1. a) Leyes de Kepler. b) Demuestra la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal de Newton para una órbita circular.

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1 Cuestiones: 1. a) Leyes de Kepler. b) Demuestra la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal de Newton para una órbita circular. Res. a) Consultad libro y apuntes. b) En el movimiento circular del planeta solo actúa la fuerza gravitatoria del Sol (Ley de Newton de la Gravitación Universal) y su efecto es modificar la dirección de la velocidad, es decir hace el papel de fuerza centrípeta (Principio Fundamental de la Dinámica o Segunda Ley de Newton de la Dinámica). Igualando ambas fuerzas podemos obtener la velocidad orbital del planeta: F c = F g mv 2 /r = GM sm /r 2 De donde se obtiene la velocidad con que describe la órbita: v = GM s /r Con el radio de la órbita y el periodo de revolución se puede calcular la velocidad orbital: Si elevamos al cuadrado ambas expresiones obtenemos: v = 2πr / T v 2 = GM T /r v 2 = 4π 2 r 2 /T 2 Igualando ambas expresiones, tenemos: GM s /r = 4π 2 r 2 /T 2 => T 2 = 4π 2 r 3 /GM s = k r 3 que es la expresión de la Tercera Ley de Kepler, siendo k = 4π 2 /GM s. 2. a) Enuncie la ley de gravitación universal y comente el significado físico de las magnitudes que intervienen en ella. b) Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste. Por qué no caen más de prisa los cuerpos con mayor masa? Res. a) Consultad libro y apuntes. b) El peso de un cuerpo en las proximidades del suelo viene dado por: p = mg; y la fuerza en caída libre de un cuerpo viene dada, según la segunda ley de Newton de la Dinámica (principio fundamental de la Dinámica), por: F = ma. Igualando F y p obtenemos: F= p => ma = mg => se va m del primero y segundo miembro de la ecuación y resulta: a = g. Por lo tanto, todos los cuerpos en caída libre adquieren la misma aceleración independientemente de su masa y en consecuencia todos los cuerpos caen con la misma velocidad (V = 2gh ); como demostró Galileo al dejar caer dos cuerpos de igual forma y distinta masa desde lo alto de la torre de Pisa. 3. a) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h suele escribirse como Ep = mgh. i) Comente el significado de dicha expresión. ii) En qué condiciones es válida dicha fórmula? Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 1 de 29

2 b) Por qué la energía potencial gravitatoria de un planeta aumenta cuando se aleja del Sol? Res. a) Consultad libro y apuntes. b) Teniendo en cuenta la fórmula de la energía potencial gravitatoria asociada al sistema Sol-planeta es E P = - GM sm /r, podemos deducir que a medida que crece r el valor de E p se hace un número menos negativo. Por tanto, Ep se hace mayor cuando r crece (cuando r = => E p se hace cero, siendo este el valor máximo de E p). 4. a) Explique las características del campo gravitatorio terrestre. b) Dos satélites idénticos están en órbita circular alrededor de la Tierra, siendo r 1 y r 2 los respectivos radios de sus órbitas (r 1 > r 2 ). i) Cuál de los dos satélites tiene mayor velocidad? ii) Cuál de los dos tiene mayor energía mecánica? Razona tu respuestas. Res. a) Consultad libro y apuntes. b) i) En el movimiento circular de un satélite, construido por el hombre, solo actúa la fuerza gravitatoria de la Tierra, que según la Ley de Newton de la Gravitación Universal viene dada por F g = GM Tm /r 2, y su efecto es modificar la dirección de la velocidad del satélite, es decir hace el papel de fuerza centrípeta, que según la Segunda Ley de Newton de la Dinámica (Principio Fundamental de la Dinámica) viene dada por F c = m a c ; siendo a C = v 2 /r. Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del satélite. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 2 de 29

3 F c = F g mv 2 /r = GM Tm /r 2 y, por consiguiente, la velocidad orbital será: v = GM T /r Cuanto mayor es el radio orbital r, menor es la velocidad orbital. El radio de la órbita en función de la altura del satélite con respecto al suelo de la Tierra vienen dado por: r = R T + H. Teniendo en cuenta la fórmula de v, podemos deducir que v orbital es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio orbital. Por tanto el satélite que orbita más cerca de la Tierra, el de menor r (menor altura, H) tendrá mayor velocidad orbital. En nuestro caso, el satélite cuyo radio orbital es r 2. ii) Por definición la E m = E c + E p, como E c = ½ mv 2 y v 2 = GM Tm /r (según se deduce de la fórmula de la velocidad orbital); la energía cinética vendría dada por; E c = ½ GM Tm /r, y como, por otro lado, tenemos que la energía potencial gravitatoria asociada al sistema Tierra-satélite es E p = - GM T m /r. Por tanto, la energía mecánica viene dada por: E m = ½ GM Tm /r + (- GM Tm /r) = - ½ GM Tm /r Teniendo en cuenta la fórmula de E m, podemos deducir que a medida que crece r el valor de E m se hace un número menos negativo. Por tanto, E m se hace mayor cuando r crece. Por lo tanto, el satélite que orbita más lejos de la Tierra, el de mayor r (mayor altura, H) tendrá mayor energía mecánica. En nuestro caso, el satélite cuyo radio orbital es r a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las aproximaciones de las dos masas se coloca una tercera masa, también puntual? Haga un esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa. Res. a) y b) Consultad libro y apuntes. 6. Una partícula se mueve bajo la acción de una sola fuerza conservativa. El módulo de su velocidad decrece inicialmente, pasa por cero momentáneamente y más tarde crece. a) Ponga un ejemplo real en el que se observe este comportamiento. b) Describa la variación de la energía potencial y la de la energía mecánica de la partícula durante su movimiento. Res. a) y b) Consultad libro y apuntes (resorte o muelle oscilando con un movimiento tipo m.a.s.). 7. a) Defina los términos fuerza conservativa y energía potencial y explique la relación entre ambos. b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa, cuántos términos de energía potencial hay en la ecuación de conservación de la energía mecánica de esta partícula? Cómo aparece en dicha ecuación la contribución de la fuerza no conservativa? Razone la respuesta. 6. Res. a) Consultad libro y apuntes. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 3 de 29

4 b) Para responder a estas cuestiones vamos a admitir que tenemos una fuerza de rozamiento como ejemplo de fuerza no conservativa y tres fuerzas conservativas como son: una fuerza gravitatoria, otra elástica y otra electrostática. En primer lugar vamos a responder al último apartado de esta pregunta. - Teniendo en cuenta el Teorema General de Leibnitz o Teorema General de la Energía Cinética: W T = E c, como W T = W r + W FC en donde W r = sumatoria de todos los trabajo de fuerzas no conservativas como son las fuerzas de rozamiento, y W FC = sumatoria de todos los trabajos de las fuerza conservativas que intervengan. Obtenemos: W r + W FC = E c => W r = E c W FC ; por el Teorema de la Energía Potencial sabemos que: - W FC = E p (energía potencial gravitatoria)+ E p (energía potencial elástica) + U ( energía potencial electrostática) = E p (energías potenciales), y por tanto W r = E c + E p y como por definición E c + E p = E m llegamos a la expresión: W r = E m esta expresión nos relaciona el trabajo de una fuerza conservativa con la variación de la energía mecánica de nuestro sistema. Por último respondemos a la primera cuestión admitiendo que no hay rozamiento, por tanto se cumple el principio de conservación de la energía mecánica. W r = E m si W r = 0 => 0 = E m en donde la variación de la energía mecánica tiene tres término, como se ha visto anteriormente, uno por cada fuerza conservativa que interviene. 8. a) Explique qué son fuerzas conservativas. Ponga algunos ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas. b) Un campo uniforme es aquél cuya intensidad es la misma en todos los puntos. Tiene el mismo valor su potencial en todos los puntos? Razone la respuesta. Res. a) En general, una fuerza F que actúa sobre una partícula se dice que es conservativa cuando el trabajo realizado por ella es independiente del camino seguido por la partícula cuando se desplaza desde un punto a otro. El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende exclusivamente de las posiciones inicia y final. Toda fuerza que solamente depende de su punto de aplicación, es decir, de la posición de la partícula sobre la que actúa, F = f(r), es conservativa. Ejemplos: - La fuerza recuperadora de un resorte F (x)= -k x (Ley de Hooke). - La fuerza de atracción gravitatoria F (r) = GMm/r 2 > El trabajo efectuado en contra de la gravedad y el trabajo realizado para deformar un resorte quedan almacenados en forma de energía potencial o energía asociada a la posición. > La fuerza gravitatoria y la fuerza elástica son fuerzas conservativas porque tienen la facultad de restituir el trabajo que se hizo para vencerlas. > Todo cuerpo situado a una cierta altura y todo cuerpo elástico deformado pueden realizar trabajo porque poseen energía potencial. En general, una fuerza F que actúa sobre una partícula se dice que es no conservativa cuando el trabajo realizado por ella es dependiente del camino seguido por la partícula cuando se desplaza desde un punto a otro. Ejemplos: Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 4 de 29

5 - La fuerza de rozamiento que se manifiesta cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie rugosa: F r = μ N. - La fuerza de rozamiento que aparece cuando un cuerpo respecto a un fluido, como el aire, tiene velocidad. Esta fuerza de rozamiento en todo los casos es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo con respecto al fluido en el que se está moviendo. 9. a) Explique la relación entre fuerza conservativa y variación de energía potencial. b) Un cuerpo cae libremente sobre la superficie terrestre. Depende la aceleración de caída de las propiedades de dicho cuerpo? Razone la respuesta. Res. a) Se define como fuerza conservativa a toda aquella para la que es posible definir una función matemática que depende de las coordenadas del cuerpo, de manera que es posible calcular el trabajo que esta fuerza realiza al actuar entre dos puntos como un simple incremento de los valores que toma dicha función. Es decir, para una fuerza conservativa, el trabajo realizado en un trayecto es independiente del camino seguido, sólo depende de las variaciones de energía potencial. De ello se desprende, que en un camino cerrado el trabajo que realizará este tipo de fuerzas será nulo, ya que no se producirá incremento de energía potencial. Según el teorema de la energía potencial, el trabajo realizado por una fuerza conservativa se produce a expensas de una disminución en la energía potencial, o sea: W A->B = - (Ep B Ep A) = - E p b) En ausencia de rozamiento la única fuerza actuante es el peso, de carácter conservativo. En la caída libre la energía potencial se transforma en energía cinética, de modo que con un simple balance energético podemos demostrar que la velocidad de caída no depende de la masa del cuerpo sino de la gravedad del planeta y la diferencia de nivel o de altura: Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica E m = 0 => E p + E c = 0 => - E p = E c => - mg (- h) = ½ mv 2 0, de donde v = 2g h De otro modo, sabemos que el peso es proporcional a la masa del cuerpo, con lo que con cuantos mas masivo es un cuerpo actúa sobre él una fuerza mayor. Pero, por otro lado, la aceleración que experimentará el cuerpo será inversa a su masa (inercia). Con todo esto y admitiendo ausencia de rozamiento, cabe esperar la misma aceleración de caída para cualquier cuerpo. Por definición: p = mg 2ª Ley de Newton de la Dinámica: F = ma igualándolas obtenemos: p = F => mg = ma => a = mg / m = g. Ahora bien, es cierto que la única fuerza que actúa en la caída no es el peso. También interviene de forma significativa la fricción con el aire que, depende en gran medida de la forma y naturaleza de la superficie del cuerpo. En términos generales, el rozamiento afecta más a los cuerpos menos masivos, ya que para ellos el valor del rozamiento repercute en Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 5 de 29

6 mayor proporción respecto al peso. Esto es aún más severo si el cuerpo tiene una forma poco aerodinámica. 10. a) Qué criterio puedes aplicar para saber si una fuerza dada es conservativa o no? b) Demuestra que la fuerza elástica F = - kx (Ley de Hooke) es conservativa. Res. a) En general, una fuerza F -> que actúa sobre una partícula se dice que es conservativa cuando el trabajo realizado por ella es independiente del camino seguido por la partícula cuando se desplaza desde A hasta B (Fig. 1). El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende exclusivamente de las posiciones inicial y final. R Por tanto, podemos decir que una fuerza es conservativa si el trabajo total realizado sobre k un cuerpo, cuando éste describe una trayectoria cerrada, es cero / j es cero. i B * Toda fuerza que solamente depende de su punto de aplicación, ᶺ / \ ᶺ es decir, de la posición de la partícula sobre la que actúa, F = f(r), 1 / / \ \ 2 es conservativa. Ejemplos: / \ La fuerza recuperadora de un resorte \ / \ / F -> = - k x -> \ / La fuerza gravitatoria \ / A F -> = G Mm/r 2 Fig.1. El trabajo de una fuerza conservativa no depende de la trayectoria. Nota: La fuerza gravitatoria y la fuerza elástica son fuerzas conservativas porque tienen la facultad de restituir el trabajo que se hizo para vencerlas. El trabajo efectuado en contra de la gravedad y el trabajo realizado para deformar un resorte quedan almacenados en forma de energía potencial o energía asociada a la posición. Todo cuerpo situado a una cierta altura y todo cuerpo elástico deformado pueden realizar trabajo porque poseen energía potencial. b) Como he indicado en el apartado anterior, una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado a lo largo de una línea cerrada es cero. Es decir, si el trabajo total que ha realizado sobre una partícula cuando ésta vuelve a su posición inicial es nulo. Paso a demostrar que la fuerza elástica es conservativa. En primer lugar, admitimos que las fricciones de cualquier tipo son despreciables. Vamos a calcular el trabajo que se debe realizar para trasladar la masa m alargando el muelle de la figura desde el punto inicial A (posición de m F -> dr -> equilibrio x i = 0) hasta un punto final B (posición final x f = x) venciendo la fuerza recuperadora. A B Por ejemplo, para desplazar la masa m de la x i = 0 x f = x Figura 1 se debe realizar una fuerza F -> para vencer la fuerza elástica del resorte F -> e = -k x ->. Fig. 1. F -> = - F -> e = - (-k x -> ) = k x ->. El trabajo realizado por esta fuerza será: Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 6 de 29

7 B B x x W A->B = F -> dr -> = F dr cos 0º = kx dx = ½ kx 2 ] = ½ kx 2 A A 0 0 Si en el punto B se deja libre el muelle, éste debido a la fuerza recuperadora, vuelve a la posición inicial restituyendo el trabajo realizado. A A 0 0 W B->A = F -> dr -> = F dr cos 0º = kx dx = ½ kx 2 ] = -½ kx 2 B B x x Luego el trabajo total realizado es cero: W A->A = W A->B + W A->B = ½ kx 2 + (-½ kx 2 ) = a) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos. Justifica tu respuesta. b) Demuestra que la fuerza peso es conservativa. Res. a) y b) Consultad libro y apuntes. 12. Comente los siguientes enunciados, definiendo los conceptos físicos asociados y justificando su carácter de verdadero o falso: a) El campo gravitatorio es conservativo y por tanto existe un potencial asociado a él. b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor si lo hace a través de la recta que une dichos puntos, ya que es el camino más corto. Res. a) y b) Consultad libro y apuntes. 13. Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme. a) Aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido de la fuerza ejercida por el campo? Y si se moviera en una dirección perpendicular a dicha fuerza? Razone las respuestas. b) Escriba una expresión del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula para un desplazamiento d, en ambos casos. En qué se invierte dicho trabajo? Res. a) y b) Consultad libro y apuntes. 14. Un bloque de masa m cuelga del extremo inferior de un resorte de masa despreciable, vertical y fijo por su extremo superior. a) Indique las fuerzas que actúan sobre la partícula explicando si son o no conservativas. b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila verticalmente. Analice las variaciones de energía cinética y potencial del bloque y del resorte en una oscilación completa. Res. Consultad libro y apuntes. 15. Razone las respuestas a las siguientes preguntas: a) si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra?; Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 7 de 29

8 b) puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?; puede ser negativa la energía potencial gravitatoria? Res. a) Partiendo de la fórmula E p = mg h, y admitiendo que es válida para cualquier altura, tendríamos que para h = el valor de E p sería infinito. b) - El trabajo realizado por una fuerza gravitatoria no puede ser negativo porque todos los procesos de traslación de masas que se dan espontáneamente dentro del seno de un campo gravitatoria se dan hacia el interior del campo para conseguir el mínimo de energía potencial gravitatoria (Principio de mínima energía potencial de Helmholtz). Demostración: El valor del trabajo realizado por una fuerza gravitatoria cuando una masa m se traslada desde el punto A al punto B situados en el seno del campo gravitatorio creado por la masa M, vine dado por: W = GMm (1/r B 1/r A); si r B es mayor que r A se cumple que el valor del paréntesis es negativo, por tanto, W sería negativo. Esto no puede suceder espontáneamente, las piedras no suben por las laderas ni las aguas de los ríos asciende del mar hacia las montañas. - La energía potencial gravitatoria en un punto interior de un campo gravitatorio sí es negativa, como se puede deducir de su propia definición, pues representa el trabajo que fuerzas exteriores deben realizar para trasladar la unidad de masa desde el infinito a ese punto. Sabemos que W e = -W = - GMm (1/r B 1/r A); si r A = y r B = r podemos obtener: W e = - GMm (1/r 1/ ) = - GMm 1/r, y por definición anterior podemos escribir que: E p = W e = - GMm /r. Luego E p en todos los puntos del campo es negativa, excepto en el infinito que vale cero. 16. Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética; b) la energía cinética necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del origen de energía potencial. Res. a) Es verdadera, según el enunciado del Teorema de la Energía Cinética llamado también Teorema de las Fuerzas Vivas o Teorema de Leibnitz, w = B A F dr = E c(b) E c(a) = E c. b) La velocidad de escape de un cuerpo se obtiene aplicando el Principio de Conversación de la Energía Mecánica (admitimos que no hay ningún tipo de fuerzas de rozamiento), ya que la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo es conservativa. Energía mecánica inicial (en el punto de lanzamiento) = energía mecánica final (que es cero): E c(e) + E p(l) = 0 => ½ mv 2 e + (- GM Tm /r L) = 0. Por tanto, el valor de v e será: v e = 2GM T /r L Sustituyendo el valor de v e en la fórmula de la energía cinética de escape E c(escape) = ½ mv 2 e obtenemos: E c(escape) = ½ m 2GM T /r L = GM T m /r L. De la expresión de la energía cinética de escape podemos deducir que la energía cinética necesaria para que un cuerpo abandone la Tierra depende de la masa de dicho cuerpo de la distancia del punto de lanzamiento al centro de la Tierra, r L, y de la masa de la Tierra, M T, y no de la elección del origen de energía potencial, que podría estar en el interior de una mina, en la orilla del mar o en la cima del Everest, o en el infinito, por tanto esta proposición es falsa. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 8 de 29

9 17. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si la partícula se acerca o se aleja de M. b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento indicado y escriba su expresión. Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectilínea? Res. a) De forma espontanea, una partícula de masa, m, dejada libremente en el interior del campo gravitatorio creado por la masa, M, sufre la actuación de la fuerza de atracción gravitatoria, por lo que tiende a desplazarse hacia el punto más próximo a la masa M, es decir tiende hacia el punto de de menor potencial gravitatorio (ver Figura 1). Figura 1 < r B > ----M A m B <----r A----> La variación del potencial gravitatorio entre dos puntos A y B ( punto A cercano a M y punto B lejano a M) situados en el seno del campo gravitatorio creado por la masa M, vine dado por la expresión: ΔV = V p(b) V p(a) = (- GM1/r B) - (- GM1/r A) = GM (1/r A 1/r B ). De acuerdo con esta expresión si la partícula de masa m se desplazase desde el punto A (de menor potencial gravitatorio) al punto B (de mayor potencial gravitatorio) aumentaría su potencial, ya que ΔV sería positivo al ser r B mayor que r A, y este proceso es imposible que se produzca sin la ayuda de fuerzas externas. Lo natural, lo espontaneo, es que se desplaza hacia el punto A siguiendo la recta de unión de los puntos A y B. b) - La disminución de la energía potencial gravitatoria que experimenta esta partícula mide el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa), y este trabajo produce un aumento de su energía cinética, por tanto, su energía potencial gravitatoria disminuye y su energía cinética aumenta en el mismo valor absoluto, ya que, en ausencia de rozamientos, se debe cumplir el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, puesto que la partícula de masa m se mueve bajo la acción de la gravedad creada por la masa M, que es una fuerza conservativa. ΔE m = ΔE p + ΔE c = GMm (1/r B 1/r A) + ½ m(v 2 A v 2 B) - Si la partícula fuera de A a B su energía potencial gravitatoria aumentaría a costa de disminuir su energía cinética en igual valor absoluto, ya que se debe cumplir el PCEM. Su expresión sería: ΔE m = ΔE p + ΔE c = GMm (1/r A 1/r B) + ½ m(v 2 B v 2 A) En un campo conservativo, como es el campo gravitatorio creado por la masa M, la variación de la energía potencial que sufre una partícula cuando se desplaza desde un punto a otro del campo no depende del camino seguido, depende exclusivamente de las posiciones inicial y final, por tanto no cabría esperar ningunos cambios. 18. a) Enuncie las leyes de Kepler. b) Razone, a partir de la segunda ley de Kepler, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo largo de su órbita al variar la distancia al Sol. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 9 de 29

10 Res. a) y b) Consultad libro y apuntes. 19. a) A qué altura el valor de la gravedad se reduce a la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre? Dato: R T = km. b) Deduce la expresión que te permita calcular cómo varía la gravedad en el interior de la Tierra, supuesto que tiene una densidad constante. Res. a) Supongamos un punto en el interior de la Tierra, situado a una profundidad p respecto de la corteza terrestre y a una distancia r del centro: r = R T p (Fig.1.). El valor de la gravedad en este punto será g r = G m/r 2, donde m es la masa correspondiente a la esfera de radio r. Comparando este valor con el correspondiente en la superficie g 0 = G M T /R 2 T, tenemos: g r/g 0 = G m /r 2 / G M T /R 2 T = R 2 Tm/r 2 M T = R 2 T4/3πr 3 ρ/r 2 4/3πR 3 T = r/r T de donde Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 10 de 29

11 g r = g 0 r/r T sustituyendo el valor de r se obtiene el valor de g r en función de la profundidad g r = g 0 (R T -p)/r T = g 0 (1 p/r T) Hemos supuesto que la densidad de la Tierra es uniforme para poder hacer las sustituciones: m = ρ V r = ρ 4/3πr 3 ; M T = ρ V T = ρ 4/3π R 3 T. por: b) La intensidad de la gravedad en función de la distancia al centro de la Tierra viene dada g = GM T /r 2. Teniendo en cuenta que GM T = g 0 R 2 T obtenemos: g = g 0 R 2 T /r 2. Si se cumple que g = ½ g 0, se deduce: g 0 /2 = g 0 R 2 T /r 2 => r = 2 R T; sabemos que r = R T + H => H = r R T; sustituyendo el valor de r obtenemos: H = 2 R T R T = ( 2-1) R T = 0,41 R T = 0, km = km. 20. En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determina: a) La expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del radio de la órbita. b) La relación que existe su energía mecánica y su energía potencial. Res. a) Teniendo en cuenta el valor de la velocidad orbital obtenida en la respuesta de la cuestión 4. b) i). v = GM T /r => v 2 = GM T /r Por tanto, la energía cinética viene dada por: E c = ½ mv 2 = ½ GM Tm /r b) La energía potencial gravitatoria asociada al sistema Tierra-satélite es E p = - GM T m /r, cuya relación con la energía mecánica es: E m = E c + E p = ½ GM Tm /r + (- GM Tm /r) = - ½ GM Tm /r = ½ E p 21. a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Qué ocurrirá en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la de escape? Res. a) La velocidad de escape, es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo se aleje indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso. Si un objeto está sobre la superficie de un planeta posee una energía potencial gravitatoria dada por: E p = - GM m / R ; donde M y R son, respectivamente, la masa y el radio del planeta. Puesto que el origen de energía potencial está situado en el infinito (E p= - GM m / r cuando r = => E p = - GM m / = 0), para que un cuerpo escape deberá poseer una energía mecánica igual o mayor a cero (E m 0). Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 11 de 29

12 Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condición de anular la energía potencial gravitatoria que tiene el cuerpo en la superficie del planeta con la energía cinética de escape comunicada en el punto de lanzamiento situada en el suelo del citado planeta. ½ mv 2 e + (- GM m / R) = 0 despejando v e, tenemos v e = 2GM / R Para el caso de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de 11,2 km/s, de acuerdo con el siguiente cálculo: v e = 2GM / R = 2 6, Nm 2 kg -2 5, kg / 6, kg = m/s = 11,2 km/s. b) Si el cuerpo posee una altitud 0 (situado en el polo norte para evitar la velocidad tangencial que tienen todos los cuerpos situados en la superficie terrestre ocasionada por el giro de espín de la Tierra) poseerá únicamente energía potencial gravitatoria, que es en todo punto negativa y en este caso coincide con la energía de ligadura o de unión al campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra. E m = E c + E p = 0 + E p = E p = - GM T m/r T Donde m es la masa del cuerpo, M T la de la Tierra y R T el radio de la Tierra. El trabajo necesario para alejarlo indefinidamente del planeta debe ser igual a la energía cinética de escape en la superficie que debemos de comunicarle con el fin de anular por completo la energía potencial gravitatoria que lo mantiene ligado a la Tierra. Por tanto y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía. W e = GM T m/r T. 22. a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m, situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra, para que se alejara indefinidamente de ella. Res. a) La velocidad de escape, es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo se aleje indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso. Si un objeto está sobre la superficie de un planeta posee una energía potencial gravitatoria dada por: E p = - GM m / R ; donde M y R son, respectivamente, la masa y el radio del planeta. Puesto que el origen de energía potencial está situado en el infinito (E p= - GM m / r cuando r = => E p = - GM m / = 0), para que un cuerpo escape deberá poseer una energía mecánica igual o mayor a cero (E m 0). Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condición de anular la energía potencial gravitatoria que tiene el cuerpo en la superficie del planeta con la energía cinética de escape comunicada en el punto de lanzamiento situada en el suelo del citado planeta. ½ mv 2 e + (- GM m / R) = 0 despejando v e, tenemos v e = 2GM / R Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 12 de 29

13 Para el caso de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de 11,2 km/s, de acuerdo con el siguiente cálculo: v e = 2GM / R = 2 6, Nm 2 kg -2 5, kg / 6, kg = m/s = 11,2 km/s. b) Si el cuerpo posee una altitud h, sin orbitar, poseerá únicamente energía potencial gravitatoria, que es en todo punto negativa y en este caso coincide con la energía de ligadura o de unión al campo gravitatorio terrestre. E m = E c + E p = 0 + E p = E p = - GM T m / (R T + h) Donde m es la masa del cuerpo, M T la de la Tierra, R T el radio de la Tierra y h la altitud. El trabajo necesario para alejarlo indefinidamente del planeta debe ser igual a la energía cinética de escape a esa altura que debemos de comunicarle con el fin de anular por completo la energía potencial gravitatoria que lo mantiene ligado a la Tierra. Por tanto y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía. W e = GM T m /(R T + h). 23. Un satélite de masa m se desplaza en torno de un planeta de masa M en una órbita circular de radio r. a) Calcula la velocidad del satélite. b) Comprueba que la energía mecánica del satélite es numéricamente igual a la mitad de su energía potencial. Res. Consultad las respuestas de la cuestión 4. b) i) y Sean A (afelio) y B (perihelio) dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más alejado del sol que B. a) Haga un análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de la energías cinética y potencial en A y en B. b) i) En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la velocidad? ii) En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la aceleración? Res. a) Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 13 de 29

14 a) Debido a que la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cometa es central deducimos que es conservativa, por consiguiente la energía mecánica se conserva si admitivos que no hay fuerzas de rozamiento de ningún tipo. Es la misma, pues, en el perihelio que en el afelio Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 14 de 29

15 (tengamos en cuenta que la energía cinética en el perihelio es mayor que en el afelio y se compensa la menor energía potencia). La energía potencial en el perihelio y en el afelio son respectivamente: E p B (perihelio) = - GMm/r B; E p A (afelio) = - GMm/r A E p B<E p A al ser más negativa en el perihelio que en el afelio. La E p A>E p B => E c A<E c B. Demostración: Como W r = ΔE m => 0 = ΔE m por tanto la energía mecánica se conserva (P.C.E m). Por consiguiente se verifica que E m perihelio = E m afelio, o lo que es lo mismo E m B = E m A. En función de la energía cinética y potencial tendríamos: E c B + E p B = E c A + E p A => -GMm/r B + ½ mv B 2 = -GMm/r A + ½ mv A 2 => => -GM/r B + ½ v B 2 = -GM/r A + ½ v A 2 => ½ (v B 2 v A2 ) = GM (1/r A 1/r B). como r B<r A será v B mayor que v A para que la igualdad se mantengan. Por tanto la energía cinética en el perihelio será mayor que en el afelio. Cuando el cometa se aleja del Sol aumenta su energía potencial gravitatoria a costa de disminuir su energía cinética; y cuando se acerca al Sol disminuye su energía potencial gravitatoria a costa de aumentar su energía cinética. b) i) El momento angular se conserva ya que el cometa está sometido solo a una fuerza central (la fuerza gravitatoria). Por tanto se verifica que: l B = l A => r B x m v B = r A x m v A En el perihelio y en el afelio los vectores de posición y velocidad son perpendiculares entre sí, por lo que se cumple que r Bmv B = r Amv A => r Bv B = r Av A Si r B<r A, se ha de cumplir que v B>v A. ii) En las posiciones de perihelio y de afelio solamente existe la aceleración centrípeta o normal: a B perihelio = v 2 B /r B = GM/r 2 B; a A afelio = v 2 A /r A = GM/r 2 A => a B/a A = r 2 A/r 2 B Si r B<r A, se ha de cumplir que a B perihelio > a A afelio. 25. a) La Tierra está dentro del campo gravitatorio solar. Por qué la Tierra no se precipita sobre el Sol? b) Demuestra la Ley de Kepler de los Periodos. Res. Consultad la respuesta de la cuestión 1. b). 26. En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determina: Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 15 de 29

16 a) La expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del radio de la órbita. b) La relación que existe su energía mecánica y su energía potencial. Res. a) La Tierra es un planeta situado en una órbita prácticamente circular y estable alrededor del Sol. Por ello la podemos considerar que está cayendo continuamente sobre el Sol; pero no cae sobre él debido a que su velocidad tangencial ocasiona que la trayectoria de caída sea concéntrica con la superficie del Sol, y se vea a la Tierra desde la superficie del Sol una altura fija. Por tanto. se produce una trayectoria circular estable en torno al astro rey. Es un caso similar al movimiento de tiro horizontal que está constituido por la composición de dos movimientos perpendiculares entre sí: uno dirigido hacia el centro del Sol de caída libre y otro perpendicular al anterior con una velocidad lineal (velocidad tangencial) constante igual a la velocidad orbital de la Tierra. b) Consultad las respuestas de la cuestión Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente. b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos. Res. a) Consultad las respuestas de la cuestión 2. b). b) Consultad libro y apuntes. 28. a) Si sobre un sistema actúan tres fuerzas conservativas diferentes una no conservativa, cuántos términos de energía potencial hay en el teorema del trabajo y energía? b) A qué distancia del centro de la Tierra, y en el interior de ésta, la intensidad del campo gravitatorio terrestre es igual a su valor en un punto que dista del centro de la Tierra una longitud igual a dos veces el radio terrestre? Res. a) La energía potencial es una magnitud característica de las fuerzas conservativas. Por tanto, habrá tres términos de energía, uno por cada fuerza conservativa. Por ejemplo el sistemas constituido por una fuerza de rozamiento y la existencia de un campo gravitatorio, un campo elástico y un campo eléctrico. El teorema general de Leibnitz nos permite escribir: W r = ΔE c + ΔE P g + ΔE P e + ΔE P ee donde W r = trabajo de la fuerza de rozamiento ΔE c = variación de energía cinética ΔE P g = variación de la energía potencial gravitatoria ΔE P e = variación de la energía potencial elástica ΔE P ee = variación de la energía potencial electrostática. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 16 de 29

17 b) Sea P de la figura 1. el punto pedido. La intensidad del campo en ese punto es: g h = g 0 x/r T El campo en el punto B vale: g h /g 0 = G R 2 T / (R T + h) 2 = g 0 R 2 T/(R T + R T ) 2 = g 0 /4 Igualando tenemos: g 0 x/r T = g 0 /4; x = R T /4. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 17 de 29

18 Problemas: 29. Suponga que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular, de radio 1, m. a) Calcule razonadamente la velocidad de la Tierra y la masa de Sol. b) Si el radio orbital disminuye un 20 %, cuáles serían el periodo de revolución y la velocidad orbital de la Tierra? G = 6, Nm 2 kg -2. Soluciones: a) v = 30 kms -1 ; M s = kg. b) T = 261,2 días; v = 33,41 kms -1. Res. a) - Con el radio de la órbita y el periodo de revolución (la Tierra da una vuelta alrededor del Sol cada 365 días, es decir un año: T = s = s) se puede calcular la velocidad orbital: v = 2πr /T = 2π 1, m /( s) = ms -1 = 30 km/s = km/h. En el movimiento circular de un planeta, solo actúa la fuerza gravitatoria del Sol, que según la Ley de Newton de la Gravitación Universal viene dada por F g = GM SM T /r 2, y su efecto modifica la dirección de la velocidad del planeta, es decir hace el papel de fuerza centrípeta, que según la Segunda Ley de Newton de la Dinámica (Principio Fundamental de la Dinámica) viene dada por F c = M T a c ; siendo a C = v 2 /r. Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del planeta. F c = F g M Tv 2 /r = GM S M T /r 2 y, por consiguiente, la velocidad orbital será: v = GM S /r Por otra parte, si elevamos al cuadrado las dos expresiones que tenemos de la velocidad orbital obtenemos: v 2 = GM S /r v 2 = 4π 2 r 2 / T 2 Igualando estas dos últimas expresiones, tenemos: GM S /r = 4π 2 r 2 / T 2 y, por consiguiente la masa del Sol será: M S = 4π 2 r 3 /GT 2 = 4π 2 ( 1, m) 3 / (6, Nm 2 kg -2 ) ( s) 2 = kg. b) - De la expresión GM S /r = 4π 2 r 2 / T 2 podemos deducir la Tercera ley de Kepler. T 2 = 4π 2 r 3 /GM S = k r 3, siendo k = 4π 2 /GM S, esta ley la podemos escribir de la siguiente forma: T 2 1 /r 3 1 = T 2 2 /r 3 2 => T 2 2 = (r 3 2 /r 3 1) T 2 1 = (r 2 /r 1) 3 T 2 1, según los datos del problema el radio orbital se reduce un 20 % y, por consiguiente r 2 = 0,8 r 1. Sustituyendo datos en la fórmula de T 2 2, T 2 2 = (r 2 /r 1) 3 T 2 1 = ( 0,8 r 1 / r 1) 3 (365 días) 2 = ,12 días 2 de donde podemos hallar el nuevo periodo de la Tierra: T 2 = ,12 días 2 = 261,2 días. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 18 de 29

19 - La nueva velocidad orbital sería: V = 2πr / T = 2π (0,8 1, m) /(261, ) = ms -1 = 33,41 kms -1 = = km/h. 30. a) Determine la densidad de la media de la Tierra. b) A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte? G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = km; g = 9,8 m s -2. Soluciones: a) ρ = kgm -3. b) H = km. Res. a) En el supuesto de que la forma de la Tierra es esférica, la densidad de la misma se puede determinar utilizando la fórmula siguiente: ρ = M T /V T La gravedad de la Tierra viene dada por : g 0 = GM T /R 2 T,de donde se deduce la masa del planeta: M T = g 0 R 2 T /G y, teniendo en cuenta que su volumen viene dado por V T = (4π /3) R 3 T, obtenemos la siguiente expresión de la densidad media de la Tierra: ρ = M T /V T = g 0 R 2 T /(G¾ π R 3 T ) ρ = 3g 0 /(4πGR T ) = 3 9,8 m s -2 /(4π 6, N m 2 kg m) = kgm -3. b) La gravedad en función de la distancia del centro de la Tierra al punto exterior considerado vale g = g 0R 2 T /r 2. Si se cumple que g = ⅓ g 0, se deduce: ⅓ g 0 = g 0R 2 T/r 2 ; ⅓ = R 2 T/r 2 de donde r = 3 R T y, teniendo en cuenta que r = R T + H e igualando las dos expresiones de r, obtenemos: 3 R T = R T + H de donde se deduce que: H = 3 R T R T = ( 3-1) R T = ( 3-1) km = km. 31. Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x 1 hasta otro punto x 2, realizando un trabajo de 50 J. a) Determine la variación de energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la energía potencial de la partícula es cero en x 1, cuánto valdrá en x 2? b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del reposo en x 1, cuál será la velocidad en x 2?; cuál será la variación de su energía mecánica? Soluciones: a) E p = - 50 J; E px2 = - 50 J. b) v x2 = 141,42 ms -1 = 509 km/h. E m = 0. Res. a) Según el Teorema de la Energía Potencial: E p = - W = - 50 J. E p = E px2 E px1 de donde E px2 = E p + E px1 ; sustituyendo datos obtenemos el valor de E px2: E px2 = - 50 J + 0 = - 50 J. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 19 de 29

20 b) - Teniendo en cuenta el Teorema General de Leibnitz o Teorema General de la Energía Cinética: W T = E c, como W T = W r + W FC en donde W r = trabajo de rozamiento y W FC = trabajo de una fuerza conservativa. Obtenemos: W r + W FC = E c => W r = E c W FC ; por el Teorema de la Energía Potencial sabemos que: W FC = E p, y por tanto W r = E c + E p y como E c + E p = E m llegamos a la expresión: W r = E m ; como no hay rozamiento, se cumple el Principio de Conservación de la Energía Mecánica. E m = 0 y, por tanto E c + E p = 0 => E c = - E p = - (- 50 J) = 50 J. - Calculo de la velocidad en x 2: Partiendo de que E c = E cx2 - E cx1 => E cx2 = E c + E cx1 = 50 J + 0 = 50 J; utilizando la fórmula de la energía cinética E cx2 = ½ mv 2 x2 y despejando la velocidad obtenemos: v x2 = 2E cx2/m = 2 50 J /0,005 kg = 141,42 ms -1 = 509 km/h. 32. a) Explique la influencia que tienen la masa y el radio de un planeta en la aceleración de la gravedad en su superficie y en la energía potencial de una partícula próxima a dicha superficie. b) Imagine que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cuádruple, cuál sería en nuevo valor de g? ; y el nuevo período de la Luna? Datos: G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = km; M T = kg; d T-L = 3, km. Soluciones: b) g = 9,77 ms -2 ; T = s = 13,68 días. Res. a) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es g 0 = p 0/m = (G M T m/r 2 T)/m = G M T /R 2 T y, por tanto, la gravedad en la superficie terrestre es directamente proporcional a la masa de la Tierra e inversamente proporcional al cuadrado del radio terrestre (y no depende de la masa de la partícula). - La energía potencial gravitatoria de una partícula próxima a la superficie terrestre viene dado por la expresión: E p0 = - G M Tm /R T y, por tanto la energía potencial gravitatorio en la superficie terrestre, en valor absoluto, es directamente proporcional a la masa de la Tierra y a la masa de la partícula e inversamente proporcional al radio terrestre. b) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es: g 0 = G M T/R 2 T = 6, N m 2 kg kg / ( m) 2 = 9,77 ms -2. Si aumenta el radio de la Tierra al doble y su masa al cuádruple: g 0 nueva = G 4M T/(2R T) 2 = G 4M T/4R 2 = G M T/R 2 T = g 0 = 9,77 ms -2 La nueva intensidad del campo gravitatoria en la superficie terrestre sería igual a la intensidad del campo gravitatoria actual de la Tierra. - El periodo de la Luna en función de la distancia d T-L viene dado por la expresión: T = 2π d T-L/v. Sabemos que la velocidad orbital en la nueva situación es: v = G 4M T/d T-L Por consiguiente: Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 20 de 29

21 T = 2π d T-L/ G 4M T/d T-L = 2π 3, m / 6, N m 2 kg kg /3, m = s T = 13,68 días. 33. Un meteorito de kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión? b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. Con qué velocidad llega a la superficie terrestre? Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida? Razone las respuestas. G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = km; M T = kg. Soluciones: a) p = 199,4 N; E m = J. b) E p se va transformando en E c ; v = ms -1 = km/h. No, ya que el campo gravitatorio es conservativo. Res. a) - Según la Ley de Gravitación Universal el peso del meteorito en función de la altura es: p = mg = G M T/(R T + H) 2 = kg 6, N m 2 kg kg /(6, m + 6 6, m) 2 = = 199,4 N. - La energía mecánica tras su colisión es la energía potencial gravitatoria que posee a esa altura, puesto que su energía cinética después de la colisión es cero. E m = E p = - G M Tm /(R T + H) = kg 6, N m 2 kg kg /(6, m +6 6, m) = = J. b) Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento, su energía potencial se va transformando en energía cinética a medida que va bajando. En este caso se cumple el Principio de Conservación de la Energía Mecánica y, por tanto Em a esa altura = Em suelo => Ec H + Ep H = Ec suelo + Ep suelo => 0 + (- G MTm /(RT + 6 RT) ) = ½ mv 2 suelo + (- G MTm /RT ) de donde ½ mv 2 suelo = G M Tm /R T - G M Tm /(R T + 6 R T); ½ v 2 suelo = G M T(1 /R T - 1 / 7R T) = (G M T /R T) (1-1 / 7); v suelo = 2(G M T /R T) (1-1 / 7) = (2 6, N m 2 kg kg / 6, m) (1-1 / 7) = ms -1 v = ms -1 = km/h. No, porque estamos en un campo de fuerzas conservativo y, por consiguiente el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria no depende del camino seguido. Y teniendo en cuenta, el Teorema de las Fuerzas Vivas obtenemos: W = E c y W = - E p => E c = - E p => E c 0 =- E p => E c = -(E p - E ph) => ½ mv 2 = E ph E p de donde v = 2m(E ph E p). Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 21 de 29

22 34. Un cuerpo de 300 kg situado a km de altura sobre la superficie terrestre, cae hacia el planeta. a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcule con qué velocidad llega a la superficie, suponiendo que el cuerpo partió del reposo. b) A qué altura sobre la superficie terrestre debe estar el cuerpo para que su peso se reduzca a la cuarta parte de su valor en la superficie? G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = km; M T = kg. Soluciones: a) v = 7.406,2 ms -1 = ,3 km/h. b) H = km. Res. a) Consultad las respuestas del problema 33. b). b) Consultad las respuestas del problema 30. b). 35. Dos partículas de masas m 1 = 2 Kg y m 2 = 5 kg están situadas en los puntos P 1 (0,2) m y P 2 (1, 0) m, respectivamente. a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto O (0,0) m y en el punto P (1, 2) m y calcule el campo gravitatorio total en el punto P. b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,1 kg desde el punto O al punto P. G = 6, N m 2 kg -2. Soluciones: a) E = 15, N kg -1. b) W e = J. Res. a) y b) Consultad libro y apuntes. 36. a) Razone cuáles son la masa y el peso de una persona de 70 kg en la superficie de la Luna. b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento. G = 6, N m 2 kg -2. M L = 7, kg; R L = 1, m. Soluciones: a) m = 70 kg; p = 113,61 N. b) h = 7,3 m; E c = - E p ; E m = 0. Res. a) - La masa no varía, es la misma que en la Tierra. - La g L = GML /R 2 L = 6, N m2 kg -2 7, kg /(1, m) 2 = 1,623 ms -2 ; su peso viene dado por: p L = mg L = 70 kg 1,623 ms -2 = 113,61 N. b) Se trata de un MRUV (movimiento de cada libre en la Luna), la g L es constante por que estamos en un punto próximo a la superficie lunar. Luego aplicando la fórmula h = ½ g Lt 2 = ½ 1,623 ms -2 (3 s) 2 = 7,3 m. - Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento, su energía potencial se va transformando en energía cinética a medida que va bajando. En este caso se cumple el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, y por tanto Em = 0 lo que ocasiona que Ec = - Ep. Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 22 de 29

23 37. Suponga que la masa de la Tierra se duplicara. a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante. b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, cuál sería el valor de g en la superficie terrestre? G = 6, N m 2 kg -2 ; R T = km; M T = kg; R orbital Luna = 3, km. Soluciones: a) T = s = 19,37 días. b) g = 4,93 ms -2. Res. a) El periodo de la Luna en función de la distancia d T-L viene dado por la expresión: T = 2π d T-L/v. Sabemos que la velocidad orbital en la nueva situación es: v = G 2M T/d T-L Por consiguiente: T = 2π d T-L/ G 2M T/d T-L = 2π 3, m / 6, N m 2 kg kg /3, m = s. T = 13,68 días. b) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es: g 0 = G M T/R 2 T = 6, N m 2 kg kg / ( m) 2 = 9,86 ms -2. Si aumenta el radio de la Tierra al doble y su masa al doble: g 0 nueva = G 2M T/(2R T) 2 = G 2M T/4R 2 = G M T/2R 2 T = ½ g 0 = ½ 9,77 ms -2 = 4,93 ms -2 La nueva intensidad del campo gravitatoria en la superficie terrestre sería la mitad de la intensidad del campo gravitatorio actual de la Tierra. 38. Dos satélites artificiales de la Tierra S 1 y S 2 describen en un sistema de referencia geocéntrico dos órbitas circulares, contenidas en el mismo plano, de radio r 1 = km y r 2 = km, respectivamente. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado. a) Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites? b) i) Qué relación existe entre los periodos orbitales de los dos satélites? ii) Qué posición ocupará el satélite S 2 cuando S 1 haya completado 6 vueltas, desde el instante inicial? Soluciones: a) v 1 /v 2 = 1,063. b) i) T 1 /T 2 = 0,8331. b) ii) El satélite 2 da 4,9986 = 5 vueltas. Res. a) En el movimiento circular de un satélite, construido por el hombre, solo actúa la fuerza gravitatoria de la Tierra, que según la Ley de Newton de la Gravitación Universal viene dada por F g = GM Tm /r 2, y su efecto es modificar la dirección de la velocidad del satélite, es decir hace el papel de fuerza centrípeta, que según la Segunda Ley de Newton de la Dinámica (Principio Fundamental de la Dinámica) viene dada por F c = m a c ; siendo a C = v 2 /r. Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del satélite. F c = F g mv 2 /r = GM Tm /r 2 y, por consiguiente, la velocidad orbital será: v = GM T /r Profesor de la asignatura: Antonio Torres Bonilla Página 23 de 29