INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

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1 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es} Departameto de Ecoomía Aplcada I, Uversdad de Sevlla INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 1 Se puede afrmar que el prmer estudo sstemátco del valor esperado se debe a Huyges (e su obra Lbellus de Ratots Ludo Aleae, de 1657), que calcula el valor justo de u juego a partr de ua respuesta obva e certas stuacoes smétrcas, y geeralzado el valor esperado obtedo a cualquer stuacó. Comeza supoedo que: S se espera gaar a o b, cualquera de los dos co gual probabldad, etoces la a+ b, es decr, la semsuma de a y b. Geeralzado este expectatva vale ( ) 2 razoameto a posbles resultados a 1,, a coduce a u valor esperado gual a( + + ) a a. 1, teedo todos la msma probabldad, Posterormete, Huyges cosdera el caso e que las posbles gaacas so a y b, pero co probabldades dsttas. Supoe que hay p oportudades de gaar a, y q oportudades de gaar b. Por tato, geeralzado de las proposcoes aterores, cosderado u juego equvalete e el que cada uo de los p+ q resultados ocurre co la msma probabldad, pero e p de ellos se obtee ua gaaca a y e los q restates ua gaaca b, el valor esperado será gual a p q a + b p + q p+ q E deftva, se utlzaba ua dea smlar a la acepcó vulgar del térmo esperaza. S se cosulta el Dccoaro de la Real Academa, se ecuetra la sguete acepcó: estado del ámo e el cual se os preseta como posble lo que deseamos. De hecho, calmete se cofudía la esperaza del juego co su resultado postvo, llegado Laplace (1814), al cosderar el caso de pérdda, a deomar a esta stuacó egatva esperada temor. 1 de Peter Doyle, de la U. Darthmouth

2 E este setdo la sguó utlzado Jacob Beroull (1713) para dcar la stuacó de u jugador que deseaba gaar el juego e el que partcpaba. Su razoameto, al cotraro que el de Huyges, utlza la ocó de frecueca, y o se basaba e la smetría de la stuacó. Razoó de la sguete maera: e ua baza cocreta el resultado era certo pero, basádose e la expereca de pasadas partdas, se podía asgar ua valoracó a pror de los porcetajes de veces e que se gaaba o se perdía. Estas proporcoes posterormete fuero asmlados a probabldades (ocó clásca o frecuecalsta de la probabldad). El valor esperado del juego sería así gaaca (proporcó de veces que gaa) - pérdda (proporcó de veces que perde) Por últmo, la aplcacó del efoque frecuecalsta de la probabldad llevó, para el caso geeral de u juego que presetara más de dos posbles resultados, a la expresó ( = x ) x P X que sería el valor esperado del juego s se jugara u úmero fto de veces. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE ESPERANZA MATEMÁTICA EN EL CASO DISCRETO Comecemos cosderado u juego e el que, s se gaa, se obtee a udades moetaras y, s se perde, se tee que aboar b udades moetaras. Supogamos ahora que la probabldad de gaar el juego es gual a 1, y por tato la probabldad de perderlo es gual a 0. Cuáto estaríamos dspuestos a apostar por partcpar e este juego? Estaríamos dspuestos a apostar, como mucho, ua catdad gual a la que esperamos gaar. Esta catdad que estamos dspuestos a apostar será el valor esperado del juego. E este caso, lógcamete, como mucho apostaríamos a udades moetaras ya que, co probabldad 1, uestra gaaca es gual a esa catdad. Qué ocurre s la probabldad de gaar el juego es ula? Etoces, lógcamete, sólo partcparíamos s os dera ua catdad gual a la que esperamos perder. Es decr, que la catdad que estamos dspuestos a apostar es b. Qué ocurre e las stuacoes termedas, e las que la probabldad de gaar es gual a p y la de perder gual a q= 1 p. Como el apostate o cooce estas probabldades, va a observar lo que ocurre e partdas ates de tomar ua decsó. Cosderemos el caso más secllo e que, s gaa, obtee 1 udad moetara y, s perde, obtee 0 udades moetara (como se muestra e la tabla feror).

3 partda gaaca Dode g es el úmero de veces que se gaa. S µ es la catdad que se está dspuesto a apostar para jugar ua partda, la catdad total apostada e las partdas gualaría a la gaaca total obteda. Por tato, g µ = g µ = de dode el valor esperado guala la proporcó de veces que se gaa. g Cosderemos ahora que, s se perde, se tee que dar ua udad moetara. Por tato, la stuacó ahora sería la mostrada e la tabla feror. partda gaaca pérdda Geeralzado la stuacó ateror, ahora se tee que g µ = g p µ = de dode el valor esperado es el porcetaje de veces que se gaa meos el porcetaje de veces que se perde. p g p Cosderemos ahora el caso geeral e que, s se gaa, se obtee a udades moetaras y, s se perde, se tee que dar b udades moetaras. Etoces la stuacó sería la mostrada e la tabla de la derecha y, por tato, se tee que g p µ = a g + ( b) p µ = a + ( b) de dode el valor esperado del juego sería la partda gaaca pérdda 1 a 0 2 a b... a b a g b p

4 suma de la gaaca multplcada por el porcetaje de veces que se gaa más la pérdda multplcada por el úmero de veces que se perde. Aplcado la ocó frecuecalsta de la probabldad, y cosderado k posbles valores e el juego, se obtee que k = 1 ( ) µ= x P X = x Así, llegamos a la defcó de valor esperado o esperaza matemátca de ua varable aleatora. DEFINICIÓN 1 Sea X ua varable aleatora dscreta que toma los valores ( ) {,,,, } X x1 x2 x Ω = y cuya fucó de probabldad es f X. Etoces se defe la esperaza matemátca de X o valor esperado de X como ( ) = ( ) = ( = ) E X x f x x P X x X = 1 = 1 OBSERVACIÓN E la práctca es teresate resaltar que el valor esperado de ua varable aleatora o cocde, e geeral, co u valor posble de la msma. Por tato, podría decrse que la expresó valor esperado resulta, cuato meos, egañosa ya que o proporcoa u valor que realmete podamos esperar que toma la varable. E cuato al calfcatvo de esperado, se puede afrmar, por ejemplo que la esperaza matemátca de u juego proporcoa el valor que se espera obteer del msmo? La respuesta a esta preguta tee que ver co la exposcó realzada e la troduccó hstórca: sguedo co el ejemplo de los juegos de azar, el valor esperado del juego proporcoa el valor del juego para u fto úmero de partdas. Por este motvo la mayoría de los juegos de caso o de azar so, por defcó, justos ya que la catdad apostada supera la gaaca esperada e la práctca, mpuesta por lmtacoes de tempo y dero: gú jugador dspoe de ua catdad fta para apostar, de tempo para jugar ftas partdas. Por eso, auque se defa el valor esperado, el resultado es u valor de la varable, es esperado. E este setdo es teresate cosderar que, auque e teoría puede exstr u úmero fto de sumados, e stuacoes práctcas este úmero fto o tee setdo. Para compreder mejor esta cuestó es útl aalzar la paradoja de Sa Petersburgo.

5 PARADOJA DE SAN PETERSBURGO El problema fue plateado por N. Beroull e 1713, y publcado posterormete por su sobro D. Beroull e las Trasactos de la Academa de Sa Petersburgo, Rusa. El eucado orgal de la paradoja puedes ecotrarlo e y ua explcacó más actual del msmo e E este trabajo se preseta a cotuacó u eucado alteratvo propuesto por Atoo Vaamode Lste, de la Uversdad de Vgo, e la pága web Clara egoca co su hermaa Cruz el reparto de los trabajos doméstcos, que hasta hoy realzaba turádose cada día, y le propoe u juego: Yo haré todos los trabajos de casa durate dos semaas, y a cambo, tú los harás ates u úmero de días aleatoro depededo de la suerte que tegas: Lazaremos ua moeda tatas veces como sea ecesaro hasta que salga cara. S sale cara la prmera vez, harás los trabajos, a cambo de ms dos semaas, u solo día. S sale a la seguda, 2 días; s o sale hasta la tercera, 4 días; a la cuarta 8, y así sucesvamete. Repetremos este procedmeto de reparto todas las veces de ahora e adelate Qué te parece? Cruz pesa que el trato parece vetajoso para ella, pero sabe també que su hermaa tee más coocmetos de Estadístca, y o acaba de decdrse. Puedes ayudarla? De acuerdo co el aálss de Beroull, el juego o puede ser justo, teedo sempre vetaja el que apuesta ua catdad fja, sea cual sea ésta. El razoameto es el sguete: La probabldad, supoedo que la moeda o está trucada, que salga cara e el prmer lazameto es 1 2. E este caso Cruz esperará trabajar medo día (el resultado del producto de 1 por 1 2). Pero puede ocurrr que la cara salga e el segudo lazameto (la probabldad de este suceso es gual a 1 4) de maera que, e este caso, Cruz esperará, de uevo, trabajar medo día (el resultado de multplcar 2 por 1 4). Las probabldades sucesvas so 1 8,1 16,1 32,, obteédose cada ua como el producto de la ateror por 1 2. E cada caso, el úmero de días que se espera trabajar es sempre gual a 0'5. Dado que, teórcamete, la sucesó es fta, el úmero de días que Cruz espera trabajar será també fto a cambo de las dos semaas de la hermaa. Por tato, tal como está plateada la stuacó, y de acuerdo al aálss clásco, Clara sale muy beefcada sea cual sea el tempo que ella propoga trabajar. S embargo, Cruz puede pesar que el tempo a lo largo del cual se va a dvdr las tareas doméstcas o es fto so que depederá del tempo e que ambas hermaas covva. Supoe que va a covvr durate dez años más. Smplfcado, vamos a supoer que el tempo máxmo que le puede correspoder para realzar las tareas doméstcas so 4096 días. Aalcemos la stuacó medate la sguete tabla:

6 úmero de lazametos para obteer la prmera cara días de trabajo probabldad días esperados de trabajo 1 1 1/ / / / / / / / / / / / / Segú esta hpótess, el úmero de días que Cruz espera trabajar vee dado por la suma: = 0'5+ 0'5+ 0'5+ + 0'5+ 0'5+ 1= 7 das Por tato, a cambo de trabajar 7 días recbe las dos semaas de trabajo propuestas por su hermaa Clara. E cosguete, sale claramete beefcada e el trato.