FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Transcripción

1 FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA Problema : COMPARAR ÁREAS DE CUADRADOS A partir de un cuadrado realizaremos una nueva construcción: se trazan las diagonales y por cada vértice se dibuja una paralela a la diagonal. A esta construcción que da origen a otra figura la denominaremos el paso. El dibujo final, realizado en el pizarrón, es el siguiente (El cuadrado original, o paso 0, y el cuadrado construido, que es el resultado del paso ): a) Compará el área del cuadrado obtenido en el paso con el área del cuadrado original. b) Si se repite el paso varias veces podrías indicar cómo serán las áreas de los cuadrados que se van obteniendo respecto del cuadrado original? c) Si llamamos A al área del cuadrado original, determiná qué área tendrá el cuadrado generado en el paso 7. d) Se podría dar una epresión generalizada del área del cuadrado obtenido en el paso n? (también en este caso el cuadrado original tienen área A). e) Indicar en qué porcentaje aumentó el área en cada paso. Problema : LOS CUADRADOS SOMBREADOS Observa la siguiente figura: A un cuadrado -el más grande, que llamaremos inicial - cuya área es, se le trazaron las medianas y se sombreó el cuadrado inferior derecho. En este caso se llama paso al trazado de las medianas y al sombreado del cuadrado inferior derecho. Al cuadrado que queda determinado en la parte superior izquierda se le trazan sus medianas y se sombrea el cuadradito que queda en la parte inferior derecha. Y así se continúa. Los primeros 6 problemas que aquí se presentan forman parte del documento Función eponencial de la Serie Aportes para la enseñanza. Nivel Medio, en proceso de edición en la Dirección de Currícula y Enseñanza

2 a) Cuál es el área del cuadrado que queda sombreado en el primer paso, en el segundo y en el cuarto? b) Habrá algún paso en el que se obtenga un cuadrado de área 60? c) Si sabemos que el área que quedó sombreada en el séptimo paso es cuál será el 684 área sombreada en el cuadrado que se obtenga en el siguiente paso? Y en el anterior? d) Habrá una epresión general que me permita saber el área de los sucesivos cuadraditos sombreados según la cantidad de pasos que se hicieron? e) Podrías contestar la pregunta anterior si el área del cuadrado original fuera A en lugar de? f) Si el trabajo realizado sobre el cuadrado de área fuera hecho sobre otro cuadrado de área 04. Podrías contestar las mismas preguntas a partir de tus respuestas anteriores? g) Sobre un cuadrado, de área desconocida, se tuvieron que realizar 0 pasos para llegar a un cuadrado sombreado de área. Te alcanza este dato para conocer el área del cuadrado inicial? h) Es posible inventar un valor A para el área del cuadrado original de manera que en alguno de los pasos se obtenga un cuadradito cuya área sea? Cuánto tendría que valer A y cuál 60 sería el paso? Problema : LOS PIOJOS En la cabeza de un niño se coloca un número determinado de piojos a las 0 de la mañana del día lunes y se observa la evolución de la población de piojos mediante un sofisticado procedimiento computarizado (o sea, los piojos se pueden contar con precisión!). Transcurridos 0 días el niño convive con 80 piojos en su cabeza. Si se sabe que una población cualquiera de piojos tarda 5 días en triplicarse. a) Cuántos piojos habrá transcurridos 0 días? b) Cuántos piojos había transcurridos 5 días? c) Cuántos piojos se pusieron en la cabeza? d) Cuántos piojos había el primer día? e) Cuánto varió la cantidad de piojos al pasar del inicio al 5º día? Y del 5º al 0º día? Y del 0º al 5º día? Y del 5º al 0º día?

3 PROBLEMA 4: LUMINOSIDAD EN LA LAGUNA Una laguna contiene sedimentos uniformemente distribuidos que reducen la transmisión de la luz a través del agua. Dicha luminosidad se reduce en un 0% cada vez que se avanza metro hacia la profundidad de la laguna, (es decir, cualquiera sea el nivel de profundidad en el que se encuentre el buzo, al descender un metro pierde el 0% de la luminosidad que tenía) Un buzo está pronto a sumergirse en dicha laguna; si consideramos la intensidad de la luz (medida en unidades lumínicas), como de 00 unidades en la superficie, a) Realizar una tabla que indique la luminosidad para cada uno de los primeros 0 metros. b) Se podrá decir qué intensidad de luz tendrá el buzo al bajar 0,5 m? c) Nuestro buzo en cuestión tiene instrumentos de medición que pueden detectar luz hasta una intensidad de 0, unidades lumínicas, teniendo en cuenta este dato, podrá detectar luz si baja a 0 m? d) Hasta qué profundidad podrá descender con su instrumental y aún detectar cierta luminosidad? e) Alcanzará una luminosidad de 00 0,8,5? f) Si las unidades lumínicas son de 7,55 aproimadamente, a qué profundidad se encuentra el buzo? Qué método te parece más apropiado para responder esta pregunta? PROBLEMA 5: LOS CONTRATOS Patricia ha recibido dos propuestas de dos empresas interesadas en su perfil laboral. Una de las empresas le ofrece ocupar el cargo de gerente de proyectos especiales y le hace la siguiente oferta salarial: $0.000 inicialmente, y un aumento mensual de $ La otra empresa le ofrece ocupar el cargo de gerente de publicidad, un sueldo inicial de $0.000 y un aumento del 0% mensual. a) Qué oferta será más ventajosa? b) Cómo eplicarías convincentemente la conveniencia de una de las ofertas respecto de la otra? c) Si la persona trabaja meses, cuál es la propuesta más conveniente? d) Y si firma el contrato por años? PROBLEMA 6: LAS BACTERIAS En un laboratorio están eperimentando con una población de bacterias. Han observado que, al reproducirse la masa de la población, crece siempre en forma pareja, de manera que en cada hora aumenta un 5%. Al comienzo de la observación, el cultivo de bacterias tiene una masa de 60 gr. a) Cuál será la masa de las bacterias después de dos horas? b) Epliquen como varía la evolución de la masa de bacterias a lo largo de las primeras 8 horas. c) Si en un determinado momento la masa de la población de bacterias es 00 g. Cuál es la masa de la población una hora después?

4 d) Cuál será la masa de bacterias después de 0 horas de comenzada la observación? INSTANCIA DE REVISIÓN DE LOS 6 PROBLEMAS PRIMERA PARTE: PROBLEMA y k a SEGUNDA PARTE: a) Graficar las respectivas fórmulas de los problemas y n (considerando A = ): y = n y = 4 b) Identificar qué gráfico corresponde a cada una de las situaciones ya trabajadas. Gráfico Gráfico

5 Gráfico Universidad de Buenos Aires

6 Gráfico 4 Universidad de Buenos Aires Gráfico 5

7 Gráfico 6 Universidad de Buenos Aires

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10 PROBLEMA : a) Confeccionar una tabla de valores para los pares ordenados que resuelven la ecuación y = ( ) b) Ídem para y = ( ) c) Puede definirse una función f () = ( )? Por qué? d) Qué condiciones debe cumplir a para definir una función f () = a? e) Con las condiciones del ítem anterior qué condiciones debe cumplir a para que la función f () = a sea: I. creciente? II. decreciente? f) Puedes encontrar algún valor de para que su imagen sea 0? PROBLEMA 4: Siendo a > 0 y a, caracterizar el conjunto de positividad y negatividad de f () = a. PROBLEMA 5: a) Qué modificarías en la función f () = 0,4 para que: b) Sea creciente? c) La nueva función tenga una gráfica que sea simétrica a la gráfica original con respecto al eje y? d) Su conjunto imagen sea ( ; 0)? e) Si crees que hay distintos tipos de transformaciones sobre f () para lograr lo pedido en cada caso, eplica cuáles son. PROBLEMA 6: a) Crees qué alcanzará con determinar las condiciones sobre el parámetro a para decidir si f () = k.a es creciente o decreciente? b) Qué condiciones establecerías sobre k y a para que la función f () = k.a sea creciente? PROBLEMA 7: Las funciones graficadas tienen fórmulas del tipo f () = k.a Indicar cuáles de ellas corresponden a las condiciones detalladas de a y k en cada caso.

11 Condiciones de a y k Funciones 0 < a < y k < < a < y k > 0... a > y k > 0... a > y k < 0...

12 PROBLEMA 8: a) Será cierto que los gráficos de las funciones f () = + y g () =. son iguales? Eplicá las razones que justifican tu elección. b) Decidan si los gráficos de cada par de funciones coinciden o no. En el caso de que sean coincidentes, epliquen por qué: - f ( ) = g( ) = - f ( ) = g( ) = 4 - f ( ) = g( ) = ( ) PROBLEMA 9 a) Puedes encontrar algún valor de tal que f ( ) = 4 tenga imagen nula? b) Eiste algún valor de tal que f () =? Por qué? c) Eiste algún valor de tal que f () sea negativa? Por qué? d) Puedes hallar algún valor del dominio de la función tal que f () =,5? y para f () =,975? e) Ídem para f () = 5 g) Cuáles son todos los valores posibles que puede tomar la variable para que la función g( ) = 4 4 proporcione imágenes negativas? PROBLEMA 0: Las siguientes funciones son del tipo: y = k.a + b. Para cada una de ellas analiza el signo de k y b y, además, indica si a ( ; + ) o si a ( 0 ; )

13 PROBLEMA : y f ( 4) =, 4. Sea f ( ) = k a. Determinar > 0 a y k R sabiendo que f ( ) = 0, 7 PROBLEMA : Analizar si la siguiente tabla de valores corresponde a una función eponencial de la forma: f ( ) = k a 4 6 y PROBLEMA : Sea f : R R / f ( ) = k a, se sabe que: f ( 0) = y f (4) = 48, con k R y + a R. Determinar los R para los cuales f ( ) = 96. PROBLEMA 4: Dadas las funciones: f : R + R / f ( ) = log ( ) g : R + R / g( ) = log ( ) : a) Calcular f (); f (); f (4); f ( ); f ; f ; g(); g ; g ; g(8); g(); g ( ) y g b) Representar las funciones en un mismo sistema de coordenadas y comparar. c) Idem b) con las funciones: + + j : R R / j( ) = log ( ) h : R R / h( ) = log ( ) PROBLEMA 5: Se definen las funciones: a) f : D C / f ( ) = log ( ) b) f : D C / f ( ) = log ( ) c) f :( ; ] C / f ( ) = d) f : D [ 0;9 ) / f ( ) 9 = e) f : D C / f ( ) = log ( ) f) f D ( ) f ( ) : 5; + / ( ) = log g) = h) f : D C / f ( ) = ln ( 5 ) f : D C / f ( ) e + i) f : D C / f ( ) = 4.ln ( + 7) y se pide en cada caso:

14 i) Determinar los conjuntos D y/o C de manera tal que f sea biyectiva. ii) Definir f. iii) Graficar f y f. Indicar ecuación de la asíntota; conjuntos de positividad, negatividad y ceros de f. PROBLEMA 6: funciones f y g Determinar en cada caso el punto de intersección de los gráficos de las a) f :( ; ) R / f ( ) = log ( ) g : R R / g( ) = b) f :( ; + ) R / f ( ) =.log ( ) g ( ) R g ( ) c) f : R R / f ( ) = d) f : R R / f ( ) = g : ; + / ( ) = log : R R / g( ) = g : R R / g( ) = 5 + e) f : R R / f ( ) = 4.5 g : R R / g( ) = f) f : R + R / f ( ) = 5.log5 5 g : R + R / g( ) = 0.log5 4 PROBLEMA 7: A partir de los gráficos del ejercicio 5), resolver las siguientes inecuaciones: a) b) < 4 4 c) log ( ) 0 d) < log ( ) PROBLEMA 8: Usando las propiedades de los logaritmos, simplificar las epresiones a sólo un logaritmo de una epresión que contenga a la variable : a) 7 log a log a 5 + log a ( ) b) ⅓.log a ( ) + log a log a ( + ) c) ½.[log b ( ) log b ( + )] PROBLEMA 9: Determinar el valor de k, sabiendo que log k = log +. PROBLEMA 0: Resolver en R las siguientes ecuaciones: a) b) ( ) ( ) log + log 8 = 0 log + + log = log 4 log + log = 0 d) log log = c) e) + 7 = 0 f) + 9 = 0 g) + + = 9 h) log ( log ) = 8

15 log 4 log i) log( ) = 5 j) ( ) ( ) log a = log k) log log = 4 l) = 00. m) log =.log n) log log 6 = 5 o) log + log9 = log8 + p) ( ) = log ( 6+ 9) log log q) = r) 9 = 7. 7 s) log 4 log6 ( ) log =.log = t) ( ) ( ) 4 u) ( log ) ( = + log + ) a PROBLEMA : ) Sea f ( ) =. f ( ) = logk + h. Determinar h y k sabiendo que f ( ) = y PROBLEMA : Resolver los siguientes sistemas: a) 5 = 5 log y ( ) y = b) 9 log y = 4 ( + y) = 4 c) + y = 9 y+ 4 = d) + y log ( y) = 45 = 4 e) log 9 = y = y

16 RESPUESTAS: ) k =,8 ; a = ) k = 4,5 ; a = ) 4) = ; = 5 f ( ) c) j h 5) a) i) D = ( ; + ) C =R ii)) f : R ( ; + ) / f ( ) = + iii) ( ; ) C 0 = ( ; ) ; C = { } AV..: = C + = + ; b) i) D = ( ;) C =R ; ii)) f : ( ;) / f ( ) R = + iii) C = ( ;) ; 0 C = ( ; ) ; C = { } AV..: = c) C = [ ; + ) ii) f :[ ; ) ( ;] / f ( ) = log ( ) iii) C + = ( ;0) C 0 = ( 0;) C = { } A. H : y = d) D = [ ; + ) ii) f :[ 0;9) [ ; + ) / f ( ) = log ( 9 ) iii) C + = [ + ) C 0 = C = { } A. H : y = 9 e) i) D = ( ; ) C =R ii) R ( ) f : ; / f ( ) = C = ; ; C = ; ; A. V. : = iii) C = ; 4

17 f) ) i) D = ( ;0) ii) ( ) ( ) f : 5; + ;0 / f ( ) = + 8 C + = ; 9 ; 8 C = ;0 9 ; AV. : = + iii) ; 0 8 C = 9 g) D =R C = ( ;) ii) ( ) f : ; R / f ( ) =.ln 0 = + C ; C = ; ; C = ; A. H : y = iii) h) i) D = ; 5 C =R ; ii) 0 f : R ; / f ( ) = e + iii) C = C = ; ; C = ; ; AV. : = i) i) D = ; 4 0 C =R ii) f : R ; / f ( ) = e iii) C = C + = ; + ; 7 C = AV. : = ) a) ( ;) b) (; -4) c) ( ; ) d) 7) a) S = [ ; + ) b) ( ] 0; 5 e) 4 4 5;4.5 5 f) ; S = ; c) S = ; 9 S = 4;6 d) [ ) 8) log a 7 ( ) 5 log a + logb + 9) k = 8 0) a) S = { 4} ; b) S = { 6} ; c) S = { } ; d) S = { } ; e) S = { ; } ; f) S = { ;0} ; g) = { ; } = 0 ; 0,000 = ; a ; a 56 S = ; l) S = { 00;0, }; h) S = { } ; i) { } m) = { ;6 } S ; n) { 0 8 } s) S = { } t) S ; j) S { }; k) { } S = ; o) S = { 9} p) S = { ; ; } ; q) = { 4;} 4 S = ;44 u) S = { ;} s ; r) S ; S = ; 8 ) 5 h = ; k = ) a) S = {( ;6) } ;b) S = {( 4;4) } ; c) S = {( ; )} ; d) {( 5;0 );( 0;5 );( 0; 5 );( 5; 0) } e) S = {( 4;6) } S = ;