Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)
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- Soledad Sosa Saavedra
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1 Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos e el tiempo Trasformada Z Ambas represeta herramietas el aálisis de ciertas propiedades de las señales que so más difíciles de evaluar e el domiio del tiempo Ejemplo Covolució es trasformada e producto Ecuació de diferecias puede solucioarse de forma más secilla e el domiio de la frecuecia compleja que e el domiio del tiempo Señales y sistemas discretos () Señal e tiempo cotiuo La variable varía e forma cotiua co el tiempo Señales y sistemas discretos () Ua señal discreta puede idetificarse e u úmero fiito o ifiito cotable de istates de tiempo Ua variable discreta se idetifica por la variable de tiempo t, dode toma valores eteros. La señal se defie los istates t 3, t, t, t, t, t Señal e tiempo discreto La señal sólo está defiida e istates específicos de la variable idepediete Se puede iterpretar las señales e tiempo discreto como ua secuecia de úmeros ordeados por el parámetro t :,t ], t ], t ] Por coveiecia se deota la señal e tiempo discreto por
2 Defiicioes epresetació de fucioes de variable discreta () Señales eseciales So aquellas señales de importacia vital describir el comportamieto de u sistema Sistema de tiempo cotiuo Se defie como u sistema dode las señales eseciales so cotiuas e el tiempo Sistema e tiempo discreto U sistema dode las señales eseciales so discretas e el tiempo Sistemas e tiempo híbrido Alguas de las señales eseciales so e tiempo discreto y otras e tiempo cotiuo epresetació gráfica Ua señal discreta puede ser iterpretada como ua secuecia de úmeros deotados por {}, ordeados por la variable Z {} ], ], ], ], ] A esta secuecia se le puede dar ua iterpretació gráfica epresetació de fucioes de variable discreta () epresetació fucioal Utiliada e el aálisis matemático de fucioes discretas 6 5 cualquier otro epresetació de fucioes de variable discreta (3) epresetació Tabular Usado e programas maipulació y modelado digital de sistemas Ejemplo: Matlab utilia por u lado los úmeros de muestra () y por otro los valores de las muestras (x())
3 epresetació de fucioes de variable discreta (4) epresetació como secuecia Como se dijo ateriormete, ua señal discreta puede ser iterpretada como ua secuecia de úmeros deotados por {x()}, ordeados por la variable Z epresetació de fucioes de variable discreta (5) está defiida úicamete valores eteros de La flecha idica el orige () de ua secueci de duració ifiita Si la secuecia es cero < puede represetarse como: A se le deomia úmero de muestra y a la -ésima muestra de la señal Si la secuecia es fiita: Señales de variable discreta () E el estudio de sistemas e tiempo discreto se utilia co frecuecia las siguietes señales elemetales: Impulso uitario ampa uitaria Escaló uitario Señal expoecial Señales de variable discreta () Impulso uitario Está defiido por: δ[ E forma geeral: δ[ p] p p δ[ p] es igual a la secuecia δ[ desplaada a la derecha p uidades de tiempo discreto. Co esta iterpretació se puede represetar cualquier sucesió como ua suma de sucesioes delta Dirac 3
4 Señales de variable discreta (3) Escaló uitario Está defiido como: u[ < Puede represetarse tambié como: u [ δ( i) u[ i δ[ ] Señales de variable discreta (4) ampa uitaria Está defiido como: u r [ < Puede represetarse tambié como: u [ u( i ) r i Señales de variable discreta (5) Señal expoecial Señal Expoecial Está defiido como: x [ a Su comportamieto depede de la costate a : El comportamieto es estable si a < El comportamieto es iestable si a > Fucioes expoeciales valores de a reales <a< a> Si a es complejo: a re jθ r r e cos( θ) + jθ j r si( θ) -<a< a<- 4
5 Propiedad de muestreo del impulso uitario Proceso de muestreo de ua fució cotiua e el tiempo Si cosideramos u impulso uitario δ[ ] e etoces δ[ ] ] δ[ ] Muestreo Uiforme Los muestreos se da cada T segudos Variable t: señal cotiua Variable : señal discreta T :itervalo de muestreo tt/f s F s : frecuecia o tasa de muestreo Muestreo Uiforme E el aálisis matemático de señales y sistemas discretos se acostumbra represetar la señal muestreada x a [T] usado impulsos de Dirac co áreas modificadas de acuerdo al valor de la muestra: x ˆ ( t) { x( t) δ( t T) x( T) δ( t T) a a a fució muestreada Esta otació es la misma que se utilia represetar el espectro de magitud de la trasformada de Fourier de ua señal periódica 5
6 Coversió Aalógica-Digital Coversió Aalógica-Digital Muestreo Coversió de ua señal de variable cotiua a otra de variable discreta. Es el resultado de tomar muestras de x a (t) e ciertos istates Si x a (t) es la etrada, etoces x a (T) es la salida Cuatificació Coversió de la señal de variable discreta y valores cotiuos e ua señal de variable discreta y valores discretos Cada valor de muestra se aproxima a u valor de u cojuto fiito de posibles valores Se itroduce error de cuatificació Coversió Aalógica-Digital Trasformada Z Codificació Asigació de ua represetació (por lo geeral biaria) los valores cuatificados { ( T) } {... x( T), x(), x( T), x(t),..., x( T)... } L x a x ˆa( t) { xa( t) δ( t T) xa( T) δ( t T) fució muestreada { ˆ } a( t) x x( ) Trasformada Z bilateral Cosiderado st e y xa( T) x( ) 6
7 Trasformada Z Notació Z{ } Para sucesioes {} que so causales, es decir, <, la trasformada Z está dada por: Z { } Trasformada Z uilateral egió de Covergecia () Como es ua serie ifiita de potecias, etoces sólo existe valores de e que la serie coverge es el cojuto de valores de los cuales es fiita El cambio de variable realiado e st puede cosiderarse como mapeo coforme Bajo esta trasformació e σ T e jωt egió de Covergecia () Comció co la OC de la trasformada de Laplace Ua líea vertical e el plao s es mapeada e u círculo de radio e σ T e el plao Ua bada vertical etre σ < σ < σ es mapeado e u aillo cuyo radio itero está limitado por e σ T y el extero por e σ T El semiplao iquierdo del plao s (e{s}<) es mapeado e la regió detro del círculo uitario e el plao ( <) El semiplao derecho del plao s (e{s}>) es mapeado e la regió fuera del círculo uitario e el plao ( >) La OC de L {x(t)} es ua bada vertical y la OC de Z {} equivale a aillos e el plao Si la señal es derecha, la OC de es el exterior de u círculo Si la señal es iquierda, la OC de es el iterior de u círculo Si la OC de icluye el círculo uitario el sistema es estable 7
8 esume de propiedades de la OC de la trasformada Z () La OC de cosiste e u aillo e el plao cetrado alrededor del orige La OC o cotiee igú polo Si es fiita, etoces la OC es el plao completo, excepto posiblemete y causal excluye aticausal excluye bilateral excluye e esume de propiedades de la OC de la trasformada Z () Si es derecha, y la OC cotiee el círculo r etoces todos los valores de los cuales > r tambié está e la OC Si es ua secuecia iquierda, la OC está detro de u círculo e el plao Si es bilateral la OC es u aillo Si es racioal etoces su OC está limitada por los polos o se extiede al ifiito esume de propiedades de la OC de la trasformada Z (3) Propiedades de la trasformada Z () Si de es racioal y es derecha, la OC es la regió del plao fuera del círculo de radio igual a la magitud mayor de los polos de. Además si es causal la OC icluye a Si de es racioal y es iquierda, la OC es la regió del plao detro del círculo de radio igual a la magitud del polo diferete de cero más itero. Además si es aticausal la OC icluye a Si u sistema es estable y causal etoces los polos de su fució de trasferecia debe estar detro del círculo uitario Liealidad Si ; etoces: a + a x [ a + a X X ( ; cotiee La itersecció de y puede estar vacía o la OC puedes ser más grade que dicha itersecció si la combiació lieal itroduce alguos ceros y se cacela polos ( ; 8
9 Propiedades de la trasformada Z () Desplaamieto e el tiempo Si x [ ; etoces ; OC puede añadir o elimiar el orige o el ifiito debido a la multiplicació por Propiedades de la trasformada Z (3) Escalamieto e el domiio de Si etoces: x [ ; X ; es la versió escalada de Propiedades de la trasformada Z (4) Iversió de tiempo Si x [ ; etoces: ( ); X Propiedades de la trasformada Z (5) Cojugació Si x [ ; etoces * ( ); OC * * x [ X : Los polos y ceros aparece como pares complejos cojugados e la trasformada Z de secuecias reales de 9
10 Propiedades de la trasformada Z (6) Covolució Si ; etoces X ( ; X cotiee Similar a la propiedad de liealidad, la itersecció etre y puede ser más grade que las regioes origiales si e el producto se cacela polos y ceros ( ; Propiedades de la trasformada Z (7) Difereciació e el domiio de Si x [ ; etoces d ; d Propiedades de la trasformada Z (8) Teorema del valor iicial Si <, es decir es causal, etoces: ] lim Z) Esta propiedad se obtiee al cosiderar el límite de cada térmio idividualmete de Z {} co causal Trasformada Z iversa Dada hay tres métodos obteer la trasformada iversa. Estos métodos está basados e: Itegral de Iversió Desarrollo de Fraccioes parciales Desarrollo de ua serie ifiita de potecias
11 Trasformada Z iversa por medio de la itegral de iversió Expresió formal de la trasformada Z iversa π j Solució residuos de e los polos de Esta defiició es utiliada sólo fucioes causales. Por lo geeral, se prefiere la descomposició e fraccioes parciales y el uso de tablas d Trasformada Z iversa por medio del desarrollo de fraccioes parciales Se expade ua expresió algebraica racioal de e u desarrollo e fraccioes parciales y la trasformada iversa se obtiee por ispecció Se expresa como ua combiació lieal: α + α α X ( Por liealidad se obtiee: α + α α x[ Trasformadas de fucioes racioales propias () Si es ua expresió racioal: N( b + b b D( + a a Co a y m <. Multiplicado por tato el umerador como el deomiador: X b + b ( + a Como >m etoces b + b b a + a m m m m b a m m Trasformadas de fucioes racioales propias () Polos diferetes de primer orde Si todos los polos so diferetes y de primer orde, se busca la expasió A A A p p p dode Ai ( pi) p i
12 Trasformadas de fucioes racioales propias (3) Polos orde múltiple Si hay u polo de orde l, ( p ) l, etoces la expasió parcial tedrá térmios: A + p A ( p ) ( p ) l Los coeficietes se puede obteer por medio de derivacioes sucesivas A l Fucioes propias e impropias () Si es ua expresió racioal: X N( b + b D( + a ( b a m m Esta fució se deomia propia si a y m <, es decir, el úmero de ceros fiitos es meor al úmero de polos fiitos Fucioes propias e impropias () Si la fució es impropia (m ) se puede represetar como la suma de u poliomio y ua fució propia de la siguiete maera: N( ( m ) N( C + C C + D( D( La trasformada Z iversa de estos térmios correspode directamete a las primeras muestras causales de la señal Trasformada Z iversa por medio de expasió e series de potecia Se expade e ua serie de potecias que coverge e la OC de, de la forma: X ( C Este es el caso particular de series de Lauret cetradas e Este método es útil obteer Z {} o racioal
13 Series de Potecias. Si la regió de covergecia está detro de u círculo, la divisió poliomial es de la forma a + y se obtiee ua expasió e potecias positivas de. Si la regió de covergecia es el exterior de u círculo, la divisió poliomial es de la forma a y se obtiee ua expasió e potecias egativas de Sistemas e tiempo discreto U sistema discreto trasforma etradas de variable discreta e salidas de variable discreta. y[t {} Tipos de sistemas e tiempo discreto Sistemas Ivariates y Variates e el tiempo Sistemas Lieales Sistemas LTI caracteriados por ecuacioes de diferecias lieales co coeficietes costates Sistemas LTI caracteriados por ecuacioes de diferecias lieales co coeficietes costates Sistema LTI discreto: Y(H( : Trasformada Z de la etrada Y(: Trasformada Z de la salida H(: Trasformada Z de la respuesta del sistema al impulso H( es coocida como la fució de trasferecia o fució del sistema Cosiderado ua ecuació ua ecuació de diferecias de orde : N M a y( ) b x( j) j Aplicado la trasformada Z ambos miembros de la ecuació y usado las propiedades liealidad y desplaamieto e el tiempo N a Y( Como H(s) Y(s)/s), etoces H( M j N M j j b j j b j a j Y( 3
14 Sistemas LTI caracteriados por ecuacioes de diferecias lieales co coeficietes costates La fució del sistema H( de u sistema descrito por ua ecuació de diferecias lieal co coeficietes costates es siempre racioal La ecuació de diferecias o da iformació sobre la OC. Es ecesario iformació adicioal como causalidad o estabilidad del sistema poder defiir la OC de la trasformada Z Trasformada Z Uilateral Se defie como: X ( u Se utilia pricipalmete el aálisis de sistemas causales descritos por ecuacioes de diferecia lieales co coeficietes costates y codicioes iiciales Comció etre la trasformada Z bilateral y uilateral Trasformada Z uilateral Iversa X b ( icluye valores egativos de, X u ( es la sumatoria sobre valores positivos de si importar si <. Etoces X u (Z u { }Z b { u[ } Si es cero < etoces: X u ( X b ( u[ siempre es ua secuecia derecha, por tato la OC de X u ( es siempre el exterior de u círculo estricció e el caso uilateral Como: X u( La expasió e series de potecias Z {} o puede coteer térmios e potecias positivas de. Si N(/D( que sea uilateral: La evaluació de la trasformada iversa es idética e ambos casos co la limitació que la OC de la trasformada uilateral es siempre el exterior de u círculo OC es el exterior de u círculo Grado de N( < grado de D( 4
15 Propiedades de la Trasformada Z uilateral () La regió de covergecia es siempre el exterior de u círculo, es decir, afuera del polo mas extero La propiedad de iversió e el tiempo o tiee setido e la trasformada Z uilateral Propiedades de la Trasformada Z uilateral () Propiedad de desplaamieto Si y[ ], etoces u retardo e el tiempo: ] + ] Esta propiedad se puede aplicar e forma repetida, es decir: ] y[ ] y por tato ] + ] + ] Propiedades de la Trasformada Z uilateral (3) Propiedad de covolució Tiee la restricció que x [x [ <. Si esta restricció se cumple: x [ 5
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