MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad:

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1 MATEMÁTICA Unidd Geometrí nlític Objetivos de l unidd: Aplicrás correctmente l geometrí nlític: prábol, elipse e hipérbol l encontrr soluciones diverss problemátics del entorno. 55

2 Figurs cónics ests son Circunferenci Prábol Hipérbol sus sus Elementos Ecuciones Elementos Ecuciones son son son son Foco Asíntots Vértice Derectriz Ordinri Generl Focos Vértices Ordinri puede ser Cnónic Generl Ldo recto Ldos rectos Eje conjugdo Eje trnsversl Elipse sus Elementos son Ecuciones son Ldo recto Centro Focos Vértices Ordinri puede ser Cnónic Generl Descripción del proecto: Un de ls plicciones de ls curvs llmds cónics como l prábol se us en el áre de ls comunicciones. Se plnte un problem plicdo un nten prbólic. 56 Mtemátic - Segundo Año

3 Curt Unidd Lección Motivción L prábol Los etremos del cble de un puente se hlln m de distnci entre sí, m del piso. El centro del cble está nivel del piso. Encuentr l ltur del cble sobre el piso un distnci de 3 m de l bse de l torre de mrre. Se supone que el cble resiste un crg de igul peso en distncis horizontles igules. Indicdores de logro Construirás, con orden limpiez, prábols e identificrás con interés seguridd sus elementos. Construirás l ecución ordinri con vértice en el origen o cnónic de l prábol prtir del vértice un prámetro, del foco un punto; de l directriz un foco; con esmero e interés. L Directriz vértice F P Si l distnci del punto P(, ) l rect fij D es igul que l distnci de P(, ) l punto F(foco), entonces se gener l curv llmd prábol. En otrs plbrs, l prábol es el conjunto de puntos en un plno tles que Construcción de l prábol Eje de simetrí Determinrás, con esmero e interés, l ecución de l prábol utilizndo el foco, el vértice l directriz. Resolverás eplicrás, problems del entorno plicndo l ecución de l prábol. su distnci un rect fij llmd directriz (D)es igul su distnci un punto fijo llmdo foco (F)que no está en l rect. Elementos de l prábol Los elementos principles de l prábol son: Directriz (D) Foco (F) Vértice (V) Eje ( FV ) L distnci del vértice l foco del vértice l directriz son igules es decir VF=VD = p El ldo recto (Lr) es l cuerd focl perpendiculr l eje de simetrí Lr = p Segundo Año - Mtemátic 57

4 UNIDAD L prábol = p se bre hci rrib, como en l figur nterior. Además, l prábol = p se bre hci bjo. Ambs son prábols verticles. Ecución de l prábol con vértice en el origen Pr obtener l ecución más sencill de l prábol llmd cnónic, colocmos el eje lo lrgo del eje de l prábol, con el origen en el vértice, como se muestr en l figur. En este cso, el foco F tiene coordends (, p) l ecución de l directriz es = p. (En l figur se muestr el cso p > ) por l fórmul de l distnci, un punto P(, ) está en l gráfic de l prábol si d(p, F) = d(p, D); es decir, si: ( ) + ( p ) = ( ) + ( ( p )) Elev l cudrdo mbos ldos simplific: + ( p ) = ( + p ) + p + p = + p + p = p Si intercmbis ls vribles e obtienes = p. Ést serí l ecución cnónic de l prábol horizontl que se bre hci l derech. Además l prábol = p se bre hci l izquierd. Es importnte que repres en ests pregunts sus respuests: si l vrible que prece elevd l cudrdo es l, l prábol es verticl u horizontl? Y cómo es l prábol si l vrible l cudrdo es l? Ls siguientes figurs te presentn un resumen de lo nterior. Horizontl l derech Verticl hci rrib F(-p, ) F(, p) F(p, ) =p =p =p Horizontl l izquierd = -p F(,p) P(,) V (,) =-p Verticl hci bjo F(,-p) = -p 58 Mtemátic - Segundo Año

5 UNIDAD Ejemplo Resuelve l situción plnted l inicio de l lección el cul consiste en: encontrr l ltur de un cble sobre el piso un distnci de 3 m de l bse de l torre de mrre. Se supone que el cble resiste un crg de igul peso en distncis horizontles igules. (-5,) (5,) Por lo tnto l ltur del cble es de 6 m. Ejemplo Determin el foco l directriz de l prábol = 6. Trz su gráfic. L ecución es de l form = p. Luego, p = 6 o se, 6 3 p = = En consecuenci, l prábol bre hci bjo tiene (-5,) 3 m (5,) - -8 = 3 V Trz los ejes crtesinos tl que el origen coincid con el punto de contcto del cble con el piso. Not que el cble form un prábol verticl hci rrib con vértice en el origen. Luego, es de l form = p. Como el punto (5, ) pertenece l prábol, stisfce su ecución. Luego: ( 5) = p ( ) ( 5) p = =, 5 Entonces, l ecución es: F foco F, como se ilustr en l figur. L directriz es l rect horizontl = 3 que está un distnci 3 por rrib de V. =,5 Observ que deben ser 3 m desde l bse de l torre de mrre como del origen l torre h 5 m; entonces del origen l ltur que buscs h = 5 3 =. Sustitues = m, en l ecución nterior obtienes: () =,5 = ( ) = 6, 5 Segundo Año - Mtemátic 59

6 UNIDAD Ejemplo 3 Determin l ecución de l prábol que tiene su vértice en el origen, se bre l derech ps por el punto P (7, 3). Como se bre l derech, es un prábol horizontl. Por lo tnto, es de l form =p. Esto signific que ls coordends del foco son: 9 8, 9 Luego, su ecución es: = 8, o se, 9 = 7 Ejemplo Encuentr l ecución de l prábol con vértice en el origen cu directriz es l rect =. Con los dtos que se dn puedes hcer un gráfic pr obtener informción. En este cso trzs el vértice V(, ) l directriz =. =- d p v p F(,) Si P (7, 3) es un punto de l prábol, puedes sustituir dicho punto en su ecución. = p ( 3) = p ( 7) 9 = 8 p luego p = = 9/ F (9/8,) Observ que l directriz es un rect verticl. Por lo tnto, l prábol es horizontl, pues su eje es perpendiculr su directriz. Tmbién por l ecución de l directriz =, sbes que p =, que l prábol se bre hci l derech p es l distnci que eiste del vértice de l prábol l directriz. Entonces, l ecución de l prábol se obtiene sustituendo el vlor de p = en l fórmul: = p = () = que es l ecución de l prábol Pr conocer todos los elementos de l prábol, encuentrs ls coordends del foco, l ecución del eje de l prábol l longitud del ldo recto. Ls coordends del foco son F(, ), l ecución del eje es = el ldo recto es Lr = () = 6 Mtemátic - Segundo Año

7 UNIDAD Ejemplo 5 Encuentr l ecución de l prábol con vértice en el origen foco en (5, ). Debido que el foco está en (5, ) el vértice en el origen, p = 5. Un prábol con foco en el eje vértice en el origen, es de l form = p. L ecución es =. Por qué l prábol no se bre hci l izquierd? Pr grficrl, determin l longitud del ldo recto Lr: Lr = p = ( 3) = Con estos dtos trzmos l prábol sin recurrir l tbl de vlores. Cuál es l ecución de l directriz? Lr= 3 5 F(3,) - F(5,) Ejemplo 6 Hll l ecución de l prábol con vértice V (, ) foco F (3, ). -8 Como l ordend del foco es =, entonces l prábol es horizontl, que el foco está en el eje. L ecución que debes utilizr es: = p Ejemplo 7 De ls distints forms de rco usdos en construcciones, uno tiene l form de rco prbólico, como lo muestr l figur de l derech. Determin l ecución del rco prbólico cu ltur es 6 m su clro o luz m. 6 m Como p es l distnci del vértice l foco, p = 3 = 3 Luego, l ecución de l prábol es: m = (3) = Segundo Año - Mtemátic 6

8 UNIDAD Hces coincidir el vértice del rco prbólico con el origen. L ecución del rco prbólico es de l form = p. 6 m A (,) B C(6,) Luego, el foco es F (, ) l directriz es =. El eje de l prábol es el eje o se =. L longitud del ldo recto es Lr = p = ( ) = 8 - Y= Lr= F(,-) - ( ) En l figur puedes observr que A 6, 6 pertenece l prábol por lo que stisfce su ecución: ( 6) = p ( 6) 36 = p 36 3 p = = Luego, l ecución del rco es: 3 = = 6 Ejemplo 8 Encuentr todos los elementos de l prábol cu ecución es + 8 = + 8 = = 8 Est ecución represent un prábol verticl con centro en el origen biert hci bjo, que el coeficiente de es negtivo. = 8 p = 8 p = m Ejemplo 9 Determin todos los elementos de l prábol = 3. L ecución indic que l prábol es horizontl con vértice en el origen, bre l izquierd por el signo negtivo. Tienes: p = 3 3 p = Luego, el foco es F 3, l directriz es = 3. El eje de l prábol es el eje, o se, =. L longitud del ldo recto es p = 3 3 = Lr=3 6 =3/ Mtemátic - Segundo Año

9 UNIDAD Actividd. En cd prábol, determin si es horizontl o verticl hci donde se bre. ) = 6 c) = b) = 8 d) =. Encuentr el foco l directriz de l prábol =, construe su gráfic. 3. Determin l ecución de l prábol si su vértice está en el origen, se bre hci rrib ps por ( 5, 9). Hz lo mismo considerndo que l prábol se bre hci l izquierd.. Grfic encuentr l ecución de l prábol con vértice en (, ) si: ) F(, ) b) D: = 3 c) F 3, Resumen Prábol es el conjunto de puntos tles que l distnci de culquier de ellos un punto fijo llmdo foco, es igul l distnci un rect fij llmd directriz. Ecución Cnónic Abre hci Form de l Gráfic = p Arrib = p Abjo = p L derech = p L izquierd Segundo Año - Mtemátic 63

10 UNIDAD Autocomprobción De ls siguientes prábols, l que se bre hci rrib es: ) = b) = c) = d) = 3 L distnci focl de l prábol = es: ) b) c) 3 d) 3 El foco de l prábol = 8 3 es: ) 3, c) 3, b), 3 d), 3 L ecución de l directriz en l prábol = es: ) = 5 b) = 5 c) = 5 d) = 5 Soluciones. d c.. c. APLICACIONES PARABÓLICAS L superficie de los focos o silbines de un crro tienen form prbólic. Lo nterior se debe que l colocr un fuente de luz en el punto F, l totlidd de l luz que se reflej en l superficie del silbín prece ser es fuente luminos. Est mism propiedd (o su invers) se ocup en el diseño de ntens prbólics, linterns, telescopios, rdres, etc. En ls lups est propiedd se plic pr concentrr los ros luminosos lo cul tiene plicción en l industri, como el clentmiento de hornos. 6 Mtemátic - Segundo Año

11 Curt Unidd Lección Ecución ordinri generl de l prábol con vértice diferente de (, ) Motivción Se está remodelndo un bibliotec se consider l entrd con un puert en form prbólic l cul tendrá.5 metros de ltur en el centro metros de ncho en l bse. Además se introducirán librers de. metros de ncho. Puedes encontrr l ltur máim de ls librers?.5 m. m m Indicdores de logro Construirás, con orden limpiez, prábols e identificrás con interés seguridd sus elementos. Construirás l ecución generl de l prábol prtir del vértice un prámetro, del foco un punto; de l directriz un foco; con esmero e interés. Ecución ordinri de l prábol Determinrás, con esmero e interés, l ecución de l prábol utilizndo el foco, el vértice l directriz. Determinrás con precisión l ecución generl de l prábol. Si ls coordends del vértice se convierten en (h, k) en lugr de (, ), l ecución de l prábol verticl = p, se convierte en ( h) = p ( k). De igul form, l ecución de l prábol horizontl se convierte en ( k) = p( h) Ests forms se conocen como ecución ordinri de l prábol. - D: =5/ F(7/,-) Ejemplo Anliz grfic l prábol ( + ) = ( 3). Segundo Año - Mtemátic 65

12 UNIDAD En este cso tienes un prábol horizontl hci l derech, que l vrible que prece elevd l cudrdo es, demás el signo del coeficiente es positivo. Observ que ls coordends del vértice vn cmbids de signo, que: h = 3, de quí h = 3 k = +, de quí k = -. Luego ls coordends del vértice son (3, ). Además, p =, por lo que p = Ejemplo Determin l ecución de l prábol si el foco es F (6, 8) l directriz =. 5 F(6,8) V(6,5) Ejemplo 3 Determin l ecución de l prábol con vértice V (, 3) foco (5, 3), construe su gráfico define sus elementos. Al nlizr los dtos observs que se trt de un prábol horizontl, que el vértice el foco tienen l mism ordend: = 3. Est es l ecución de su eje principl. Como es un prábol horizontl biert l derech (el foco está l derech del vértice), su ecución es de l form: ( k) = p( h) Pr encontrrl, demás del vértice que tienes, necesits el vlor de p. Por diferenci de vlores entre ls bsciss, p = 5 = 3. Sustitue ls coordends h =, k = 3 del vértice el vlor de p = 3, obtienes: ( k) = p( h) - - D: = 6 8 ( 3) = (3)( ) ( 3) = ( ) L ecución de l directriz es =, si despejs =. El punto medio entre =, el vlor 8 de l ordend del foco, es: 8 + = 5, este vlor represent l ordend del vértice. L bscis es 6. Luego, p = 8 5 = 3. Resumiendo los dtos nteriores, tienes: V (6, 5) p = 3. Luego, como l ecución es de l form ( h) = p ( k), est qued: ( 6) = (3) ( 5) Ecución ordinri de l prábol El ldo recto es Lr =p = (3) = L directriz es perpendiculr l eje principl. Recuerd que l directriz es un rect verticl cu distnci l vértice es igul que l del foco l vértice. En este cso p = 3 Su ecución l encuentrs prtir del vértice con h =, tres uniddes l izquierd por lo que rests 3 = sí l ecución de l directriz es =. ( 6) = ( 5) 66 Mtemátic - Segundo Año

13 UNIDAD Al grficr l prábol considerndo todos sus elementos, tienes: Lr= 5 V(,3) F(5,3) D: =- -5 Ejemplo Encuentr l ecución de l prábol que tiene su vértice en V(5, ) su directriz es l rect = 7. D:=7 5 Lr=8 F(3,) V(5,) Como l directriz es verticl, l prábol es horizontl se bre hci l izquierd, que l directriz está l derech del vértice. L distnci entre l bscis del vértice l bscis de l directriz es 7 5 =, p =. Luego, ls coordends del foco son (3, ). L ecución del eje de l prábol es =. Con ls coordends del vértice h = 5, k = el vlor de p =, forms l ecución. ( k) = p( h) Porque se bre l izquierd ( ) = ()( 5) ( ) = 8( 5) L longitud del ldo recto es Lr = () = 8 con los elementos nteriores grfics l prábol de form más ect. Segundo Año - Mtemátic 67

14 UNIDAD Ejemplo 5 Grfic l prábol con vértice V (3, ) foco (3, ) determin su fórmul elementos. Como el vértice el foco tienen l mism bscis, = 3. L prábol es verticl l ecución de su eje es dich bscis, o se, = 3. L prábol se bre hci bjo, que el foco está bjo del vértice. Además, p =, que l distnci del foco l vértice es: ( ) = + = Luego l ecución es: ( h) = p ( k) Sustituendo: ( 3) = () ( ) ( 3) = 8( ) L ecución de l directriz es = 3, l longitud del ldo recto es Lr = 8. Con los elementos nteriores trzmos l gráfic de l prábol. Lr=8 D: =3 V(3,) F(3,-) Est epresión se conoce con el nombre de ecución generl de l prábol. Puedes ver que ést tom l form + D + E + F =. En el ejemplo nterior, cuáles son los vlores de D, E F? De mner similr, si l prábol es verticl, su ecución generl dquiere l form: + D + E + F = Ejemplo 6 Determin el vértice, foco directriz de l prábol = + = = + Complets el trinomio cudrdo perfecto = ( + 7) = + Fctorizs ( + 7) = ( ) Obtienes fctor común Hci dónde se bre l prábol? Luego, ls coordends del vértice son V (, 7). Además, p =, por lo cul p =. eje =3 Ecución generl de l prábol Consider l ecución ordinri de l prábol: V(,-7) ( + ) = ( 3) Es un prábol horizontl = = Efectundo el desrrollo del binomio. Trnsponiendo términos. - - Determin ls coordends del foco l ecución de l directriz = Reduciendo términos. 68 Mtemátic - Segundo Año

15 UNIDAD Pr conocer ls coordends del foco, por ser un prábol verticl, éste tiene l mism bscis que el vértice; o se, =. Pr determinr l ordend, l ordend del vértice rests el vlor de p = 5, es decir, 5 = 6 5 = El foco es F,. Ejemplo 7 Determin todos los elementos de l prábol =. Hbrás nlizdo que est ecución corresponde un prábol verticl, que l vrible está elevd l cudrdo. Pr determinr l ecución de l directriz, se sum l ordend del vértice el vlor de p, o se: = + = De est form determins los elementos de l prábol. Ahor construe su gráfic represéntlos en ell. Pr encontrr los elementos de l prábol, trnsforms est ecución su form ordinri. 8 = = = 5 + Escribes los términos en en un ldo los de en otro ldo. Complets el trinomio cudrdo perfecto. Sums ls constntes en el miembro de l derech. ( ) = 5( ) Epress como un binomio cudrdo scs fctor común 5 5 El vértice es V (, ). Como p = 5, p =. Segundo Año - Mtemátic 69

16 UNIDAD Ejemplo 8 Consider l situción presentd l inicio de l lección encuentr l ltur máim de ls librers. 3.5 Ejemplo 9 Se debe diseñr un reflector prbólico con un fuente de luz en su foco, que está 9 cm del vértice. Si el reflector debe tener cm de profundidd, Cuál debe ser el ncho de su boc qué distnci está el borde de l fuente de luz? Observ el gráfico. Colocs el vértice de l prábol sobre el eje ; l bse sobre el eje. Así es un prábol verticl hci bjo con vértice en (,.5). Por lo tnto l ecución es: ( ) = p ( 5. ) = p ( 5. ) ( ) Como (, ) pertenece l prábol, lo sustitues en l ecución () encuentrs el vlor de p. Así: ( ) = p ( 5. ) = p ( 5. ) = p ( 5. ); p = =. 5. Por lo tnto sustitues p en l ecución () obtienes: ncho de l libret =.(.5) Despej de l ecución nterior compr con: = ( ) Observ el gráfico; si divides el ncho de l librer entre. Entonces. = 6., obtienes el vlor de, pr el cul l ordend del punto (, ) de l prábol te d l ltur. Sustitue =.6 en l ecución () comprueb que =.6. Así, l ltur máim que puede tener l librer es de.6 metros. Dibujs un corte longitudinl del reflector, mostrndo el vértice de l sección longitudinl en el origen el foco 9 uniddes del vértice sobre el eje. entonces, el foco es F 9,, como se muestr en l figur Tienes: L ecución de l prábol es = p. Como p = 9 entonces = 9 9 ; = L ecución del reflector es = Mtemátic - Segundo Año

17 UNIDAD Como el reflector debe tener cm de profundidd un punto de l prábol es P (, k), que represent el borde eterior del reflector. Sustitues = = k en l ecución, K = 9 () = 9, o se, k = 9 cm. El ncho totl es 9 cm Por definición de prábol, el rdio focl de culquier punto de l curv es igul l distnci de dicho punto l directriz. 9 9 Luego: FP = + p = + = cm El borde está 9 cm de l fuente de luz. Determin ls coordends del foco vértice l ecución de l directriz de ls siguientes prábols. ) + + = b) + = c) 8 3 = d) + 5 = e) 6 = Actividd Resumen Cundo el vértice de l prábol es V (h, k), su ecución ordinri es: ( h) = p ( k) pr l prábol verticl. ( k) = p( h) pr l prábol horizontl. Prábol biert hci: Fórmul Vertice Foco Directriz rrib ( h) = p( k) v (h, k) F(h, k + p) = k p bjo ( h) = p( k) v (h, k) F(h, k p) = k + p derech ( k) = p( h) v (h, k) F(h + p, k) = h p izquierd ( k) = p( h) v (h, k) F(h p, k) = h + p Al desrrollr l ecución ordinri de l prábol se obtiene l ecución generl, que es de l form + D + E + F = pr l prábol verticl; + D + E + F = pr l prábol horizontl. Pr determinr los elementos de l prábol debes convertir l ecución generl l ecución ordinri. Segundo Año - Mtemátic 7

18 UNIDAD Se l prábol ( + 5) = 6( ). El vlor de p es: ) 8 c) 6 b) d) 8 Autocomprobción L directriz está dd por: ) = 5 c) = 5 b) = 5 d) = 5 El vértice es el punto: ) (, 5) c) (, 5) b) ( 5, ) d) (5, 5) El foco es el punto: ) ( 3, 5) c) ( 3, 5) b) (3, 5) d) (3, 5) Soluciones. b.. c b. LOS CABLES DE UN PUENTE L plicción de l prábol en muchs áres de l cienci tecnologí es mu mpli. Por ejemplo, los cbles de un puente como el mundilmente fmoso Golden Gte ubicdo en l bhí de Sn Frncisco, describen un prábol. Esto se debe que el peso del puente se reprte uniformemente sobre los cbles. Est propiedd le permitió principios del siglo XX, un equipo de ingenieros diseñr el mjestuoso puente Golden Gte, en l Bhí de Sn Frncisco 7 Mtemátic - Segundo Año

19 Curt Unidd Lección 3 Motivción L Elipse Pr sostener un puente se construe un rco de form elíptic. El puente ps por un río de 8 pies de ncho. El centro del rco está pies por rrib de l superficie del gu. El rquitecto que diseñó el puente necesitó conocer l ecución de l elipse. Cuál es es ecución? Indicdores de logro Construirás elipses con orden limpiez, e identificrás con interés seguridd sus elementos. Construirás con seguridd l ecución cnónic de l elipse con centro en el origen. Puedes construir un elipse utilizndo un cuerd dos tchuels. Se ponen ls dos tchuels un poco lejds l un de l otr. Después se t l cuerd ls dos tchuels. Con lápiz o plum se jl se tens l cuerd. Mientrs se conserv l cuerd tensd, se dibuj l elipse moviendo el lápiz lrededor de ls tchuels. Esto lo puedes observr en l figur de l derech. Construcción de l elipse Construirás, con interés seguridd, l ecución cnónic de l elipse utilizndo el centro, un vértice, un foco ls longitudes de los ejes mor menor. Mu bien, de seguro respondiste que es sum es siempre l longitud de l cuerd. O se que: L elipse es el conjunto de puntos en el plno, de tl form que l sum de sus distncis dos puntos fijos es un constnte. Los dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. d d F F Comprndo con l cuerd, podrís decir cuál es l sum de ls distncis, de culquier punto de l curv, los puntos fijos? d F d F Segundo Año - Mtemátic 73

20 UNIDAD Elementos de l elipse Los puntos V (, ) V (, ), se llmn vértices de l elipse. El punto C (, ) es el centro Lr: longitud del ldo recto El segmento de rect V V = es el eje mor, b es el eje menor. Los puntos F ( c, ) F(c, ) son los focos: F F = c; F C = CF = c M Tienes entonces: ( c ) + + ( + c ) + = Al trbjr lgebricmente l ecución nterior, se obtiene: + =, cundo el eje mor ps sobre el eje. b Si l elipse es verticl, l ecución que l describe es: b + =, cundo el eje mor ps sobre el eje. Lr V F c b C(,) F V Lr M Ecución cnónic de l elipse Ést es l ecución más simple, es decir, cundo el centro de l elipse coincide con el origen. F(-c,) P(,) F(c,) Ejemplo Retom l situción dd l principio de l lección encuentr l ecución. Hces coincidir el origen del sistem de coordends con el punto medio del plno de l superficie del río. En l figur observ que = b =. b Luego l ecución de l elipse es: + = ( ) ( ) (,) L distnci entre los focos es F F = c. L sum PF PF es constnte, por definición de elipse. Tienes: PF + PF=. En l figur puedes ver que > c, por lo cul > c. Luego, PF + P F =. (-,) (,) Pero PF c + = ( ) ( ), PF = ( + c ) + ( ) 7 Mtemátic - Segundo Año

21 UNIDAD Ejemplo Grfic l ecución + 9 = 8. Si divides mbos ldos de l ecución entre 8, tienes: = = + 9 = Como en este cso > 9, tienes que el eje mor es, el eje menor b es 9 = ( 3) = 6 En este cso l elipse es verticl, como puedes ver en l figur de l derech. (, ) Su ecución es de l form + =, que el eje b mor es el denomindor de. Ejemplo 3 Encuentr l ecución de l elipse mostrd en l siguiente figur. Como el eje mor está en, l elipse es de l form + = b = (-3,) (3,) En l figur se observ que = b = ecución de l elipse es: -. Luego, l (,- ) ( ) + = + = Segundo Año - Mtemátic 75

22 UNIDAD Ejemplo Encuentr l ecución que relcione, b c. Cundo el punto P(, ) coinciden con el eje se obtiene l figur de l derech. Luego, por Pitágors, = c + b De donde c = b b = c Observ que ests tres ecuciones son equivlentes, estblecen l relción entre, b c. Ejemplo 5 Construe l gráfic de + 9 = 8 encuentr los focos. Dividiendo entre 8, tienes = = 9 F(-c,) En este cso = 9 = 3 b =. El eje mor es (3) = 6 el eje menor. (,b) F(c,) Con los vlores de b dibujs l elipse. Puedes ver que como < 3, el eje mor está en el eje. (, ) (-3,) (3,) Pr encontrr los focos, tienes que = 3 b = c = b 3 ( ) = 9 = 7 Luego, c = 7, los focos son 7, ( ) ( 7 ),. (,- ) 76 Mtemátic - Segundo Año

23 UNIDAD Ejemplo 6 Determin l ecución de l elipse con vértices (, ) focos (, ) Como los focos están en el eje, el eje mor tmbién está en. L ecución de l elipse es de l form + =. Los vértices son (, ) (, ), entonces =. b Si los focos son (, ) (, ), entonces: c = Si = c = b = c b = b = 6 b = b = L ecución de l elipse es: + = 6 Ecentricidd Ldo Recto Ecentricidd ldo recto de l elipse L ecentricidd se define como el cociente c. El ldo recto de l elipse Lr, es l cuerd que ps por un foco su vlor se clcul por b c e =, Como c <, e < b Lr = Relción entre, b c = b + c Usndo ls ecuciones de l elipse, según ést se horizontl o verticl ls ecuciones nteriores, se resuelven problems sobre est curv. Segundo Año - Mtemátic 77

24 UNIDAD Ejemplo 7 Hll l ecución de l elipse con vértices V (, 5) V (, 5) focos F(, ) F (, ). Por los dtos del problem puedes ver que l elipse tiene su centro en el origen, que es el punto medio entre los vértices (o entre los focos). Además es un elipse verticl, que tnto los vértices como los focos tienen bscis cero. Luego, l ecución es de l form. + = b Por ls coordends de los vértices, = 5, por ls coordends de los focos, c =. Luego, b = c b = 5 b = 9; b = 3 Luego, sustituendo en l ecución de l elipse, tienes. + = 9 5 El ldo recto l ecentricidd son: b Lr = = ( 9 ) 8 = ; 5 5 c e = = 5 Ejemplo 8 Hll l ecución de l elipse con vértices V(, ) V (, ) ecentricidd 3. Por los vértices l elipse es horizontl, con centro en el origen =. c Como e = = 3, entonces c = 3, que = Luego, b = c b = 3 = 7 = 6 Con los dtos que se tienen se form l ecución de l elipse: + = 6 7 Como c = 3, los focos son F (, 3) F (, 3) el ldo recto b ( 7 ) 7 = = Mtemátic - Segundo Año

25 UNIDAD Ejemplo 9 Hll l ecución de l elipse con vértices en V (, 7) V (, 7) con el ldo recto Lr = 6. Los vértices indicn que l elipse es verticl con centro en el origen = 7. b Como Lr = 6, Lr = o se, 6 = b 7 6( 7) Despejndo b: b = = Con b escribes l ecución de l elipse: + = 9 El vlor de c es: c = b c = 9 = 8; c = 8 Actividd. Dibuj ls elipses siguientes. ) + = b) c) + 9 = + 9 = d) 9 + = 36 e) =. Determin l ecución de l elipse si: ) V (, 3) V (, - 3) ; F (, ) F (, -) b) V (, ) V (, ) e = De est form, los focos son F (, 8 ) F (, 8 ) l ecentricidd es e Grfic l elipse. c = = 8 7 c) V (3, ) V ( 3, ) Lr = 8 3 Resumen L elipse es el conjunto de puntos en el plno tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos es constnte. Los puntos fijos se llmn focos. Ecución Cnónic Relción entre, b c Focos Form de l Gráfic + = = b + c ( c, ) ( c, ) b b + = = b + c (, c ) (, c ) Donde es el eje mor b es el eje menor. Segundo Año - Mtemátic 79

26 UNIDAD Autocomprobción Los vértices de l elipse + = son: L ecentricidd de l elipse: + = es: 6 5 ) (3, ) Y ( 3, ) b) (, 3) Y (, 3) c) (, ) (, ) d) (, ) (, ) ) b) c) d) Los focos de l elipse del numerl nterior son: ) ( 7, ) ( 7, ) b) (, 7) (, 7) c) ( 5, ) (5, ) d) (, 5) (, 5) El ldo recto de l elipse del ejercicio nterior es: ) b) c) 3 5 d) 5 Soluciones. c b.. c. ORBITAS ELÍPTICAS El hombre siempre se h sentido trído por los stros sus movimientos. Esto, tnto por fines científicos como pr conocer el futuro. Tn es sí que l strologí es l precursor de l stronomí. Este interés llevó los strónomos mtemáticos buscr un modelo lgebrico que eplicr los movimientos de los plnets el Sol. Fue sí como el lemán Johnnes Kepler (573) descubrió que los plnets girn lrededor del Sol en órbits elíptics, donde el Sol no está en el centro sino en uno de sus focos. Johnn Kepler 8 Mtemátic - Segundo Año

27 Curt Unidd Lección Motivción Ecución ordinri de l elipse con centro diferente (, ) L primer le de Kepler estblece que l órbit descrit por cd plnet es un elipse, donde el Sol es uno de los focos. Mirn Lur construen un modelo plnetrio en el plno crtesino. Ubicn l Sol en (5, 3) pr l órbit del plnet Tierr estblecen que el centro es (, 3) con el vértice correspondiente en (7, 3). Ells necesitn conocer l ecución pr representr l órbit de l Tierr. Cuál es dich ecución? Indicdores de logro Construirás elipses con orden limpiez, e identificrás con interés seguridd sus elementos. Construirás con seguridd l ecución cnónic de l elipse con centro diferente de (, ) Resolverás problems del entorno utilizndo l elipse sus elementos, gráfico ecuciones. Ecución ordinri de l elipse cundo el centro es diferente (, ) Si en l ecución cnónic de l elipse: + = b sustitues por ( h) por ( k), tienes: ( h ) ( k ) + = cundo el eje mor está sobre b el eje. Est ecución represent un elipse horizontl con centro en (h, k). Si l elipse es verticl, l ecución es: ( h ) ( k ) + = cundo el eje mor está sobre b el eje. En mbs, l longitud del eje mor es l longitud del eje menor es b. Segundo Año - Mtemátic 8

28 UNIDAD Ejemplo Grfic nliz l elipse ( + ) + ( ) 9 6 Ejemplo Hll l ecución de l elipse con focos en (, ) (, ) con un vértice en (, ) El centro, que es el punto medio de los focos, está en (7, ) l distnci entre los focos es 6 uniddes. El vértice ddo está 5 uniddes del centro. Luego, c = 3, =5 b = 5 3 b = 5 9 b = 6 = El centro de l elipse es C(, ). El eje mor está sobre un rect prlel, que 9 < 6. Como b = 9, b = 3; como = 6, =. Con estos dtos construes l elipse de l derech. (-,5) C (-5,) (5,) (-,-3) Agrups los términos en e. Luego complets cudrdos = ( + )+( )= ( 6 + 9)+ 9( 8 + 6)= + ( 9)+ 9( 6) ( ) + ( ) + 3 9( ) = Donde = 9 b =. ( ) + 9( ) 36 = ( ) = Puedes ver que tienes un elipse verticl con centro en (, 3). En consecuenci: = 3, b = c = b = 5 Los vértices están en (, ) (, 6), los etremos del eje menor están en (, 3) (6, 3). Ls coordends de los focos son (, 3 5) (, 3 + 5). Dibujs l curv como en l figur dd. Verific los dtos nteriores. V (,6) F (,3+ 5) Como el eje mor es prlelo l eje, sustitues = 5 b = 6 el centro (7, ) en l ecución ordinri obtienes l ecución: ( 7) ( + ) + = 5 6 F (,3 5) V (,) Ejemplo 3 Trnsform l siguiente ecución su form ordinri dibuj l curv: = Ejemplo Trnsform l ecución + + = l form ordinri. 8 Mtemátic - Segundo Año

29 UNIDAD = ( + ) + =, Divides por ( + ) + = ; o se, ( + ) ( ) + = grfic en tu cuderno l elipse. Ejemplo 5 Dd l elipse de ecución =, hll su centro, el eje menor el eje mor, vértices focos. Est ecución se puede escribir en l form ( h ) ( k ) + =, de l mner b siguiente: ( + 36) + 9( ) = + (36) + 9(6). Fctorizs complets el trinomio. ( 6) + 9( + ) =. Fctorizs simplifics. ( 6) ( + ) = Divides entre. Por tnto, el centro de l elipse es el punto de coordends (6, ); = 6, b = ; los vértices son los puntos (, ), (, ), los focos (6 +, ), (6, ). Verific los dtos nteriores. (6,) (,-) (.5,-) (6,-) (.5,-) (,-) (6,-8) Ejemplo 6 Encuentr hor l ecución que represent l órbit de l tierr en el modelo plnetrio que construen Mirn Lur l inicio de l lección. Como l distnci del centro l vértice es siempre, entonces = 5. Además, CF = c = 3 Luego, V b = c b = 5 3 b = 6 = F L R Como ls coordends del centro son h =, k = 3, entonces l ecución de l elipse es: ( ) ( 3) + = 5 L longitud del ldo recto es b ( ) = = 5 Por lo cul el punto L es L 5, 3 + C(,3) F(5,3) L 5, 3 5 R 5, 5 6 5, o se, L 5, 3 5 de mner similr, 6 R 5, 3 5, o se, R 5, 5 Con estos dtos complets el trzo de l curv. V(7,3) 3 5 Segundo Año - Mtemátic 83

30 UNIDAD Ejemplo 7 Hll l ecución de l elipse de centro (, ), uno de los vértices el punto (5, ) ecentricidd e = 3 Como el centro es el punto (, ) el vértice es (5, ) = 6, e de donde c =. Por otr prte, b = c = 36 6 =. L ecución pedid es ( + ) + ( + ) = 36 Ejemplo 8 c c = = = 6 Un rco tiene form de semi-elipse con un longitud de l bse de 5 metros siendo su máim ltur de 5 metros. Hll l longitud de dos soportes verticles situdos cd uno de ellos un tercio de l longitud del semieje prtir del centro. Consider que en el eje está l bse del rco el origen es su punto medio. L ecución del rco será, + =, siendo = 75, b = 5. b Pr hllr l ltur de los soportes, hces = 5 en l ecución despejmos el vlor de. 65 Es decir, + =, = 8( 5), = 3 metros (,5) 3, (-75,) (-5,) (5,) (75,) Ejemplo 9 L tierr describe un trectori elíptic lrededor del Sol que se encuentr en uno de los focos. Sbiendo que el semieje mor de l elipse vle.85 8 kilómetros que l ecentricidd es, proimdmente,, hllr l máim l mínim distnci de l Tierr l Sol. 6 c c Ecentricidd e =. Luego =, o se c =,, 6 8, 5, L máim distnci es + c =.59 8 km L mínim distnci es c =.6 8 km 8 Mtemátic - Segundo Año

31 UNIDAD Ejemplo Hll l ecución de l elipse con centro en (, 3), foco en (, 5) con el vértice correspondiente en (, 7). Dibuj l curv. Será de much ud dibujr primero luego encontrr l ecución de l elipse. L distnci del centro l vértice es siempre igul, entonces, en consecuenci, b = c = =. Ahor puedes obtener l ecución. Sbes que tienes que empler l ecución ( h ) ( k ) + = porque el eje b principl o mor es prlelo l eje. Tmbién sbes que ls coordends del centro son h = k = 3; entonces puedes escribir: ( ) + ( ) 3 = 6 Ejemplo Encuentr l ecución de l elipse cuos vértices son V (6, ) V (, ) cuos focos son F (5, ) F (, ). Mrc los focos en el siguiente gráfico: 7 F F Por los dtos sbes que se trt de un elipse horizontl, pues tnto sus vértices como los focos tienen l mism ordend. El centro de l elipse se determin obteniendo el punto medio entre los vértices o entre los focos. Entonces el centro es C(, ). Como sbes que es l distnci del centro culquier de los vértices, entonces =. Tmbién sbes que c es l distnci del centro culquier de los focos, sí, c =3. Pr clculr b uss l ecución = b + c b = c Sustitues los vlores de c: b = () (3) = 6 9 = 7; b = 7 Con estos dtos puedes escribir l ecución de l elipse en su form ordinri: ( ) ( ) + = 6 7 Punto medio de P(, ) Q(, ) es Pm + +, Observ Segundo Año - Mtemátic 85

32 UNIDAD Se pueden clculr los elementos que todví no se conocen: b c Lr = = ( 7 ) 7 3 = e = = Tmbién, en cso que se desee, puedes trnsformr l ecución obtenid. Suprimiendo denomindores, desrrollndo los binomios l cudrdo, reduciendo términos semejntes ordenndo l ecución resultnte. Así por ejemplo: ( ) ( ) + = 6 7 7( ) + 6( ) = 6( 7) 7( + ) + 6( 8 + 6) = ( ) = = Est ecución se conoce como form generl de l ecución de l elipse. Ejemplo Clcul l ecución de l elipse cuos vértices son V(, 7) V (, ) cuos focos son F(, 6) F (, ). Como los vértices los focos tienen l mism bscis, l elipse es verticl. El centro, que es el punto medio entre los vértices o entre los focos es C(, ) los vlores de c son: = 3, c =. Clculs b sustituendo los vlores de c en b = c. b = ( 3) ( ) = 9 = 5; b = 5 l form generl se obtiene después de efectur los psos continución: ( ) ( ) = 9( ) + 5( ) 5( 9) = 9( + ) + 5( 8 + 6) = ( 5) = Ejemplo = Encuentr l ecución de l elipse cuos vértices son V(, ) V (9, ) cu ecentricidd es e =. 86 Mtemátic - Segundo Año

33 UNIDAD Es un elipse horizontl; los vértices tienen l mism ordend, su centro es C(5, ) =. Como e =, escribimos: c = c = ( ) = Sustitues los vlores de c en b = c, obtienes: b = () () = 6 = b =. Y puedes escribir l ecución pedid, pero ntes vmos encontrr los elementos que nos fltn. b L longitud del ldo recto es Lr = = ( ) = 6 ls coordends de los focos son F(3, ) F (7, ). Ls ordends de los focos son ls misms que ls ordends de los vértices ls del centro. Ls bsciss de los focos se encuentrn sumndo restndo c l bscis del centro. L ecución de l elipse es: ( ) 5 + ( + ) = 6 Actividd. Determin l ecución de l elipse con centro en el origen si stisfce ls siguientes condiciones: ) V (8, ) F( 5, ) b) V(, 5) el eje menor mide 3.. Encuentr l ecución de l elipse que cumple con ls siguientes condiciones: ) V(,8) V (, ) ; F(, 6) F (, ) b) V(, ) V (, ) e = 3 c) F(3, 8) F (3, ) e = 3 d) V(3, ) V (3, 7) Lr = 3 3. Grfic ls elipses del numerl nterior. Cundo l elipse tiene su centro en C(h, k), sus ecuciones ordinris son: ( h ) ( k ) + = Pr l elipse horizontl b Resumen ( h ) ( k ) + = Pr l elipse verticl b c Donde > b. L ecentricidd está dd por c =, l longitud, del ldo recto por b. Segundo Año - Mtemátic 87

34 UNIDAD Autocomprobción Dd l elipse ( ) ( ) + 9 Ls coordends del centro son: ) (, ) c) (, ) b) (, ) d) (, ) El vlor del semieje mor es: ) 9 c) 3 b) d) = El vlor de l ecentricidd es: ) b) c) d) El vlor del semieje menor es: ) 9 c) 3 b) d) Soluciones.c.. c. 3. d.. d. EXCENTRICIDAD DE LOS PLANETAS L ecentricidd te d l form de l elipse. Pr un elipse csi circulr, los focos están cerc del centro e es pequeño. Pr un elipse lrgd los focos están cerc de los vértices e es csi. L siguiente tbl te muestr l ecentricidd de ls órbits de los nueve plnets l Lun. Plnet e Mercurio.56 Venus.68 Tierr.7 Mrte.93 Júpiter.8 Plnet e Sturno.53 Urno.6 Neptuno.8 Plutón.8 Lun Mtemátic - Segundo Año

35 Curt Unidd Lección 5 L hipérbol Motivción L figur de l pr te muestr dos conos igules que coinciden en sus vértices, los conos son interceptdos por un plno E, perpendiculr ls bses Cuánts rms tiene l curv que result de es intersección? F V C V F F V C V F E Indicdores de logro Construirás con orden limpiez, hipérbols, e identificrás con interés seguridd sus elementos. Construirás plicrás con interés seguridd l ecución de l hipérbol utilizndo l longitud del eje trnsverso del eje conjugdo, los focos l ecentricidd. Descripción de l hipérbol Construirás plicrás, con interés seguridd, l ecución de l hipérbol utilizndo el centro, un vértice un punto, ls síntots un vértice, un punto sus vértices. Resolverás problems, utilizndo l ecución de l hipérbol, su gráfico sus elementos. L hipérbol es el conjunto de todos los puntos del plno tles que, l diferenci entre ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es constnte e igul. Esto signific que los puntos de l hipérbol stisfcen l iguldd PF PF = En l siguiente figur se muestr un hipérbol horizontl, con centro en el origen, en l que se mrcn todos sus elementos: F(-e,) - b -b F(e,) Segundo Año - Mtemátic 89

36 UNIDAD Centro de l hipérbol: C Vértices : V V Focos: F F Longitud de los ldos rectos: Lr Eje trnsverso = = V V Eje conjugdo= b Distnci entre los focos = c= F F F - V C(h,k) V F F V V F C(h,k) Semi-eje Trnsverso = Semi-eje Conjugdo = b Distnci del centro l foco = c. síntot b F V V C Lr V síntot Lr F De cuerdo con l definición, si considers como un punto culquier de l hipérbol uno de los vértices, observrás que el vlor bsoluto de l diferenci de su distnci los focos es l distnci entre los vértices igul. F V b c V c b F Observ que c >. L posición de l hipérbol, l determin l posición de su eje trnsverso, puede ser: horizontl o verticl. A continución se muestr l hipérbol en mbs posiciones. F - V C(h,k) V F V F FV = V V = Porque V F = FV En l hipérbol, l longitud del semieje conjugdo es tl que en el triángulo rectángulo que tiene por ctetos el semieje conjugdo el semieje trnsverso F por hipotenus l distnci c, que es l distnci del V centro l foco, se estblece l relción entre, b c. Es C(h,k) relción está dd por l ecución que result l plicr el teorem de Pitágors V éste triángulo rectángulo es: c = + b. F Observ que l hipérbol es un curv biert que const de dos secciones, cd un de etensión infinit. 9 Mtemátic - Segundo Año

37 UNIDAD Ecución cnónic de l hipérbol Ést se refiere un hipérbol horizontl o verticl en su form más simple, es decir, con su centro en el origen. L ecución pr l hipérbol horizontl es: = b Ecuciones de ls síntots Ls síntots de l hipérbol horizontl, están dds por: + = ó b + =, = ó b - = b b -3= F(-c,) V P(,) = b V F(c,) Lr F V síntot síntot V Lr F Pr l hipérbol verticl, su ecución es: = b F(,c) = b Mientrs que ls síntots de l hipérbol verticl están dds por: + = ó b + = ; = ó b b b = V síntot V F(,-c) síntot Observ que en l hipérbol horizontl, el cociente positivo es, mientrs que en l hipérbol verticl el cociente positivo es En un hipérbol, l longitud del ldo recto es: b Lr = Segundo Año - Mtemátic 9

38 UNIDAD Ejemplo Hll l ecución de l hipérbol si sus vértices son V(3, ) V ( 3, ) sus focos son: F(5, ) F ( 5, ) Como ls coordends de los focos de los vértices son igules, l hipérbol es horizontl, pr comprobrlo, trz en tu cuderno el sistem de coordends crtesins ubic los vértices focos de l hipérbol. Por los vértices sbes que = 3, por los focos, que c =5. Recuerd que + b = c, entonces b = c = 5 3 = 5 9 = 6; o se, b =. Luego, con los vlores = 3 b = forms l ecución: = ; = b 9 6-3= Lr F V síntot V Lr F síntot El vlor del ldo recto es b 3 = ( ) = 3 3 Ls síntots están dds por: + = = ó se : + = ; = b b 3 3 Pr hcer l gráfic de l hipérbol, primero trzs ls síntots + = + 3 = 3 3 = 3 = 3 3 Fíjte que ls dos síntots deben cruzrse en el centro de l hipérbol, en este cso, el origen (,). L ecentricidd de l hipérbol se denot por e, es igul l cociente c c Tendrás: e = como c >, c >. c Así, en el ejemplo nterior, e = = Mtemátic - Segundo Año

39 UNIDAD Ejemplo Los vértices de un hipérbol son los puntos V(,3) V (,-3) sus focos son los puntos F(,5) F (,-5). Determinr l ecución de l hipérbol, ls longitudes de sus ejes trnsverso conjugdo, su ecentricidd, l longitud de cd ldo recto sus síntots. Además construe el gráfico respectivo. Como ls bsciss de los focos de los vértices son igules, l hipérbol es verticl, o se, l hipérbol es de l form = b Observ que l distnci entre los vértices es = 6, que es l longitud del eje trnsverso: V V = = (3) = 6 L distnci entre los focos es c = (5) =, luego = 3 c = 5 por tnto, b = c b = 5 9 = 6; b = Luego, l longitud del eje conjugdo es b = () = 8. L ecución de l hipérbol es: = F(,5) V(,3) V(,-3) F(,-5) -8 c L ecentricidd es: e = = 5 3. L longitud del ldo recto es b ( ) = = Ls síntots son: + = o se, + = ; = b 3 b o se, = 3 Recuerd trzr primero ls síntots pr grficr l hipérbol respectiv. Segundo Año - Mtemátic 93

40 UNIDAD Ejemplo 3 Encontrr l ecución de l hipérbol con vértices en (, ) (, ) si ps por el punto, ( ) dibujr su gráfic. Los vértices están en el eje, l hipérbol, es horizontl, con =. Como es horizontl, l hipérbol es de l form: = b Como = ; entonces l ecución qued sí: = b Como el punto (, ) pertenece l hipérbol, stisfce su ecución: ( ) = b Resuelve l ecución en tu cuderno verific que b =. Luego l ecución de l hipérbol es: = 6 Pr grficr l hipérbol, primero encuentrs sus síntots: + = ; o se + = b + = = ; o se = b = Ejemplo Determin l ecución de l hipérbol cuos focos son (, ) (, ) sus vértices (, ) (,) encontrr ls ecuciones de sus síntots construir su gráfic. 9 Mtemátic - Segundo Año

41 UNIDAD Solución Como ls ordends de los focos vértices son igules, l hipérbol es horizontl, luego, es de l form = b L distnci entre los focos es c = 8, de donde c = l distnci entre los vértices es = de donde = = ; = b 5 5 = Al construir el gráfico obtienes l figur de bjo. Con c = = determinmos el vlor de b b = c b = 6 ; b = 5; o se, b = 5-5 Al sustituir los vlores de b en l ecución de l hipérbol, ést nos qued sí: = 5 Ls síntots son: + = ; + = b = F V V F Actividd. Determin l ecución de l hipérbol, que cumple con ls siguientes condiciones. ) V(, 3) V (, 3); F(, ) F (, ) c) Vértices (3, ) ( 3, ) ecentricidd = 3 b) Vértices (, ) (, ) focos (3, ) ( 3,) d) Focos (3, ) (-3, ) e = 3. En ls hipérbols nteriores encuentr ls síntots, longitudes de ejes trnsverso conjugdo, ecentricidd ldo recto. L ecución cnónic de l hipérbol se d cundo su centro coincide con el origen. Ést es: = si l hipérbol es horizontl b Resumen = si l hipérbol es verticl b L distnci entre los focos es c l distnci entre los vértices l relción entre, b c se d medinte l iguldd c = + b. Segundo Año - Mtemátic 95

42 UNIDAD 3 Si los focos de un hipérbol son (, ) (, ) los vértices (,) (, ). Entonces: El vlor de su eje Trnsverso es: ) c) b) d) 8 L distnci entre los focos es: ) c) 8 b) d) El vlor de su eje conjugdo es ) c) 5 b) d) 5-8 Su ecución es: ) = 5 b) = 5 c) = 5 d) = 5 Autocomprobción Soluciones. b.. c. 3. d.. d. ORIGEN DE LAS CÓNICAS L circunferenci, prábol, elipse e hipérbol fueron estudids por los griegos: hce más de, ños. Dos mtemáticos que ls estudiron fueron Menecmo Apolonio de Perg. Ls cónics ess trctivs curvs mtemátics estudids por Menecmo Apolonio constituen un imprescindible herrmient mtemátic pr eplicr el mecnismo celeste. Kepler pudo formulr su primer le: Los plnets describen órbits elíptics en uno de cuos focos está el sol Apolonio de Perg 96 Mtemátic - Segundo Año

43 Solucionrio Lección. ) = 8 Actividd :. ) Horizontl biert l derech b) Verticl biert hci bjo c) Verticl biert hci bjo d) Horizontl biert l izquierd. 5 f, D : = F - c) = Como ( 5, 9) le pertenece: ( 5) = p(9). Luego, p = L ecución es = 36 5 = 9 L directriz es = Arrib = 9 Izquierd = 8 5 Lección : Actividd : ) f(6, 5) v (6, 6) = 7 b) v( 6, 6) f ( 5, 6) = 7 c) v(, ) f (, ) = 6 d) v(, 3) 5 f, = 7 e) v(, ) f, = 7 Segundo Año - Mtemátic 97

44 Lección 3: Actividd :. d) + = ( ) Solucionrio b) 6 ( ) c) d) ( 5) 6 ( ) 9 ( 3) + 7 ( 3) + = = = ) 8 e) + = d) ) = b) + 6 = c) + 9 = Lección Actividd :. ) + = 6 39 b) + = 5 9 ( ) ( + ). ) + 6 = - 6 Lección 5 Actividd :. ) = b) 5 = c) 9 7 = d) 5 = Mtemátic - Segundo Año

45 Proecto El equipo de técnicos de un empres de instlción de ntens necesit ubicr un dispositivo, como se eplic continución. El plto de recepción de señles de televisión trnsmitid por ví stélite tiene l form de un prboloide que tiene. metros de profundidd.5 metros de diámetro en su prte más etern. Atendiendo l propiedd refleiv de l prábol el equipo necesit determinr donde debe de colocrse el receptor (foco) pr detectr ls señles de entrd. Aúdle l equipo ubicr el receptor. Dónde les dirís que lo ubiquen? Segundo Año - Mtemátic 99

46 Recursos BARNETT, Rmond, Álgebr trigonometrí. Editoril Mc Grw Hill, tercer edición, Colombi, 99 FLEMING, Wlter Vrberg, Dle, Álgebr trigonometrí con geometrí nlític. Editoril Prentice Hll, tercer edición, Méico, 99 JURGENSEN, R; Donnell, Alfred Dolcini, Mr. Geometrí modern. Editoril Publicciones Culturl, tercer reimpresión, Méico, 97 Mtemátic - Segundo Año

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

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