Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Transcripción

1 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada como ua fució de x f(x) = a (x c) cuyo domiio es el cojuto de los x R para los que la serie es covergete y el valor de f(x) es, precisamete, la suma de la serie e ese puto x. Las series de potecias, vistas como fucioes, tiee u comportamieto bueo, e el setido de que so fucioes cotiuas y derivables de cualquier orde. Más aú, su fució derivada es, otra vez, ua serie de potecias. Desde u puto de vista más práctico, las series de potecias aproxima a su fució suma. Es decir, la suma parcial de orde, que o es más que u poliomio de grado a lo sumo, represeta ua aproximació a la fució suma e su domiio de covergecia. E la siguiete figura, Fig. 4.1, puede verse la fució f(x) = e x juto co alguas aproximacioes mediate sumas parciales de su serie de potecias. 77

2 Figura 4.1: Aproximació a e x por su serie de potecias 4.1. Radio de covergecia Nuestroobjetivoahoraserádetermiareldomiiode uaserie de potecias. Por ua parte está claro que el cetro c siempre está e el domiio ya que f(c) = a (c c) = a 0 Puede ocurrir que la serie sólo sea covergete e x = c, pero, e geeral, 78

3 el campo de covergecia será u itervalo; como os idica el resultado siguiete. Teorema 4.1 Sea tres afirmacioes siguietes: 1. La serie sólo coverge e x = c. a (x c). Etoces es cierta ua, y sólo ua, de las 2. Existe R > 0 de maera que la serie coverge (absolutamete) si x c < R y diverge si x c > R. 3. La serie coverge para todo x R. Al úmero R se le llama Radio de covergecia de la serie. Para uificar todos los casos, etedemos e el caso (1) que R = 0, y e el caso (3) que R = +. Por tato el domiio o campo de covergecia de ua serie de potecias es siempre u itervalo, ocasioalmete u puto, que llamaremos itervalo de covergecia. Notar que el teorema precedete o afirma ada respecto de la covergecia e los extremos del itervalo, c R y c + R. Veremos seguidamete ua fórmula para calcular el radio de covergecia: Teorema 4.2 (Cauchy-Hadamard) Sea Etoces, A = 0 R = + A = + R = 0 a (x c) y sea A := lím a. 0 < A < + R = 1 A Nota: El símbolo lím a represeta el límite superior de la sucesió {a } el cualviee defiidocomoelmayorde los límites de las subsucesioes covergetes de {a }. Obviamete, si la sucesió {a } es covergete, etoces lím a = lím a por lo que cocluimos que 79

4 Si existe lím a = A R = 1 A Si existe lím a +1 a = A R = 1 A La utilizació de u criterio u otro depederá de la forma que tega el térmio a. Ejemplo 4.1 Cosidera la serie de potecias 1 + x + (2!)x 2 + (3!)x (!)x +... = E esta serie a =! de dode (!)x A = lím a +1 a = lím ( + 1)!! = lím ( + 1) = + R = 0 Así pues, la serie sólo coverge e x = 0. Ejemplo 4.2 Sealaserie depotecias x. Para calcular su radio de covergecia llamamos a = y obteemos A = lím 2+1 a = lím = lím 2+ 1 = 0 R = Así pues, la serie es covergete para cualquier valor de x R. Luego el itervalo de covergecia es I = R =],+ [. Ejemplo 4.3 Sea la serie de potecias covergecia llamamos a = 3 4 y obteemos 3 4 x. Para calcular su radio de A = lím 3 a = lím 4 = lím 80 ( ) 3 4 = 1 4 R = 4

5 Así pues, la serie es (absolutamete) covergete si x < 4 y divergete si x > 4. Para averiguar la covergecia e los extremos del itervalo será ecesario hacer el estudio particular. x = 4 x = = 3 (divergete) 3 4 ( 4) = ( 1) 3 (divergete) Cocluimos, fialmete, que el itervalo de covergecia es I =] 4,4[. Ejemplo 4.4 Sea la serie de potecias covergecia llamamos a = 1 y obteemos x. Para calcular su radio de A = lím 1 a = lím = lím 1 = 1 R = 1 Así pues, la serie es (absolutamete) covergete si x < 1 y divergete si x > 1. Para averiguar la covergecia e los extremos del itervalo será ecesario realizar el estudio particular. x = 1 1 = + 1 (divergete) x = 1 ( 1) (covergete) Cocluimos, fialmete, que el itervalo de covergecia es I = [ 1,1[. Ejercicio 4.1 Calcula el radio de covergecia de la serie (2x) 2. (Sol.: R = 1 2 ) 81

6 Ejercicio 4.2 Calcula el itervalo de covergecia de la serie Ejercicio 4.3 Calcula el itervalo de covergecia de la serie icluyedo el estudio de la covergecia e los putos extremos. x!. (Sol.: I = R ) (3x) (2)!, (Sol.: I =],+ [= R ) ( 1) +1 x Ejercicio 4.4 Calculael itervalodecovergecia delaserie, 4 icluyedo el estudio de la covergecia e los putos extremos. (Sol.: I =] 1,1] ) Ejercicio 4.5 Calcula el itervalo de covergecia de la serie icluyedo el estudio de la covergecia e los putos extremos.!x (2)!, (Sol.: I =],+ [= R ) Ejercicio 4.6 Calcula el itervalo de covergecia de la serie de potecias ( 1) +1 (x 5) 5, icluyedo el estudio de la covergecia e los putos extremos. (Sol.: I =]0,10] ) Ejercicio 4.7 Calcula el itervalo de covergecia de la serie de potecias ( 1) +1 (x c) c c R, icluyedo el estudio de la covergecia e los putos extremos. (Sol.: I =]0,2c] si c > 0, I = [2c,0[ si c < 0 ) Cuado las potecias o so cosecutivas se utiliza u cambio de variable para calcular el radio de covergecia. 82

7 3 Ejemplo 4.5 Sea la serie de potecias 4 x2. Como las potecias o so cosecutivas, opuede aplicarse directamete el criteriodelteorema de Cauchy-Hadamard. Realizaremos, previamete, u cambio de variable x2 = 4 (x2 ) 3 = 4 t para esta última calculamos el radio de covergecia, llamado a = 3 4, y obteemos R = 4 (es justo el Ejemplo 4.3). Así, por lo que, deshaciedo el cambio, es decir, 3 4 t es covergete para t < 4, 3 4 (x2 ) es covergete para x 2 < 4, 3 4 x2 es covergete para x < 2, y cocluimos que el radio de covergecia es R = 2. Faltaría estudiar el comportamieto de la serie e los extremos del itervalo, pero ésto se deja como ejercicio al lector. Ejercicio 4.8 Calcula el itervalo de covergecia de la serie de potecias + 1 ( 2x) 1. (Sol.: I =] 1 2, 1 2 [ ) Ejercicio 4.9 Calculaelitervalo de covergecia de laserie ( 1) x 2.! (Sol.: I = R ) 83

8 4.2. Propiedades Hemos visto que ua serie de potecias defie ua fució e u itervalo. Veremos ahora que propiedades cumple esta fució. Teorema 4.3 Sea f(x) la fució defiida como ua serie de potecias f(x) = a (x c) co radio de covergecia R > 0. Etoces, 1. f es cotiua e todo puto iterior del itervalo de covergecia. 2. f es derivable e todo puto iterior del itervalo de covergecia y, además, f (x) = a (x c) 1 teiedoestaúltimaserie radiodecovergeciar(derivaciótérmio a térmio). 3. f es itegrable e el itervalo de covergecia y, además, f(x)dx = (a (x c) )dx = a + 1 (x c)+1 + C teiedoestaúltimaserie radiodecovergeciar(itegraciótérmio a térmio). Ejemplo 4.6 Cosideramos la fució f(x) = x. Hemos visto e u ejemplo aterior que el itervalo de covergecia era [ 1,1[. Etoces lafucióderivadapuede calcularse derivado térmioa térmio: f (x) = x 1 = + x 1 Sabemos, por la propiedad aterior, que el radio de covergecia para esta ueva serie cotiúa siedo R = 1. Veamos qué ocurre e los extremos del itervalo: 84

9 x = 1 x = = 1 que es divergete, ( 1) 1 que es divergete. Así pues, la serie derivada coverge e ] 1,1[. Veamos ahora qué ocurre co la itegració. De uevo, podemos itegrar térmio a térmio. x + f(x)dx = = x +1 ( + 1) + C De uevo sabemos que el radio de covergecia para esta ueva serie cotiúa siedo R = 1. Veamos qué ocurre e los extremos del itervalo: x = ( + 1) = 1 ( + 1) que es covergete; x = 1 ( 1) +1 ( + 1) que es covergete. Así pues, la serie itegral coverge e [ 1,1]. Nota: Observa e el ejemplo aterior que al derivar hemos perdido u puto del itervalo de covergecia, mietras que al itegrar hemos gaado uo. E geeral, si embargo, el resultado correcto es Al derivar ua serie o se puede gaar extremos del itervalo de covergecia. Al itegrar ua serie o se puede perder extremos del itervalo de covergecia. Ejercicio 4.10 Siedo f(x) la fució defiida por las serie de potecias ( 1) +1 (x 5) 5, calcula el itervalo de covergecia de f(x), f (x) y 85

10 f(x) dx,icluyedo el estudio de los putos extremos. (Sol.: I =]0,10] para f y f ; I = [0,10] para f ) Ejercicio 4.11 Siedo f(x) la fució defiida por la serie de potecias ( 1) ( + 1)( + 2) x, calcula el itervalo de covergecia de f(x), f (x) y f(x) dx,icluyedo el estudio de los putos extremos. (Sol.: I = [ 1,1] para f y f; I =] 1,1] para f ) Ejercicio 4.12 Siedo f(x) la fució defiida por las serie de potecias ( 1) +1 x 2 1, calcula el itervalo de covergecia de f(x), f (x) y 2 1 f(x) dx, icluyedo el estudio de los putos extremos. (Sol.: I = [ 1,1] para f y f; I =] 1,1[ para f ) Otras propiedades iteresates so las siguietes. Teorema 4.4 Sea f(x) = e el mismo itervalo I. Etoces, a (x c) y g(x) = b (x c) defiidas 1. f(x) + g(x) = 2. αf(x) = α a (x c) = (a + b )(x c), x I αa (x c), x I E el caso de series de potecia cetradas e c = 0, se cumple además 86

11 Teorema 4.5 Sea f(x) = a x defiida e el itervalo I. Etoces, 1. f(αx) = 2. f(x N ) = a (αx) = a (x N ) = a α x, x / αx I a x N, x / x N I Ejemplo 4.7 Calcular ua primitiva de la fució f(x) = e x2. Solució: Sabemos que e x = aterior: Ahora, itegrado e x2 dx = e x2 = x. Etoces aplicado la proposició! (x 2 )! = x 2! x 2 +! dx = x 2+1 (2 + 1)! + C E particular, F(x) = x 2+1 (2 + 1)! es ua primitiva de ex Desarrollo de fucioes e serie de potecias Hemos vistoqueuaserie depotecias defieuafucióeuitervaloi. Se aborda ahora el problema cotrario. Dada ua fució f(x) se trata de ecotrar u serie de potecias a (x c) 87

12 de maera que f(x) = para todo x del itervalo de covergecia. a (x c) Evidetemete, tales fucioes debe ser cotiuas e idefiidamete derivables e su itervalo de covergecia y esto permite deducir además como debeserlos térmios de uaserie de potecias cuya suma es uadetermiada fució f: Teorema 4.6 Si f(x) = a (x c), x ]c R,c + R[ etoces, a = f() (c)! A la serie f () (c) (x c) la llamaremos serie de Taylor de f e c.! Desarrollos de Taylor Covieerecordarahorael coocidoteoremade Taylorquepermite aproximar ua fució por u poliomio de grado. Teorema 4.7 (Taylor) Sea f ua fució cotiua y co derivada cotiua hasta el orde e u itervalo I = [c R,c + R] y derivable de orde + 1 e ]c R,c + R[. Si x I, existe u puto ξ etre c y x tal que f(x) = f(c) + f (c)(x c) + f (c) (x c) f( )(c) (x c) } 2! {{! } T (x) + f(+1 )(ξ) ( + 1)! (x c)( + 1) } {{ } R (x) 88

13 Los térmios T (x) forma u poliomio de grado a lo sumo, llamado poliomio de Taylor, mietras que el último térmio R (x) se llama el resto de Lagrage. Este teorema permite aproximar el valor de ua fució mediate u poliomio. Ejemplo 4.8 Aproxima la fució f(x) = de grado 3. Utiliza dicho poliomio para aproximar error cometido. Solució: x mediate u poliomio 1 1,2. Da ua cota del 1. Basta calcularlas derivadas hastael orde4. Tomaremos comoputo de cálculo el valor a = 0. f(x) = (1 + x) 1/2 f(0) = 1 f (x) = 1 2 (1 + x) 3/2 f (0) = 1 2 f (x) = 3 4 (1 + x) 5/2 f (0) = 3 4 Fialmete, f (x) = 15 8 (1 + x) 7/2 f (0) = 15 8 f (4) (x) = (1 + x) 9/2 f (4) (ξ) = 105 (1 + ξ) 9/2 16 f(x) T 3 (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + f (0) x 3 2! 3! por lo que, 2. Como Por tato, f(x) 1 x 2 + 3x2 8 15x ,2 = f(0,2) basta tomar x = 0,2 e el poliomio aterior. 89

14 1 1 0,2 1, (0,2)2 15(0,2) El error viee dado por el térmio ǫ = f 4 (ξ) x 4 4! siedo x = 0,2 y 0 < ξ < 0,2. Podemos escribir, pues, 0,9125 ǫ = 105 4! 16(1 + ξ) 9/2(0,2)4 = 105(0,2)4 384(1 + ξ) 9/2 Ahora hay que elimiar ξ de la fórmula aterior acotado la fució por su valor máximo (e este caso, se trata de escribir el deomiador más pequeño posible, teiedo e cueta que 0 < ξ < 0,2 ): ǫ = 105(0,2)4 105(0,2)4 < 384(1 + ξ) 9/2 384 La aproximació es regular (2 o 3 cifras exactas). 0, Ejercicio 4.13 Aproxima la fució f(x) = xsix mediate u poliomio de grado o mayor que 3. Utiliza dicho poliomio para aproximar 1 ( ) 1 3 si 3 co dos decimales de exactitud. Justifica la exactitud obteida. (Sol.: f(x) x 2 ; 1 3 si( 1 3) 0,11; Error < 0,00257) ) Hemos visto que si ua fució admite desarrollo e serie de potecias, esta serie debe ser ecesariamete su correspodiete serie de Taylor. No obstate, la serie de Taylor de f e c o tiee porque teer de suma a la propia fució f. Para garatizarlo teemos el siguiete resultado. Teorema 4.8 Si f es ua fució idefiidamete derivable e u itervalo abierto cetrado e c y si R (x) represeta el resto de Lagrage de la fórmula de Taylor, etoces f(x) = f () (c) (x c) lím R (x) = 0! 90

15 Co el siguiete corolario tedremos ua forma más fácil de aplicar la propiedad aterior: Corolario 4.9 Si existe ua costate K > 0 de forma que f () (x) K, x I, 0 etoces f(x) = f () (c) (x c) x I! Ejemplo 4.9 Sea f(x) = six. Ecuetra u desarrollo e serie de potecias. Solució: Como etoces, f () (x) = si ( π ) 2 + x, = 0,1,2,... { ( f () (0) = si π ) ( 1) k si = 2k + 1 ( impar) = 2 0 si = 2k ( par) y obteemos, pues, que la serie de Taylor de f e x = 0 es k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! Calculamos el radio de covergecia de esta serie. Como las potecias o so cosecutivas realizaremos u cambio de variable. ( 1) x 2+1 (2 + 1)! ( 1) x 2 = x (2 + 1)! = x = x ( 1) (x 2 ) (2 + 1)! ( 1) t (2 + 1)! 91

16 Para esta última serie, llamado a = ( 1) (2 + 1)! se tiee A = lím a +1 a = lím (2 + 1)! (2 + 3)! = lím 1 (2 + 3)(2 + 2) = 0 R = + Es decir, la serie coverge t R. Etoces, deshaciedo el cambio, la serie origial es covergete x 2 R, o sea, x R. Falta demostrar que la serie suma exactamete six, es decir, ( 1) x 2+1 (2 + 1)! = six xǫr Ahora bie, como f () (x) 1, x R, = 0,1,... basta aplicar el Corolario 4.9 para cocluir que six = ( 1) x 2+1, x R (2 + 1)! De forma similar se prueba que cos x = e x = (1 + x) α = ( 1) x 2, x R (2)! x!, x R siedo α R y ( ) α := 1; 0 ( ) α x, ( ) α := x < 1 (serie biómica). factores α(α 1) (α ( 1)), si 1! 92

17 Otros desarrollos E geeral, el método de calcular la serie de Taylor o resulta muy operativo, dadala dificultadde ecotrarla derivada ésima, o auque esto sea posible, la dificultad de demostrar que lím R (x) = 0. Veremos ahoraotros procedimietos paraecotrareldesarrollodeuafució e serie de potecias. Básicamete se trata de obteer por derivació, itegració o trasformacioes elemetales ua fució de la cual coozcamos su desarrollo. Ejemplo 4.10 Desarrollo e serie de potecias de la fució f(x) = x. Solució: Recordemos que para ua serie geométrica: Por tato, x = 1 1 x, x < x = ( x) = ( x) = ( 1) x, x < 1 Este problema tambié se podría haber resuelto teiedo e cueta que 1 = (1 + x) x que correspode a ua serie biómica de expoete α = 1 y aplicado el desarrollo coocido (pág. 92) se llega a la misma coclusió si más que teer e cueta que ( ) 1 = ( 1). Ejemplo 4.11 Desarrollo de f(x) = log x Solució: Recordemos que la serie biómica de expoete α = 1 verifica ( 1) x = x, x < 1 93

18 Por tato, f (x) = 1 x = (x 1) = ( 1) (x 1), x 1 < 1 Recuperamos la fució f itegrado: f(x) = f (x)dx = Así, log x = ( 1) (x 1) dx = ( 1) + 1 (x 1)+1 + C, x 1 < 1 ( 1) + 1 (x 1)+1 +C, x 1 < 1 Para calcular C basta evaluar la expresió aterior e u valor de x. Por secillez, se elige elcetrode laserie, x =1. Ates de substituir, desarrollamos el sumatorio: log x = ( 1) + 1 (x 1)+1 +C = (x 1)+ 1 2 (x 1) (x 1) C por lo que al evaluar la serie e x = 1, obteemos log 1 = 0 + C C = 0 y, fialmete, log x = ( 1) (x 1) E el ejemplo aterior, hemos probado que log x = ( 1) + 1 (x 1)+1, x 1 < 1 Estudiemos ahora qué pasa co los extremos del itervalo: x = 0 ( 1) ( 1)+1 = que es divergete.

19 x = 2 ( 1) + 1 (2 ( 1) 1)+1 = + 1 que es covergete. Pero, podemos afirmar que e x = 2 la serie suma exactamete log2? E geeral, la respuesta es o. El teorema que veremos a cotiuació os dará ua codició suficiete para que podamos garatizarlo. Teorema 4.10 (Abel) Sea f(x) = a (x c), x c < R. Si f es cotiua e c + R y la serie es covergete e x = c + R etoces se verifica que f(c + R) = a (c + R c) = a R Aálogamete para el extremo iferior: si f es cotiua e c R y la serie es covergete e x = c R etoces se verifica que f(c R) = a (c R c) = a ( R) Ejemplo 4.12 Volviedo al ejemplo aterior, habíamos visto que log x = ( 1) + 1 (x 1)+1, x 1 < 1 Ahora, la serie es covergete e x = 2 y la fució f(x) = log x es cotiua e x = 2, etoces aplicado el teorema de Abel resulta que log 2 = ( 1) + 1 Ejercicio 4.14 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució 3 x (Sol.: 3 2 ( 1 2) x x < 2 )

20 Ejercicio 4.15 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució 1 (1 + x) 2. (Sol.: ( 1) x 1 x < 1 ) Ejercicio 4.16 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució 2 (1 + x) 3. (Sol.: =2 ( 1) ( 1)x 2 x < 1 ) Ejercicio 4.17 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució log(x + 1). (Sol.: ( 1) + 1 x+1 x ] 1,1] ) Ejercicio 4.18 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució 1 4x (Sol.: ( 1) 4 x 2 x < 1 2 ) Ejercicio 4.19 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució cos x. (Sol.: ( 1) (2)! x2 ) 96

21 4.4. Problemas adicioales Ejercicio 4.20 Calculaelitervalo de covergeciade las series siguietes, icluyedo el estudio de los putos extremos: (a) ( x ( 1) x k ) k R; (b) ; (c) (e) (g) ( 1) +1 x ; (d) (2)!( x 2 ) ; ( 1) x ( + 1)( + 2) ; (f) (x 2) ( + 1)3 +1; (h) ( 1) (x 4) 3 ; ( 1) +1 (x 1) +1 ; + 1 ( 1) +1 x (i) ; (j) (2 + 1) x2+1. (k) x 2+1 (2 + 1)! ; (Sol.: (a) I =] k, k [, (b) I =] 1,1[, (c) I =] 1,1[, (d) I = {0}, (e) I = [ 1,1], (f) I =]1,7[, (g) I = [ 1,5[, (h) I =]0,2], (i) I = [ 1,1], (j) I =] 1,1[ y (k) I = R. ) Ejercicio 4.21 Siedof(x) lafuciódefiidaporla serie f(x) = ( x 2 ), calcula el itervalo de covergecia de f(x), f (x) y f(x)dx, icluyedo el estudio de los putos extremos. Ejercicio 4.22 Cosidera la serie de potecias: (Sol.: I =] 2,2[ para f y f ; I = [ 2,2[ para f ) ( 1) (11 + 6) (19 + 6) x 97

22 (a) Calcula el radio de covergecia de la serie. (b) Estudia la covergecia e x = 1, y e caso de ser covergete, calcula la suma. (c) Verifica, e x = 1, las hipótesis del criterio de Leibitz para series alteradas? (d) Es absolutamete covergete e x = 1? (Sol.: (a) R = 1; (b) Covergete y suma Ejercicio 4.23 Dadalaserie de potecias 11 ; (c) Si; (d) Si. ) ( + 1)( + 2) (2 + 1)! x. (a) Determia el radio de covergecia de la serie. (b) Estudia la covergecia de la serie e x = 1 4 y e x = 1. (c) Estudia la covergecia e x = 1 4. (Sol.: (a) R = 1 4 ; (b) Divergete e x = 1 4 y x = 1; (c) Divergete. ) Ejercicio 4.24 Aproxima la fució f(x) = xl(1 + x) mediate u poliomio de grado 3. Utiliza dicho poliomio para aproximar 0,2 l(1,2). Obté ua cota del error cometido. (Sol.: f(x) x x3 ; 0,2 l(1,2) = 0,036 ± 0,00053 ) Ejercicio 4.25 Aproxima la fució f(x) = x 2 lx mediate u poliomio de grado 2, expresado e potecias de (x 1). Utiliza dicho poliomio para aproximar 1 4 l( 1 2) co dos decimales de exactitud. Justifica la exactitud obteida. (Sol.: f(x) x (x 1)2 ; 1 4 l( 1 2) = 0,125 ± 0,083 ) Ejercicio 4.26 Se cosidera la fució f(x) = l( 1 + x). (a) Aproxima la fució por u poliomio de grado 4. 98

23 (b) Utiliza el poliomio aterior para aproximar l( 0,95) y acota el error cometido. (Sol.: (a) x 2 x2 4 + x3 6 x4 8 ; (b) l( 0,95) 0, ± 4, ) Ejercicio 4.27 Se cosidera la fució f(x) = l( 1 + x). (a) Desarrolla e serie de potecias la fució g(x) = x. (b) Calcula la derivada de f(x). (c) Desarrolla e serie de potecias la fució f(x). (Sol.: (a) ( 1) x ; x < 1; (b) 1 2(1 + x) ; (c) 1 2 ( 1) x +1 ; x < 1 ) + 1 Ejercicio 4.28 Desarrolla e serie de potecias la fució 1 + x + x 2 idicado cuál es el radio de covergecia. (H: Expresa el radicado 1+x+x 2 e la forma a 2 + (x + b) 2 para aplicar la serie biómica) (Sol.: 3 4 ( ) 1/2 4 3 ( x + 1 2) 2 si x < 2 ) Ejercicio ( 4.29 ) Aplicael ejercicio ateriorparacalcularlasuma de laserie 1/ (H: Toma u valor adecuado de x e el desarrollo aterior) (Sol.: 2 3 ) Ejercicio 4.30 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució f(x) = e x2 /2. (Sol.: 1 2! x2 x R ) Ejercicio 4.31 Desarrolla e serie de potecias cetrada e c = 0 la fució f(x) = 4x 7 2x 2. (H: Expresa la fracció como suma de fraccioes + 3x 2 simples, hallado las raíces del deomiador) 99

24 (Sol.: ( ) 3( 1) x x < 1 2 ) E los ejercicios siguietes se trata de mediate derivació o itegració de la fució dada, relacioarla co ua fució de desarrollo coocido y a partir de éste hallar el desarrollo de la fució origial. Ejercicio 4.32 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució f(x) = arcta2x. (Sol.: 2 ( 1) x2+1 x 1 2 ) Ejercicio 4.33 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució f(x) = arcsix. (Sol.: ( ) 1/2 ( 1) x2+1 x 1 ) Ejercicio 4.34 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució f(x) = arcsix (H: Utiliza el ejercicio aterior). x ( ) 1/2 ( 1) (Sol.: 2 x2+1 x 1 ) Ejercicio 4.35 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució f(x) = si 2 x. (Sol.: ( 1) 4 (2 + 1)!( + 2) x2+2 x R ) Ejercicio 4.36 Desarrollaeserie de potecias cetradaec = 0lafució f(x) = log(x 2 + 1). (Sol.: ( 1) + 1 x2+2 x [ 1,1] ) 100