Álgebra matricial Adición y trasposición

Transcripción

1 Capítulo 2 Álgebra matricial Estas notas están basadas en las realizadas por el profesor Manuel Jesús Gago Vargas para la asignatura Métodos matemáticos: Álgebra lineal de la Licenciatura en Ciencias y Técnicas Estadísticas 21 Adición y trasposición Nota 211 Como en el anterior tema, consideraremos fijado un cuerpo k de coeficientes Nos referiremos a los elementos del cuerpo como números o escalares Alguna de las definiciones de este tema serán específicas para el caso en que k es el cuerpo C de los números complejos En ese caso se advertirá específicamente Si es necesario pondremos el orden de la matriz como subíndice Así escribiremos A m n para indicar que la matrizaes de orden m n Denotaremos también[a] ij a entrada de la filaiyla columnaj en la matriza Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y las entradas correspondientes son iguales,[a] ij = [B] ij Suma de matrices SiAyB son matrices de ordenm n, la suma deayb se define como la matriz de orden m n notada pora+b, cuyas entradas verifican [A+B] ij = [A] ij +[B] ij para cada i,j La matriz A, llamada opuesta dea, se define como La diferencia deayb es [ A] ij = [A] ij A B = A+ B

2 Propiedades de la suma de matrices Sean A,B y C matrices de orden m n Se verifican las siguientes propiedades: A+B es una matriz de orden m n A+B+C = A+B +C A+B = B +A La matriz 0 m n que tiene todas sus entradas nulas verifica A + 0 = A La matriz A es de orden m nyverificaa+ A = 0 Multiplicación por un escalar El producto de un escalar α por una matriz A de orden m n, notada porαa, se define como la matriz de orden m n que verifica [αa] ij = α[a] ij Propiedades de la multiplicación por un escalar Sean A, B matrices de orden m n, y α, β escalares αa es una matrizm n αβa = αβa αa+b = αa+αb α+βa = αa+βa 1A = A Nota 212 Se tienen propiedades análogas para Aα = αa 35

3 Trasposición La traspuesta de una matriz A m n es la matriz notada por A t de orden n m definida como [A t ] ij = [A] ji Nota 213 Es evidente quea t t = A Para el caso en que k = C es el cuerpo de los números complejos definimos dos operaciones más Recuérdese que el conjugado de un número complejo α = a + ib es α = a ib Conjugada traspuesta La matriz conjugada de una matriz A m n es la matriz de orden m n notada poradefinida como [A] ij = [A] ij La matriz conjugada traspuesta de una matriz A m n es la matriz de orden n mnotada pora y definida como Es decir, A = A t [A ] ij = [A] ji Nota 214 Se tiene que A = A En el caso de matrices reales, cuyas entradas pertenecen ar, se tiene quea = A y A = A t Propiedades de la matriz traspuesta Sean A y B matrices del mismo orden yαun escalar Entonces A+B t = A t +B t y A+B = A +B αa t = αa t y αa = αa 36

4 Sea A una matriz cuadrada Simetrías Decimos queaes simétrica sia = A t, esto es, [A] ij = [A] ji Decimos que A es anti-simétrica si A = A t, esto es, [A] ij = [A] ji Si además A es una matriz compleja: Decimos queaes hermitiana sia = A, esto es, a ij = a ji Decimos que A es anti-hermitiana si A = A, esto es, a ij = a ji Ejercicio 211 Probar que si A es una matriz hermitiana entonces las entradas de la diagonal,[a] ii, son números reales 22 Multiplicación de matrices Multiplicación de matrices Dos matrices A y B se dicen ajustadas para multiplicación en el ordenab cuando el número de columnas deaes igual al número de filas deb, esto es, siaes de ordenm p yb es de ordenp n Para matrices ajustadasa m p yb p n, la matriz productoab, de orden m n, se define como [AB] ij = [A] i1 [B] 1j +[A] i2 [B] 2j ++[A] ip [B] pj = p [A] ik [B] kj k=1 Nota 221 Puede ocurrir dos matricesayb estén ajustadas para la multiplicación en el orden AB pero no en el orden BA Es decir, que exista el producto AB, pero que no BA Ejercicio 221 LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES NO ES CONMUTATIVA Considere lo que ocurre al tomar A = 1 2, B = y calcular AB yba Obsérvese que ni siquiera son matrices del mismo orden Pero aunque fueran matrices cuadradas el producto no es conmutativo en general Por ejemplo, sean las matrices C = , 1 1, D =

5 Comprobar quecd ydc son distintas Supongamos quea m p y B p n Filas y columnas de un producto [AB] i = A i B; esto es, la i-ésima fila de AB es la i-esima fila deamultiplicada porb [AB] j = AB j ; esto es, laj-ésima fila deab es A multiplicada por laj-ésima fila deb [AB] i = [A] i1 B 1 +[A] i2 B 2 ++[A] ip B p = p k=1 [A] ikb k [AB] j = A 1 [B] 1j +A 2 [B] 2j ++A p [B] pj = p k=1 A k[b] kj Nota 222 Las dos últimas ecuaciones indican que las filas de AB son combinación lineal de las filas deb, y que las columnas deab son combinación lineal de las columnas dea Sistemas lineales Todo sistema demecuaciones y n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, se puede escribir en forma matricial como Ax = b, donde a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =,x = x 2,b = a m1 a m2 a mn x n b 1 b 2 b m Recíprocamente, toda ecuación matricial A m n x n 1 = b m 1 representa un sistema lineal demecuaciones ynincógnitas 38

6 23 Propiedades de la multiplicación matricial Propiedades distributiva y asociativa Para matrices ajustadas se verifica AB +C = AB +AC D +EF = DF +EF ABC = ABC Matriz identidad La matriz de ordenn n con unos en la diagonal y ceros en el resto I n = se denomina matriz identidad de orden n Para toda matriz A de orden m n se verifica AI n = A y I m A = A Nota 231 El subíndice dei n se elimina cuando el tamaño es obvio por el contexto Trasposición y producto Para matrices ajustadasayb se verifica que AB t = B t A t y AB = B A Ejercicio 231 Probar las propiedades anteriores Nota 232 Para cada matriza m n las matrices AA t y A t A son simétricas, y siaes una matriz compleja, las matricesaa ya A son hermitianas 39

7 Ejercicio 232 Llamamos traza deaal número TrA = [A] 11 +[A] 22 ++[A] nn = n [A] ii i=1 Probar que para dos matricesa m n y B n m se verifica TrAB = TrBA Nota 233 De lo anterior se deduce que TrABC = TrBCA = TrCAB, pero, en general, TrABC TrBAC Multiplicación por bloques Supongamos que A y B se particionan en submatrices, también llamados bloques, como sigue: A 11 A 12 A 1r B 11 B 12 B 1t A 21 A 22 A 2r A =,B = B 21 B 22 B 2t A s1 A s2 A sr B r1 B r2 B rt Si los pares A ik,b kj son ajustados para el producto, entonces decimos que A y B tienen una partición ajustada Para tales matrices, el productoab se forma combinando los bloques exactamente de la misma forma como se hace con los escalares en la multiplicación ordinaria Esto es, el bloquei,j en AB es A i1 B 1j +A i2 B 2j ++A ir B rj Ejemplo 231 Consideremos las matrices particionadas A = C I =,B = I donde I = y C = = I 0 C C Mediante la multiplicación por bloques, el productoab es fácil de obtener: C I I 0 2C C AB = = = I 0 C C I , 40

8 24 Inversa de una matriz Inversa de una matriz Para una matriz cuadrada A n n, la matriz B n n que verifica las condiciones AB = I n yba = I n se denomina inversa de A, y la denotaremos por B = A 1 No todas la matrices cuadradas tienen inversa Una matriz cuadrada sin inversa se llama singular, y una matriz con inversa se denomina no singular o regular Proposición 241 La inversa de una matriz, si existe, es única PRUEBA: Supongamos quex 1 yx 2 son inversas de una matriz no singulara Entonces X 1 = X 1 I = X 1 AX 2 = X 1 AX 2 = IX 2 = X 2 Ecuaciones matriciales Si A es una matriz no singular de orden n, entonces existe una única solución para X en la ecuación matricial A n n X n p = B n p, y la solución es X = A 1 B Un sistema denecuaciones ynincógnitas se puede escribir como una ecuación matriciala n n x n 1 = b n 1 Por lo anterior, siaes no singular, el sistema tiene solución única igual ax = A 1 b Nota 241 Sin embargo, debemos hacer hincapié en que la representación de la solución como x = A 1 b es conveniente desde el punto de vista teórico o de notación En la práctica, un sistema no singular Ax = b nunca se resuelve calculando A 1 y después el productoa 1 b Se realizan más operaciones así que aplicando las técnicas de eliminación descritas en el tema anterior El siguiente resultado nos permite distinguir entre matrices singulares y no singulares 41

9 Existencia de inversa Para una matriz cuadradaade orden n, son equivalentes: 1 A 1 existe A es no singular 2 rangoa = n 3 A Gauss-Jordan I n 4 Ax = 0 implica quex = 0 PRUEBA: El hecho de2 3 es una consecuencia directa de la definición de rango La equivalencia 2 4 la hemos visto en el tema anterior Solamente falta por establecer 1 2 para completar la prueba 1 2 Consideremos la matriz X = X 1 X 2 X n Esta matriz X verifica la ecuación AX = I si y solamente si X j es solución del sistema Ax = I j Si A es no singular, entonces sabemos que existe una solución única de AX = I, y por tanto cada sistema Ax = I j tiene solución única Pero sabemos que un sistema tiene solución única si y solamente si el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas, esto es, rangoa = n 2 1 Si rangoa = n, entonces cada sistema Ax = I j es compatible, porque rango[a I j ] = n = rangoa Además, la solución es única, por lo que la ecuación matricialax = I tiene una única solución Nos gustaría decir ya quex = A 1, pero nos hace falta primero probar quexa = I, esto es, XA I = 0 Como AXA I = AXA A = IA A = 0, se sigue que cada columna de XA I es una solución del sistema homogéneo Ax = 0, que es compatible determinado Por tanto, XA I = 0 y XA = I = AX Nota 242 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA USANDO GAUSS-JORDAN En la demostración anterior hemos probado además que si A n n es una matriz para la que existe X n n con AX = I n, entoncesx = A 1 Para construir un algoritmo que nos devuelvaa 1 cuandoa n n es no singular, recordemos que determinar A 1 es equivalente a resolver la ecuación matricial AX = I, que es lo mismo que resolver losnsistemas de ecuaciones definidos por Ax = I j,j = 1,2,,n En otras palabras, si X 1,X 2,,X n son las respectivas soluciones, entonces X = X 1 X 2 X n resuelve la ecuación AX = I y de aquíx = A 1 Si A es no singular, el método de Gauss-Jordan reduce la matriz ampliada [A I j ] a [I X j ], y sabemos quex j es la única solución deax = I j En otras palabras, [A I j ] Gauss-Jordan [I [A 1 ] j ] Pero mejor que resolver cada sistemaax = I j de forma independiente, podemos resolverlos simultáneamente aprovechando que todos tienen la misma matriz de coeficientes 42

10 En otras palabras, si aplicamos Gauss-Jordan a la matriz ampliada[a I 1 I 2 I n ] obtenemos [A I 1 I 2 I n ] Gauss-Jordan [I [A 1 ] 1 [A 1 ] 2 [A 1 ] n ], o, de manera más compacta, [A I] Gauss-Jordan [I A 1 ] Qué ocurre si intentamos invertir una matriz singular con este procedimiento? El resultado anterior nos indica que una matriz singular A no puede ser reducida mediante Gauss-Jordan a la matriz I porque una fila de ceros aparecerá en algún momento Por ello, no tenemos que saber a priori si la matriz que tenemos es o no singular, pues resultará evidente en el proceso de cálculo Cálculo de la inversa La eliminación de Gauss-Jordan se puede usar para el cálculo de la inversa de una matrizamediante la reducción [A I] Gauss Jordan [I A 1 ] La única posibilidad de que este método falle es que aparezca una fila de ceros en el lado izquierdo de la matriz ampliada, y esto ocurre si y solamente si la matrizaes singular Ejemplo 241 Calculemos, si existe, la inversa de la matriz A = Aplicamos el método de Gauss-Jordan para obtener [A I] = Por tanto, la matriz es no singular y A 1 =

11 Propiedades de la inversión de matrices Para matrices no singularesa yb del mismo orden, se verifica que A 1 1 = A El productoab es no singular y AB 1 = B 1 A 1 A 1 t = A t 1 y, si A es compleja,a 1 = A 1 PRUEBA: La primera propiedad es inmediata Para la segunda basta comprobar que ABB 1 A 1 = ABB 1 A 1 = AA 1 = I, de dondeab es no singular yab 1 = B 1 A 1 Para la última propiedad se comprueba que A t A 1 t = A 1 A t = I t = I, de donde A t es no singular y A t 1 = A 1 t Análogamente se prueba que A 1 = A 1 25 Matrices elementales y equivalencia Nota 251 OPERACIONES ELEMENTALES POR COLUMNAS Es evidente que las mismas operaciones elementales por filas descritas en el tema anterior pueden realizarse por columnas Tenemos entonces tres tipos de operaciones análogas a las operaciones elementales por filas: Tipo I Intercambiar las columnasiyj Tipo II Reemplazar la columnaipor un múltiplo no nulo de ella misma Tipo III Reemplazar la columna j por la suma de ella misma con un múltiplo de la columnaj Análogamente a lo visto para las filas existen unas matrices especiales llamadas formas escalonadas por columnas y formas escalonadas reducidas por columnas La trasposición de matrices nos permite definir rápidamente estos conceptos: Una matriz se dice que es una forma escalonada por columnas si su traspuesta es una forma escalonada por filas Una matriz se dice que es una forma escalonada reducida por columnas si su traspuesta es una forma escalonada reducida por filas Igualmente se puede comprobar que toda matriz puede ser transformada mediante operaciones por columnas en una forma escalonada por columnas y en una forma escalonada reducida por columnas Por último, dos matrices se dicen equivalentes por columnas si puede transformarse una en otra mediante operaciones elementales por columnas Obsérvese que las operaciones elementales por columnas no transforman la matriz de un sistema lineal en la matriz de otros sistema lineal equivalente 44

12 Teorema 251 Toda matriz A es equivalente por columnas a una única forma escalonada reducida por columnas PRUEBA: Sabemos que la matriza t es equivalente por filas a una única forma escalonada reducida por filas Nota 252 Sean los vectores columna de orden m 1, e i, que tienen todas sus entradas nulas salvo un 1 en la posición i, con i = 1,,m Obsérvese que la multiplicación de una matriz A m n por un vector columna e j resulta Ae j = A j Análogamente, si ahora e i es de orden n 1, la múltiplicación del traspuesto de éste con la matriz A resulta e t ia = A i Obsérvese que la matriz identidad tiene por columnas a estose j y por filas a e t i Vamos a ver que las operaciones elementales que usamos para la eliminación Gaussiana pueden interpretarse como productos por ciertas matrices de estructura muy sencilla Matrices elementales de tipo I Decimos que una matriz cuadrada E es elemental tipo I si se obtiene a partir de la matriz identidad I n mediante una operación elemental por filas de tipo I Es decir, sie se obtiene dei n al intercambiar las filasiy j En este caso todas las entradas de la matrize son nulas, salvo [E] kk = 1, k i,j, [E] ij = 1 y [E] ji = 1 Si atendemos a las filas de E observamos quee k = e t k si k i,j, E i = e t j y E j = e t i Proposición 252 MULTIPLICACIÓN POR UNA MATRIZ ELEMENTAL DE TIPO I La multiplicación de una matriz elemental de tipo I a la izquierda de una matriz produce en ésta una operación elemental por filas de tipo I La multiplicación de una matriz elemental de tipo I a la derecha de una matriz produce en ésta una operación elemental por columnas de tipo I PRUEBA: Basta probar el primer punto, pues el segundo, además de ser análogo, se deduce del primero por trasposición de matrices Sean entonces A m n y E m m la matriz obtenida de a identidad al intercambiar las filas i y j Vamos a describir la multiplicaciónea por filas, es decir, [EA] k = E k A, k = 1,m Si k i,j sabemos quee k = e t k, de donde calculamos la filak ésima deea: [EA] k = E k A = e t ka = A k, con k i,j AdemásE i = e t j ye j = e t i Luego las filas i ésima yj ésima deea son [EA] i = E i A = e t j A = A j y [EA] j = E j A = e t i A = A i Es decir, la matrizea es la que se obtiene deaal intercambiar las filas i y j 45

13 Proposición 253 SiE es una matriz elemental de tipo I entoncese es no singular y su inversa es ella misma Es decir,ee = I PRUEBA: La demostración es consecuencia del resultado anterior Si E es la matriz que se obtiene de la identidad al intercambiar las filas i y j, el producto a la izquierda de E por ella misma vuelve a intercambiar las filas i y j, obteniendoee = I Matrices elementales de tipo II Decimos que una matriz cuadrada E es elemental tipo II si se obtiene a partir de la matriz identidad I n mediante una operación elemental por filas de tipo II Es decir, sie se obtiene dei n al sustituir la filaipor un múltiplo no nulo de ella En este caso todas las entradas de la matrize son nulas, salvo [E] kk = 1, k i,[e] ii = α conα 0 Si atendemos a las filas dee observamos quee k = e t k sik i, E i = αe t i con α 0 Proposición 254 MULTIPLICACIÓN POR UNA MATRIZ ELEMENTAL DE TIPO II La multiplicación de una matriz elemental de tipo II a la izquierda de una matriz produce en ésta una operación elemental por filas de tipo II La multiplicación de una matriz elemental de tipo II a la derecha de una matriz produce en ésta una operación elemental por columnas de tipo II Ejercicio 251 Dejamos la prueba de la proposición anterior como ejercicio Proposición 255 Si E es una matriz elemental de tipo II entonces E es no singular y su inversa es otra matriz elemental tipo II PRUEBA: Es fácil comprobar que si E es la matriz que se obtiene de la identidad al multiplicar la fila i porα 0 entonces E 1 es la matriz que se obtiene de la identidad al multiplicar por1/α la filai Matrices elementales de tipo III Decimos que una matriz cuadrada E es elemental tipo III si se obtiene a partir de la matriz identidad I n mediante una operación elemental por filas de tipo III Es decir, sie se obtiene dei n al sustituir la filaj por la suma de ella misma con un múltiplo de la fila i En este caso todas las entradas de la matriz E son nulas, salvo [E] ii = 1, i = 1,n y [E] ji = α Si atendemos a las filas de E observamos quee k = e t k sik k, E i = αe t i +e t j Proposición 256 MULTIPLICACIÓN POR UNA MATRIZ ELEMENTAL DE TIPO III 46

14 La multiplicación de una matriz elemental de tipo III a la izquierda de una matriz produce en ésta una operación elemental por filas de tipo III La multiplicación de una matriz elemental de tipo III a la derecha de una matriz produce en ésta una operación elemental por columnas de tipo III Ejercicio 252 Dejamos la prueba de la proposición anterior como ejercicio Proposición 257 Si E es una matriz elemental de tipo III entonces E es no singular y su inversa es otra matriz elemental tipo III PRUEBA: Es fácil comprobar que si E es la matriz que se obtiene de la identidad al reemplazar la fila j por la suma de ella misma con la fila i por α, entonces E 1 es la matriz que se obtiene de la identidad al reemplazar la filaj por la suma de ella misma con la fila i por α Ejemplo 251 Consideremos la sucesión de operaciones para reducir A = a su forma escalonada reducida por filas E A A = R 2 2R R 3 3R Cambia R 2 y R R 1 4R = E A La reducción se puede ver como una sucesión de multiplicaciones a izquierda por la matrices elementales correspondientes A = E A Producto de matrices elementales Una matriz A es no singular si y solamente si A es el producto de matrices elementales de tipos 1, 2, o 3 PRUEBA: SiAes no singular, el método de Gauss-Jordan reduceaala matrizi mediante operaciones por fila Si E 1,E 2,,E k son las correspondientes matrices elementales, entonces E k E 2 E 1 A = I, o bien A = E1 1 E 1 2 E 1 k Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental, esto prueba que A se puede expresar como producto de matrices elementales Recíprocamente, si A = E 1 E 2 E k es un producto de matrices elementales, entonces A es no singular, pues es el producto de matrices no singulares 47

15 Equivalencia de matrices Cuando una matrizb se puede derivar de una matrizamediante operaciones elementales de filas y columnas, escribiremos A B, y diremos que A y B son matrices equivalentes Otra forma de expresarlo es que A B B = PAQ para matrices no singularesp yq Análogamente se define la equivalencia por filas: A f B B = PA parap matriz no singular, y la equivalencia por columnas: A c B B = AQ paraqmatriz no singular Ejercicio 253 Estas relaciones son de equivalencia La forma escalonada reducida por filas E A es lo más lejos que podemos llegar mediante transformaciones por filas Sin embargo, si permitimos además el uso de transformaciones por columnas, la reducción es mucho mayor Forma normal de rango Si A es una matriz de orden m nyrangoa = r, entonces Ir 0 A N r = 0 0 N r se denomina forma normal de rango dea PRUEBA: Como A f E A, existe una matriz no singular P tal que PA = E A Si rangoa = r, entonces las columnas básicas de E A son las r columnas unitarias Mediante intercambio de columnas aplicados a E A, podemos poner estas r columnas en la parte superior izquierda SiQ 1 es el producto de las matrices elementales que hacen estos intercambios, entonces Ir J PAQ 1 = E A Q 1 = 0 0 Ahora multiplicamos ambos lados de esta ecuación por la matriz no singular Q 2 = Ir J 0 I 48,

16 y nos queda EntoncesA N r PAQ 1 Q 2 = Ir Nota 253 De hecho N r es la forma escalonada reducida por columnas de la forma escalonada reducida por filas dea Ejemplo 252 Veamos que rango A 0 0 B = rangoa+rangob Si rangoa = r y rangob = s, entonces A N r yb N s, y A 0 Nr 0, 0 B 0 N s de donde A 0 rango 0 B = r +s Dadas matricesayb, cómo decidimos sia B,A f B o A c B? Test de equivalencia Sean A y B matrices de orden m n Entonces A B si y solamente sirangoa = rangob A f B si y solamente sie A = E B A c B si y solamente sie A t = E B t En consecuencia, el producto por matrices no singulares no altera el rango PRUEBA: Si rangoa = rangob, entonces A N r y B N r, de donde A N r B Recíprocamente, si A B, y rangoa = r, rangob = s, tenemos que A N r y B N s, por lo quen r N s, y esto implica quer = s Supongamos ahora que A f B Como B f E B, entonces A f E B Como la forma escalonada reducida por filas es única, se sigue quee B = E A Recíprocamente, si E A = E B, entonces Para las columnas, basta considerar que A f E A = E B f B A c B AQ = B AQ t = B t Q t A t = B t A t f B t 49

17 Rango y trasposición rangoa = rangoa t y rangoa = rangoa PRUEBA: Sea rangoa = r, y sean P y Q matrices no singulares tales que I PAQ = N r = r 0 r n r 0 m r r 0 m r n r Entonces Nr t = Qt A t P t Como Q t y P t son no singulares, se sigue que A t Nr t, y entonces rangoa t = rangonr t = rango I r 0 r m r = r = rangoa 0 n r r 0 n r m r Para probar querangoa = rangoa, escribimosn r = N r = PAQ = PAQ Es fácil ver quek 1 = K 1, de donden r A y rangoa = rangoa Entonces rangoa = rangoa t = rangoa = rangoa 50