Funciones exponenciales y logarítmicas

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1 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 363 Funciones eponenciales y logarímicas INTRODUCCIÓN En esa unidad se esudian dos funciones que se aplican a numerosas siuaciones coidianas y, sobre odo, a fenómenos de la Física, la Biología o la Economía. A los alumnos les cuesa diferenciar las funciones poenciales de las funciones eponenciales e, incluso, de las funciones logarímicas, por lo que habrá dedicar el iempo necesario a rabajar ese aspeco. Como aplicación de las funciones eponenciales se esudia el inerés compueso. RESUMEN DE LA UNIDAD Funciones eponenciales: f () = a, f () = a + b y f () = a (+b). Inerés compueso. Cálculo del logarimo de un número. Propiedades de los logarimos. Función logarímica: y = log a. Relaciones enre las funciones inversas: eponencial y logarímica. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Reconocer funciones eponenciales. Definición de la función f () = a. Gráficas y caracerísicas de las funciones: f () = a + b y f () = a +b. Esudio de las caracerísicas de la función f () = a, si a > o a <. Consrucción de ablas de valores y las gráficas de: f ()= a + b y f () = a +b. Aplicar funciones eponenciales al inerés compueso. 3. Calcular logarimos y uilizar sus propiedades.. Reconocer funciones logarímicas. Definición de la función capial final para el inerés compueso. Definición del logarimo de b en base a. Propiedades de los logarimos. Propiedades de la función f () = log a. Cálculo del capial final: r Cf = C + 00 Obención de logarimos aplicando la definición. Cálculo de logarimos aplicando las propiedades. Represenación de la función f () = log a. ADAPTACIÓN CURRICULAR 5. Relacionar funciones eponenciales y logarímicas. Comparación de las funciones inversas: f () = a y f () = log a. Comparación de las gráficas de las funciones: f () = a y f () = log a. MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 363

2 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 36 OBJETIVO RECONOCER FUNCIONES EPONENCIALES NOMBRE: CURSO: FECHA: Una función eponencial es una función de la forma f() = a o y = a, donde a es un número real posiivo (a > 0) y disino de (a 0). La función eponencial f() = a verifica que: f(0) = a 0 =, y un puno de su gráfica es (0, ). f() = a = a, y un puno de su gráfica es (, a). La función es creciene si a >. La función es decreciene si a <. Represena las siguienes funciones eponenciales. a) y = b) y = Realizamos una abla de valores, uilizando la calculadora, por ejemplo: = : = y = 0,5 = : = y ± = a) ,065 0,5 0,5 0,5 8 6 b) ,5 0,5 0,5 0,065 Represenamos las funciones sobre los ejes de coordenadas: a) b) y = y = Realiza una abla de valores y represena las funciones eponenciales. a) y = y = y = b) y = 0 36 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 365 Las funciones y = a + b son de ipo eponencial. Su gráfica se obiene rasladando la gráfica de y = a en b unidades hacia arriba si b es posiivo, y en b unidades hacia abajo si es negaivo. Las funciones y = a + b son ambién de ipo eponencial. Su gráfica se obiene rasladando la gráfica de y = a en b unidades hacia la izquierda si b es posiivo, y en b unidades hacia la derecha si es negaivo. Represena, en los mismos ejes que y =, las funciones eponenciales. a) y = + 3 b) y = 3 c) y = + 3 d) y = 3 Realizamos la siguiene abla de valores: y = 0,5 0,5 0,5 8 y = y = 3 0,0565 0,035 0,065 0,5 0,5 0,5 y = + 3 3,5 3,5 3,5 5 7 y = 3,875,75,5 5 Represenamos las funciones sobre los ejes de coordenadas: y = + 3 y = + 3 y = y = y = 3 y = 3 Represena, en los mismos ejes que y =,5, las funciones eponenciales. a) y =,5 + b) y =,5 c) y =,5 + d) y =, y =,5 y =,5 + y =,5 y =,5 + y =,5 ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 365

4 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 366 OBJETIVO APLICAR FUNCIONES EPONENCIALES AL INTERÉS COMPUESTO NOMBRE: CURSO: FECHA: El capial final C f, obenido al inverir un capial C a un rédio r, durane un iempo, a inerés compueso r es: Cf = C El capial que obenemos al cabo de =,, 3,, 7 y 0 años al inverir un capial de C =.500, a inerés compueso, a un rédio r del %, se calcula mediane la fórmula: C f r = C + = =. 500, 0 Podemos considerar la fórmula como una función eponencial. Al represenarla se observa la evolución del capial inverido. El capial inicial es el puno de core de la gráfica con el eje. C f =.500, , ,8.63, , ,9 Para calcular cuáno se iempo ardará en conseguir.650, hallamos el puno de la gráfica que corresponde a.650 en el eje verical, y deerminamos su coordenada del eje horizonal. En ese caso se ardará aproimadamene,8 años, es decir, unos años y 0 meses. Halla el capial que obendremos en los 6 primeros años al inverir, a inerés compueso, un capial de 500 a un rédio del,5 %. La gráfica represena cómo evoluciona un capial C, inverido a inerés compueso, con un rédio del 5 %. Conesa a las siguienes cuesiones. a) Cuál es el capial inicial? b) Indica el capial final que se obendrá a los años. c) Cuáno iempo aproimado ha de pasar para ener.00? MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 367 OBJETIVO 3 CALCULAR LOGARITMOS UTILIZAR SUS PROPIEDADES NOMBRE: CURSO: FECHA: Dados dos números reales posiivos a y b (a ), el logarimo de b en base a es el eponene al que hay que elevar a para que el resulado sea b. log a b = c a c = b Cuando la base de los logarimos es 0, se llaman logarimos decimales, y la base no se escribe: log 0 b = log b Si la base es el número e =,78..., se llaman logarimos neperianos, y la base se escribe: ln b Aplica la definición de logarimo, y halla el valor de. a) log 5 5 = a) 5 = 5 = 5 = 6 6 b) log = 6 b) = = 6 = 6 c) log 8 = c) = 8 3 = 3 = 3 3 Calcula los logarimos, mediane la definición. a) log 5 5 b) log.000 c) log 6 d) log 6 e) ln e Halla, aplicando la definición, esos logarimos. a) log 0,0 b) log c) d) ln 3 7 log 6 e) 6 e log 3 Calcula el valor de en cada caso. a) log 5 = 3 b) log = c) log 3 ( + ) = 3 d) log 8 = 79 ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 367

6 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 368 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS log a = 0 log a a = b log a (b c) = log a b + log a c log a = log a b log a c log a b n = n log a b c Resuelve esas operaciones con logarimos. a) ln e 6 = 6 ln e = 6 = 6 00, b) log 0,0 log 0 = log = log 0,00 = log 0 3 = 3 log 0 = 3 = 3 0 c) log = log = log log 5 5 = + log 5 5 = + log 5 5 = + = 3 Calcula, usando las propiedades, los siguienes logarimos. a) log d) log log 0,0 b) log 3 3 e) ln e 7 ln e 5 + ln e 8 c) log.08 f) log + log CAMBIO DE BASE Para rabajar los logarimos con la calculadora, es necesario que sean decimales o neperianos. Cuando no es así, uilizamos un cambio de base para ransformarlos. log a b = log c b log a c Halla con la calculadora. a) log 53 b) log log 769, a) 53 log =, b) log = = =,88... log 5 0, Conviere en logarimos decimales, y halla su valor, ayudándoe de la calculadora. a) log 3 b) log 3 c) log Transforma en logarimos neperianos los logarimos, y obén su valor mediane la calculadora. a) log 5 b) log 8 c) log MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 369 OBJETIVO RECONOCER FUNCIONES LOGARÍTMICAS La función logarímica es de la forma f() = log a, donde a es un número real posiivo (a > 0) y disino de (a ). La función logarímica y = log a verifica que: El dominio es (0, + ). log a = 0 Un puno de su gráfica es (, 0). log a a = Un puno de su gráfica es (a, ). La función es creciene cuando a > y es decreciene cuando a <. Represena la función logarímica f() = log. Como el dominio f = (0, + ) y a >, la función es creciene. Pasa por los punos (, 0) y (, ). Consruimos una abla de valores. log 0,5 0,5 0 3, Describe las caracerísicas de las siguienes funciones, y compruébalas represenando su gráfica en los mismos ejes. a) y = log 3 b) y = log 3 Asocia cada función con su gráfica. a) y = log I) b) y = log 0,5 II) c) y = log II) d) y = log,5 IV) e) y = log V) I II V III IV ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 369

8 89566 _ qd 7/6/08 09:30 Página 370 OBJETIVO 5 RELACIONAR FUNCIONES EPONENCIALES LOGARÍTMICAS NOMBRE: CURSO: FECHA: La función logarímica y = log a es la función inversa de la función eponencial y = a. Por ano, se cumple que: Si (c, b) perenece a la función y = a, enonces (b, c) perenece a la función y = log a. Las gráficas de la función y = a, y la función y = log a, son siméricas respeco de la bisecriz del primer y ercer cuadrane. Comprobamos que las funciones f () = 3 y g() = log 3 son inversas. Consruimos una abla de valores para las funciones y las represenamos. f () g() 3 0,037 0, ,5,73 0, ,63,5 5,96 0, Complea la abla de valores para las funciones f() = y g() = log, y represénalas. f () g() 0,5 0 0,5 0 8 Dibuja, en los mismos ejes, las funciones inversas de f() = log y g() =. Cuáles son sus fórmulas? 370 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.