Análisis de funciones y representación de curvas

Transcripción

1 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = log 2 ( + 1) 2. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = ( 1, +@) 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 1 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): ( 1, 0) Creciente ( ): ( 1, +@) Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 1, +@) Im(f) = = 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = = 1) ( 1, 1) (1, +@) 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 1 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 1) Positiva (+): 1) (1, +@) Negativa ( ): ( 1, 1) Máimo relativo:a(0, 1) Creciente ( ): 1) ( 1, 0) Decreciente ( ): (0, 1) (1, +@) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): 1) (1, +@) Cóncava (»): ( 1, 1) Im(f) = 1] (1, +@) 360 SOLUCIONARIO

2 2. Análisis de funciones polinómicas Piensa y calcula Halla los puntos de corte con el eje de la función y = y estudia su multiplicidad. = 0 doble. 2 2 = 0 ò = 0 ò (8 2 ) 2 = 0 ò = 2 2 simple. 4 = 2 2 simple. Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 3. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 2, 0) (2, +@) Negativa ( ): 2) (0, 2) Máimo relativo:a( 2 3/3, 16 3/9) Mínimo relativo: B(2 3/3, 16 3/9) Creciente ( ): 2 3/3) (2 3/3, +@) Decreciente ( ):( 2 3/3,2 3/3) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Im(f) = = 4. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 3, 0), O(0, 0), B( 3, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 3) (0, 3) Negativa ( ): ( 3, 0) ( 3,+@) Máimo relativo:a(1, 2) Mínimo relativo: B( 1, 2) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 361

3 Creciente ( ): ( 1, 1) Decreciente ( ): 1) (1, +@) 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Convea («): Cóncava (»): (0, +@) Im(f) = = 6. y = Im(f) = = 5. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Creciente ( ): = Decreciente ( ): Ö 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, +@) Cóncava (»): y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 2, 0) (0, 2) Negativa ( ): 2) (2, +@) Máimo relativo: C( 2, 4), D( 2, 4) Mínimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): 2) (0, 2) Decreciente ( ): ( 2, 0) ( 2,+@) 9. Puntos de infleión: E( 6/3, 20/9), F( 6/3, 20/9) Convea («): ( 6/3, 6/3) Cóncava (»): 6) ( 6,+@) Im(f) = 362 SOLUCIONARIO

4 7. y = y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje : O(0, 0),A(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (2, +@) Negativa ( ): (0, 2) Mínimo relativo: B(3/2, 27/16) Creciente ( ): (3/2, +@) Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: C(0, 0), D(1, 1) Convea («): (1, +@) Cóncava (»): (0, 1) 3 8. y = y''' = 2 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2 3, 0), O(0, 0), B(2 3, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 2 3, 0) (2 3, +@) Negativa ( ): 2 3) (0, 2 3) Máimo relativo:a( 2, 16/3) Mínimo relativo: B(2, 16/3) Creciente ( ): 2) (2, +@) Decreciente ( ): ( 2, 2) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Im(f) = [ 27/16, +@) Im(f) = = TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 363

5 3. Análisis de funciones racionales Piensa y calcula Halla mentalmente las raíces del denominador de la función y = 2 1 = 0 ò = 1, = Aplica la teoría 9. y = y''' = 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 0 Oblicuas: y = Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Máimo relativo:a( 1, 2) Mínimo relativo: B(1, 2) Creciente ( ): 1) (1, +@) Decreciente ( ): ( 1, 0) (0, 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Im(f) = 2] [2, +@) 10. y = y''' = Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 0 Oblicuas: y = Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): ( 1, 0) (1, +@) Negativa ( ): 1) (0, 1) 364 SOLUCIONARIO

6 Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Cóncava (»): (0, +@) Creciente ( ): 1) ( 1, 0) Decreciente ( ): (0, 1) (1, +@) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): 1) (1, +@) Cóncava (»): ( 1, 1) Im(f) = = Im(f) = 1] (0, +@) 11. y = y = ( 2 1) ( 2 1) 3 24 y''' = ( 2 1) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = { 1, 1} = 1) ( 1, 1) (1, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 1, = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 1) Positiva (+): 1) (1, +@) Negativa ( ): ( 1, 1) Máimo relativo:a(0, 1) y''' = Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje :A(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): (1, +@) Negativa ( ): (0, 1) Máimo relativo:a(2, 1/4) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 365

7 Creciente ( ): (0, 2) Decreciente ( ): (2, +@) 9. Punto de infleión: B(3, 2/9) Convea («): (3, +@) Cóncava (»): (0, 3) Creciente ( ): ( 1, 1) Decreciente ( ): 1) (1, +@) 9. Puntos de infleión: O(0, 0), C( 3, 3 3/4), D( 3, 3 3/4) Convea («): ( 3, 0) ( 3,+@) Cóncava (»): 3) (0, 3) Im(f) = y = ( 2 + 1) ( 2 + 1) 3 18 y''' = ( 2 + 1) 4 1. Tipo de función: racional. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: es simétrica respecto Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Máimo relativo:a(1, 3/2) Mínimo relativo: B( 1, 3/2) Im(f) = [ 3/2, 3/2] 14. y = ( 2 4) ( 2 4) 3 72 y''' = ( 2 4) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = { 2, 2} = 2) ( 2, 2) (2, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 2, = 2, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 2, = 2 Horizontales: y = 1 Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : C(0, 1/4) Positiva (+): 2) ( 1, 1) (2, +@) Negativa ( ): ( 2, 1) (1, 2) 366 SOLUCIONARIO

8 Máimo relativo: C(0, 1/4) Creciente ( ): 2) ( 2, 0) Decreciente ( ): (0, 2) (2, +@) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): 2) (2, +@) Cóncava (»): ( 2, 2) Im(f) = 1/4] (1, +@) 4. Análisis de funciones irracionales Piensa y calcula Halla mentalmente el dominio de la función y = Ó 0 ò 2? 4 Dom(f) = 2] [2, +@) Aplica la teoría 15. y = (4 ) 4 3 y''' = 8(4 ) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 4 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A(4, 0) Eje : B(0, 2) Positiva (+): Negativa ( ): Ö Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): Im(f) = [0, +@) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 367

9 16. y = ( 2 + 4) y''' = ( 2 + 4) Tipo de función: irracional. 3. Continuidad: es continua en toda la real 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Oblicuas: y =, y = Eje : no lo corta. Eje :A(0, 2) Positiva (+): = Negativa ( ): Ö Mínimo relativo:a(0, 2) Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): = Cóncava (»): Ö 17. y = ( 2 1) y''' = ( 2 1) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = 1] [1, +@) 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 1, = 1 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Oblicuas: y =, y = Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): 1) (1, +@) Negativa ( ): Ö Creciente ( ): (1, +@) Decreciente ( ): 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): 1) (1, +@) Im(f) = [2, +@) Im(f) = [0, +@) 368 SOLUCIONARIO

10 18. y = (4 2 ) y''' = (4 2 ) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = [ 2, 2] 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 2, = 2 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A( 2, 0), B(2, 0) Eje : C(0, 2) Positiva (+): ( 2, 2) Negativa ( ): Ö Máimo relativo: C(0, 2) Creciente ( ): ( 2, 0) Decreciente ( ): (0, 2) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 2, 2) y = y''' = Tipo de función: irracional. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Creciente ( ): = Decreciente ( ): Ö 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): Cóncava (»): (0, +@) Es una semicircunferencia. Im(f) = [0, 2] Im(f) = = TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 369

11 20. y = (4 2 ) y''' = (4 2 ) 4 2 (4 2 ) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = [ 2, 2] 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 2, = 2 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, 2) Negativa ( ): ( 2, 0) Máimo relativo: C( 2, 2) Mínimo relativo: D( 2, 2) Creciente ( ): ( 2, 2) Decreciente ( ): ( 2, 2) ( 2,2) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): ( 2, 0) Cóncava (»): (0, 2) Im(f) = [ 2, 2] 5. Análisis de funciones eponenciales Piensa y calcula Halla mentalmente los puntos de corte con los ejes de la función y = (2 )e Eje :A(2, 0) Eje : B(0, 2) Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 21. y = ( 2)e ( 1)e e y''' = ( + 1)e 1. Tipo de función: polinómica por eponencial. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Horizontales: y = 0 Eje :A(2, 0) Eje : B(0, 2) Positiva (+): (2, +@) Negativa ( ): 370 SOLUCIONARIO

12 Mínimo relativo: C(1, e) Creciente ( ): (1, +@) Decreciente ( ): 9. Punto de infleión: B(0, 2) Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Creciente ( ): Decreciente ( ): (1, +@) 9. Punto de infleión: B(2, 2/e 2 ) Convea («): (2, +@) Cóncava (»): Im(f) = Im(f) = [ e, +@) 23. y = e 22. y = e ( 1)e ( 2)e y''' = ( 3)e 1. Tipo de función: polinómica por eponencial. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Máimo relativo:a(1, 1/e) e ( 1) 2 e ( ) 3 e y''' = ( ) 4 1. Tipo de función: eponencial dividida por polinómica. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, +@) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. En = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Mínimo relativo:a(1, e) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 371

13 Creciente ( ): (1, +@) Decreciente ( ): (0, 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): (0, +@) 9. Punto de infleión:a( 1/2, 1/e 2 ) Convea («): ( 1/2, 0) (0, +@) Cóncava (»): 1/2) Im(f) = [e, +@) Im(f) = (0, 1) (1, +@) 24. y = e 1/ 25. y = e 2 e 1/ 2 e 1/ (2 + 1) 4 e y''' = 1/ ( ) 6 1. Tipo de función: eponencial. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, +@) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. En = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 1 Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Ö 2e 2 (4 2 2)e 2 y''' = (2 2 3)4e 2 1. Tipo de función: eponencial. 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 1) Positiva (+): = Negativa ( ): Ö Máimo relativo:a(0, 1) Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, +@) 9. Puntos de infleión: B( 2/2, 1/ e), C( 2/2, 1/ e) 372 SOLUCIONARIO

14 Convea («): 2/2) ( 2/2,+@) Cóncava (»): ( 2/2, 2/2) Im(f) = (0, 1] 26. y = ( 2)e 3 y''' = e 2 ( )e 4 ( )e 5 1. Tipo de función: eponencial dividida por polinómica. 2. Dominio: Dom(f) = = (0, +@) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. En = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Ö Mínimo relativo:a(2, e 2 /4) Creciente ( ): (2, +@) Decreciente ( ): (0, 2) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Ö Im(f) = (0, +@) 6. Análisis de funciones logarítmicas Piensa y calcula Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = L ( 2 1) Puntos de corte con el eje L ( 2 1) = 0 ò 2 1 = 1 ò 2 = 2 A( 2, 0); B( 2,0) Al eje no lo corta. TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 373

15 Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 27. y = L ( 2 + 4) ( 2 + 4) 2 4 y''' = 3 48 ( 2 + 4) 3 1. Tipo de función: logarítmica. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje : no lo corta. Eje :A(0, L 4) Positiva (+): = Negativa ( ): Ö Mínimo relativo:a(0, L 4) Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: B( 2, L 8), C(2, L 8) Convea («): ( 2, 2) Cóncava (»): 2) (2, +@) 28. y = L ( ) ( ) 2 4 y''' = ( ) 3 1. Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = (2, +@) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición; en = 1, = 2 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 1, = Eje : (, 0,, 0 2 ) ( 2 ) Eje : (0, L 2) Positiva (+): 2 ) ( 2 ) Negativa ( ): (, 1) ( 2, 2 2 ) Creciente ( ): (2, +@) Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): (2, +@) Im(f) = [L 4, +@) Im(f) = = 374 SOLUCIONARIO

16 29. y = L y''' = 3 1. Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, +@) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición; en = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 0 Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): 1) (1, +@) Negativa ( ): ( 1, 0) (0, 1) Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): (0, +@) 30. y = L 1 + L 1 y''' = Tipo de función: polinómica multiplicada por logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = (0, +@) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición; en = 0 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): (1, +@) Negativa ( ): (0, 1) Mínimo relativo: B(1/e, 1/e) Creciente ( ): (1/e, +@) Decreciente ( ): (0, 1/e) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Ö Im(f) = = Im(f) = [ 1/e, +@) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 375

17 31. y = L 1 L L L y''' = 4 1. Tipo de función: logarítmica dividida entre polinómica. 2. Dominio: Dom(f) = (0, +@) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje :A(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): (1, +@) Negativa ( ): (0, 1) Máimo relativo: B(e, 1/e) Creciente ( ): (0, e) Decreciente ( ): (e, +@) 9. Punto de infleión: C e 3/2, Convea («): (e 3/2,+@) Cóncava (»): (0, e 3/2 ) ( 3 2e 3/2 ) 32. y = L (1 2 ) ( 2 1) 2 4 y''' = ( 2 1) 3 1. Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = ( 1, 1) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio; en = 1, = 1 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): Ö Negativa ( ): ( 1, 0) (0, 1) Máimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): ( 1, 0) Decreciente ( ): (0, 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 1, 1) Im(f) = Im(f) = 376 SOLUCIONARIO

18 7. Análisis de funciones trigonométricas Piensa y calcula Halla mentalmente el período de la función y = 3 sen 2 Si el período de y = sen es 2π, para hallar el de y = sen 2 hay que dividir 2π entre 2; por tanto, el período es π Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 33. y = 3 cos /2 3 sen /2 2 3 cos /2 4 y''' = 3 sen /2 8 Im(f) = [ 3, 3] 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período 4π; se estudia solo en el primer período [0, 4π) 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A(π, 0), B(3π,0) Eje : C(0, 3) Positiva (+): (0, π) ( 3π,4π) Negativa ( ): (π,3π) Máimo relativo: C(0, 3) Mínimo relativo: D(2π, 3) Creciente ( ): (2π,4π) Decreciente ( ): (0, 2π) 9. Puntos de infleión:a(π, 0), B(3π, 0) Convea («): (π,3π) Cóncava (»): (0, π) (3π,4π) 34. y = sen + cos cos sen sen cos y''' = cos + sen 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período 2π; se estudia solo en el primer período [0, 2π) 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A(3π/4, 0), B(7π/4, 0) Eje : C(0, 1) Positiva (+): (0, 3π/4) (7π/4, 2π) Negativa ( ): (3π/4, 7π/4) Máimo relativo: D(π/4, 2) Mínimo relativo: E(5π/4, 2) Creciente ( ): (0, π/4) (5π/4, 2π) Decreciente ( ): (π/4, 5π/4) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 377

19 9. Puntos de infleión:a(3π/4, 0), B(7π/4, 0) Convea («): (3π/4, 7π/4) Cóncava (»): (0, 3π/4) (7π/4, 2π) Im(f) = [0, 1] 36. y = sen cos Im(f) = [ 2, 2] 35. y = cos 2 2 sen cos 2 4 cos 2 y''' = 8 sen cos 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período π; se estudia solo en el primer período [0, π) 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A(π/2, 0) Eje : B(0, 1) Positiva (+): (0, π/2) (π/2, π) Negativa ( ): Ö Máimo relativo: B(0, 1) Mínimo relativo: C(π/2, 0) Creciente ( ): (π/2, π) Decreciente ( ): (0, π/2) 9. Puntos de infleión: D(π/4, 1/2), E(3π/4, 1/2) Convea («): (π/4, 3π/4) Cóncava (»): (0, π/4) (3π/4, π) cos 2 4 sen cos y''' = 4 8 cos 2 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período π; se estudia solo en el primer período [0, π) 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A(π/2, 0), O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, π/2) Negativa ( ): (π/2, π) Máimo relativo: B(π/4, 1/2) Mínimo relativo: C(3π/4, 1/2) Creciente ( ): (0, π/4) (3π/4, π) Decreciente ( ): (π/4, 3π/4) 9. Puntos de infleión: O(0, 0), D(π/2, 0) Convea («): (π/2, π) Cóncava (»): (0, π/2) Im(f) = [ 1/2, 1/2] 378 SOLUCIONARIO

20 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 1 Dada la función: 6 Dada la función: f() = f() = e halla los máimos y mínimos relativos. halla dónde es creciente. Máimo A(2, 4), mínimo B( 2, 1) 1) No tiene. Máimo A( 2, 4), mínimo O(0, 0) Máimo A(1, 3), mínimo B( 3, 1) ( 1, +@) ( e, e) 2 Dada la función: f() = 3 9 halla dónde es convea («) 3) (0, +@) ( 3, 3) 7 Dada la función: f() = 2 e halla dónde tiene un mínimo relativo. O(0, 0) A(2, 1) A(4, 1/e) A( 1, 2) 3 Sea la función: f() = 2 1 Halla los puntos de infleión. A( 1, 0); B(1, 0) A( 2, 2); B(2, 2) No tiene. O(0, 0) 8 Dada la función: y = halla dónde es creciente. (1, +@) (0, e) (0, e) L 2 4 Sea la función: f() = 2 (1 ) 2 1 Qué tipo de discontinuidad tiene en = 1? Evitable. De 1ª especie. De 2ª especie. No es discontinua. 9 Se consideran las funciones: f() = 2 4; g() = L f() Halla el dominio de g() Dom(g) = 2]«[2, +@) Dom(g) = ( 2, 2) Dom(g) = [ 2, 2] Dom(g) = 2)«(2, +@) 5 Dada la función: y = 4 e 10 La función dada por: f() = 2 dónde tiene el máimo relativo? O(0, 0) A(2, 2) A(4, 256/e 4 ) A( 1, 3) tiene un mínimo relativo en: A(2, 0) O(0, 0) A( 2, 8) A(1, 1) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 379

21 Ejercicios y problemas 1. Análisis gráfico de una función 37. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. 38. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = + 3 y = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A( 1, 0), B(2, 0) Eje : C(0, 2) Positiva (+): (2, +@) Negativa ( ): 1) ( 1, 2) Máimo relativo:a( 1, 0) Mínimo relativo: D(1, 4) Creciente ( ): 1) (1, +@) Decreciente ( ): ( 1, 1) 9. Punto de infleión: C(0, 2) Convea («): (0, +@) Cóncava (»): Im(f) = = 1. Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = [ 3, +@) 3. Continuidad: es continua en todo el dominio; en = 3 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A( 3, 0) Eje : C(0, 3) Positiva (+): ( 3, +@) Negativa ( ): Ö Creciente ( ): ( 3, +@) Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 3, +@) Im(f) = [0, +@) 380 SOLUCIONARIO

22 39. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = e Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = 3 cos 2 1. Tipo de función: eponencial. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(e 1,0) Positiva (+): = Negativa ( ): O Creciente ( ): = Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): = Cóncava (»): Ö Im(f) = (0, +@) 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período π; se estudia solo en el primer período [0, π) 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A(π/4, 0), B(3π/4, 0) Eje : O(0, 3) Positiva (+): (0, π/4) (3π/4, π) Negativa ( ): (π/4, 3π/4) Máimo relativo: B(0, 3) Mínimo relativo: C(π/2, 3) Creciente ( ): (π/2, π) Decreciente ( ): (0, π/2) 9. Puntos de infleión:a(π/4, 0), B(3π/2, 0) Convea («): (π/4, 3π/4) Cóncava (»): (0, π/4) (3π/4, π) Im(f) = [ 3, 3] TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 381

23 Ejercicios y problemas 2. Análisis de funciones polinómicas Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 41. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 2) (0, 2) Negativa ( ): ( 2, 0) (2, +@) Máimo relativo:a(2 3/3, 16 3/9) Mínimo relativo: B( 2 3/3, 16 3/9) Creciente ( ): ( 2 3/3, 2 3/3) Decreciente ( ): 2 3/3) (2 3/3, +@) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): Cóncava (»): (0, +@) 42. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje :A( 3, 0), O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 3) Negativa ( ): ( 3, 0) (0, +@) Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: B( 2, 4) Creciente ( ): ( 2, 0) Decreciente ( ): 2) (0, +@) 9. Punto de infleión: C( 1, 2) Convea («): 1) Cóncava (»): ( 1, +@) Im(f) = = Im(f) = = 382 SOLUCIONARIO

24 43. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, +@) Negativa ( ): Creciente ( ): = Decreciente ( ): Ö 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, +@) Cóncava (»): 44. y = y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 2) (2, +@) Negativa ( ): ( 2, 0) (0, 2) Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: C( 2, 4), D( 2, 4) Creciente ( ): ( 2, 0) ( 2,+@) Decreciente ( ): 2) (0, 2) 9. Puntos de infleión: E( 6/3, 20/9), F( 6/3, 20/9) Convea («): 6/3) ( 6/3,+@) Cóncava (»): ( 6/3, 6/3) Im(f) = = Im(f) = [ 4, +@) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 383

25 Ejercicios y problemas 45. y = y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje : O(0, 0),A(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, 2) Negativa ( ): (2, +@) Máimo relativo: B(3/2, 27/16) Creciente ( ): Decreciente ( ): (3/2, +@) 9. Puntos de infleión: C(0, 0), D(1, 1) Convea («): (0, 1) Cóncava (»): (1, +@) 46. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje :A(1, 0), B(4, 0) Eje : O(0, 16) Positiva (+): (1, 4) (4, +@) Negativa ( ): Máimo relativo: C(2, 4) Mínimo relativo: D(4, 0) Creciente ( ): (4, +@) Decreciente ( ): (2, 4) 9. Punto de infleión: O(3, 2) Convea («): (3, +@) Cóncava (»): Im(f) = 27/16] Im(f) = = 384 SOLUCIONARIO

26 3. Análisis de funciones racionales Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 47. y = ( 1) 2 2 ( 1) 3 y''' = 6 ( 1) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {1} = (1, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Verticales: = 1 Oblicuas: y = + 1 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (1, +@) Negativa ( ): (0, 1) Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo:a(2, 4) Creciente ( ): (2, +@) Decreciente ( ): (0, 1) (1, 2) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (1, +@) Cóncava (»): 48. y = y''' = 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 0 Oblicuas: y = Eje :A( 2, 0), B(2, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): ( 2, 0) (2, +@) Negativa ( ): 2) (0, 2) Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Cóncava (»): (0, +@) Im(f) = [4, +@) Im(f) = = TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 385

27 Ejercicios y problemas y = ( 2 + 1) ( 2 + 1) 3 72 y''' = 3 72 ( 2 + 1) 4 1. Tipo de función: racional. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 3) Positiva (+): = Negativa ( ): Ö Máimo relativo:a(0, 3) Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, +@) 9. Puntos de infleión: B( 3/3, 9/4), C( 3/3, 9/4) Convea («): 3/3) ( 3/3,+@) Cóncava (»): ( 3/3, 3/3) 50. y = ( 2 1) ( 2 1) 3 6 y''' = ( 2 1) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = { 1, 1} = 1) ( 1, 1) (1, +@) 3. Continuidad: es discontinua en = 1, = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): ( 1, 0) (1, +@) Negativa ( ): 1) (0, 1) Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): 1) ( 1, 1) (1, +@) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): ( 1, 0) (1, +@) Cóncava (»): 1) (0, 1) Im(f) = (0, 3] Im(f) = = 386 SOLUCIONARIO