Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar

Transcripción

1 Huayllu-Bios. Nº 8. Diciembre 14 Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar Ortiz, N. del V. (1) ; Digonzelli, P. A. (1,) ; García, M. B. (1,) ; Fernández de Ulivarri, J. () ; Romero, E. (1,) 1: Facultad de Agronomía y Zootecnia. Universidad Nacional de Tucumán. : Estación Experimental Agroindustrial Obispo Columbres. Las Talitas. Tucumán. Argentina. nelidaoh@gmail.com Abstrac The sugar cane is a semiperennial culture of annual production. After the harvest the agricultural remainder can be left on the ground or eliminate by burning fire or retirement. The burning fire of the agricultural remainder it is a practice common in the province of Tucuman, nevertheless, to leave the cover of residues on the surface can especially improve the availability and the advantage of the water stored in the ground in zones with majors hydric restrictions. The objective is to evaluate the effect of the maintenance of the cover on the population of stems of the variety of sugar cane RA 87-3 being used mixed linear models. One worked in a test of campaign 8-9 in parcels with residues and without residues, being established this way two treatments. The number of stems by meter for each Página 41

2 Ortiz, N. del V.; Digonzelli, P. A.; García, M. B.; Fernández de Ulivarri, J.; Romero, E.: Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar parcel was registered. Linear models for longitudinal data with random coefficients adjusted. Of the descriptive analysis it was decided to apply a polinómica regression of fourth degree for the number of later days to the harvest. The degree of the polynomial was obtained fitting simple linear models and the greater significant degree was selected. They were applied to mixed models with the method of Maximum Likelihood (ML) for the fixed effects and Maximum Likelihood Restricted (REML) for the random effects. They selected to the models using Likelihood Rate Test. The results showed that the difference of the number of stems by meter for both treatments was not significant. One concludes that for variety RA the 87-3 behaviour of the production of stems by meter of sugar cane is the same for both treatments, allowing to work with the cover of residues without harming the culture. Key words: Longitudinal data; Random coefficients. Resumen La caña de azúcar es un cultivo semiperenne de producción anual. Después de la cosecha el residuo agrícola puede dejarse sobre el suelo o eliminarse por quema o retiro. La quema del residuo agrícola es una práctica común en la provincia de Tucumán, sin embargo, dejar la cobertura de residuos sobre la superficie puede mejorar la disponibilidad y el aprovechamiento del agua almacenada en el suelo en especial en zonas con mayores restricciones hídricas. El objetivo es evaluar el efecto del mantenimiento de la cobertura sobre la población de tallos de la variedad de caña de azúcar RA 87-3 usando modelos lineales mixtos. Se trabajó en un ensayo de la campaña 8-9 en parcelas con residuos y sin residuos, quedando establecidos de esta manera dos tratamientos. Se registró el número de tallos por metro para cada parcela. Se ajustaron modelos lineales para datos longitudinales con coeficientes aleatorios. Del análisis descriptivo se decidió Página 4

3 Huayllu-Bios. Nº 8. Diciembre 14 aplicar una regresión polinómica de cuarto grado para el número de días posteriores a la cosecha. El grado del polinomio se logró ajustando modelos lineales simples y se seleccionó el mayor grado significativo. Se aplicaron modelos mixtos con el método de máxima verosimilitud para los efectos fijos y máxima verosimilitud Restringida para los efectos aleatorios. Se seleccionaron los modelos usando el test de razón de verosimilitud. Los resultados mostraron que fue significativa la diferencia del número de tallos por metro para ambos tratamiento. Se concluye que para la variedad RA 87-3 el comportamiento de la producción de tallos por metro de caña de azúcar es el mismo para ambos tratamientos, permitiendo trabajar con la cobertura de residuos sin perjudicar el cultivo. Palabras clave: Datos longitudinales; Coeficientes aleatorios. Objetivo El objetivo de este trabajo es evaluar el efecto del mantenimiento de los residuos de caña de azúcar sobre la población de tallos de la variedad de caña de azúcar. Materiales Los tallos emergen hasta alcanzar una cantidad máxima y debido a múltiples razones agronómicas se eliminan y emergen nuevamente de manera que el número de tallos presenta una importante variabilidad en el tiempo hasta que se mantiene aproximadamente constante hacia el final de la campaña en que las condiciones agronómicas ya no producen cambios importantes. Página 43

4 Ortiz, N. del V.; Digonzelli, P. A.; García, M. B.; Fernández de Ulivarri, J.; Romero, E.: Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar Los tratamientos se determinaron como permanencia de cobertura de residuos (con.residuos) y eliminación de residuos (sin.residuos). La parcela experimental estuvo constituida por 5 surcos de 1 m de longitud, y para evitar los efectos de bordura los tallos se contaron en la parte central constituida por tres surcos de 5 metros de largo, dejando sin contar los tallos de los surcos periféricos y,5 metros en las cabeceras. Los datos se obtuvieron de parcelas seleccionadas al azar, con cuatro repeticiones. El número de tallos fue registrado durante la campaña 8-9, que corresponde al período que se denominado soca 1 del ensayo. Se usó el paquete estadístico R, usando los comandos del libro de Crawley (7) y West et al., (7). Metodología Los datos longitudinales son observaciones sucesivas en el tiempo sobre sujetos o unidades experimentales. Laird and Ware (198) mostraron que si y ij es la observación sobre la unidad i tomada en el tiempo j entonces E[y ij u i ] = β j + u i (1) donde u i es un efecto aleatorio para el sujeto i, y β j los efectos fijos, es decir, los valores promedios para el tiempo j. El modelo en expresión matricial para n observaciones sobre m unidades es [ y u] = X β + Z u E () Página 44

5 Huayllu-Bios. Nº 8. Diciembre 14 β es el mismo para todas las unidades y unidad i. u i es específico para la La estructura de varianzas sugerida por los autores es V = ZDZ + R (3) Con D la matriz de varianzas y covarianzas de las variables efectos aleatorios. En estudios longitudinales es de interés el tiempo y las asociaciones entre las variables explicatorias y las respuestas. El nivel de respuesta promedio puede ser variable entre las unidades de observación. McCulloch (8) sugiere considerar el caso del ajuste de un modelo mixto con una única covariable y con intercepto y pendiente aleatorios de la siguiente manera: y = β + ij β + bi + ( 1 + b1i ) xij eij con i = 1,..., m y j = 1,..., n (4) donde b i son efectos aleatorios de interceptos y b i son efectos aleatorios del intercepto de las unidades para las unidades. Denominamos a la varianza y la covarianza de los efectos aleatorios como: var(b ki ) = σ k con k =, 1 cov = (b i,b1i ) = σ 1 (5) la matriz de covarianzas para el intercepto y la pendiente es σ = σ D 1 (6) σ 1 σ1 Un caso especial importante del modelo (4), sugerido por McCulloch (8), es donde la variable x ij es el tiempo de medición. Entonces β 1 +b 1 i mide el cambio de la respuesta en el tiempo para el Página 45

6 Ortiz, N. del V.; Digonzelli, P. A.; García, M. B.; Fernández de Ulivarri, J.; Romero, E.: Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar i-ésimo sujeto específico, mientras que β +b i mide el nivel de la respuesta promedio para el i-ésimo sujeto específico cuando el tiempo es cero. Los valores no nulo de σ 1 indican que las razones de cambio del sujeto específico están asociadas con los niveles de respuesta promedio del sujeto específico. Siguiendo a McCulloch et al. (8) y a West et al. (7), la especificación general del modelo referido al número de tallos por metro registrado longitudinalmente en el tiempo en cada parcela y la covariable tratamiento, considerando un modelo polinómico de cuarto orden en t que es el número de días posteriores a la cosecha es: Ntallos= β + β 1 t + β t + β 3 t 3 + β 4 t 4 + β 5 tratamiento + β 6 t sin.r + β 7 t sin.r + β 8 t 3 sin.r + β 9 t 4 sin.r+ β 1 t con.r + β 11 t conr + β 1 t 3 conr +β 13 t 4 con.r + u i + u 1i t + u i t + u 3i t 3 + u 4i t 4 + ε tj Donde los u i, representan los efectos aleatorios del intercepto y u 1i, u i, u 3i, u 4i los efectos aleatorios correspondiente al tiempo lineal, cuadrático, cúbico y de cuarto grado. El vector de efectos aleatorios es = ( u,u,u,u, u ) u i i 1i i 3i 4i con u i ~ N(, D), decir, la distribución de los efectos aleatorios, u i, asociados con cada parcela se asume que es normal multivariada con media cero y matriz de covarianzas D. Cada media de los cuatro efectos aleatorios es cero y la matriz de varianzas covarianzas para los efectos aleatorios es: Página 46

7 Huayllu-Bios. Nº 8. Diciembre 14 σ D = σ1 σ1 σ σ3 σ σ σ3 σ3 σ3 σ 4 σ 4 σ4 σ4 σ4 La variable ε tj representa el residuo asociado con la observación en el tiempo t de la parcela i. Se asume normal con media cero y varianza constante. Se realizó primero un análisis descriptivo de los datos por parcela y por tratamiento en el que se observa un comportamiento polinómico de los datos como lo muestran los gráficos de las figuras 1 y. Para determinar el grado del polinomio en la variable t, se ajustaron modelos lineales simples seleccionando el de grado significativo más alto. Resultaron significativos, 3 y 4 grado. Comportamiento del número de tallos por metro Número de tallos por metro Días después de cosecha Figura 1. Página 47

8 Ortiz, N. del V.; Digonzelli, P. A.; García, M. B.; Fernández de Ulivarri, J.; Romero, E.: Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar 8 5 Comportamiento n de tallos/metro para cada tratamiento con.residuos sin.residuos Número de tallos por metro 3 1 Días después de cosecha Figura Se ajustó un modelo lineal mixto con todos los parámetros, usando para las estimaciones máxima verosimilitud para efectos fijos y máxima verosimilitud restringida (REML) para efectos aleatorios. A continuación se ajustaron modelos para la remoción de efectos aleatorios. Se realiza un test de verosimilitud, West et al. (7). Consiste en calcular la diferencia entre los valores REML logaritmo de verosimilitud para el modelo original y el modelo sin efectos aleatorios. Esa diferencia sigue una mezcla de distribuciones χ con igual ponderación ½ con 1 y grados de libertad. El paquete estadístico R realiza el test. El test indicó que todos los efectos aleatorios son necesarios en el modelo. El gráfico de diagnóstico para la varianza de los residuos se observa en la Figura 3. Los gráficos de diagnóstico del supuesto de normalidad para los residuos por parcela, tratamientos y efectos aleatorios se observan en las figuras 4, 5 y 6. Página 48

9 Huayllu-Bios. Nº 8. Diciembre 14 Gráficos de diagnóstico varianza de los residuos 6 4 Residuals - -4 Días después de cosecha Figura 3 Gráficos de diagnóstico para la normalidad de residuos Quantiles of standard normal Residuals Figura 4 Página 49

10 Ortiz, N. del V.; Digonzelli, P. A.; García, M. B.; Fernández de Ulivarri, J.; Romero, E.: Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar con.residuos sin.residuos 3 Quantiles of standard normal Residuals Figura 5 Gráficos de diagnóstico para la normalidad de efectos aleatorios I(dia^3) I(dia^4) Quantiles of standard normal -1.e-6.e+ (Intercept) e-9 e+ e-9 dia I(dia^) Random effects Figura 6 Página 5

11 Huayllu-Bios. Nº 8. Diciembre 14 Resultados Del análisis descriptivo de los datos se observa importante variabilidad en el número de tallos por metro. La destacada correlación de los datos en el tiempo es observada en los gráficos descriptivos por lo que se decide el ajuste de un modelo lineal mixto. Respecto a los resultados referidos a efectos fijos, la diferencia entre los tratamientos no fue significativa mientras que para los restantes fueron significativos. En cuanto a los efectos aleatorios, el test para la remoción de esos efectos indica que deben permanecer en el modelo todos los efectos aleatorios, es decir para el intercepto y para cada grado de la variable referida a días posteriores a la cosecha. Del diagnóstico del ajuste la varianza de los residuos el gráfico de la Figura 3 no muestra tendencia por lo que se puede asumir constante. y media cero para las variables error. De los gráficos las figuras 4 y 5 se aceptan la normalidad de los residuos para los efectos fijos. La figura 6 permite asumir la normalidad de los efectos aleatorios. En el siguiente gráfico, figura 7, puede verse el ajuste del modelo donde se observa el correspondiente para la respuesta promedio marginal y el ajuste por parcela específica. Página 51

12 Ortiz, N. del V.; Digonzelli, P. A.; García, M. B.; Fernández de Ulivarri, J.; Romero, E.: Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar Gráfico del ajuste del modelo fixed parcela Número de tallos por metro Días después de cosecha Figura 7 Página 5

13 Huayllu-Bios. Nº 8. Diciembre 14 Conclusión Es necesario asociar efectos aleatorios a los parámetros del modelo de los datos longitudinales debido a la variabilidad de los datos a fin de modelar la correlación entre las observaciones para cada parcela. La disminución abrupta del número de tallos por metro en casi todas las parcelas formando una trayectoria polinómica generó un modelo lineal de 4 que se manifestó como un buen ajuste. El número de tallos se observa sin diferencias significativas para los dos tratamientos con y sin la cobertura de residuos. El resultado indica que es posible dejar la cobertura sin perjuicio del desarrollo del cultivo en cuanto a la cantidad de tallos y por esto favorecer y mejorar las condiciones del cultivo y de esta manera evitándose los serios problemas de salud poblacional y ambientales que ocasiona a la quema de los residuos. Página 53

14 Ortiz, N. del V.; Digonzelli, P. A.; García, M. B.; Fernández de Ulivarri, J.; Romero, E.: Evaluación Mediante el Ajuste de Modelos Mixtos del Número de Tallos de Caña de Azúcar Referencias CRAWLEY, M. J. (7). The R Book. John Wiley & Sons, Ltd. LAIRD, N. M. and WARE, J. H. (198). Random-effects models for longitudinal data. Biometrics, 38, McCULLOCH, C. E.; SEARLE, S. R. and NEUHANS, J. M. (8). Generalized, Linear, and Mixed Models. John Wiley & Sons, Ltd. R Development Core Team (1). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN , URL WEST, B. T.; WELCH, K. B. and GALECKI, A. T. 7. Linear Mixed Models. Chapman & Hall / CRC. Página 54