos elementos pertenecen a un conjunto finito A de cardinalidad n y cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada renglón y en cada columna de L. A es llamado el conjunto base del cuadrado y n su orden. Ejemplo Sea A = {A, B, C, D}. La siguiente matriz es un cuadrado latino de orden 4. A B C D D A B C C D A B B C D A Teorema Existe un cuadrado latino de orden n para cualquier entero positivo n. Demostración. Sea A = {1, 2,..., n}. Tomemos como primer renglón del cuadrado a 123 n. Ahora a partir del segundo renglón se desplazan los elementos de la fila anterior una posición a la izquierda y el primer elemento del renglón anterior se coloca al final de la fila que se esta construyendo, es decir, el i-ésimo renglón es un desplazamiento cíclico de una posición a la izquierda del renglón i 1. El cuadrado latino que construimos de esta manera es 1

8 Capítulo 1. Cuadrados Latinos n n n n 1 2 n 1. La tabla del grupo aditivo Z/nZ de enteros módulo n es un ejemplo del teorema Número de Cuadrados Latinos El número de cuadrados latinos de orden n se ha estudiado durante mucho tiempo. En esta sección daremos algunos de los resultados obtenidos hasta el momento para este número, basándonos en [1, 7, 11, 12]. Se sabe que para n = 2, el número de cuadrados latinos distintos es 2, los cuales son ( ) ( Un cuadrado latinos de orden n con conjunto base {0, 1,..., n 1} es reducido si los elementos de su primer renglón y su primera columna están en orden natural, es decir, n 1. Denotaremos al número de cuadrados latinos de orden n como L(n) y l(n) denota el número de cuadrados latinos reducidos de orden n. Entonces, el siguiente teorema nos dice que para n > 2 el número de cuadrados latinos de orden n depende del número de cuadrados latinos reducidos de orden n. ). Teorema Para n 2 L(n) = n!(n 1)!l(n). Demostración. Dado un cuadrado latino de orden n podemos permutar las columnas del cuadrado de n! formas posibles. Al permutar las columnas, el arreglo resultante sigue siendo un cuadrado latino además de ser distinto al cuadrado dado inicialmente. Ahora los últimos n 1 renglones del cuadrado latino pueden permutarse de (n 1)! formas posibles, de igual manera cualquier permutación de renglones nos da un cuadrado latino distinto. Lo mas importante es que estos también son distintos a los cuadrados latinos obtenidos de permutar las columnas, ya que la primer fila se mantuvo fija. Por lo tanto, a partir de un cuadrado latino reducido, las n! y (n 1)! permutaciones de columnas y renglones respectivamente dan como

9 3 1.1 Número de Cuadrados Latinos resultado n!(n 1)! cuadrados latinos distintos de orden n y exactamente uno de estos cuadrados será reducido y dado que se tienen l(n) cuadrados reducidos, entonces L(n) = n!(n 1)!l(n). Hasta el momento se conoce el número exacto de cuadrados reducidos para n pequeño, así que se han dado distintas cotas para el cálculo de este número. A continuación presentamos algunas de ellas Cotas Inferiores para L(n) Una primera cota inferior para el número de cuadrados latinos se construye de la siguiente forma Dado un arreglo vacío de tamaño n n. Tenemos n! maneras de llenar el primer renglón del arreglo. Ahora consideremos el segundo renglón, tenemos n 1 posiciones donde podemos colocar al 0. Hay n 1 o n 2 lugares donde podemos colocar al 1 dependiendo en donde se haya colocado el 0, si se colocó bajo el 1 del primer renglón o no, por lo que tenemos al menos n 2 lugares donde colocar el 1. De manera similar tenemos al menos n 3 lugares donde colocar el 2. Por lo que tenemos al menos (n 1)! formas de llenar el segundo renglón. Siguiendo con un argumento similar para los renglones restantes llegamos a que L(n) n!(n 1)!(n 2)!... 2!1!. Una segunda cota inferior para el número de cuadrados latinos se construye mediante la permanente de una matriz. Sea A = (a ij ) una matriz de tamaño n n, la permanente de A es pera = σ S n a 1σ(1) a 2σ(2)... a nσ(n) donde S n denota al grupo simétrico sobre el conjunto {1, 2,..., n}. La matriz A es llamada doblemente estocástica si la suma de los elementos en cada renglón y cada columna es igual a 1. En 1926 B. L. van der Waerden propuso el problema de determinar la permanente mínima entre todas la matrices doblemente estocásticas. Él conjeturó que este mínimo es alcanzado por la matriz constante en donde todas sus entradas son iguales a 1 n, es decir, para cualquier matriz A doblemente estocástica. pera n! n n

10 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 4 Esta conjetura fue probada en 1981 independientemente por G. P. Egorychev y D. I. Falikman (ver [13]). Este resultado se utiliza para dar una cota inferior del número de cuadrados latinos de orden n. Un SRD (Sistema de Representantes Distintos) para los conjuntos A 1, A 2,..., A n es una n-upla (a 1, a 2,..., a n ) donde a i a j para i j y a i A i para todo i = 1, 2,..., n. Teorema Los conjuntos A 1, A 2,..., A n tienen un SRD si y sólo si para todo k = 1, 2,..., n la unión de cualesquiera k conjuntos tiene al menos k elementos. Sean A 1, A 2,..., A n subconjuntos del conjunto {1, 2,..., n}. Observe que el número de maneras en que podemos elegir a un SRD coincide con la permanente de la (0, 1)-matriz H de tamaño n n donde la entrada (i, j) es igual a 1 si y sólo si i A j. H es llamada matriz de Hall asociada a los conjuntos A 1, A 2,..., A n. Dado un cuadrado latino de orden n, el número de formas distintas en que podemos llenar el primer renglón es n!. Supongamos que se tienen k renglones llenos del cuadrado latino. Para cada posición i del renglón k + 1 se define a A i como el conjunto de números que aún no se han usado en la i-ésima columna del cuadrado, de tal manera que A i = n k. El problema de llenar el renglón k + 1 del cuadrado latino es equivalente a encontrar un SRD de los conjuntos A 1, A 2,..., A n. De tal manera que el número de formas distintas en que se puede llenar el renglón k + 1 del cuadrado latino es la permanente de la matriz de Hall asociada a los conjuntos A 1, A 2,..., A n. Sea H la matriz de Hall asociada a los conjuntos A 1, A 2,..., A n. Como se mencionó la entrada (i, j) de H es igual a 1 si y sólo si i A j, sabemos que A i = n k para i = 1, 2,..., n por lo que la matriz H tiene n k 1 s en cada columna y n k 1 s en cada renglón ya que a cada elemento del conjunto {1, 2,..., n} esta en n k conjuntos A i. Entonces la matriz H = (n k) 1 H es una matriz doblemente estocástica. De tal manera que perh n! n n 1 n! perh (n k) n n n perh (n k)n n! n n. Esto sólo es el número de formas distintas en que se puede llenar el renglón k + 1 del cuadrado latino, entonces el número de formas distintas en que se pueden llenar los n renglones de un cuadrado

11 5 1.1 Número de Cuadrados Latinos latino es Por lo tanto n 1 k=0 (n k) n n! n n = nn n! (n 1) n n! (n 2) n n! n n n n n n 1n n! n n = n!n n n (n 1) n (n 2) n... 1 n n n2 = n!n (n(n 2)(n 2) 1) n n n2 = n!2n n n2. L(n) n!2n n n2 es una mejor cota inferior para el número de cuadrados latinos distintos de orden n. Por otra parte e n = 1 + n 1! + n2 2! + nr r! + > nr r! por lo que r! > e n n r, usando esta desigualdad en la primer cota inferior dada para L(n) obtenemos L(n) > n r=1 e n n r = e n2 n 1+2+ n, entonces se tiene lo siguiente L(n) > (e 2 n) n2 /2 Ahora usando la desigualdad n! > e n n n en la segunda cota inferior dada para L(n) se obtiene L(n) > (e 2 n) n Cotas Superiores para L(n) A continuación daremos la cota superior para el número de cuadrados latinos reducidos de orden n propuesta por Ronald Alter en 1975 (ver [14]). Sea l la siguiente matriz con el primer renglón y primera columna llenas n n Para l(2, 2) se tienen n 1 posibles valores a elegir, l(2, 3) tiene n 2 o n 3 posibles valores a elegir dependiendo del valor que se haya elegido para l(2, 2), de tal manera que l(2, 3) tiene a lo más

12 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 6 n 2 posibles valores a elegir. Ahora l(2, 3) tiene n 3 o n 4 posibles valores a elegir, entonces a lo más tiene n 3 posibles valores a elegir, siguiendo de forma similar podemos decir que el número de formas distintas en que se puede llenar el segundo renglón es de a lo más (n 1)!. l(3, 2) puede tomar n 2 o n 3 posibles valores dependiendo del valor que tenga l(2, 2), si l(2, 2) = 2 tiene n 2 valores a elegir y n 3 si no tiene, por lo que l(3, 2) tiene a lo más n 2 posibles valores a elegir. l(3, 3) tiene a lo más n 2 posibles valores. l(3, 4) tiene a lo más n 3 posibles valores a elegir y siguiendo este proceso se tiene que el número de formas distintas en que se puede llenar el tercer renglón es a lo más (n 2)(n 2)!. Siguiendo con un argumento similar para los demás renglones se puede concluir que l(n) n 1!((n 2)(n 2)!)(n 3) 2 (n 3)! ((n i + 1) i 2 (n i + 1)!) 2 n 3 2!1 n 2 1! l(n) n (n i + 1) i 2 (n 1)!(n 2)! 2!1!. i=2 Por lo tanto una cota superior para el número de cuadrados latinos LS(n) es L(n) n!(n 1)! n (n i + 1) i 2 (n 1)!(n 2)! 2!1!. En 1967 H. Minc conjeturó que si A es una (0, 1)-matriz, entonces i=2 pera n r i! 1 r i donde r i es la suma de los elementos del i-ésimo renglón de A. Esta conjetura fue probada en 1973 por L. M. Brégman (ver [15]). Ahora, tal como se hizo con la cota inferior, utilizaremos (*) para dar una cota superior para el número de cuadrados latinos. De manera similar como se construyó la cota inferior para el número de cuadrados latinos usando la cota inferior del permanente de una matriz utilizaremos ahora la cota superior del permanente de una matriz para dar una cota superior al número de cuadrados latinos. Sea H la (0, 1)-matriz asociada a los conjuntos A 1, A 2,..., A n. Sabemos que H tiene n k 1 s en cada renglón, de tal manera que r i = n k para todo i = 1, 2,..., n. Por lo tanto perh n r i! 1 1 r i = (n k)! n k entonces i=1 i=1 perh (n k)! n n k.

13 7 1.1 Número de Cuadrados Latinos De tal manera que el número de formas distintas en que podemos llenar el renglón k + 1 de un n cuadrado latino es a lo más (n k)! n k. Entonces n 1 L(n) (n k)! k=0 es una mejor superior para el número de cuadrados latinos de orden n. L(n) aumenta muy rápidamente y es realmente grande, incluso para n bastante pequeño, cabe señalar que el número de cuadrados latinos reducidos es conocido para n 10 (McKay and Rogoyski, 1995). n n k n l(n) las estimaciones de los cuadrados latinos reducidos de orden n = 11, 12, 13, 14, 15 son n l(n) Para n > 15 las cotas de L(n) se pueden calcular usando las mejores cotas dadas n 1 (n k)! k=0 n n k L(n) (n!) 2n n n2. Las estimaciones para el número de cuadrados latinos de orden n, para n = 2 k con k = 4, 5, 6, 7, 8 son L(16) L(32) L(64) L(128) L(256)

14 Capítulo 1. Cuadrados Latinos Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (M OLS) Una propiedad importante de los cuadrados latinos es la ortogonalidad, que surge cuando Euler en 1779 publica el problema que consiste en asignar a 36 oficiales de 6 diferentes rangos y 6 regimientos diferentes en un arreglo de tamaño 6 6 de manera que cada renglón y cada columna contenga a un oficial de cada regimen y uno de cada rango. Él conjeturó que tal arreglo era imposible. Definamos de forma más precisa, lo que Euler buscaba basándonos en [2]. Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) dos matrices de tamaño n n. La unión (A, B) es una matriz de tamaño n n donde la entrada (i, j) es el par (a ij, b ij ). Ejemplo Sean entonces o de manera equivalente. A = (A, B) =, B = (1, 1) (2, 3) (3, 2) (2, 3) (3, 2) (1, 1) (3, 2) (1, 1) (2, 3) (A, B) = Cabe mencionar, que a la matriz (A, B) Euler la llamó cuadrado Greco-latino, ya que usó letras latinas y griegas para definirla. Decimos que dos cuadrados latinos A y B de orden n son ortogonales si todas las entradas en la unión (A, B) son distintas. Si A y B son ortogonales B es llamado el compañero ortogonal de A. Los cuadrados latinos de orden 3 del ejemplo anterior no son ortogonales. Notemos que el decir que todas las entradas de (A, B) sean diferentes es equivalente a que todos los posibles pares ocurran exactamente una vez. Tenemos solo n 2 posibles pares. De tal manera que la condición de ortogonalidad puede ser expresada de la siguiente manera a ij = a IJ y b ij = b IJ = i = I y j = J De tal manera que el problema de Euler consistía en dar dos cuadrados latinos ortogonales de orden 6. Pero, él no sólo conjeturó que no existían tales cuadrados, sino que para además lo generalizó para cuadrados latinos de orden n 2 mod 4. En 1901, Gaston Tarry probó que no existían cuadrados latinos ortogonales de orden 6 construyéndolos exhaustivamente (9,408, considerando solo cuadrados latinos reducidos) agregando evidencia a la conjetura de Euler. Sin embargo, en 1959, Parker,

15 9 1.2 Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (M OLS) Bose y Shrikhande fueron capaces de construir un par de cuadrados latinos ortogonales de orden 10 y proporcionar una construcción para el resto de los valores, por supuesto a excepción de n = 2 y n = 6. La construcción de estos cuadrados la mostraremos más adelante. Cuando A 1,.., A r sea un conjunto de cuadrados latinos de orden n ortogonales dos a dos, diremos que son mutuamente ortogonales. En adelante usaremos la abreviación M OLS para referirnos a Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales. Denotaremos a N(n) como el valor mas grande r para el cual existen r MOLS de orden n, es decir, es el número máximo de MOLS de orden n. El siguiente teorema nos dice que para n siempre existe un par de cuadrados latinos ortogonales de orden n y su demostración nos da el método para construirlos. Teorema N(n) 2 para todo n impar. Demostración. Sean A y B dos matrices de tamaño n n cuyas entradas pertenecen al conjunto {1,.., n} definidas como Verifiquemos que A y B son cuadrados latinos. a ij (j i + 1) mod n y b ij (j + i 1) mod n. a ij = a ik = j i + 1 (k i + 1) mod n = j k mod n = j = k de manera que las entradas en el i-ésimo renglón de A son todas distintas. Análogamente a ij = a kj = j i + 1 (j k + 1) mod n = i k mod n = i = k, por lo que las entradas en la j-ésima columna de A son todas distintas. Entonces A es un cuadrado latino de orden n. De forma similar se verifica que B es un cuadrado latino de orden n. Falta mostrar que A y B son ortogonales. Supongamos que (a ij, b ij ) = (a IJ, b IJ ) a ij = a IJ y b ij = b IJ = j i + 1 (J I + 1) mod n y j + i 1 (J + I 1) mod n = j i (J I) mod n y j + i (J + I) mod n sumando las dos últimas congruencias obtenemos 2j 2J mod n y si las restamos obtenemos 2i 2I mod n como n es impar se tiene que j J mod n y i I mod n de tal manera que i = I y j = J. Ejemplo Los siguientes cuadrados latinos de orden 5 son ortogonales, dado que se construyeron mediante el método dado en la demostración del teorema anterior.

16 Capítulo 1. Cuadrados Latinos y Una transversal de un cuadrado latino de orden n es un conjunto de n posiciones donde cualquiera dos de ellas no están en el mismo renglón ni en la misma columna, conteniendo a los n símbolos del conjunto base exactamente una vez. El siguiente teorema nos da otra forma de saber cuando un cuadrado latino de orden n tiene un compañero ortogonal. Teorema Un cuadrado latino de orden n tiene un compañero ortogonal si y sólo si tiene n transversales disjuntas. Ejemplo Sea C un cuadrado latino de orden 3 C = Tiene 3 transversales disjuntas 1. (1, 3), (2, 2), (3, 1) 2. (1, 2), (2, 1), (3, 3) 3. (1, 1), (2, 3), (3, 2) De tal manera que C tiene un compañero ortogonal C, el cual construimos de la siguiente forma Sea (i, j) un elemento de la k-ésima transversal, entonces C (k, i) = j. De tal manera que. C = El siguiente lema nos da una cota superior para N(n). Lema Para n 2 se tiene que N(n) n 1.

17 Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (M OLS) Demostración. Supongamos que tenemos k MOLS de orden n con conjunto base {1, 2,..., n}. Podemos renombrar las entradas de cada uno de los cuadrados latinos de modo que el primer renglón de cada uno de ellos sea n. Consideremos las k entradas en la posición (2, 1), ninguna de ellas es 1, ya que 1 aparece en la posición (1, 1) y como sabemos, cada elemento del conjunto base aparece exactamente una vez en cada columna. Sea s el valor de la entrada (2, 1) en un cuadrado latino, la entrada (2, 1) de cualquier otro cuadrado latino no puede tener el valor s, ya que si lo tuviera el par (s, s) aparecería dos veces al superponer los cuadrados latinos, ya que en la posición (1, s) de ambos cuadrados se tiene el valor s, contradiciendo el hecho de ser ortogonales. Por lo que la entrada (2, 1) tiene a lo mas n 1 valores posibles. Por lo tanto k n 1. Llamaremos cuadrado latino estándar de orden n al cuadrado latino de orden n con conjunto base A = {a 1, a 2,..., a n } cuyo primer renglón es a 1 a 2 a 3 a n y al conjunto de n 1 MOLS de orden n Conjunto Completo. La cota superior para N(n) se alcanza cuando n es potencia de un primo, la demostración del siguiente teorema nos proporciona un método para construir Conjuntos Completos de M OLS de orden primo. Teorema Sea q potencia de un primo, entonces existen q-1 MOLS de orden q. Demostración. Dado que q es potencia de un primo, entonces existe GF (q) = {λ 1, λ 2,..., λ q 1, λ q = 0}. Sean A 1, A 2,..., A q 1 matrices de tamaño q q donde la entrada (i, j) de A k tendrá el valor λ i λ k + λ j, 1 k q 1 Primero verificamos que cada A k es un cuadrado latino. Si dos entradas en el i-ésimo renglón de A k son iguales λ i λ k + λ j = λ i λ k + λ J λ j = λ J j = J. Si dos entradas en la j-ésima columna de A k son iguales tenemos que λ i λ k + λ j = λ I λ k + λ j λ i λ k = λ I λ k λ i = λ I. Dado que λ k 0 entonces existe λ 1 k su inverso multiplicativo, de tal manera que λ i = λ I i = I. Falta probar que los cuadrados son mutuamente ortogonales. Sea k K, supongamos que λ i λ k + λ j = λ I λ k + λ J y λ i λ K + λ j = λ I λ K + λ J sumandolas obtenemos λ i (λ k λ K ) = λ I (λ k λ K ) dado que λ k λ K (λ k λ K ) 0 por lo cual λ i = λ I i = I. Sustituyendo λ i = λ I en la primera igualdad se tiene que λ j = λ J j = J.

18 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 12 Ejemplo usando GF (4) = {0, 1, x, x 2 } donde x 2 = x + 1 y mediante el método dado en la demostración anterior se construye el siguiente conjunto completo de cuadrados latinos de orden 4. Con λ 1 = 1, λ 2 = x, λ 3 = x 2, λ 4 = 0 obtenemos 0 x 2 x 1 x x x 1 0 x 2 1 x x 2 0, x x x 1 0 x 2 0 x 2 x 1 1 x x 2 0, x 1 0 x 2 0 x 2 x 1 x x 1 x x 2 0 Si se invierte el orden de las filas y reemplazando a 1, x, x 2, 0 por 1, 2, 3, 4 tenemos a los siguientes 3 MOLS de orden , , El siguiente teorema tiene un papel muy importante en el estudio de los MOLS. Teorema (Moore-MacNeish). N(mn) mín(n(m), N(n)). Demostración. Sean A (1),...,A (s) MOLS de orden m con conjunto base {0, 1,..., m 1} y sean B (1),...,B (s) s MOLS de orden n con conjunto base {0, 1,..., n 1}. Debemos construir s MOLS C (1),..., C (s) de orden mn con conjunto base {0, 1,..., mn 1}. Sea A es un cuadrado latino de orden m y B uno de orden n, se define el producto de A y B como B + a 11 nj B + a 12 nj B + a 1m nj C = A B =. B + a m1 nj B + a m2 nj B + a mm nj. Entonces C es una matriz de tamaño mn mn y como a ij toma valores de 1,..., m 1 y las entradas de B toman valores de 0,..., n 1 entonces las entradas de C toman valores de 0 hasta n 1 + n(m 1) = mn 1, mas aún C es un cuadrado latino. Consideremos cualquier renglón de C, los a ij toman valores de 0,..., m 1 exactamente una vez de igual manera para las entradas de B encontramos cada valor de 0,..., n 1 exactamente una vez, por lo que las entradas en los renglones de C son precisamente los posibles números de la forma an + b con 0 a m 1 y 0 b n 1, es decir, los números pueden tomar valores de 0 a mn 1. Un argumento similar se cumple para las columnas. Sea C (t) el producto de A (t) y B (t), 1 t s. Debemos mostrar que C (1),..., C (s) son MOLS de orden mn..

19 MOLS y Planos Proyectivos de orden n Supongamos que (C (r) ij, C(t) ij ) = (C(r) IJ, C(t) C (r) ij = C (r) IJ y C (t) ij = C (t) IJ (1). IJ ) Para encontrar C ij definimos a i y a j de la siguiente manera entonces C (r) ij = b (r) lh + na(r) kg. i = (k 1)n + l, 1 l n y j = (g 1)n + h, 1 h n De manera similar escribimos I = (K 1)n + L, J = (G 1)n + H entonces (1) se convierte en b (r) lh + na(r) kg = b(r) LH + na(r) KG b (t) lh + na(t) kg = b(t) LH + na(t) KG entonces cada entero tiene una representación única de la forma an + b, por lo que se sigue b (r) lh = b(r) LH b (t) lh = b(t) LH a (r) kg = a(r) KG a (t) kg = a(t) KG entonces B (r) y B (t) son ortogonales ya que l = L y h = H. De igual manera A (r) y A (t) son ortogonales ya que k = K y g = G finalmente i = I y j = J. Puesto que N(p α ) = p α 1 cuando p es primo obtenemos el siguiente resultado. Corolario Si n = p α pαr r, entonces N(n) (mín p α i i ) 1. Ejemplo Sea n = 12m + 7 entonces la potencia del primo más pequeño que posiblemente divide a n es 5, entonces N(n) 5 1 = 4. Notemos que si n es impar tenemos que para cada p α i i es por lo menos 3, entonces N(n) 2 y si n es múltiplo de 4 entonces cada P α i i es nuevamente por lo menos 3, por lo que N(n) MOLS y Planos Proyectivos de orden n En ésta sección mostraremos como un conjunto completo de MOLS es equivalente a un plano proyectivo. Con esta relación nos podemos dar cuenta que el determinar un conjunto completo de M OLS puede ser extremadamente difícil, ya que el mostrar la inexistencia de un plano proyectivo de orden 10 es un problema que hasta el momento no se a podido demostrar.

20 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 14 Sea S = {1,..., v}. Decimos que una colección D de subconjuntos distintos de S es llamada un (v, k, λ) diseño si 2 k < v, λ > 0 y Cada conjunto en D contiene exactamente k elementos. Cada subconjunto de 2 elementos de S esta contenido en exactamente λ de los subconjuntos de D. Los conjuntos de D son llamados bloques y el número de bloques de D es denotado por b. Decimos que un diseño es simétrico cuando b = v. Un Plano Proyectivos de orden n es un (n 2 + n + 1, n + 1, 1) diseño simétrico. Se sabe que para toda potencia de un número primo q, existe un plano proyectivo de orden q. El siguiente teorema relaciona al conjunto completo de M OLS con los planos proyectivos. Teorema Un conjunto completo de n-1 MOLS de orden n existe si y sólo si existe un plano proyectivo finito de orden n. Demostración. Sea {L 1, L 2,..., L n 1 } el conjunto de n 1 MOLS de orden n. Definimos el siguiente arreglo de tamaño (n + 1) n n n n n n n n renglón 1 en L 1 renglón 2 en L 1 renglón n en L 1 renglón 1 en L 2 renglón 2 en L 2 renglón n en L 2. renglón 1 en L n 1 renglón 2 en L n 1 renglón n en L n 1. Este arreglo tiene las siguientes propiedades de ortogonalidad Tomando cualesquiera dos renglones, los n 2 pares verticales posibles ( 1 1), ( 1 2),..., ( 1 n) aparecen exactamente una vez. El primer y segundo renglón por definición satisfacen la propiedad. Si i 2 < j comparando el i-ésimo y el j-ésimo renglón tenemos los n 2 pares verticales posibles, ya que si i = 1 implicaría que el j-ésimo cuadrado latino tiene a un elemento del conjunto base mas de una vez en un renglón y si i = 2 implicaría que el j-ésimo cuadrado latino tiene más de una vez aun elemento del conjunto base en una de sus columnas, pero esto no es posible por definición de cuadrado latino. Si i, j 3 ambos renglones provienen de un cuadrado latino, por lo que satisfacen la propiedad por la ortogonalidad de los cuadrados. Etiquetamos las columna del arreglo por 1, 2,..., n 2. Cada uno de los n + 1 renglones nos da n bloques que definimos de la siguiente manera: para i = 1,..., n tomo como bloque al conjunto de etiquetas de las columnas donde el renglón toma el valor i. Estos n(n + 1) = n 2 + n bloques forman un (n 2, n, 1) diseño. Falta demostrar que λ = 1, es decir que cualesquiera par de elementos del conjunto {1, 2,..., n 2 } no puede estar en más de 1 bloque. Esto es equivalente a probar que toda pareja posible esta en

21 Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS) el arreglo, en total el arreglo debe tener ( ) n 2 2 = n 2 (n 2 1) 2. Los bloques juntos forman n(n + 1) ( n 2) = n(n+1)n(n 1) 2 = n2 (n 2 1) 2. Por lo tanto toda pareja esta. Sea D un (n 2, n, 1) diseño con clases paralelas D 1, D 2,..., D n+1. Podemos (por renombramiento del conjunto base) suponer que las primeras dos clases paralelas son representadas por los dos primeros renglones del arreglo anterior y escribiendo las otras n 1 clases paralelas como los últimos n 1 renglones. Dado que los renglones se originan de un diseño con λ = 1, el arreglo tiene la propiedad de ortogonalidad. Entonces interpretando los últimos n 1 renglones como matrices de tamaño n n nos dan n 1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS) La importancia de esta sección y las siguientes es que son parte importante del trabajo desarrollado por Bose, Shrikhande y Parker que prueba la existencia de dos MOLS de orden n para n 2, 6, hasta el momento sabemos que N(n) 2 para n impar, para n 2 se tiene que N(n) n 1 y que para n potencia de un primo N(n) = n 1. Ahora, presentamos un nuevo tipo de cuadrados latinos, los cuadrados latinos auto-ortogonales. Un cuadrado latino de orden n es auto-ortogonal si es ortogonal a su transpuesto y lo denotaremos como SOLS(n). Ejemplo El siguiente cuadrado latinos de orden 4 es auto-ortogonal entonces (A, A t ) es como podemos observar, en la unión se encuentran todas las parejas posibles. Los siguientes resultados nos dicen para que orden n un SOLS(n) existe. Teorema (Mendelshn, 1971). Un SOLS existe cuando (n, 6) = 1. Demostración. Definimos una matriz A cuadrada de tamaño n n, A = (a ij ) donde

22 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 16 a ij = 2i j( mod n), 1 a ij n Primero verifiquemos que A es un cuadrado latino. Sea Ahora sea a ij = a ik 2i j 2i k( mod n) j k( mod n) j = k. a ij = a kj 2i j (2k j) mod n 2i 2k mod n i = k. Por lo tanto A es un cuadrado latino. Ahora verifiquemos que A y A t son ortogonales. Sea A t = (a t ij ) = (a ji). Supongamos que a ij = a kl y a t ij = at kl, es decir a ij = a kl y a ji = a lk entonces 2i j (2k l) mod n (1) 2j i (2l k) mod n. Sumandolas obtenemos i + j (k + l) mod n de la congruencia anterior tenemos

23 Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS) Sustituyendo i en (1) entonces (n, 3) = 1, además Por lo tanto A y A t son ortogonales. i (k + l j) mod n. 2(k + l j) (2k l) mod n 2k + 2l 2j j (2k l) mod n 3j 3l mod n j l mod n j = l y k = i Ejemplo Los siguientes SOLS de orden 5 y 7 son obtenidos de la construcción dada en la demostración del teorema anterior Teorema (Mendelsohn, 1971). Si n es potencia de primos, n 2, 3 entonces un SOLS(n) existe.. Demostración. Se construirá un SOLS(n) con los elementos de GF (n) = {c 1 = 0, c 2,..., c n }) como entradas. Eligiendo λ GF (n) tal que λ 0, λ 1, 2λ 1 definimos una matriz A = (a ij ) de tamaño n n donde a ij = λc i + (1 λ)c j. Es fácil verificar que A es un cuadrado latino de orden n. Entonces mostremos que A es autoortogonal. Sea a ij = a kl y a t ij = at kl

24 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 18 λc i + (1 λ)c j = λc k + (1 λ)c l y λc j + (1 λ)c i = λc l + (1 λ)c k. Sumando las dos ecuaciones anteriores obtenemos c i + c j = c k + c l despejando a c i y sustituyéndola en la primera ecuación nos queda λ(c k + c l c j ) + (1 λ)c j = λc k + (1 λ)c l, es decir, (1 2λ)c j = (1 2λ)c l Además c j = c l 2λ 1. j = l y i = k. Estos resultados garantizan la existencia de SOLS de orden n=4,8,16,.... y n=9,27,81,.... En 1973 Brayton, Coppersmith y Hoffman probaron el siguiente resultado. Teorema Si n 2, 3, 6, un SOLS(n) existe SOLS y Torneo Doble Mixto En esta subsección mostramos la relación que existe entre los SOLS y cierto tipo de torneos. Un torneo SAM DRR(n) (spouse-avoiding mixed doubles round robin) es un torneo doble mixto donde participan n matrimonios, en cada juego participan dos equipos, donde cada equipo consta de dos jugadores de sexo opuesto. Los partidos son tales que cada dos jugadores del mismo sexo juegan entre sí exactamente una vez y cada jugador con cada miembro del sexo opuesto (que no sea su cónyuge) exactamente una vez como compañero y una vez como oponente. En 1917 Dudeney dio el siguiente ejemplo resoluble para n=4, donde los matrimonios son (H i, M i ) para 1 i 4.

25 Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS) Ejemplo es un SAMDRR(4). H 1 M 3 vs H 2 M 4 H 3 M 1 vs H 4 M 2 H 1 M 4 vs H 3 M 2 H 4 M 1 vs H 2 M 3 H 1 M 2 vs H 4 M 3 H 2 M 1 vs H 3 M 4 Como observamos el torneo puede jugarse en 3 rondas. Antes de mostrar la relación entre los SOLS y SAMDRR necesitamos dar la siguiente propiedad de los SOLS. Lema Sea A un SOLS(n), entonces su diagonal principal es una transversal. Demostración. A t tiene la misma diagonal que A. Si a ii = a jj = k entonces el par (k, k) aparecería dos veces en la union de A con A t, contradiciendo la propiedad de ortogonalidad. Por lo tanto la diagonal principal de A es una transversal. Ahora, el siguiente teorema nos da la relación que existe entre los SOLS(n) con los SAMDRR(n). Teorema Un SAMDRR(n) existe si y sólo si un SOLS(n) existe. Demostración. Supongamos que un SAM DRR(n) existe. Denotamos a los matrimonios como (H i, M i ) para 1 i n. Entonces definimos a A una matriz de tamaño n n como sigue a ii = i y a ij = l, donde M l es el compañero de H i cuando H i y H j juegan con i j. Dado que las asociaciones no se repiten, podemos concluir que A es un cuadrado latino. Ahora verifiquemos que A y A t son ortogonales. Supongamos que a ij = a IJ y a ji = a JI. Si a ij = l y a ji = m se tienen los siguientes juegos H i M l vs H j M m y H I M l vs H J M m pero como sabemos, jugadores del mismo sexo juegan entre sí exactamente una vez, por lo que i = I y j = J. De tal manera que A es un SOLS(n). Ahora, sea A un SOLS(n) donde las entradas de A pueden ser renombradas de la siguiente forma a ii = i para todo i y si a ij = l y a ji = m, de tal manera que los juegos se definen como H i M l vs H j M m.

26 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 20 Ejemplo Sea A = dice la demostración del teorema anterior obtenemos A = SOLS(4) nos da un SAMDRR(4) con las siguientes rondas un SOLS(4), renombrando las entradas como nos de tal manera que este H 1 M 4 vs H 2 M 3 H 1 M 2 vs H 3 M 4 H 1 M 3 vs H 4 M 2. H 2 M 4 vs H 3 M 1 H 2 M 1 vs H 4 M 3 H 3 M 2 vs H 4 M 1 Ahora veremos como algunos teoremas que se estudiaron para los M OLS se satisfacen también para los SOLS. Teorema Si existe un SOLS(m) y un SOLS(n), entonces existe un SOLS(mn) Demostración. Sean A y B SOLS de orden m y n con conjuntos base {0, 1,..., m 1} y {0, 1,..., n 1} respectivamente. Entonces los productos A B y A t B t como se definieron en la prueba del teorema de Moore-MacNeish son MOLS de orden mn. Verificando que (A B) t = A t B t se tiene que A B es auto-ortogonal. De los Teoremas y se sigue el siguiente resultado. Corolario Si n = 2 α 3 β 5 r..., donde α 1 y β 1, entonces existe un SOLS(n). El siguiente resultado relaciona a los diseños balanceados con los SOLS. Teorema Supongamos que un P BD(v, k, 1) existe y que para cada k K un SOLS(k) existe. Entonces un SOLS(v) existe. Demostración. Para cada k, reemplazamos cada bloque de tamaño k por un SAM DRR(k) sobre sus elementos. La union de estos torneos es un SAMDRR(v), entonces por el teorema un SOLS(v) existe. De los teoremas y se sigue el siguiente resultado. Teorema Para cada k 1, un SOLS(4k) existe.

27 Arreglos Ortogonales Ejemplo El siguiente cuadrado es un SOLS(12) El siguiente SOLS de orden 14 nos permite afirmar que N(14) 2. Ejemplo Arreglos Ortogonales En esta sección mostramos la relación que existe entre los MOLS y los arreglos ortogonales que nos permitirá mostrar algunos resultados importantes para N(n). Los arreglos ortogonales son una forma alternativa de representar a un conjunto de M OLS. Ejemplo Tenemos el siguiente arreglo ortogonal

28 Capítulo 1. Cuadrados Latinos los primeros dos renglones determinan las posiciones de los elementos de los cuadrados, es decir, el primero nos indica el renglón y el segundo la columna. El tercero y cuarto renglón son los valores de los cuadrados latinos en la posición que nos indican los primeros dos renglones. De tal manera que el arreglo nos representa a un conjunto de 2 cuadrados latinos de orden 3. Un arreglo ortogonal sobre un alfabeto de n símbolos es una matriz de tamaño s n 2 en donde al elegir cualesquiera dos renglones podemos encontrar a todos los pares verticales posibles exactamente una vez. A este tipo de arreglo lo denotaremos como OA(s, n). Con los arreglos ortogonales se pueden establecer algunas cotas para N(n). Teorema Un OA(s, n) existe si y sólo si N(n) s 2. Demostración. Sean M 1, M 2,..., M s 2 MOLS de orden n, construimos una matriz de tamaño s n 2 donde sus primeros dos renglones sean y el i-ésimo renglón del arreglo es ( n n... n n n n ) ( Mi 2 (1, 1) M i 2 (1, 2)... M i 2 (1, n) M i 2 (2, 1)... M i 2 (2, n)... M i 2 (n, 1)... M i 2 (n, n) ) para 2 < i s. Falta verificar que este arreglo es ortogonal. Si i 1. El renglón 1 y el renglón i + 2 tienen cada par ordenado exactamente una vez entonces cada renglón del i-ésimo cuadrado contiene a cada elemento exactamente una vez. De manera similar para los renglones 2 y el i + 2. Para los renglones i + 2 y j + 2 por la ortogonalidad de los cuadrados i y j encontramos a todos los pares verticales posibles exactamente una vez. De tal manera que el arreglo definido es ortogonal. Inversamente, sea un OA(s, n). Reordenando las columnas de tal manera que los primeros dos renglones queden de la siguiente manera ( n n... n n n )

29 Arreglos Ortogonales Entonces los cuadrados M k con 1 k s 2 definidos por tomar como valor para M k (i, j) la entrada en el renglón k + 2 sobre la columna que contiene en sus dos primeros renglones el par ( ) i j son ortogonales. Ejemplo El siguiente OA(5, 4) corresponde a 3 MOLS de orden Teorema Si N(m) 2, entonces N(3m + 1) 2. Demostración. Consideremos el siguiente arreglo A 0 de tamaño 4 4m m 2m... m + 1 x 1... x m m x 1... x m 2m... m + 1 2m 2m 1... m + 1 x 1... x m m x 1 x 2... x m 2m... m m En el arreglo los x i son m símbolos distintos de 0,..., 2m. Sea A i el arreglo obtenido de A 0 por sumar i a cada entrada numérica ( mód 2m+1) y dejando a cada x i sin cambios. Dado que N(m) 2, existe un OA(4, m) sobre x 1,..., x m que denotaremos como A y si también podemos afirmar que el arreglo E = m m m m D = [EA 0 A 1... A 2m A ] es un AO(4, 3m + 1). Ciertamente, el número de columnas es 2m (2m + 1)4m + m 2 = 9m 2 +6m+1 = (3m+1) 2. Para cualquier par de filas, el par ordenado (x i, n) aparecerá exactamente una vez para cada i y cada n, al igual que el par (n, x i ) y los arreglos E y A tienen a cada par ordenado de la forma (n, n) o (x i, x i ) exactamente una vez. Queda por demostrar que si 0 u 2m y 0 v 2m, u v el par (u, v) aparece exactamente una vez. Sin perdida de generalidad consideremos el segundo y tercer renglón de A 0. La diferencia entre números correspondientes en esos dos renglones son 2m 1, 2m 3,..., 3, 1 y sus negativos mód (2m + 1), es decir, también.

30 Capítulo 1. Cuadrados Latinos 24 están 0, 2, 4,..., 2m exactamente una vez. Al tener todas las diferencias posibles podemos concluir que están todas las (u, v) exactamente una vez. Un argumento similar se satisface para cualquier par de renglones. Corolario N(12t + 10) 2 para todo entero t Demostración. Sea m = 4t + 3, sustituyendo m en el teorema anterior tenemos que N(3(4t + 3) + 1) 2 N(12t + 10) 2 Teorema Si existe un OA(n 1, s) y un OA(n 2, s) entonces existe un OA(n 1 n 2, s) Demostración. Sea un OA(n 1, s) la matriz A = (a ij ) con i = 1,..., s y j = 1,..., n 2 1 y un OA(n 2, s) la matriz B = (b ij ) con i = 1,..., s y j = 1,..., n 2 2. Con A y B formemos la matriz D = (d ij ) con i = 1,..., s y j = 1,..., n 2 1 n2 2. Reemplazando a ij de A por el vector renglón (b i1 + m ij, b i2 + m ij,..., b in m ij ) donde m ij = (a ij 1)n 2 para todo i, j. Sabemos que a ij toma valores de 1 hasta n 1 y b ij toma valores de 1 hasta n 2, entonces b it +m ij = b it + (a ij 1)n 2 toma valores desde 1 hasta n 1 n 2. Consideremos los renglones h e i de D y sean u, v cualesquiera dos números de 1, 2,..., n 1 n 2, de tal manera que podemos escribir a u = u 1 + (u 2 1)n 2 y a v = v 1 + (v 2 1)n 2 con 1 u 1, v 1 n 2 y 1 u 2, v 2 n 1. En A vamos a determinar a j como una columna en donde a ht = u 2, a ij = v 2 y en B vamos a determinar a t como una columna en donde b ht = u 1, b it = v 1. Entonces en D, en la columna g = t + n 2 2 (j 1) tenemos y d hg = b ht + (a hj 1)n 2 = u 1 + (u 2 1)n 2 = u d ig = b it + (a ij 1)n 2 = v 1 + (v 2 1)n 2 = v. Por lo cual los renglones h e i de D son ortogonales y como fueron elegidos de manera arbitraria podemos concluir que D es un arreglo ortogonal.

31 Arreglos Ortogonales Corolario Si n = p e 1 1 pe 2 2 per r es la factorización del entero n en potencias de los primos distintos p 1,..., p r, entonces existen al menos N(n) MOLS de orden n, donde N(n) mín(p e i i 1) con i = 1,..., r. Demostración. Dado que para n = p e i i, i = 1,..., r hay un OA(n i, n i + 1) para i = 1,..., r. Si tomamos a s como el mínimo de todos los n i + 1, existe un OA(n i, s). Si aplicamos repetidas veces el teorema anterior, entonces existe un OA(n, s) y así podemos decir que s 2 = min(n i 1) MOLS de orden n 2. El siguiente ejemplo es el cuadrado greco-latino dado por Parker(1959) que muestra que N(10) Ejemplo El siguiente cuadrado latinos de orden 10 fue dado por Hedayat (1973) que satisface la propiedad de ser auto-ortogonal, dando así una prueba independiente de que N(10) 2. Ejemplo

32 Capítulo 1. Cuadrados Latinos Colapso de la conjetura de Euler Usando los diseños balanceados Parker mostró que N(21) 4. Un diseño balanceado P BD (v, K, λ) es una colección de subconjuntos (bloques) de un conjunto S de cardinalidad v tal que 1. El tamaño de cada bloque esta en K y es menor que v. 2. Cada par de elementos de S aparecen juntos en exactamente λ de los bloques. Lema Si existe un P BD (v, K, λ) con b i bloques de tamaño k i para cada k i K, entonces. λv(v 1) = b i k i (k i 1) Demostración. Hay ( ) v 2 = 1 2v(v 1) parejas de elementos, cada pareja aparece λ veces, dando 1 2 λv(v 1) parejas en el total de bloques. Por otra parte, cada bloque de tamaño k i, contiene ( ki ) 2 = 1 2 k i(k 1 1) parejas, de tal manera que el número total de parejas en los bloques es por lo tanto i 1 2 b ik i (k i 1). Por lo tanto λv(v 1) = i b i k i (k i 1) El siguiente teorema relaciona a los diseños balanceados con los cuadrados latinos. Teorema Si un P BD (v, K, 1) existe, entonces N(v) mín k K N(k) 1 Demostración. Sea q = mín k K N(k), entonces para cada k K existen q MOLS de orden k y por lo tanto un OA(q +2, k) sobre {1,..., k}. Sin perdida de generalidad supongamos que el primer renglón del OA(q + 2, k) es kk... k y que cualquier otro renglón comienza con k. Quitamos el primer renglón y las primeras k columnas de cada arreglo para obtener los arreglos D k con q + 1 renglones y k(k 1) columnas en el que las parejas verticales en cualesquiera dos renglones son precisamente todos los pares ordenados de elementos distintos de {1,..., k}. Sean los bloques del P BD B 1,..., B b. Para cada B, reemplazamos cada entrada i en D B por el i-ésimo elemento de B y denotamos al arreglo resultante por E B. Ordenamos a todos los E B s en un renglón y lo añadimos al arreglo

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