ASPECTOS GENERALES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA CONDUCCIÓN TRANSITORIA.

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1 CONDUCCIÓN TRANSITORIA Aquí encontrarás Los métodos gráficos y el análisis teórico necesario para resolver problemas relacionados con la transferencia de calor por conducción en estado transitorio a través de paredes planas y cilíndricas. Qué debes saber al terminar el estudio.? Determinar temperaturas, tiempo de enfriamiento o calentamiento y densidad de flujo de calor cuando éste se trasmite por conducción en régimen transitorio a través de de cuerpos de secciones cuadradas o cilíndricas. Tópicos 1- Aspectos generales para la solución de problemas relacionados con la conducción transitoria. - Conducción transitoria a través de paredes planas 3- Conducción transitoria a través de paredes cilíndricas. 4- Lo que no puedo dejar de conocer. 5- Orientación de ejercicios. CONTENIDO En la conducción transitoria la temperatura de un mismo punto del cuerpo varía en el intervalo de tiempo, por lo que el flujo de calor no es constante, es decir la conducción transitoria ocurre en los procesos de enfriamiento o calentamiento de superficies sólidas. Ejemplo: calentamiento de un eje en un horno para darle tratamiento térmico, enfriamiento o calentamiento de paredes de hornos, etc. En el proceso de transferencia de calor en estado transitorio tiene una gran importancia la propiedad física de la difusividad térmica, su sentido físico y la forma de determinarla fueron expuestas con anterioridad en el desarrollo del tema 5. ASPECTOS GENERALES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA CONDUCCIÓN TRANSITORIA. Cuando hablamos de conducción transitoria, estamos hablando de un cuerpo que se enfría o se calienta en la medida que transcurre el tiempo (). Para ilustrar lo que explicaremos posteriormente imaginemos una pieza de sección transversal plana (una tira de goma de sección cuadrada) o cilíndrica (eje de un mecanismo cualquiera) que tiene una temperatura inicial (t 0 ) y se coloca en un horno con temperatura (t f ) y que intercambiará calor con la pieza con una intensidad () determinada. En la medida que transcurra el tiempo esta pieza se calentará hasta alcanzar una temperatura (t x ) determinada. La velocidad con que ocurra el calentamiento dependerá, entre otros factores de la difusividad térmica (a), y tendrá una temperatura en su centro (t x=0 ) y otra más alta en su superficie (t x=l ). En este caso pudieran surgir algunas interrogantes, como son: 1- Qué temperatura tendrá el cuerpo en la superficie o en el centro cuando se introduce en el horno por un tiempo determinado? - Cuál será el tiempo necesario que hay que mantener el cuerpo en el horno para que su temperatura en el centro alcance una valor determinado? 3- Cuál es la cantidad de calor que el cuerpo absorbe en un intervalo de tiempo dado? Para dar solución a estas interrogantes se puede utilizar la ecuación diferencial de la transferencia de calor y las condiciones de unicidad. En ausencia de fuentes internas de calor, la ecuación diferencial de la conducción es como sigue:

2 t t a x t y t z En el caso de la conducción en estado transitorio la variación de la temperatura con respecto al tiempo es diferente de cero, por tanto la solución de la ecuación diferencial para este caso es mucho más engorroso que en la conducción estacionaria. Las condiciones de unicidad son las siguientes: 1. Los parámetros físicos: conductividad (), calor específico (c), la densidad (), difusividad térmica (a), etc.. La forma geométrica y dimensiones del cuerpo: (L 1, L, L 3...L N.) que pueden ser la longitud, el radio, si es una pared plana o cilíndrica. 3. La distribución de temperaturas en el estado inicial: =0: t=t 0 =f(x,y,z). Conjuntamente con las condiciones de unicidad y la ecuación diferencial se da la solución matemática del problema, la que consiste en determinar la función: f x y, z,,,, a, t, t, L, L... la ecuación diferencial y las condiciones de unicidad., 0 f 1 L n, que satisfaga Esta ecuación es muy engorrosa y su solución para casos particulares puede verse en alguna literatura especializada. Sin embargo, durante un análisis más detallado de las soluciones, resulta que es posible agrupar todas estas magnitudes en magnitudes adimensionales, que son: 1- Temperatura adimensional () t t x 0 t t f f Donde: t x : Temperatura de un punto x determinado del cuerpo que se enfría o calienta. t o : Temperatura del cuerpo en el instante inicial ( = 0) t f : Temperatura del medio frió o caliente donde está colocado en cuerpo que se enfría o calienta. - Número de Fourier (Fo): Fo a * Lo Donde: a: Difusividad térmica del material sólido que se enfría o calienta. : Tiempo que dura el proceso de enfriamiento o calentamiento. L o : Magnitud lineal de referencia. Este termino causa confusión cuando no se conoce su significado, ya que el puede ser la mitad del espesor de una pieza plana o el radio en el caso de una cilíndrica.

3 3- Número de Biot (Bi) * L0 Bi Donde: : Coeficiente individual de transferencia de calor. Es una magnitud que determina la intensidad con que el medio donde está colocada la pieza intercambia calor con ella. : Conductividad térmica del material que se enfría o calienta. Estos tres números adimensionales se combinan en gráficos que tienen la forma siguiente: Bi Fo En el eje de las ordenadas están situados los valores de la temperatura adimensional y en la coordenada el número de Fourier. En el interior cada una de las líneas representadas corresponde a un valor determinado del número de Biot. En dependencia de lo que se quiera determinar (puede ser tiempo o alguna temperatura) se unen los tres números adimensionales a través del gráfico y se determina el valor deseado. Se fuéramos a dar respuesta a las dos primeras interrogantes del ejemplo inicial obraríamos de la siguiente forma: Para la interrogante 1: se conoce el tiempo y se quiere saber la temperatura, 1. pues determinamos el valor del número de Fourier (Fo) y ubicamos el punto en el gráfico.. Determinamos el valor del número de Biot y trazamos una recta perpendicular desde el valor del número de Fourier hasta que corte a la recta que corresponde con el valor del número de Biot. 3. Trazamos una recta desde la intercepción de la recta anterior con la del número de Biot hasta el eje de las ordenadas y determinamos el valor correspondiente de la temperatura adimensional y de la ecuación correspondiente despejamos el valor de t x. Bi 3 Fo

4 Para la interrogante : se conoce la temperatura y se quiere saber el tiempo en el cuerpo llega a alcanzarla, 1. Conocida las temperatura se determina el valor de la temperatura adimensional () y marcamos su valor en el eje de las ordenadas del gráfico.. Determinamos el valor del número de Biot y trazamos una recta perpendicular desde el valor el eje de las ordenadas hasta que corte a la recta que corresponde con el valor del número de Biot. 3. Trazamos una recta desde la intercepción de la recta anterior con la del número de Biot hasta el eje de las coordenadas y determinamos el valor correspondiente del número de Fourier y de la ecuación correspondiente despejamos el valor del tiempo (). Bi 1 3 Fo Los gráficos para realizar estos cálculos se encuentran en la literatura especializada y nosotros solo analizaremos los que se utilizan para la solución de problemas en el caso de cuerpos de sección rectangular y circular que serán explicados a continuación. CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA. Para los cuerpos de sección transversal rectangular que se enfrían o se calientan se utilizan los gráficos explicados anteriormente, pero es necesario tener en cuenta algunas consideraciones a la hora de analizar los resultados, como son: 1. el cuerpo tiene longitud infinita, por tanto solo se tiene en cuenta el calor que se transmite transversal al eje de la pieza y no se considera el calor que se absorbe o rechaza por sus extremos.. El espesor del cuerpo que debe utilizarse en los cálculos es el medio del espesor total, ya que lo que t f Q Q L 0 = /

5 ocurre de un extremo al centro es el mismo que desde el otro extremo al centro, por tanto la magnitud de referencia (L o ) que se utiliza en los cálculos es el espesor dividido entre dos 3. En los gráficos solo se pueden conocer los parámetros del centro y la superficie del cuerpo, para cualquier otro punto es necesario utilizar métodos matemáticos. Para la solución de problemas relacionados con la transmisión del calor en estado transitorio a través de paredes planas se pueden utilizar dos gráficos. El mostrado en la figura 1, es para hacer los cálculos en la superficie de la placa y el de la figura para el centro. Figura 1: Nomograma para el cálculo en la superficie de la placa plana.

6 Figura : nomograma para el cálculo en el centro de la placa. Ejemplo: Una tira de goma ordinaria dura con espesor 0mm tiene una temperatura uniforme de 140C y es introducida en agua a 15C. El coeficiente de traspaso de calor de la tira al agua es de 65 W/m C. Calcule: a) Tiempo en que la superficie de la tira alcanza los 5C. b) Temperatura en el centro de la tira transcurrido ese tiempo... Qué conozco? Que una tira larga de goma con temperatura inicial (t 0 ) de 140C se introduce en agua con temperatura (t f ) de 15 ºC Intensidad con que el agua fría intercambia calor con la tira caliente (coeficiente de transferencia de calor ) igual a 65 W/m C. Espesor de la tira () 0 mm Análisis teórico del problema. El objeto de estudio es un sólido, por tanto el mecanismo predominante de la transferencia de calo es la conducción, y como éste se está enfriando la conducción es transitoria. Para la solución de este problema debo utilizar gráficos donde se relacionan tres números adimensionales: Fourier, Biot y temperatura adimensional. Solución del problema a) Tiempo en que la superficie de la tira alcanza los 5C. Como se está hablando de una superficie de sección transversal cuadrada y de valores en su superficie de ella se utiliza el gráfico 1. Según el planteamiento del problema debo determinar el tiempo, para ello debo conocer el valor del Número de Fourier y de él despejar el tiempo. Cálculo del número de Biot:

7 * L0 Bi Bi = 65 W/m C; = 0.00 m Lo 65 * m.* = ( ) = 0.16 W/mºC * el espesor de la tira es de 0.00, pero el que se Por lo tanto el número de Bi = 4 sustituye en el valor de la magnitud de referencia (Lo) es su mitad. Calculo de la temperatura adimensional x L t x l t f x L to t f to = 140 ºC tf = 15 ºC tx=l = 5 ºC * x=l = 0.08 * Indica la temperatura en la superficie de la placa. Determinación del número de Fourier: Fo =1.1 Determinación del tiempo Fo a Lo Lo Fo a c = 1380 J/kg ºC = 100 kg/m x10-7 a c* = 113 seg = 1.8 minutos a x *100 b) Tiempo en que la superficie de la tira alcanza los 5 C. Como se está hablando de una superficie de sección transversal cuadrada y de valores en su centro de la tira debemos utilizar el gráfico. Según el planteamiento del problema debo determinar la temperatura que tiene el centro de la tira cuando han transcurrido los 113 segundos, para ello debo determinar la temperatura adimensional y de ella despejar el valor. Con Biot = 4 y Fo = 1.1 en el grafico se termina qué:

8 x=0 = 0.3 Determinación de la temperatura en el centro. x 0 t x 0 t f t0 t f por tanto t x o t f x o (t o t f ) sustituyendo: t x o * (140 15) tx=0 = 5.5 ºC Análisis de los resultados: La tira alcanza los 5 grados en su superficie a los dos minutos aproximadamente y en su centro tiene 5ºC. Nunca puede ocurrir que en un proceso de enfriamiento la temperatura de la superficie sea mayor que la del centro, de ser así deben de corregirse los cálculos porque se está incurriendo en un error grave. Existen algunos casos particulares que son: Cuando el número de Biot es muy grande (Bi >100): estos se cumple cuando el coeficiente individual de transferencia de calor es muy alto y por tanto en ese caso la temperatura de las superficie del cuerpo se iguala inmediatamente a la del medio (tx=l = tf). Para este caso no se utilizan los gráficos y para los cálculos en el centro de la placa se emplea la ecuación siguiente : x 0 4 exp Fo Cuando el número de Biot es muy pequeño (Bi < 0.1), esto se cumple para placas muy delgadas y de alta conductividad térmica, por tanto las condiciones de la superficie son consideradas iguales que a las de la superficie (tx=0 = tx=l). y para los cálculos se utiliza la expresión siguiente: exp ifo La cantidad de calor extraído o absorbido por ambos lados de una placa en el intervalo de tiempo determinado se calcula como:

9 t t f Q M c t 0 t f 1 x t 0 t f Donde: M: Masa del cuerpo c: calor específico t x : temperatura media del cuerpo tx = tx 0 t x Lo - Conducción a través de paredes cilíndricas. Para el caso de las paredes cilíndricas se utiliza el mismo procedimiento que para el cálculo de las paredes planas, solo que en este caso el valor de Lo se sustituye por el radio del cilindro y los gráficos que se utilizan son los mostrados a continuación: Figura 3: nomograma para el cálculo en la superficie de un cilindro.

10 Figura 4: nomograma para el cálculo en el centro de un cilindro. Lo que no puedo dejar de conocer. Para la solución de problemas relacionados con la transferencia de calor por conducción en régimen transitorio se utiliza la ecuación diferencial de la transferencia de calor, pero la solución matemática de la misma es muy engorrosa y por ellos se utilizan nomogramas. Todas las variables involucradas en el proceso pueden ser agrupadas en tres números adimensionales que son: la temperatura adimensional ( ), el Número de Fourier (Fo) y el de Biot (Bi). Existen gráficos para la pared plana, la pared cilíndrica, pero solo para determinar los parámetros en la superficie o el centro del cuerpo. Orientación para resolver ejercicios: Investiguen sobre diferentes software profesionales que existen para resolver problemas relacionados con la transferencia de calor en estado transitorio (Ejemplos:Cosmos, Fluent, etc.).- Este tema complementa el tema pdf Revisión